integrais indefinidas. sistema de exercícios resolvidos e...
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Integrais Indefinidas. Sistema de exercícios resolvidos e propostos.
AUTORES:
Bartolomeu Chindumbo Delfino, Lic., Instituto Superior de Ciências da
Educação do Huambo – Angola - Doutorando em Ciências Pedagógicas na
Universidade Henriques José Varona. [email protected]
Euclides Faustino da Costa Fernando, Lic. Instituto Superior de Ciências da
Educação do Huambo – Angola.
RESUMO:
Através da aplicação de diferentes instrumentos de investigação, se constatou
que existem insuficiências por partes dos estudantes do 1º Ano do Instituto
Superior de Ciências de Educação (ISCED) no Huambo - Angola, na cadeira
de Análise Matemática II no tema integrais indefinidas, especificamente em
conteúdos ligados a procedimentos de calculo de integrais indefinidas, seus
métodos de resolução. Com o intuito de superar essas dificuldades, elaborou –
se a presente obra com sugestões metodológicas e variados exemplos
ilustrativos. Essas orientações servirão de consulta para professores e alunos,
e contribuirá na minimização das dificuldades na resolução do problema
diagnosticado.
Palavras - chaves: Integrais indefinidas, habilidades matemáticas, ensino
e aprendizagem.
Introdução:
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Ensinar Matemática é uma problemática actual em todos os países. O impacto
das Tecnologias de Informação e comunicações (TIC) o ensino em geral e em
particular da Matemática, com a necessidade de empregar esta ciência para o
desenvolvimento do pensamento lógico, um raciocínio de capacidade e uma
dinâmica de compreensão da realidade objectiva, obrigam um aperfeiçoar
cada vez mais rápido dos métodos e procedimentos de ensino da Matemática,
de maneira que se obtenha uma formação de um profissional com uma alta
capacidade de adaptabilidade e habilidades para " aprender a aprender ".
(BALLESTER, 1995).
Para elevar à qualidade do Processo de Ensino – Aprendizagem da
Matemática, requer - se abordar a problemática desde duas direções principais:
Primeiro a investigação educativa e, segundo, a capacitação dos professores.
Segundo Ballester (1995), a aprendizagem da Matemática não se diferencia de
outros tipos de aprendizagem. Como sabemos, ao ensinar devemos partir do
simples ao complexo. Nas últimas décadas, a Didática geral e em particular a
Didática da Matemática, viria ser influenciada em diferentes partes do mundo,
por tendências muito avançadas nas que se advoga que os alunos assumam o
papel de protagonismo no processo de Ensino-Aprendizagem, que obtenham
maior independência cognitiva, que tenham capacidade de utilizar
correctamente os métodos indutivos e dedutivos da lógica, para o
desenvolvimento integral de sua personalidade.
Segundo a Lei de bases do sistema de educação (2001), “ a educação
constitui um processo que visa preparar o indivíduo para as exigências da vida
política, económica e social do país e que se desenvolve na convivência
humana, no círculo familiar, nas relações de trabalho, nas instituições de
investigação científico - técnica, nos órgãos de comunicação social, nas
organizações comunitárias, organizações filantrópicas e religiosas e através
de manifestações culturais e gimno - desportivas”.
Relativamente ao subsistema de formação de professores a lei de bases
estabelece como objectivos:
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Formar professores com o perfil necessário à materialização integral
dos objectivos gerais da educação;
Formar professores com sólidos conhecimentos científico-técnicos e
uma profunda consciência patriótica de modo a que assumam com
responsabilidade a tarefa de educar as novas gerações;
Desenvolver acções de permanente actualização e aperfeiçoamento
dos agentes de educação.
A necessidade de melhorar constantemente a qualidade do processo de
ensino-aprendizagem, permite a que os profissionais que diariamente intervêm
ou actuam nesta esfera da actividade humana possam, portanto, depreender o
modo como o mesmo se efectiva, o contexto sobre o qual se está a realizar,
as dificuldades ou situações problemáticas que daí advêm, as vantagens ou
desvantagens da forma como se conduz este processo, para então traçar
estratégias ou investigar formas cada vez mais eficazes de o realizar, no
sentido de proporcionar ao estudante uma formação com elevado grau de
qualidade.
No currículo de Ensino da Matemática, no Instituto Superior de Ciências de
Educação do Huambo (ISCED – Huambo), destaca-se de entre as várias
disciplinas, a Análise Matemática II, sendo ministrada no 2º semestre do 1º
ano.
Entre as temáticas que constam do programa da disciplina Análise Matemática
II, considera-se neste caso as integrais indefinidas, que na perspectiva dos
autores desta obra, o conteúdo das integrais indefinidas é pertinente uma vez
que, favorece, de forma considerável, a construção de um raciocínio
fundamentado em princípios lógicos, assim como de maneira muito particular,
no desenvolvimento de habilidades e hábitos, facto que possibilita ao
estudante uma melhor abordagem das situações sob as quais é submetido,
tanto num ambiente escolar ou fora deste.
Tendo em conta estes elementos, resultaria de grande importância, incidir no
processo de formação e no desenvolvimento dos procedimentos lógico através
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do tratamento dos conteúdos matemáticos previstos como parte do currículo
nas diferentes cadeiras, por sua vez resultará no desenvolvimento de um
pensamento superior. Entre tanto para, alcançar estes objectivos se precisa
transformar a concepção da aprendizagem daquelas disciplinas científicas que
têm um peso no desenvolvimento de habilidades. Entre estas se destaca a
Matemática.
Em investigações realizadas, pode-se comprovar que face aos esforços dos
professores, ainda é insuficiente a existência de materiais que do ponto de
vista didático, possibilitem aos estudantes de maneira independente o
desenvolvimento de habilidades de cálculo, específicamente no tema cálculo
de integrais indefinidas. Os elementos expostos permitem apresentar o
seguinte problema cientifico da investigação:
Problema científico:
Como contribuir para desenvolver habilidades de cálculo na temática integrais
indefinidas aos estudantes do primeiro ano do curso de matemática do ISCED -
HUAMBO?
Objecto de estudo:
Processo de Ensino - Aprendizagem da disciplina Análise Matemática II do
primeiro ano do curso de Matemática do ISCED-HUAMBO.
Campo de acção:
Desenvolvimento de habilidades de cálculo na temática integrais indefinidas.
Objectivo Geral:
Propor um guia de estudo que contribua para o densevolvimento de
habilidades de cálculo na temática integrais indefinidas aos estudantes do
primeiro ano do curso de matemática do ISCED-HUAMBO.
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Objectivos Específicos:
→ Sistematizar os fundamentos teóricos que sustentam a investigação,
fazendo um estudo das diferentes fontes bibliográficas.
→ Diagnosticar o estado actual em que se encontra o Processo de Ensino-
Aprendizagem das integrais indefinidas.
→ Elaborar um guia de estudo com exercícios resolvidos e propostos de
integrais indefinidas.
Ideia a defender:
O emprego de um guia de estudo com o tratamento das integrais indefinidas
pode contribuir para o desenvolvimento de habilidades de cálculo neste tema
aos estudantes do primeiro ano do curso de matemática do ISCED - HUAMBO.
Métodos Científicos a empregar na investigação são:
Métodos Teóricos:
▪ Análise e Síntese: Para fundamentar teoricamente o objecto de estudo da
investigação através do estudo das diferentes fontes bibliográficas consultadas.
▪ Histórico-Lógico: Para uma breve abordagem sobre o tratamento das
integrais ao longo dos tempos.
▪ Indução e Dedução: Para lógica dos conhecimentos da Matemática, em
particular no tema de integrais indefinidas que permitirá a selecção lógica dos
exercícios para a elaboração de um guia de estudo tendo em conta o nível
cognitivo dos alunos e o grau de complexidade dos exercícios.
Métodos Empíricos:
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▪ Inquérito: Para o diagnóstico do estado actual do objecto de investigação, o
estudo da documentação, de planos e programas de estudo, e o nível de
preparação dos alunos no tema de integrais indefinidas.
▪ Análise documental: Este método permite revisar o programa de estudo,
plano curricular, material didático da Análise Matemática.
A Estatística como um instrumento, permitirá fazer a análise e interpretação
de dados, determinação da amostra dos resultados da investigação através de
tabelas e ilustrações gráficas.
População e amostra: A população em estudo são os estudantes do segundo
e terceiro ano, de Matemática do ISCED-Huambo, tendo-se como universo,
106 estudantes todos do período regular e uma amostra de 78 alunos para
73.58% do universo, sendo 48 estudantes do segundo ano e 30 do terceiro
ano.
Modelo e Tipo de Investigação
Tipo de Investigação: trabalhou-se com o tipo de investigação Descritiva,
que observa, regista, analisa os factos ou fenómenos sem manipula-los
utilizando tabelas e gráficos estatísticos,
Modelo de Investigação: Utilizou-se o modelo quantitavo – qualitativo que
permitiu partindo de dados quantitativos, dar critérios qualitativos do objecto em
estudo.
Tipo de Amostragem: O tipo de amostragem foi probabilístico .
Contributo do trabalho: Um guia de estudo que contribua para o
desenvolvimento de habilidades de cálculo na temática integrais indefinidas,
aos estudantes do primeiro ano do curso de matemática no ISCED - HUAMBO.
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CAPÍTULO 1. Fundamentação Teórica.
Neste capítulo se expõem as principais teorias relacionadas com o tema de
investigação que sustentam os elementos fundamentais para a elaboração da
proposta, assim temos os fundamentos relacionados com o guia de estudo
para o desenvolvimento de habilidades de calcular integrais indefinidas.
1.1.O Cálculo Integral: alguns factos históricos.
Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as
integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos
enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar
suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de
figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a
figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que
tivesse área igual à da figura em questão.
A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo
de determinar áreas.
Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas,
como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. Hipócrates de
Chios, 440 a.C., realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por
volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma
sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado,
depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia,
entretanto, um problema: essa sequência nunca poderia ser concluída. Apesar
disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.
Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa
das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225
a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.
Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada
por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma
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altura e que tem a corda como base. Esse cálculo pode ser encontrado no livro
do Simmons, volume 2.
Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu
provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a
dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo
conhecido de soma infinita que foi resolvido. Outra contribuição de Arquimedes
foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo,
obtendo uma das primeiras aproximações para o número π.
Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o
volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da
superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um
parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em
seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de
parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para
"escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior,
nem menor, tinha que ser igual.
Entre tanto Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que
encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de
Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este
que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular
volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou
os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região
bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes,
Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma
desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.
Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento
do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida,
Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idéia de
Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri
pensou na área
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como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele
mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos:
.
Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado
por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis
desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar
diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho
de Euler dobre a função gamma.
Pierre Fermat por sua vês desenvolveu uma técnica para achar a área sob
cada uma das, então chamadas, "parábolas maiores": curvas do tipo ,
onde é constante e n=2,3,4, etc. Empregou então uma série geométrica
para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo , onde e
n=-2,-3,-4,etc. Por volta de 1640, a fórmula geral da integral das parábolas
maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.
O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo.
Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com
velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação
inversa, partindo da velocidade, levava à distância. A partir desse problema
envolvendo movimento, a idéia de operação inversa da derivada desenvolveu-
se naturalmente e a idéia de que a integral e a derivada eram processos
inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado
formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em
direção a esse resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma
direção, formulou o teorema.
Isaac Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do
movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos
antes de Leibniz. Ele desenvolveu os métodos das fluxions - derivação - e
fluents - integração - e utilizou-os na construção da mecânica clássica. Para
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Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion
considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com
efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a
aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.
Diferente anotações
•Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em
questão, por exemplo, a integral de y era representada por `y.
•Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de
uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's'
longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma
figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas
ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em
meu cálculo a área da figura por ".
Ambos matemáticos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente,
entretanto Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais
como analítico.
Leibiniz acreditava que a notação era de fundamental importância e, de facto, a
sua notação foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar,
sendo utilizada até os dias de hoje, mantendo exatamente a mesma forma.
Newton escrevia para si próprio e não foi feliz em encontrar uma notação
consistente.
Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684 e
em 1686 sob o nome Calculus Summatorius . O nome Cálculo Integral foi
criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais
velho Jacques Bernoulli em 1690.
Principalmente como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo de
Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na
mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann
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Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções
racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas idéias foram
resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.
Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de
funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e
Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então
desenvolvido e criou os fundamentos da Análise.
Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do
conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de
Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina,
Química, por exemplo.
1.2. O ensino da Matemática e sua importância no desenvolvimento de
habilidades.
A Matemática é uma disciplina com características muito próprias. Para estudar
Matemática é necessário uma atitude especial, assim como para o ensino não
basta conhecer, é necessário criar. Com efeito, a Matemática utiliza-se
praticamente em todas as áreas: na Economia, na Informática, na Mecânica,
na Análise Financeira, entre tantas outras. Porque na nossa sociedade as
ciências e as técnicas evoluem de forma vertiginosa, a crescente complexidade
dos conceitos teóricos, dado o progresso das tecnologias, cria a necessidade
de uma Matemática cada vez mais forte. Donde, a ciência Matemática é
ensinada nos nossos dias em quase todo o mundo civilizado. A principal
questão que se levanta é: Como ensinar a Matemática?
A Matemática é, sem dúvida, uma das ciências que melhor permite analisar o
trabalho da mente e desenvolver um raciocínio aplicável ao estudo de qualquer
assunto ou temática. Contudo, talvez porque foram criados hábitos mentais de
que dificilmente nos conseguimos libertar, muitas são as dificuldades que os
jovens encontram no seu estudo. Pensamos que as principais dificuldades
devem-se ao facto de, no 1º ciclo, não ser devidamente explicitada a relação
entre os conteúdos temáticos e a realidade das crianças.
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Acreditamos que ensinar Matemática sem explicitar a origem e as finalidades
dos conceitos é contribuir para o insucesso escolar. Sendo um dos objectivos
fundamentais da educação criar no aluno competências, hábitos e
automatismos úteis, bem como desenvolver capacidades, urge implementar
uma moderna educação Matemática, a qual está relacionada com programas e
métodos de ensino - o professor deve saber o que está a ensinar, o modo
como o faz e o porquê do que ensina.
A Matemática como ciência, é a base de outras ciências e, portanto, o carácter
básico e ferramentas de outras que lhe confere um papel em quase todas as
esferas de trabalho na área científica, o desenvolvimento económico e social.
Entre suas virtudes, a contribuição inegável para desenvolver todas as
habilidades de raciocínio, seu poder explicativo, o seu poder como um meio de
comunicação matemática e o prazer inerente da criação matemática.
Para o desenvolvimento de habilidades matemáticas se precisa então segundo
Sampedro, R (2011), "facilitar ao estudante os recursos necessários e os
materiais didáticos que lhe favoreçam a sua auto aprendizagem, estes podem
estar elaborados pelos docentes, pela equipe de docentes ou inclusive pelos
próprios estudantes". ¨
1.3. As habilidades Matemáticas
Na literatura especializada aparecem distintas definições de habilidades,
correspondente a diferentes autores neste trabalho analisaremos as brindadas
por: Krutetskii (1976); Gardner, H (1983); V. Petrovsky (1985); A. Danilov
(1987); Ballester (1995), H. Fuentes (1998); E. Machado e N. Montes (2004).
Habilidades, segundo Krutetskii (1976), “são características psicológicas
individuais de um sujeito, que favorecem um domínio rápido e fácil de uma
determinada atividade (por exemplo, uma atividade matemática)”. Essa
habilidade matemática pode apresentar-se em diferentes níveis de atividade:
como uma habilidade criativa independente (científica), onde o sujeito é capaz
de produzir descobertas matemáticas de grande importância para humanidade
ou como uma habilidade escolar, onde o sujeito tem facilidade na
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aprendizagem e domínio das atividades propostas na disciplina ou em um
curso de matemática.
Tomando como pressupostos os estudos de Krutetskii, é possível afirmar que
as habilidades matemáticas são características psicológicas específicas e
complexas, sendo que existe uma estrutura de componentes básicos das
habilidades matemáticas. Esses componentes combinam-se de diversas
maneiras possíveis, formando diferentes habilidades matemáticas.
De acordo com a classificação de H.Gardner (1983), a habilidade matemática é
um tipo de inteligência formal que emprega correctamente o pensamento
lógico.
O psicólogo V. Petrovsky (1985) diz-nos que: “[…] é o domínio de um complexo
sistema de ações psíquicas e práticas, necessárias para uma regulação
racional da atividade, com ajuda dos conhecimentos e hábitos que a pessoa
possui”. Nesta definição se demonstra que, do plano psicológico, as
habilidades estão integradas por ações tão teóricas como práticas, as que
realiza o sujeito em interação com os objetos através da atividade; atende-se
também o aspecto da racionalidade contido no conceito, o que é positivo;
entretanto se reduz o domínio das ações aos conhecimentos e hábitos que se
possui, o que resulta insuficiente. Neste sentido, a atividade que realiza um
sujeito responde a suas intenções: objetivos e necessidades, em
correspondência com a definição de atividade de N. Leontiev (1981).
Para o A. Danilov (1987) a habilidade é “[...] um complexo pedagógico
extraordinariamente complexo e amplo, é a capacidade adquirida pelo homem
de utilizar criadoramente seus conhecimentos e hábitos, tanto durante o
processo de atividade teórica como prática”. Nesta definição o autor reduz a
habilidade a um ponto de vista exclusivamente pedagógico, evitando o
componente psicológico da mesma, o qual está determinado pelo facto de que
as habilidades estão concebidas no sistema de categorias psicológicas, além,
disso equipasse o conceito de habilidade a uma capacidade.
Para Ballester, S (1995). As habilidades matemáticas são definidas como “um
complexo formado por conhecimentos específicos, sistemas de operações e
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conhecimentos e operações lógicas”. Pelo que se consideram três
componentes fundamentais: os conhecimentos matemáticos, os sistemas de
operações de carácter matemático e os conhecimentos e operações lógicas.
Para o autor H, Fuentes (1998), "[...] é o modo de interação do sujeito com os
objetos ou sujeitos na atividade e comunicação, é o conteúdo das ações que o
sujeito realiza, integrada por um conjunto de operações, que têm um objetivo e
que se assimilam no próprio processo".
De uma perspectiva didática E. Machado e N. Montes (2004). Expõem que
habilidade “[...] é o componente do conteúdo que caracteriza as ações que o
estudante realiza ao interactuar com o propósito de estudo: o conhecimento,
[...] as habilidades se formam, desenvolvem e manifestam na atividade e a
comunicação como resultado da interação contínua entre as condições internas
do indivíduo e as condições de vida externas, sendo a interação social com os
outros (professores, alunos, pais, etc.) de vital importância para seu
desenvolvimento”. Neste caso é importante assinalar que nem todas as ações
dominadas pelo sujeito constituem habilidade, a não ser aquelas que são
dominadas de maneira consciente.
Principais habilidades utilizadas em matemática:
Calcular, Resolver, Demonstrar, Graficar, Esboçar, Caracterizar, Observar
Analisar, Sintetizar, Comparar, Identificar, Classificar, Inferir.
Para a realização deste trabalho, o autor, decidiu utilizar como referencia as
definições oferecida pelos autores Machado, Ballester(1995) e Fuentes (1998),
Assumem-se estas definições pela generalização que resulta, ao brindarem a
possibilidade de serem aplicadas às habilidades que são necessárias para
resolver exercícios e problemas matemáticos, as que se consideram dentro das
principais habilidades utilizadas em matemáticas.
Portanto para contribuir para o desenvolvimiento de habilidades matemáticas
nos estudantes e específicamente as habilidades de calculo na temática
integrais indefinidas, é necessário por parte dos professores propor exercícios
previamente selecionados, que tributem a este objetivo. A proposta de um guia
de estudo é um elemento essencial que facilitará o desenvolvimento desta
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habilidade nos estudantes.
1.4. Elementos que caracterizam o guia de estudo
O guia de estudo constitui um elemento primitivo, é responsavel de oferecer
pautas ao estudante como orientar-se na aprendizagem dos conteúdos das
disciplinas. Sua função essencial é a de facilitar a aprendizagem independente.
Deve-se ter em conta que um guia é sozinho por isso: guia, quer dizer, é o que
nos assessora, aconselha, conduz, etc., é um elemento mediador na
aprendizagem.
O guia têm que ser flexível, estimulante, de maneiras a conduzir ao aluno para
que elabore suas próprias estratégias de aprendizagem, segundo o seu
desenvolvimento cognitivo, necessidades e interesses.
Um guia de estudo é uma ferramenta que é usada para reforçar e aumentar a
sua compreensão de informações, visando se preparar para uma avaliação.
Estudantes, professores e aqueles que possuem formação para um campo
novo da carreira são frequentemente confrontados com a tarefa de criar guias
de estudo. Seja qual for o seu propósito, você pode seguir estas instruções
para saber como criá-los.
Alguns aspectos a ter em conta para elaborar um guia de estudo são:
1. Elabora - se por temas, seguindo uma sequência estrutural coerente.
2. Apresentar os materiais que devem estudar-se e as actividades a realizar,
seguindo a lógica da ciência em questão e considerando os princípios da
acessibilidade, a sistematização e a unidade teórico-prática, abstracto-
concreto.
3. Atender os conhecimentos, procedimentos e atitude de forma individual.
4. O guia tem que constituir um documento que facilite o auto desenvolvimento
do estudante, para o qual há desprover-se de toda rigidez. Daí que se incluam
tarefas docentes de carácter obrigatório e opcional.
5. As tarefas têm que desenhar-se de maneira tal que, permitam desenvolver
nos estudantes a autonomia na aprendizagem.
6. As tarefas docentes que se proponhan tem que activar o conhecimento.
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7. Propiciar e estimular a investigação.
A seguir se oferece uma proposta de estrutura para elaborar um guia.
Assunto ou temática: Deverá ser o mais informativo e conciso possível.
Objectivos: expor-se o sistema de objectivos que se persegue com o guia.
Não se recomenda que seja um só objectivo com um carácter muito
monopolista, pois pode perder o sentido do que se aspira e pela mesma razão
não devem aparecer muitos objectivos.
Requisitos prévios: Aqui se precisarão quão conteúdo é necessário que
domine o estudante para poder enfrentar os novos.
Introdução ao tema: Apresenta-se resumidamente ao leitor o tema que será
desenvolvido.
Desenvolvimento das orientações para o estudo: expõem-se alguns pontos
sobre o conteúdo.
Actividades ilustrativas: Apresenta-se a resolução dos exercícios que vão
servir de modelo para a resolução dos exercícios propostos.
Resumo teórico: Destaca-se alguns pontos principais, deve limitar-se
somente ao conteúdo do trabalho.
Exercítação: Este aspecto se orienta ao desenvolvimento de habilidades de
carácter prático, vincula-se o teórico-metodológicos com a prática.
Bibliografia: relacionar a bibliografia básica e complementaria relacionada
com os conteúdos.
A análise realizada neste capítulo, tendo em conta a necessidade de
desenvolver nos estudantes a habilidade de cálculo na temática integrais
indefinidas, permite concluir, que a proposta de um guia de estudo com fins
didáticos, contribuirá para o desenvolvimento desta habilidade nos estudantes
do primeiro ano de Matemática do ISCED-Huambo.
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Capítulo 2: Proposta de Guia de Estudo para desenvolver habilidades de
calculo na temática integrais indefinidas aos estudantes do primeiro ano
do curso de matemática no ISCED-Huambo.
Neste capítulo, se apresenta a proposta de Guia de Estudo para o
desenvolvimento da habilidade calcular integrais indefinidas, e se faz uma
análise ao inquérito aplicado.
2.1. Guia de Estudo para desenvolver habilidades de calculo na temática
integrais indefinidas aos estudantes do primeiro ano do curso de
matemática do ISCED-Huambo.
O guia de estudo está estruturado na seguinte forma: tema, objectivos
específicos, requisitos prévios, introdução ao tema, desenvolvimento para o
estudo do tema, resumo da teoria, actividades ilustrativas, exercícios propostos
com suas respostas finais, bibliografia para o estudo do tema.
Tema. Integrais indefinidas
Objectivos específicos:
Ao concluir o estudo deste tema os estudantes devem:
Interpretar o conceito de primitiva de uma função.
Interpretar o conceito de integral indefinida.
Calcular integrais de funções racionais, polinomiais e trigonométricas
aplicando as fórmulas de integração imediata assim como suas
propriedades.
Calcular integrais aplicando o método de substituição.
Calcular integrais aplicando o método de integração por partes.
Calcular integrais aplicando o método por decomposição em fracções
simples
Requisitos prévios:
Devem dominar os conteúdos relacionados com funções, limite e continuidade,
derivação. Fundamentalmente, saber calcular derivadas de primeira ordem de
funções algébricas, assim como combinações delas, aplicando as regras de
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derivação. Também, é importante dominar a resolução de sistemas de
equações lineares.
Introdução ao tema:
Para falar do Cálculo Integral devemos retornar ao século VIII a.n.e. onde
Arquímedes da Siracusa, quem utilizando as teorias do Demócrito e o Método
de exaustão do Eudoxio, realiza a mais importante das aplicações destas
ideias e com isso se aproxima grandemente ao Cálculo Integral. Em sua obra
“A quadratura da Parábola” determina a área de um segmento desta curva
usando os procedimentos mencionados.
Outro dos grandes matemáticos, o inglês Isaac Newton, quem pela primeira
vez calcula uma área mediante o processo inverso do que conhecemos por
derivação. Deste modo descobre a relação inversa que existe entre a
determinação do declive de uma curva e da área baixo a recta, quer dizer a
relação que existe entre o Cálculo Diferencial e Integral.
Neste capítulo aprenderá de uma maneira singela os conceitos de primitiva e
integral indefinida, O estudo da integração se continuará, através de alguns
métodos de integração.
Desenvolvimento das orientações para o estudo.
A seguir expõem-se alguns pontos essenciais sobre o conteúdo que deve
dominar, assim se tem:
Integrais indefinidas. Integração por fórmulas
Definição:
Chama – se primitva de uma função definida num intervalo , à função
tal que .
Exemplo: são as primitivas de , já que:
2xdx
d = 52 x
dx
d = 42 x
dx
d = .
Todas as primitivas de estão representadas pela expressão ,
em que C é uma constante qualquer.
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Definição: Integral Indefinida.
O conjunto CxF )( de todas as primitivas de uma mesma função f se
chama integral indefinida de f e se denota por dxxf )( , quer dizer:
CxFdxxf )()(
Propriedades da Integral Indefinida.
Seja )(xf , )(xg funções continuas:
1. Cxfxdf )()(
2. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
3. dxxfkdxxkf )()( , K , K
Tabela de algumas integrais imediatas:
1
Cn
XduX
nn
1
1
,n 2
CXX
dXln , X
3 C
a
adxa
XX
ln,
(a>0, a )
4 Cedxe xX
5 Cxsenxdx cos 6 Csenxxdxcos
7 Cxtagxdx secln 8 Csenxgxdx lncot
9 Cxxxdx tanseclnsec 10 Ctagxxdx2sec
11 Cgxdxx cotcsc2 12 Cxxtagxdx secsec
13 Cxagxdxx csccotcsc
14
C
a
xarcsen
xa
dx
22
20
15
C
a
x
axa
dxarctan
122
16
Ca
xarc
aaxx
dxsec
1
22
17
C
ax
ax
aax
dxln
2
122
18
C
xa
xa
axa
dxln
2
122
19 Caxxax
dx
22
22ln
20 C
a
xarcsenaxaxdxxa
22222
2
1
2
1
21 Caxxaaxxdxax
2222222 ln2
1
2
1
Actividades ilustrativas.
1. Calcule as seguintes integrais Tendo em conta a tabela de integração :
2. dxx )3(
A integral da soma é a soma das integrais e as constantes normalmente ficam
fora do sinal de integração então teremos que:
cxx
dxxdxdxxdxdxx 32
33)3(2
3.
A integral da soma é a soma das integrais e as constantes normalmente ficam
fora do sinal de integração então teremos que:
=
21
4
a qui transforma-se
em forma de uma potência de expoente negativo
então tem-se que
5. dxxx )8(
A que tem que se transformar a em forma de uma potência que fica assim
então teremos que:
cxxcxx
cxx
xdxdxxdxxx
22
3
22
3
21
2
1
2
1
4.3
24
2
32.8
12
18)8(
6.
Primeira menta vamos transformar
que vai resultar em:
Então temos que:
7. dxdxdx xx 85)85( Cxx
85ln
5
8.
A qui faz-se a separação de cada parcela do numerador com o denminador
então temos que:
22
Cex
dxdxedxsenx
dxe
edx
e
edx
e
senxe
Xx
xx
x
xx
x
x
x
x
5ln
5cos
5
52
9. dx
x
dx
42
Tendo em conta a fórmula de integração nº 17 da tabela acima
C
ax
ax
aax
dxln
2
122
então teremos :
10. 92x
dx
Tendo em conta a fórmula de integração nº 15 da tabela acima
Ca
xarctag
axa
dx 122
então termos que:
2.Método de Integração por substituição.
O método de integração por substituição ou mudança de variavel é
consequência directa da regra de cadeia.
Teorema:
Seja uma primitiva da função no intervalo e seja uma
função com derivada continua no intervalo talqui , então, uma
primitiva da função em é a função , quer dizer,
23
Actividades Ilustrativas:
1.Calcule:
Solução:
Fazendo
Derivando os dois membros temos:
substituindo temos:
substituindo o valor de u fica:
2.Calcule:
Solução:
Fazendo
Derivando os dois membros temos que:
então
Finalmente temos:
3.Calcule:
dxxx 2
Solução:
24
Fazendo 2 xu isolando temos: derivando temos: dxdu ,
substituindo:
Finalmente temos:
4. Calcule:
dxxx 1632 )13(8
Solução:
Escrevemos 13 3 xu . e assim derivando os dois membros temos dxxdu 29
temos:
Portanto:
179
8
9
8
9138)13(8
171616
31632 uduu
dxxdxxx + C
= 173 )13(153
8x + C
5. Calcule:
Solução:
25
6.Calcule
Solução:
Então
substituindo temos que:
Finalmente temos
7. Calcule:
31 x
x
e
dxe
Solução:
Fazendo xeu 1 e dxedu x e assim a integral se reduz a:
duuu
du
3
1
3 =
Como xeu 1 , logo fica:
31 x
x
e
dxe=
8. Calcular:
3
2
)1(x
xdx
26
Solução:
Fazendo ,13 xu ,3 2 dxduu além disso 13 ux . Substituindo fica:
2
32
3
23 )1(3
)(
3)1(
)1( 3
2
3
2
u
duuu
u
duuu
x
xdx = duu )1(3 3 = cu
u
43
4
Substituindo o valor de u fica:
3
2
)1(x
xdx= 31
4
3 43 x cx 3 1
9. Calcular:
Solução:
=
agora façamos derivando temos :
Substituindo fica:
=
=
substituindo o valor de
vem:
10. Calcular
Solução:
sabe-se que = então
agora façamos u = derivando temos
fazendo a substituição temos:
27
=
atendendo esta fórmula de integração
nº 14 da tabela acima
Ca
xarcsen
xa
dx
22 para o nosso caso
então
substituindo o valor de u temos:
=
11.Calcular
Solução:
Pela propriedade de radicais
= então
agora façamos
derivando ambos os membros temos:
substituindo temos:
=
=
28
Substituindo temos:
12. Calcular:
Solução
façamos derivando ambos os membros temos:
= =
=
=
substituindo temos :
=
.
3.Substituições trigonométricas
1- Se a integral contem o radical , geralmente se faz
2- Se a integral contem o radical , se faz
3- Se a integral contem o radical , se faz
29
4- Também tem que se ter em conta as seguintes
relações
Actividades Ilustrativas:
1.Calcule:
Solução: Estamos diante do primeiro caso:
Substituindo temos:
X
2
t
30
Como
denominamos o cateto oposto e a hipotenusa, pelo
teorema de Pitágoras o cateto adjacente é como se vê na figura.
Observando a figura, aplicando o teorema de Pitágoras temos que
isto é cateto adjacente sobre a hipotenusa. Substituindo temos:
.
=
2-Calcule:
Solução: estamos diante do primeiro caso:
Substituindo temos:
=
Como
denominamos o cateto oposto e a hipotenusa, pelo
teorema de Pitágoras o cateto adjacente é dado por como se vê na
figura
Da figura temos que
substituindo teremos:
x
1
t
31
:
: estamos diante do segundo caso
:
Substituindo temos:
Tambem poderia
ser então substituindo temos:
4-Calcule:
Solução: estamos diante do segundo caso
e
Substituindo temos:
32
Como
denominamos a hipotenusa e o cateto adjacente isto
porque a secante de um ângulo num triângulo rectângulo é igual a hipotenusa
sobre o cateto adjacente, pelo teorema de Pitágoras o cateto oposto é dado por
Observando a figura temos que
isto é a tangente do ângulo é
igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente. Substituindo temos:
5-Calcule :
Solução: estamos diante do terceiro caso
33
substituindo temos:
calculando de parte a
multiplicando e dividindo por
vem
Fazendo derivando temos
então
substituindo temos:
o que resulta em
então
Como
denominamos o cateto oposto e o cateto adjacente
pelo teorema de Pitágoras a hipotenusa é dada por .
Pela figura
isto é a secante do ângulo é igual a
hipotenusa sobre o cateto adjacente,
e a
1
34
Substituindo temos que
4. Método de Integração por partes.
Este método é muito utilizado pois precisamos calcular frequentemente
integrais como dxex x22
cuja função integrando é um produto de duas
funções. Sabemos que a derivada de 3
3
1x é
2x e que a de xe2
2
1 é
xe2
, mas a
derivada de ( 3
3
1x ) ( xe2
2
1 ) certamente não é xex 22 . Em geral, a integral de um
produto não é o produto das integrais porque a derivada de um produto não é
o produto das derivadas. Segundo a regra da derivada do produto de duas
funções, tem-se:
Tomando a integral indefinida de cada membro e usando a regra para integrar
uma soma, obtemos:
Isolando, se tem que:
Onde as constantes de integração estão implícitas nas integrais indefinidas do
membro da direita destas equações.
Para utilizar este método é conveniente ter em conta os seguintes critérios.
I. A selecção de u e dv pode variar, procurando a forma de que se
cumpra o seguinte critério.
II. v. du deve ser mais fácil de calcular que u. dv.
35
Actividades Ilustrativas:
1. Calcular dxxex
Aqui se tem que:
xe
xe
Tem-se que:
xx exdxex - xx xedxe xxx exedxe + c
Como uma forma de comprovar, deve-se:
A derivada de xx exe + C é
xe + xxx xeexe , logo calculamos
correctamente a integral.
A eleição adequada de u e dv nos permitiu calcular a integral.
Vejamos o que ocorre se escolhemos xeu e xdv . Ficaria:
xex dx = 22
2
1
2
1xexe xx
dx
Neste caso, a integral da direita é mais complicada que a original. Desta forma,
a segunda eleição não simplifica a integral inicial.
Este exemplo nos demonstra que terá que ter muito cuidado em decompor o
integrando. A prática nos levará a uma boa eleição.
2. Aplicando o método de integração por partes:
a.) Calcular
dxex x23
Seja ,3xu xedv 2 , e agora derivamos u e integramos dv. Então
dxxdu 23 , xev 2
2
1 e aplicando a fórmula, tem-se que:
= dxexex xx
2223
2
3
2
1 (1)
36
Integramos outra vez, mantendo essa ordem pois a última integral é mais
simples:
dxexexdxex xxx 22222
2
12
2
1
= dxxeex xx
222
2
1 (2)
Integrando por partes novamente, tem-se que:
dxeexdxxe xxx 222
2
1
2
1
= xx exe 22
4
1
2
1 + C (3)
Substituindo os resultados de (3) e (2) a (1) ficaria:
dxex x
23
= cxxxx exeexex
222223
4
1
2
1
2
1
2
3
2
1
= cexeexex xxxx 222223
8
3
4
3
4
3
2
1
b.) Calcular
dxsenxx ..3
selecciona-se xu 3 e senxdv dx, ficaria:
xdxxxsenxx cos3)cos(33
= csenxxx 3cos3
c.) Calcular
xdxln
escolhe - se xu ln e dxdv
37
e
xdxx
xxxdx 1
lnln , fica:
= cxxx ln
d.
escolhe - se xu ln e xdv
e
, fica
e.)Calcular
U = e
e substituindo
temos:
x –
= –
= -
= obs ja
esta resolvido no exercício da alinea (c).
f
seleciona –se e ,
,
= -
=
38
x –
= -
h.) Calcular
calculando de parte a
temos:
39
substituindo temos:
jogando o sinal temos:
passando o integral para
o outro membro temos:
dai resulta
portantanto
Nota: Geralmente, quando na função integrando aparece a função logaritmo
natural f(x)= ln x ou uma composta, por exemplo f(x) = ln (2x+1)
recomendamos fazer a selecção de u e não do dv.
5. Método de integração por Decomposição em Fracções Simples.
Este método é muito utilizado pois precisamos calcular frequentemente
integrais cujas funções integrando representam fracções racionais.
Para utilizar este método, primeiramente, deve-se conhecer alguns elementos
da Álgebra Linear, assim tem-se:
Uma função )(
)()(
xg
xfxF na que )()( xgexf com são polinómios
recebe o nome de fracção racional. Se o grau de )(xf é menor que o grau de
)(xg , )(xF recebe o nome de função própria; no caso contrario, )(xF se chama
imprópria.
Propriedades:
Toda fracção racional imprópria pode-se expressar como soma de um
polinómio de uma fracção própria.
Toda fracção racional própria pode-se expressar como soma de
fracções simples cujos denominadores são da forma
nn cbxaxebax 2)( , sendo n um número inteiro e positivo.
40
Atendendo à natureza dos factores do denominador, se podem considerar
quatro casos, como se segue:
CASO I. Factores lineares distintos.
Aqui, a cada factor linear, bax , do denominador duma fracção racional
própria, lhe corresponde uma fracção da forma: bax
A
, onde A é uma
constante a determinar.
CASO II. Factores lineares iguais.
Aqui, a cada factor linear bax que figure n vezes no denominador duma
fracção racional própria, lhe corresponde uma soma de n fracções da forma:
nn
bax
A
bax
A
bax
A
.......
2
21
Sendo os nuradores constantes a determinar.
CASO III. Factores quadráticos distintos.
A cada factor quadrático reduzível, cbxax 2 , que apareça no denominador
de uma fracção racional própria, lhe corresponde uma fracção da forma
cbxax
BAx
2
, sendo A e B constantes a determinar.
CASO IV. Factores quadráticos iguais.
A cada factor quadrático irreduzível cbxax 2 que se repete n vezes no
denominador de uma fracção racional própria, lhe corresponde uma soma de n
fracções da forma: n
nn
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
222
22
2
11 .......
Sendo A e B constantes a determinar.
Actividades Ilustrativas:
Calcular:
a. 42x
dx
Resolvamos a integral seguindo os passos abaixo:
41
Passo 1. Decompor o denominador em factores, ou seja: 2242 xxx
Portanto, a fracção própria fica: 224
12
x
B
x
A
x Procurando o
denominador comum, tem-se: 22
)2()2(
224
12
xx
xBxA
x
B
x
A
x
Igualando os denominadores, temos:
)22(1)2()2(1 BAxBAxBxA
Passo 2. Cálculo das constantes A e B:
Método geral. Se identificam os coeficientes de igual potência de x e se resolve
o sistema de equações obtido para determinar o valor das constantes. Isto é:
120 BAeBA de onde obtêm-se que: 4
1
4
1 BeA
Método abreviado: Se substitui os valores de x que anulam os denominadores
das fracções. quer dizer, para 22 xex obtendo: BeA 4141 De
onde: 4
1
4
1 BeA
Passo 3. Achar a integral com os resultados das constantes A e B. Ou seja:
2
4
1
2
4
1
4
12
xxx
De maneira que:
24
1
24
1
42 x
dx
x
dx
x
dx
Aplicando as regras de integração imediatas, obtêm-se:
Cxxx
dx
2ln4
12ln
4
1
42=
b.) dxxx
xxx
23
34 1
A função integrando é uma fracção imprópria. Dividendo, temos:
1
11122323
34
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
42
Que expressa a soma de uma função polinomial xxP )( mais uma fracção
racional própria 1
12
xx
x. Fazendo a decomposição em factores na fracção
racional própria, tem-se: 1)1(
122
x
C
x
B
x
A
xx
x
De maneira que, com denominador comum )1(2 xx e igualando os
numeradores, temos: 2)1()1(1 CxxBxAxx
Para 1;0 Bx e para 2;1 Cx , para 2;2 Ax
Logo, a integral ficaria:
Cxx
xxx
dx
x
dx
x
dxxdxdx
xx
xxx
1ln2
1ln2
2
1
122
1 2
223
34
c. dxxx
xxx
23
224
23
2123 2224 xxxx a fracção própria ficaria representada da seguinte
maneira: 2123
22224
23
x
DCx
x
BAx
xx
xxx
De onde, com denominador comum e igualando os numeradores, tem-se:
DBxCAxDBxCA
xDCxxBAxxxx
22
122
22
2223
Logo, 22;12;1;1 DBCADBCA , que resolvendo o sistema,
temos os valores das contastes: 0;1;1;0 DCBA
Calculando a integral, temos que:
Cxxarctagx
xdx
x
dxdx
xx
xxx
2ln
2
1
2123
2 2
2224
23
6.Integrais elementares que contêm o trinómio ao quadrado.
I Integrais do tipo
43
O procedimento principal de cálculo consiste em reduzir o trinómio de segundo
grau á forma: (1) onde são constantes. Para
efectuar a transformação, o mais fácil é separar o quadrado exacto do trinômio
do segundo grau.
Vamos então analisar dois casos:
1º Caso: m = 0, reduzir o trinómio do segundo grau à forma (1) obtêm -se as
integrais imediatas a seguir.
com ou
,com
ou
2º Caso: m 0
Do denominador separa-se a derivada do trinômio , como
mostrado a seguir:
Desta forma, chegamos ao caso anterior.
Actividades ilustrativas
Calcular:
Solução: observa – se que o valor de é igual a zero. Decompondo o
trinomio quadrado utilizando o completamento quadrático. No trinómio
o valor de dividindo o valor de por dois da
e tiramos o quadrado de no caso o quadrado de 1 é o próprio então
adicionamos e subtraímos no trinômio teremos que:
44
Tendo en conta esta fórmula de integração
,
temos que:
Solução: a qui o valor de é igual a zero. Pondo em evidencia o número
no trinómio fica:
neste caso temos
que
dividimos o valor de por da
o quadrado de
é
agora adicinamos e subtraimos
no trinómio. Então temos que:
Tendo em conta esta fórmula de integração
para
este caso considera-se
então substituindo obtemos:
Solução: Tendo em conta esta fórmula de integração
então para o exercício dado
e a derivada de é: – substituindo temos:
45
Solução: aque nos procedemos como no exercício anterior então temos:
Tendo em conta a seguinte fórmula
para este caso
consideramos
substituindo obtemos:
II Integrais do tipo
Os procedimentos de cálculo são análogos aos ja examinados. Logo, a integral
se reduz à uma das duas integrais a seguir:
ou
46
Actividades ilustrativas
Solução: Para este caso o valor de e no radicando temos uma equação
do segundo grau incompleta em que o valor de aplicando
o completamento quadrático e considerando a seguinte fórmula de integração
obtemos:
Solução: Tendo em conta esta fórmula
para o exercício dado e a derivada de
é: – substituindo temos:
fazendo
substituindo teremos:
47
Substituindo o valor de u fica
III Integrais do tipo
Utilizando a substituição da fracção linear
estas integrais reduzem –
se as integrais do tipo II
Actividades ilustrativas
Solução:
Fazendo
Substituindo temos:
Aplicando o completamento quadrático e cosiderando esta fórmula de
integração
temos:
48
Calcule:
Solução:
Fazendo:
substituindo temos:
aplicando o
completamento quadrático e considerando esta fórmula de integrção
Ca
xarcsen
xa
dx
22 temos:
49
IV Integrais do tipo:
Separando quadrado exacto no trinómio de segundo grau, esta integral se
reduz a uma das duas integrais principais:
Actividades ilustrativas
Tendo em conta que:
então temos:
a plicando o completamento quadrático fica:
50
7. Integrais de funções trigonométricas.
Integrais do tipo
valem as
seguintes relações:
1- =
2- =
3- =
Actividades ilustrativas:
a-) Calcular
=
+c
51
=
Integrais do tipo valem as substituições
,
,
,
Esta substituição é
chamada substituição universal
Actividades Ilustrativas:
a) calcule:
b) Calcule
=
c) Calcule
52
Solução:
=
Considerando esta fórmula de integração
C
ax
ax
aax
dxln
2
122
Integrais do tipo
1- Se é um número impar e positivo então :
E faz – se
2- Se é um número ímpar e positivo então:
. E faz – se
Se são números pares e positivos, usamos as transformações
trigonométricas:
,
53
Actividades Ilustrativas:
a)Calcule
Fazendo substituindo teremos:
Substituindo o valor de u temos:
b. Calcule:
54
Fazendo substituindo temos:
Substituindo o valor de temos:
c.) Calcule
=
d.)
55
e. Calcule
fazendo
substituindo temos:
substituindo o valor de u temos que:
Resumo:
Depois de ter estudado este tema poderão interpretar o conceito de integral
indefinida e aprofundar no estudo do cálculo diferencial. É importante que
domine as fórmulas de integração. Depois de ter estudado este tema poderão
realizar exercícios aplicando os métodos de integração por parte e substituição
desta maneira lhes facilita a realização de exercícios com maior grau de
complexidade.
É importante que domine do estudado os métodos de integração e suas
particularidades específicas para sua utilização, as quais se foram expondo
com o passar do conteúdo.
56
Actividades para a auto avaliação(exercitação):
I. Calcule as seguintes integrais aplicando as regras de integração
imediatas e as propriedades:
1. dxxx 45 23 2. 3. dxxx 52
4. dyy
y
2
1 5. dx
x
exxsenxx x
2
22 3 6. dx
x
xxxex xx
4
444 23
7. 27 x
dx 8.
162x
dx
II. Calcule as seguintes integrais aplicando o método de substituição,
substiuição trigonométrica e substituição universal:
1. 21 x
xdx 2. dx
x
etagx
2cos 3. dxxx 43cos. 2 4.
5.
6.
7.
8.
9.
14.
15.
III. Calcule as seguintes integrais aplicando o método de integração por
partes:
1. dxex x32
2. dxex x
2)1( 3. dxxx 1
xx ln2
7. senxx2
dx 9. senxex
dx
12. x3sec dx
dxxxx 53 42
57
IV. Calcule as seguintes integrais aplicando o método por decomposição
em fracções simples:
1. 92x
dx 2. 672 xx
dx 3. 432 xx
xdx 4. dx
xx
xx
82
432
2
5.
22x
xdx 6. dx
xxx
xxxx
32
33223
234
7.
3
4
1 x
dxx 8.
xxx
dxx
6
123
9.
1
5323 xxx
dxx 10. 44
2
xa
dxx
V. Calcule as integrais do tipo:
e as integrais que contêm o trinómio ao quadrado:
5
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
17.
VI .Calcule as seguintes integrais utilizando difefrentes métodos:
1. 2.
3.
4.
5. 6.
7. 8.
9.
10. 11
12.
58
Respostas:
Exercício I:
1 Cx
xx 4
3
5
4
34
2
3 Cxx 2
3
2
7
3
10
7
2
4 Cyy
y ln2
1
5 C
xexx x
3cosln
6 Cx
xxe
xx
2ln
2
5
23
2
7
Cx
7
7arctan
7
7
8 Cxx 16ln 2
Exercício II:
1 2
3
4
5 6
7 8
9 10
11
12
13
14
15
16
59
17
18
19
20
ExercícioIII:
1
cexeex xxx
27
2
9
2
3
3332
2 cxxex 21212
3
cxxx
25
23
115
41
3
2
4
cxxx
2
1lnln
2
22
5
cxx
3
1ln
3
3
6 c
xx
x
1
1
1
)1ln(
7
8
9
10 +
11
12
Exercício IV:
1 C
x
x
3
3ln
6
1
2 C
x
x
6
1ln
5
1
3 Cxx
441ln
5
1
4 Cxxx 4
42ln
60
5 C
xx
2
22ln
6 C
xx
xx
32ln
2
1
2
2
7
C
xxxxx
2
62
12
1
1
41ln3
2
1
8
Cxx
x
152
61
103
3
2ln
9 C
x
x
x
1
1ln
2
1
1
4
10 C
a
xarctag
axa
xa
a
2
1ln
4
1
Exercício V:
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
12
13
14
15
16
61
17
18
Exercício VI:
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
12
62
2.2 . Análise geral dos resultados do inquérito aplicado aos estudantes.
Pergunta 1. Aproveitamento na cadeira Análise Matemática II
A seguinte tabela mostra os resultados obtidos:
Tabela 1. Aproveitamento na cadeira Análise Matemática II
CURSO REGULAR BOM RAZOAVEL MAU OUTRO
2º ANO 2º ANO 14 12 22 -
3º ANO 9 11 10 -
TOTAL 23 23 32 -
Em relação ao balanço sobre o aproveitamento no estudo da cadeira pode-se
apreciar que 23 estudantes que representam 29.5% estão a dizer que é bom
ou razoável, o que representa 58.97% entre os dois indicadores com relação a
amostra total, no entanto 32 estudantes que representam 41.02% indicam que
é mau. Isto demonstra que deve-se continuar trabalhando para melhorar o
Processo de Ensino-Aprendizagem dos estudantes nesta cadeira. Os
resultados estão ilustrado no seguinte gráfico:
Gráfico1
0
5
10
15
20
25
30
35
BOM RAZOAVEL MAU OUTRO
14 12
22
0
9 11 10
0
23 23
32
0
APROVEITAMENTO NA CADEIRA ANÁLISE MATEMÁTICA II
2º ANO
3º ANO
TOTAL
63
Pergunta 2. Elementos que influenciam o nivel de aproveitamento no tema
integrais indefinidas.
Os resultados obtidos mostram-se na seguinte tabela:
Tabela 2. Principais elementos que influenciam o nivel de aproveitamento
no tema integrais indefinidas.
ELEMENTOS 2º ANO 3º ANO TOTAL
(A) Falta de bibliografia 5 1 6
(B) Falta de meios de
ensino
2 1 3
(C) Falta de domínio da
matéria
3 2 5
(D) Falta de exercícios
para praticar
4 0 4
(E)Falta de bom
esclarecimento do
professor
2 0 2
(F) Conteúdo muito
complexo
0 2 2
(G) Conteúdo muito
extenso
0 2 2
(H) Conteúdo acessível 0 2 2
(I) Boa explicação do
professor
20 12 32
(J) Estudo independente 12 8 20
Pode-se observar que 32 estudantes que representam 41.02%, dizem que os
principais elementos que influenciam no aproveitamento da cadeira é uma boa
explicação do professor, 20 estudantes para 25.6% dizem que é o estudo
independente, o que demonstra que com uma melhor orientação do estudo
independente, que poderia realizar-se através de um guia de estudo, os alunos
64
compreenderiam e dariam uma importância a este elemento. Os restos dos
indicadores não são tão significativos. O seguinte gráfico ilustra os resultados
para uma melhor compreensão:
Gráfico 2
Pergunta 3. Quais são os temas com maiores dificuldades em Análise
Matemática?
Os resultados mostram-se na seguinte tabela:
Tabela 3. Temas com maiores dificuldades para estudar
TEMAS 2º ANO 3º ANO TOTAL
(A) Funções 4 1 5
(B) Derivação de funções de
variáveis reais
3 3 6
(C) Regras de integração
imediatas.
8 2 10
(D) Aplicar os métodos ao
cálculo de integrais indefinidas
21 14 35
(E) Integrais definidas 4 6 10
0
5
10
15
20
25
30
35
(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (h) (I) (J)
5 2 3 4
2 0 0 0
20
12 1 1 2
0 0 2 2 2
12
8
6 3 5
4 2 2 2 2
32
20
ELEMENTOS QUE INFLUENCIAM O NIVEL DE APROVEITAMENTO NO TEMA INTEGRAIS INDEFINIDAS
2º ANO
3º ANO
TOTAL
65
(F) Integrais impróprias 8 4 12
Aqui podemos observar que 35 etudantes para 44.9% dizem que o tema com
maior dificuldade é aplicar os métodos de integração para o cálculo de
integrais indefinidas, 10 estudantes para 12.8% dizem que são as regras de
integração imediata ou integrais definidas o que representa 25.6% entre os
dois indicadores com relação a amostra total,12 estudantes dizem que são as
integrais improprias o que representa15,4%, 5 estudantes dizem que são as
funções o que representa 6,4% e 6 estudantes dizem que são as derivadas de
funções de variaveis reais o que representa 7,7%. Assim sendo o professor
deve trabalhar mais na aplicação dos métodos ao cálculo de integrais
indefinidas, e um guia de estudo pode contribuir para o melhoramento da
aprendizagem dos alunos neste tema. Os resultados mostram-se no gráfico
seguinte:
Gráfico3
Pergunta 4. Consideras necessário um guia de estudo para a temática
integrais Indefinidas na cadeira de Analise Matemática?
Os resultados mostram-se na seguinte tabela:
0
5
10
15
20
25
30
35
(A) (B) ( C ) (D) ( E ) ( f)
4 3
8
21
4
8
1 3 2
14
6 4 5 6
10
35
10 12
TEMAS COM MAIORES DIFICULDADES NA ANÁLISE MATEMÁTICA
2º ANO
3º ANO
TOTAL
66
Tabela 4. Necessidade de guia de estudo no tema Integrais Indefinidas
CURSO REGULAR SIM NÃO
2º ANO 43 5
3º ANO 28 2
TOTAL 71 7
Os resultados desta pergunta indicam que 71 estudantes para 91,03% indicam
a necessidade de um guia de estudo para o tema integrais indefinidas, 7
estudantes para 8.97% não consideram necessário um guia de estudo. No
entanto, observa-se que um guia de estudo pode ajudar ao melhoramento da
aprendizagem dos estudantes. Os resultados ilustram-se no gráfico seguinte:
Gráfico 4
Pergunta 5. Que vantagens possui um guia de estudo sobre o tema Integrais
Indefinidas?
A tabela a seguir ilustra os resultados:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
2º ANO 3º ANO TOTAL
43
28
71
5 2 7
NECESSIDADE DE UM GUIA DE ESTUDO NO TEMA INTEGRAIS INDEFINIDAS
SIM
NÃO
67
Tabela 5. Vantagens de um guia de estudo
VANTAGENS 2º ANO 3º ANO TOTAL
(A) Facilita o estudo independente 18 13 31
(B) Aprofundar e integrar
conhecimentos
4 3 7
(C) Estudar sem auxílio do professor 15 6 21
(D) Ajuda a olhar as teorias
importantes
6 3 9
(E) Aumenta o interesse pela cadeira 5 5 10
Os resultados desta pergunta mostram que 31 estudantes, para 39.7%,
afirmam que um guia facilitaria o estudo independente, no entanto que 21
estudantes para 26.92% dizem que ajuda a estudar sem o auxílio do professor.
Pode-se concluir que existe necessidade deste guia. Ilustrando-se os
resultados no seguinte gráfico:
Gráfico 5
0
5
10
15
20
25
30
35
(A) (B) (C) (D) (E)
18
4
15
6 5
13
3 6
3 5
31
7
21
9 10
VANTAGEMS DE UM GUIA DE ESTUDO
2º ANO
3º ANO
TOTAL
68
Pergunta 6. Marque com um X a resposta correcta.
é igual a :
_______
_____ _____
Os resultados mostram-se na seguinte tabela:
Tabela 6. Cálculo de uma integral indefinida.
CURSO
REGULAR
RESPOSTA CORRECTA RESPOSTA INCORRECTA
2º ANO 18 30
3º ANO 10 20
TOTAL 28 50
Como se pode observar na tabela os resultados mostram que só 28
estudantes para 35,9% respondem correctamente ao cálculo da integral, 50
estudantes para 64,1% respondem de maneira incorrecta; o que demonstra as
dificuldades nos métodos e procedimentos de cálculos de integrais indefinidas.
Os resultados ilustram-se no gráfico abaixo:
Gráfico 6
0
10
20
30
40
50
2ºANO 3º ANO TOTAL
18
10
28 30
20
50
CÁLCULO DE UMA INTEGRAL INDEFINIDA
RESPOSTA CORRECTA
RESPOSTA INCORRECTA
69
CONCLUSÕES:
Os resultados obtidos a partir da investigação realizada permitem oferecer as
seguintes conclusões:
Do estudo feito das diferentes fontes bibliográficas se sistematizou os
fundamentos teóricos principais a serem empregue na elaboração da proposta
de um guia de estudo sobre o tema de integrais indefinidas, e a escolha dos
exercícios resolvidos e propostos para o desenvolvimento de habilidades de
calcular integrais indefinidas.
Da pesquisa realizada permitiu detectar os interesses dos alunos pelos
guias de estudo para seu estudo independente. assim como existem
dificuldades no estudo do tema de integrais indefinidas, devido a fraca
preparação dos alunos, a falta de livros e materiais para auto preparação o que
dificulta o Processo de Ensino-Aprendizagem desta cadeira .
A proposta de guia de estudo está estruturada de maneira didáctica,
pois apresenta os resumos teóricos necessários sobre o tema, exercícios
resolvidos e propostos para o estudo independente que pode contribuir para
desenvolver habilidades nos estudantes relacionadas com o cálculo de
integrais indefinidas.
70
RECOMENDAÇÕES:
Avaliar a proposta de guia de estudo mediante sua utilização prática e
continuar seu aperfeiçoamento com a introdução de novas propostas que
contribuam para o desenvolvimento de habilidades de calculo na temática
integrais indefinidas.
Que os professores por sua vez utilizem este trabalho de investigação
como fonte bibliográfica adequada para o ensino das integrais indefinidas.
71
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74