integração por substituição (mudança de...
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IV. Técnicas de integração
Quando o integral (definido ou indefinido) não é imediato ou quase imediato, recorremos a
outras técnicas de integração.
Integração por substituição (mudança de variável)
Seja uma primitiva da função e uma função derivável tal que , , . Podemos então considerar a função composta , , . Aplicando a Regra da Cadeia
logo,
, .
Para simplificar esta expressão podemos considerar e portanto (consultar guião M@t b_Complementos de Derivação).
Substituindo na igualdade anterior
, .
De seguida vamos resolver o exemplo da página 15 do Guião integrais ‐ Parte I, utilizando,
agora, o método de integração por substituição.
Exemplo
Calcule o integral 3 1 5 .
3 1 5 3 1 5
Fazendo 1 5
então
Integrais
Parte II
Recorde que:
Se é uma primitiva de temos
Passos auxiliares:
. Considera‐se a mudança de variável: 1 5
. 1 5 10
. Calcular o integral em ordem a
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10 .
Para aplicar a fórmula é necessário introduzir o factor 10 no integrando, pelo que se
multiplicará o integral por ,
3 1 5 10 1 5 1 5 10
310
310 1
5 1
310 4
5
38
.
Repare que após a mudança de variável e a resolução do integral obtemos uma função na variável , que não é a variável inicial da função que estamos a integrar. É por isso necessário voltar a efectuar uma mudança de variável.
Como 1 5 ,
3 1 5381 5 , .
O Método de Integração por Substituição ou também designado por Mudança de Variável é dado por
Para aplicarmos este método é necessário efectuarmos os seguintes passos:
I. Substitui‐se a variável dada por outra variável (função de substituição) ;
II. Substitui‐se por dado que ;
III. Integra‐se a função obtida em ordem à nova variável ;
IV. Volta‐se à variável original substituindo por .
, .
Fazendo e substituindo por , obtemos
Sendo uma primitiva de .
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Exemplo 1:
Calcule .
ln ln
1
Fazendo ln
então
1.
ln1
2
Como ln ,
2, .
Exemplo 2: Calcule, por mudança de variável, o integral definido
. ./
Calculemos o integral indefinido . , utilizando a mudança de variável:
. Então
. Substituindo vem:
. , .
.
Sendo uma função contínua no intervalo , , o cálculo do integral definido de em , efectua‐se, calculando o integral indefinido e no final aplicando o 1º Teorema Fundamental do Cálculo.
Cálculos auxiliares:
. Considera‐se a mudança de variável: ln
. ln
. Calcular o integral em ordem a
. Depois de calculado o integral, substitui‐se novamente, desta vez por
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Substituindo novamente, desta vez por :
. 7
, .
Assim, dado que o domínio da expressão integranda é ,
.
.
7
/ .
Como alternativa à resolução apresentada, poderíamos ter utilizado o Teorema da Mudança de Variável.
Vamos aplicar este teorema para resolver o exemplo anterior. Utilizando a mudança de variável , e substituindo
0 0 0 0 e 1
. 7
17
,
Teorema da Mudança de Variável
Sejam e funções reais de variável real, e uma função derivável, contínua e invertível em , , com derivada contínua em , ,
onde . Com a aplicação deste teorema não é necessário voltar à variável original após integração, no entanto, é necessário alterar os extremos de integração.
e
Atenção:
Quando usamos o método de substituição no cálculo de um integral definido
, temos que ter o cuidado de
efectuar a substituição dos extremos de integração na primitiva da função, depois desta estar na variável inicial.
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Exercícios
1. Calcule: 1.1.
√;
1.2. ;
1.3. √
. 1.4. 1.5. √3 7
1.6. √√
1.7.
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Tal como não é verdade que
não é verdade que ,
.
Vamos trocar o papel das funções. Façamos:
e Temos que
Aplicando a fórmula de integração por partes vem:
=
Como podemos observar, neste caso é imediato resolver o integral.
Repare que:
Nestes casos apenas precisamos de uma primitiva e não da família de primitivas. Por uma questão de simplificação consideramos sempre 0.
2 ,
2.Integração por partes Este método é baseado na regra da derivada do produto. Dadas duas funções reais de variável real e , deriváveis, temos que:
logo,
.
Este método é aplicável sempre que estamos perante um produto de funções e se conhece uma primitiva de pelo menos um dos factores.
Exemplo:
Calcule o integral indefinido . A função a primitivar é um produto de dois factores (método de integração por partes).
Como sabemos integrar qualquer das funções, aparentemente, a escolha é indiferente.
Façamos
e
Aplicando a fórmula de integração por
partes vem:
.
Integração por partes
Sejam e duas funções reais de variável real, deriváveis, então
Nota:
pode ser uma qualquer primitiva de ′.
O problema complicou‐se, obtendo‐se uma nova primitiva produto da exponencial por um polinómio do 2º grau.
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Exemplo:
Calcule o integral definido .
Note que , e é continua em . Vimos no exemplo anterior que
.
Logo,
3 1
22.
Exemplo:
Calcule o integral indefinido .
Cálculos auxiliares:
2
2
2
212
2
212 2
, . 2
2 4, .
Se conhecermos a primitiva de ambos os factores, devemos escolher para derivar aquele que mais simplifica por derivação.
.
O integral definido da função no intervalo , , sendo esta contínua nesse intervalo, é dado por:
Em geral, como escolher e ?
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Exemplo:
Calcule o integral indefinido .
1
Cálculos auxiliares:
1
, .
Exemplo:
Calcule o integral .
Na primeira parte do guião resolvemos este integral recorrendo às fórmulas trigonométricas. No entanto, este integral também pode ser resolvido utilizando o método de integração por partes. Repare que:
.
Aplicando o método de integração por partes vem:
Cálculos auxiliares:
Se o integrante for uma única função, que não sabemos integrar mas que se simplifica por derivação (como
o caso do logaritmo e das funções trigonométricas inversas), escreve‐se 1 e escolhe‐se obviamente a função para derivar e a função constante, 1, para integrar.
Se só um dos dois factores admite uma primitiva imediata, escolhemos esse para primitivar e o outro para derivar. Por exemplo, as funções trigonométricas inversas (arcsen, arcos, arctg) e as logarítmicas não admitem uma primitiva imediata logo, devem ser escolhidas para derivar. Os polinómios devem ser escolhidos para derivar quando não é imediata a integração do outro factor.
Neste caso temos apenas uma função que não sabemos integrar, contudo esta primitiva calcula‐se usando o método de integração por partes uma vez que podemos considerar
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1
1
2
2
, .
Exercícios
1. Calcule:
a. ;
b. ;
c. ;
d. √ ;
e. ;
f. .
Pela aplicação sucessiva da regra de integração por partes, pode aparecer no segundo membro um integral igual ao que se pretende calcular. Isola‐se então esse integral e resolve‐se a equação.
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3. Integração de funções racionais
Chama‐se função racional a qualquer função da forma , onde e são
polinómios em e 0. O cálculo da primitiva de algumas funções racionais é imediato ou quase imediato. Nestes casos incluem‐se as funções cujas primitivas são funções logarítmicas ou trigonométricas inversas. Vejamos alguns exemplos.
3 1
| | , .
112
21
12
| 1| , .
11
, .
Podemos ainda ter outra situação, como por exemplo:
11
1, .
Existem no entanto outras funções racionais em que estas regras não se aplicam. Neste caso, duas situações podem acontecer:
Exemplo:
5 72 3
Exemplos:
1
3 4 42 3
I. o grau do polinómio do numerador é menor do que o grau do polinómio do denominador;
II. o grau do polinómio do numerador é maior ou igual do que o grau do polinómio do denominador.
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Quando nos encontramos na situação II, vamos simplificar a fracção racional aplicando o algoritmo da divisão aos polinómios.
A aplicação do algoritmo a divisão à nossa função racional (quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador) permite‐nos escrevê‐la como a soma de um polinómio com uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador. Por vezes esta decomposição basta para resolver o integral.
Exemplo:
Calcule
1.
A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é maior que o grau do
denominador. Vamos por isso aplicar o algoritmo da divisão.
Algoritmo da divisão
|
Assim,
11
1 1
11
1
3, .
4 1
Então
Algoritmo da divisão
.
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Vamos decompor o polinómio 2 3. Calculemos os zeros do polinómio.
Aplicando a fórmula resolvente:
Logo 2 3 1 3
2 3 0
2 2 4 1 32 1
2 √4 122
1 3.
encontra‐se na situação I, visto que ao efectuar o algoritmo da divisão o grau do
polinómio é sempre menor do que o grau do polinómio .
Exemplo: Calcule
3 4 42 3
.
Algoritmo da divisão
|
3 4 42 3
15 72 3
2
Decomposição em Fracções Parciais
A resolução do integral de uma fracção racional quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador é efectuada usando o método das fracções parciais.
Este processo consiste em separar uma dada fracção numa soma de fracções com denominadores mais simples. Para tal, temos que factorizar o denominador.
3 3 2 4 4 2 2 3 1
5 7 2 2 3
Então
Factorizar o denominador
Factorizar um polinómio é decompô‐lo num produto de polinómios de grau inferior.
Ver mais Guião 2 do M@tb.
Não é um integral imediato/quase imediato.
5 72 3
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Para obter a decomposição em fracções parciais seguimos os seguintes passos.
Exprimir o denominador como produto de factores e/ou factores irredutíveis do tipo .
Caso existam factores repetidos, agrupamo‐los de modo que se expresse como o
produto de factores diferentes da forma e/ou , onde , .
Aplicam‐se as seguintes regras:
Regra 1:
A cada factor da forma , 1, corresponde na decomposição
às seguintes de fracções parciais:
onde cada é um número real.
,
Qualquer expressão racional (tal que o grau de é inferior ao grau de ) pode
escrever‐se como soma de expressões racionais cujos denominadores envolvam potências de polinómios de grau 1 ou de grau 2 sem raízes reais, então
onde
onde , e , , onde é irredutível (polinómio de grau dois que não admite raízes reais).
A soma designa‐se por decomposição em fracções parciais de e cada
é uma fracção parcial.
Passo 1
Passo 2
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Voltando ao último exemplo, pretendemos calcular , para isso vamos escrever a
fracção como soma de fracções mais simples, utilizando o método de decomposição em
fracções parciais.
Temos que 5 71 3 1
33
1
5 71 3
3 1
1 3.
Logo 5 7 1 3
7
57 3
32.
A este método chama‐se Método dos Coeficientes Indeteteminados. Por este ser um sistema de equações lineares, pode ser resolvido pelo Método de Eliminação
de Gauss‐Jordan ou regra de Cramer. O cálculo das constantes e pode ainda ser feito tomando‐se valores de que anulem os
respectivos coeficientes, que neste caso são 1 e 3. 1. Fazendo 1 na igualdade 5 7 1 3 , temos
5 1 7 1 1 1 3
12 4124
3. 2. Fazendo 3 na igualdade 5 7 1 3 , temos
5 3 7 3 1 3 3
8 4 2.
Regra 2:
A cada factor da forma , onde n 1 e é irredutível, corresponde na
decomposição , às seguintes fracções parciais,
onde, para cada , e são números reais.
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Esta regra é compensatória quando os valores de que anulem os coeficientes não são repetidos.
Determinados A e B tem‐se 5 71 3
31
23.
Logo 5 72 3
31
23
311 2
13 3 ln| 1| 2 ln| 3| , .
Assim, voltando ao cálculo do integral da página 12, temos
3 4 4
2 3 15 72 3
2 3 ln| 1| 2 ln| 3| , .
Exemplo:
Calcule .
A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do
denominador. Então vamos exprimir o denominador como um produto de factores de grau 1 e/ou grau 2 sem raízes reais.
Factorizando o denominador escrevemos
1 .
Como o factor aparece repetido,
1 .
Neste caso, como os factores são todos da forma , aplicamos a regra 1.
0.
0 1 0
1 0 0 1 0
0 0 1
1 1
Vamos decompor o polinómio . Calculemos os zeros do polinómio.
Colocando em evidência o termo em ,
Aplicando a lei do anulamento do produto:
Logo
Passo 2
Passo 1
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Portanto, temos uma decomposição da forma
2 1 2 11 1
,
onde , e são constantes a determinar.
Para determinar essas constantes utilizamos o Método dos Coeficientes Indeterminados:
2 1
1 1
2 11
1 11
logo 2 1 1 1
2 1
201
113.
Assim
2 11
1 1 31.
Temos portanto
2 11
1 1 31
| |1
3 | 1| , .
Já estudamos os casos em que a factorização de resulta num produto de polinómios de
grau 1. Vamos agora analisar situações em que na factorização de estão presentes polinómios irredutíveis de grau 2.
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Exemplo:
Calcule .
é uma função racional, em que o grau do
polinómio numerador é menor que o grau do polinómio denominador.
Passo 1 Decompor o polinómio num produto de polinómios de grau 1 e/ou em polinómios de grau dois irredutíveis (polinómio de grau dois sem raízes reais) Agrupar os factores repetidos, se existirem.
Passo 2
Escrever a função como soma de fracções parciais (neste caso, são duas).
Determinar as incógnitas
Calcular cada uma das primitivas
1
3 11
11
3 11
11
3 11 1
3 10
31
131
3 11
1 1 31
Método dos Coeficientes Indeterminados.
Assim
3 11
1 31
| |1
311
| |12
21
3 | |12ln| 1| 3 , .
3 1 3 12 1 2 1
Regra 1 Regra 2
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Regra 1 Regra 2
Exemplo
Calcule .
A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é menor que grau do denominador.
Factorizando o denominador escrevemos
2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ,
logo
3
2 2 23
1 1 2 2 2 2 2 2.
Analisando os factores repetidos, agrupam‐se de modo a que se expresse como o produto de factores diferentes da forma e/ou , onde , logo,
3
2 2 23
1 2 2
Neste caso, temos a decomposição da forma
32 2 2 1 1 2 2 2 2
onde , 1, 2, 1, 2, 1e são constantes a determinar. Após determinar as incógnitas, temos que integrar cada uma das parcelas.
Polinómio Parcelas
1 1 1
2 2 2 2 2 2
Passo 2
Passo 1
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No cálculo de integrais de funções racionais aplicamos normalmente as seguintes regras:
, , .
| | , .
, .
Exercícios
1. Calcule:
a. ;
b. ;
c. ;
d. ;
e. .
Resumo:
Considere a função racional , com 0.
Se o grau de for maior ou igual ao grau de efectua‐se a divisão dos polinómios, aplicando‐se posteriormente, se necessário, o processo de decomposição de fracções parciais.
Se o grau de for menor ao grau de utiliza‐se, se necessário, o processo de decomposição em fracções parciais.
Processo de decomposição em fracções parciais
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4. Outras mudanças de variável
Uma das principais dificuldades na integração por substituição reside na escolha da mudança
de variável. Quando as funções a integrar têm determinadas características, podem ser utilizadas
mudanças de variável aconselhadas, como apresentamos a seguir. Muitas destas mudanças de variável produzem o integral de uma função racional.
Exemplo
Calcule √√
.
√ 1√ 2
/ 1/ 2
Como o menor múltiplo comum dos índices das raízes, 2,4 4, efectuamos a substituição:
4 .
Assim temos
√ 1√ 2
/ 1/ 2
412 4 4
2 .
/ , / , …
Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais
de expressões do tipo
deve‐se calcular o mínimo múltiplo comum entre , ….
. . , , … .
Então a mudança de variável aconselhada é
.
Após esta mudança de variável temos o integral de uma função racional.
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Algoritmo da divisão
|
42 4 2 5 10 20
40 2
4 2 5 10 20 4012
45
24
53
102
20 40ln| 2|
45
2203
20 80 160ln| 2| , .
Para voltamos à variável original, neste caso , temos que:
√
√ 1√ 1
4 √
52 √
20 √3
20 √ 80√ 160ln √ 2
4 √5
220 √
320√ 80√ 160ln √ 2 , .
5 3
240
Então
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Exemplo
Calcule√
.
Calculemos o integral indefinido
11 √1
1
1 / 1 / .
Como o menor múltiplo comum dos índices das raízes é 2,3 6, efectuamos a substituição:
1 .
Assim temos
1 6 .
1
1 1
16
6 61
.
/
,/
, …
Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais de
expressões do tipo
deve‐se calcular o mínimo múltiplo comum entre , ….
. . , , … .
Então a mudança de variável aconselhada é
.
Após esta mudança de variável temos o integral de uma função racional.
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Algoritmo da divisão
|
Voltando ao cálculo do integral:
61
6 111
6 111
62
ln| 1| , .
Para voltarmos à variável original, neste caso , temos que:
√1
11 √1
6√12 √1 ln √1 1 , .
E assim, como a função √
é contínua no intervalo 3,5 ,
11 √1
6√12 √1 ln √1 1
6√62 √6 ln √6 1 6
√42 √4 ln √4 1 .
Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais
de expressões do tipo
, , … , , …
deve‐se calcular o máximo divisor comum entre , ….
. . , , … .
Então a mudança de variável aconselhada é
.
61 6 6
6 1 6 1
11 .
Então
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Exemplo
Calcule .
Como o 1,2 1 , efectuamos a substituição: .
Assim temos .
Logo,
ln 1
.
1
1.1
1
1
11
1
| 1| | | | 1|+c
| |1
2 | 1| , .
Para voltamos à variável original, neste caso , temos que:
1| |
12 | 1|
12 | 1| , .
Recorde:
ln ,
1.
Repare que no integral não é possível
colocar em evidencia o factor e portanto não podemos substituir o por .
Nesta situação resolvemos em ordem a ,
ou seja,
e assim,
Deste modo já é possível substituir no integral
por e por .
1
1 1 .
11 1
11
1 11
1 1 1 001
111.
11
1 1 11.
11
1 1 11
| |1
| 1| , .
Calculo auxiliar
A função integranda é uma função racional cujo grau do
numerador é menor que o grau do denominador.
Neste caso, como os factores são todos da forma , aplicamos a regra 1.
Portanto, temos uma decomposição da forma
,
onde , e são constantes a determinar. Para determinar essas constantes utilizamos o Método dos Coeficientes Indeterminados:
logo
Assim
Temos portanto
Passo 1
Passo 2
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Exemplo Calcule
.
Como o 2,4 2, efectuamos a substituição:
22
. Estamos na mesma situação que no exemplo anterior, uma vez que não podemos substituir
no integral .
Assim,
2 22,
logo,
2.
2 4
22 2
2 2 2
2.
Algoritmo da divisão
|
Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais
de expressões do tipo
ln , ln , … , , …
deve‐se calcular o máximo divisor comum entre , ….
. . , , … .
Então a mudança de variável aconselhada é
.
Recorde:
21
2 2
Então
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Página 26 de 36
2
12
2
12
2
212
2 | 2 | , .
Para voltarmos à variável original, neste caso , temos que:
2 .
24
2 2 | 2 2 | , .
[PISK] Chama‐se binómio diferencial à expressão
em que , , , , , são constantes.
O integral do binómio diferencial pode ser reduzido, se , , forem números racionais, ao integral duma função racional nos
seguintes três casos:
1) é um número inteiro, isto é, ;
2) é um número inteiro;
3) é um número inteiro.
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Em qualquer um dos casos referidos, devemos proceder, inicialmente, à mudança de
variável seguinte:
dzzn
dxzx nn 111 1 , −== .
Desta resulta o seguinte:
( ) ( ) dzbzazn
dxbxax pqpnm +=+ ∫∫1
onde 11−
+=
nmq .
A segunda mudança de variável aconselhada depende do caso em nos encontramos,
assim,
1) se p é um número inteiro, e sendo q o número racional srq = , devemos efectuar a
substituição
stz = ;
2) se n
m 1+ é um número inteiro e sendo p o número racional
μλ
=p , devemos
efectuar a substituição
μtbza =+ ;
3) se pn
m+
+1 é um número inteiro, isto é, pq + é inteiro, façamos primeiro a
seguinte modificação
( ) dzzbzazdzbzaz
ppqpq ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+ ∫∫ + ,
e, de seguida, consideremos a substituição
μtzbza
=+
(μλ
=p ).
Exemplo 1
Calcule .
11
; 1; 3
1ª mudança de variável
, logo
Como , mas 0 ,
encontramo‐nos no 2º caso.
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( )
( )
( )
( ) ( )
( ) Cxxxx
Ctttt
Ctttt
dttt
t
dttt
t
dtt
t
tdttt
dzzz
dzzzz
dxxx
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
−++++
+=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
++=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−++=
+−
+−
++=
+−++=
−=
−=
+=
+=
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−−
−
1111ln
211
31
32
11ln
21
332
1ln211ln
21
332
121
1211
32
)1)(1(11
32
132
2131
131
311
1
3
33
3
3
3
2
2
2
4
212 v.m. ª2
23
1
32 v.m. ª1
31
23
23
23
31
23
Exemplo 2
Calcule √
.
√11
Note que 12
4
−tt
é uma função racional à variável
Algoritmo da divisão
11
1 1
2
2
224
24
+−
++−
−
tt
tttt|t
Decompondo em fracções simples….
21 e
21
)1()1(111)1)(1(
1
−==⇒
−++=⇒+
+−
=+−
BA
tBtAt
Bt
Att
Para voltar à variável :
311 xzt +=+=
; 2; 2
1ª mudança de variável
, logo
Como , , mas
0 , encontramo‐nos no 3º
caso.
1 2ª mudança de variável
‐1, logo 2
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( )
( )
( )
( )
( ) ( )
C
xx
xx
xx
Cttt
Cttt
dttt
dttt
dtt
t
dtt
ttt
dzz
zz
dzz
zzz
dzzz
dzzzz
dxxx
+
++
−+
−+
−=
++−
−−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−+−=
+−
+−
+−=
+−+−=
−−=
−
−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
+=
+=
+=
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−−
−−
11
11
ln211
11ln
21
1ln211ln
21
121
1211
)1)(1(11
1
121
21
121
121
121
211
1
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2 v.m. ª2
21
1
21
21
21
23
21
23
21
21
1 v.m. ª1
21
22
1
Note que 12
2
−tt
é uma função racional à variável
Algoritmo da divisão
1 1 1
1 2
22
+−
−
tt|t
Decompondo em fracções simples….
21 e
21
)1()1(111)1)(1(
1
−==⇒
−++=⇒+
+−
=+−
BA
tBtAt
Bt
Att
Para voltar à variável :
2
211x
xz
zt +=
+=
1
1 1 1 1
1 2
2ª mudança de variável (após a modificação efectuada)
Logo,
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Na tabela seguinte temos um resumo de cada uma das mudanças de variável anteriores.
Expressão Substituição a efectuar Cálculo do integral Para voltar à variável inicial
·
| | 1 ·
Simplificar usando a relação trigonométrica
1
·
| | 1 ·
Simplificar usando a relação trigonométrica
1
·
| | 1 ·
Simplificar usando a relação trigonométrica
1
Para calcular o integral de funções que envolvem expressões radicais do tipo
Efectuamos respectivamente a mudança de variável (substituição trigonométrica)
, .
Estas mudanças de variável também se aplicam se no lugar de estiver uma função linear
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Exemplo
Calcule √9 .
1. Função irracional quadrática incompleta da forma √ . Substituição: 3 3 cos .
2. Substituindo, integra‐se a função obtida em ordem à nova variável .
9 9 3 · 3 cos 9 9 · 3 cos
9 1 · 3 cos 3 3 √ · cos
9 · cos 9 9
92
194
2 292
94
292
942
92
92
, .
3. Como . No nosso caso
• 3 , ,
3,
2,2
• Para calcular cos usamos a relação trigonométrica
1
1 1
1
1 , ,
1 √
1 22
9
Substituindo
Como , , estamos no 1º ou 4º
quadrante onde o cosseno é positivo.
3
√93
Em alternativa, repare que:
se tivermos o triângulo rectângulo, em que um dos ângulos tem amplitude , o cateto oposto a esse ângulo mede e a hipotenusa do triângulo mede 3, temos, pelo Teorema de Pitágoras, que o
cateto adjacente ao ângulo é igual a √9 .
Temos então que
e que
9
3
Cateto adjacente
Cateto oposto
Hipotenusa
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Assim
9 92 3
92 3
√93
92 3
√99
, .
Exemplo
Calcule √
.
Comecemos por transformar 3 2 numa diferença de quadrados. Como o coeficiente de é negativo, teremos que colocá‐lo em evidência e seguir o processo descrito ao lado para transformar 3 2 na diferença , em que é uma função linear de .
3 2 3 2
3 2
3
4 1
2 1
Seja 1 e 2. Como 1, temos
e 2 3 e portanto,
2√3 2
1 24 1
3√2
√23
1√2
12
2 4 31
√2
12 4
12 1
3 2
4 3 2
, .
2 4 .
Passos:
1. Identificar .
2. Considerar . 3. Somar e subtrair a
o valor obtido no passo
anterior, ou seja, . 4. Escrever na forma
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Para voltamos à variável original, neste caso , temos que:
2√3 2
4 1 31
2
3 2 31
2, .
Na tabela seguinte temos um resumo da mudança de variável anterior.
Expressão Substituição a efectuar Utilizar Para voltar à variável inicial
2 2
21
2 21 2
21 2
2 2
21
1 21 2
11
2
Exemplo:
Calcule o integral .
1. É uma função que envolve funções trigonométricas.
2. Comecemos por fazer a mudança de variável.
Tal como referido anteriormente:
22
1, cos
11
e 2
1dt.
Qualquer função trigonométrica , , , … pode exprimir‐se à custa
das funções e .
Para calcular o integral de funções que envolvam a funções e ,
efectuamos a mudança de variável
.
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Calculando o integral por mudança de variável:
11
1 21
1 11
2
1
1 21
1 11
2
1
2 11
11
21
12
1
1 2
1
| 1| , .
Para voltamos à variável original, neste caso , temos que:
2
11 2 2
1
2 2, .
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Exercícios
1. Calcule:
a. √ √
√ ;
b. √
;
c.
√ ;
d. √
;
e.
;
f. √7 5 ;
g. ; (Sugestão: Faça 1.)
h. ;
i. ( ) dxxx∫ +3 235 1 ;
j. ( )∫+ 2
322 1 xx
dx;
k. ∫⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+14
143
xx
dx;
l. dxx
x∫
+3 41.
2. Num certo subúrbio de uma metrópole, a concentração de Ozono no ar, , é de 0, 25 partes por milhão ( ) às 7 . De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de Ozono t horas mais tarde varia à razão de
0,24 0,03√36 16
/
Determine a função que devolve a concentração de Ozono horas após as sete da manhã.
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Bibliografia [LH] Larson, R., Hostetler, R. e Edwards, B., Cálculo, Mc Graw Hill, 2006.
[ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.2, Projecto Euclides, Nona Edição, 1999.
[CUV] Malta I., Pesco, S., Lopes,H.; Cálculo a uma variável, Vol. II, Derivada e Integral; Editora PUC Rio, 2002.
[CGA] Swokowski; Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1 , Makron Books, 1991. [MA] Harshbarger, R. J. , Reynolds, J. J. , Matemática Aplicada – Administração, Economia e Ciencias Sociais e Biológicas, Mc Graw Hill, 2006.
[PISK] Piskounov, N. ; Cálculo Diferencial e Integral, Vol. I e Vol. II, Ed. Lopes da Silva,
18ª edição.