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IntroduccionPrimitivas

Problema del areaIntegrales de Riemann

Teorema fundamental del CalculoAplicaciones de la integracion

Integracion indefinida y definida. Aplicaciones de laintegral: valor medio de una funcion continua.

Juan Ruiz 1 Marcos Marva1

1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Biologıa)

Juan Ruiz, Marcos Marva Matematicas (Grado en Biologıa)




Contenidos

1 Introduccion

2 Primitivas

3 Problema del area

4 Integrales de RiemannInterpretacion geometrica de las integrales definidas

5 Teorema fundamental del Calculo

6 Aplicaciones de la integracion





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1 Introduccion

2 Primitivas

3 Problema del area








Introduccion: Ecuaciones diferenciales

En temas anteriores hemos estudiado expresiones del tipo:

dy

dx= f (x)

Este tipo de expresiones se denominan ecuaciones diferenciales.Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario encontrarfunciones y que cumplan que y ′ = f (x). Si es posible encontrardicha funcion, entonces existe una familia completa de funcionescon esta propiedad. Todas ellas estaran relacionadas por unatraslacion vertical.





Introduccion: Ecuaciones diferenciales

Para seleccionar una de estas funciones, sera necesario especificaruna condicion inicial, que consiste en un punto (x0, y0) de lagrafica de la funcion. Esta funcion seleccionada, se denominarasolucion del problema de valor inicial.

dy

dx= f (x), con y = y0 cuando x = x0

.





Introduccion: Primitivas

Definicion

Una funcion F se denomina primitiva de f en un intervalo l siF ′(x) = f (x) para ∀x ∈ l .

Corolario

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en elintervalo abierto (a, b), con f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b),entonces f (x) es constante en [a, b].





Introduccion: Primitivas

Corolario

Si F (x) y G (x) son primitivas de la funcion continua f (x) en unintervalo I , entonces existe una constante C , tal que

G (x) = F (x) + C , ∀x ∈ I





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3 Problema del area








Pequena coleccion de primitivas

Funcion Primitiva

kf (x) kF (x)f (x) + g(x) F (x) + G (x)xn, n 6= −1 1

n+1xn+1

1x ln|x |eax eax

asin(ax) −1

a cos(ax)cos(ax) 1

a sin(ax)





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2 Primitivas

3 Problema del area








Sumas finitas

Definicion

Sean a1, a2, ..., an numeros reales y n un numero entero positivo.Entonces,

n∑k=1

ak = a1 + a2 + ... + an

Propiedades

1 Regla del valor constante:∑n

k=1 1 = n.

2 Regla de la constante multiplicativa:∑nk=1 c · ak = c ·

∑nk=1 ak , siendo c una constante que no

depende de k .

3 Regla de la suma:∑n

k=1(ak + bk) =∑n

k=1 bk +∑n

k=1 ak





Interpretacion geometrica de las integrales definidas

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Integral definida

Definicion

Sea P = [x0, x1, x2, ..., xn], n = 1, 2, 3, ... una secuencia departiciones de [a, b] con ||P|| → 0. Sea ∆xk = xk − xk−1 yck ∈ [xk−1, xk ]. La integral indefinida de f entre a y b es,∫ b

af (x)dx = lım

||P||→0

n∑k=1

f (ck)∆xk

Si el lımite existe, en cuyo caso se dice que f es integrable (en elsentido de Riemann), en el intervalo [a, b].






Integral definida

Teorema

Todas las funciones continuas son integrables en el sentido deRiemann. Es decir, si f (x) es continua en [a, b], entonces∫ b

af (x)dx

existe.







Observaciones

Si f es integrable en [a, b] y f (x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ ba f (x)dx = el area de la region entre la grafica de f y el ejex desde a hasta b.

Si f es integrable en [a, b], entonces∫ ba f (x)dx = [area por

encima del eje x ]-[area por debajo del eje x ].






Propiedades de la integral de Riemann

Si asumimos que f es integrable en el intervalo [a, b]. Entonces,

Propiedades∫ aa f (x)dx = 0 y∫ ab f (x)dx = −

∫ ba f (x)dx







Propiedades

Asumamos que f y g son integrales en el intervalo [a, b]

Si k es una constante, entonces∫ b

akf (x)dx = k

∫ b

af (x)dx

∫ ba [f (x) + g(x)]dx =

∫ ba f (x)dx +

∫ ba g(x)dx

Si f es integrable en un intervalo que contiene los tresnumeros a, b y c , entonces∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx







Propiedades

Asumamos que f y g son integrales en el intervalo [a, b]

Si f (x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ ba f (x)dx ≥ 0.

Si f (x) ≤ g(x) en [a, b], entonces∫ ba f (x)dx ≤

∫ ba g(x)dx .

Si m ≤ f (x) ≤ M en [a, b], entonces

m(b − a) ≤∫ b

af (x)dx ≤ M(b − a)





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Teorema fundamental del Calculo I

Teorema

Si f es continua en el intervalo [a, b], entonces la funcion Fdefinida como

F (x) =

∫ x

af (u)du, a ≤ x ≤ b

Es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y se cumple que

d

dxF (x) = f (x)





Teorema fundamental del Calculo II

Regla de Barrow

Supongamos que f es una funcion continua en el intervalo [a, b],entonces ∫ b

af (x)dx = F (b)− F (a)

Siendo F (x) una primitiva de f (x), es decir F ′(x) = f (x).





Regla de Leibniz

Regla de Leibniz

Si g(x) y h(x) son funciones derivables y f (u) es continua, con uentre g(x) y h(x), entonces

d

dx

∫ h(x)

g(x)f (u)du = f [h(x)]h′(x)− f [g(x)]g ′(x)





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Calculo de areas

Si f (x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo [a, b] conf (x) > g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces el area de la regioncomprendida entre las curvas y = f (x) e y = g(x) desde a hasta bes igual aArea=

∫ ba [f (x)− g(x)]dx





Cambio acumulativo

Consideremos una poblacion cuya dinamica de credimiento vienedada por el problema de valor inicial

dN

dt= f (t), con N(0) = N0,

de donde podemos decir que

N(t) =

∫ t

0f (u)du + C .

Resolviendo el problema de valor inicial, obtenemos

N(t)− N(0) =

∫ t

0

dN

dudu,

que podemos interpretar como el cambio acumulativo o neto deltamano de la poblacion entre 0 y t.





Valor Medio

Supongamos que f (x) es una funcion continua en el intervalo[a, b]. El valor medio de f en el intervalo [a, b] es

VM(f ) =1

b − a

∫ b

af (x)dx

Teorema del Valor medio para integrales definidas

Sea f (x) una funcion continua en el intervalo [a, b]. Existe unnumero c ∈ [a, b], tal que

f (c)(b − a) =

∫ b

af (x)dx





Claudia Neuhaser. Matematicas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall.


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