Integración por sustitución

Este método sirve para resolver integrales sencillas que no se encuentran en las tablas de

integrales. La integración por sustitución se basa en la regla de la cadena, y constituye un método

aplicable a la resolución de muchas integrales complicadas.

Por ejemplo, calcule . Una vía sería desarrollar el binomio y obtener los 31

términos, para después integrar término a término. Este sería un camino muy largo y complicado.

Observe esta otra forma: considere la expresión x2 + 5, una nueva variable y llámela u. Esto es: u =

x2 + 5. Derívela y se tiene du = 2xdx. Compare con la integral dada y sustituya las expresiones por su

igual:

= .

Aplique ahora la regla correspondiente y la integral será I = . Devuelva el cambio y se

obtiene I = . Si se deriva esa expresión, por regla de la cadena se tendrá (x2 + 5)302xdx, que

era la expresión original.

La regla es, entonces:

, u = g(x).

El cuidado a tener es, que en algunos casos hay que incorporar una constante para ajustar la

derivado, cosa que generalmente se hace multiplicando y dividiendo por el mismo número.

Generalmente debe llevarse la cantidad subintegral a una de las fórmulas de la tabla haciendo un

cambio de variable. Esto implica que hay que cambiar el diferencial por el diferencial de la nueva

variable. La integral que se obtiene aparecerá en la tabla. Se resuelve y se devuelve el cambio. Se

verifica el resultado derivando respecto a la variable original, de acuerdo con la regla de la cadena. Se

ilustrará con otro ejemplo.

Sea . Esta integral no aparece en la tabla. Si se hace el cambio siguiente: z = 3x +

1, se tendrá que dz = 3dx, lo cual significa que . La nueva integral es

.

Ejercicios

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