integral
TRANSCRIPT
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini, anda akan mempelajari integral tak tentu dan
integral tertentu. Pada integral tak tentu dipelajari tentang definisi
integral tak tentu dan rumus dasar integral beserta soal-soal penerapan
rumusnya, pemakaian integral tak tentu, integral fungsi trigonometri,
integral dengan substitusi, integral parsial. Pada integral tertentu
dipelajari tentang rumus integral tertentu, luas dan volume benda putar.
Untuk luas memakai integral, kita membahas luas daerah antara
beberapa kurva, luas daerah antara kurva dan sumbu koordinat, luas
antara dua kurva. Untuk volume benda putar, kita membahas volume
benda putar antara kurva dengan sumbu koordinat ( sumbu x dan sumbu
y), volume benda putar antara dua kurva yang memutari sumbu x dan
volume benda putar antara dua kurva yang memutari sumbu y.
B. Prasyarat
Agar dapat mempelajari modul ini anda harus telah memahami
operasi pada bilangan rea terutama operasi pecahan. Turunan/diferensial
dan rumus trigonometri.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Perhatikan langkah-langkah dalam setiap contoh sehingga
mempermudah dalam memahami konsep integral tak tentu dan integral
tertentu.
2. Apabila ada soal latihan, kerjakanlah soal-soal tersebut sebagai latihan
untuk persiapan evaluasi.
3. Jawablah tes formatif dengan jelas sesuai dengan kemampuan Anda. Jika
Anda masih ragu-ragu dengan jawaban yang Anda peroleh, Anda bisa
melihat kunci jawaban formatif yang sesuai.
4. Kerjakan soal-soal yang ada pada evaluasi.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. memahami definisi dari integral
2. memahami integral tak tentu beserta penerapannya.
3. memahami integral fungsi trginometri, integral substitusi dan integral parsial.
4. memahami integral tertentu dan penerapannya.
5. menentukan luas daerah dengan beberapa kurva, luas daerah antara kurva
dengan sumbu koordinat dan luas daerah antara dua kurva
6. menentukan volume benda putar antara kurva dan sumbu koordinat (sumbu x dan sumbu y), volume benda putar antara dua kurva yang memutari sumbu x dan sumbu y.
BAB IINTEGRAL
A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU
Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut juga anti diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.
1. INTEGRAL TAK TENTU
Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan rumus
integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘ (x) atau
dydx ,
sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah ∫ y dx=∫ f ( x ) dx yang dibaca “ integral y terhadap x ”. Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan, biasanya diwakili oleh notasi c.
Rumus umum integral dari y=axn adalah
an+1
xn+1+c atau ditulis :
∫ axn dx= a
n+1xn+1+c
untuk n≠−1
Contoh 1 : Tentukan :
a . ∫ 2x3 dx
b . ∫ (5 x4−3 x3+6 x2+7 x−2 ) dx
c . ∫8
3 x4dx
d . ∫2 x √x dx
Penyelesaian :
a . ∫ 2x3 dx=24x4+c=
12x4+c
b . ∫ (5 x4−3 x3+6 x2+7 x−2 ) dx=x5−34x4+2 x3+7
2x2−2x+c
c . ∫8
3 x4dx=∫8
3x−4dx=
83 (−3 )
x−3+c=−8
9 x3+c
d . ∫2 x √x dx=∫2 x32 dx=2
52
x52 +c=4
5x
52 +c
LATIHAN SOAL
1. Integralkan !
a . ∫ 2x5dx
b . ∫ 5x 4dx
c . ∫1√ xdx
d . ∫ (3 x4−4 x3+2x2−5x+7 )dxe . ∫ (6−2 x+3 x2−8 x3)dxf . ∫ (2x−3 )2dxg . ∫ x2 ( x+6 )dxh . ∫ (1−x )√ x dx
i . ∫ x3+5 x2−4
x2dx
j . ∫(x √x−1x √x )
2
dx
2. PEMAKAIAN INTEGRAL TAK TENTU
Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c yang tidak tentu nilainya. Untuk menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang lain sehingga harga c dapat diketahui.
Contoh 1 : Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !
Penyelesaian :
f ( x )=∫(5 x−3 )dx=52x2−3x+c
f (2)=18⇔52
(2)2+3 . 2+c=18
⇔10+6+c=18⇔16+c=18⇔ c=2
Jadi f ( x )=5
2x2−3x+2
Contoh 2 : Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4)
ditentukan
dydx
=3 x2−8 x+5, maka tentukan persamaan kurva tersebut !
Penyelesaian :
f ( x )=∫(3 x2−8 x+5)dx=x3−4 x2+5x+c
f (3)=4⇔33−4 .32+5 . 3+c=4⇔27−36+15+c=4⇔ c=−2
Jadi f(x) = x3−4 x2+5 x−2
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus f(x) jika diketahui :a. f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10b. f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10
c. f ‘(x) = x2− 1
x2 dan f(1) =
13
d. f ‘(x) = x - √ x dan f(4) = -3
e. f ‘(x) = 1 -
1
x2 dan f(4) = 1
2. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada kurva tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !
3. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh
dydx
=3 x2−2 x dan kurva itu
melalui titik (-3,2). Tentukan persamaan kurva itu !
4. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh v ( t )=12t2−6 t+1 . Setelah benda itu bergerak 1 detik, jarak yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !
5. Diketahui rumus percepatan a(t)=t2+1 dan kecepatan v(0) = 6. Tentukanlah rumus
kecepatan v(t) jika a(t)=
dvdt
3. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Kita telah mempelajari turunan fungsi trigonometri yang secara ringkas dapat digambarkan sebagai berikut :sin x→cos x→−sin x→−cos x→sin xtan x→sec2 xcot x→−cosec2 x→ artinya turunan.Karena integral adalah invers dari turunan maka :
Contoh 1 : Tentukan :
a . ∫(5 sin x+2cos x ) dx
b . ∫(−2cos x−4 sin x+3 ) dx
Penyelesaian :
a . ∫(5 sin x+2cos x ) dx=−5cos x+2 sin x+c
b . ∫(−2cos x−4 sin x+3 ) dx=−2 sin x+4cos x+3 x+c
LATIHAN SOAL
1. Tentukan integral fungsi berikut !
a . ∫ 5 sin x dx
b . ∫ (sin x−cos x ) dxc . ∫ (8cos x−6 sin x ) dxd . ∫ (2+x+sin x ) dxe . ∫ (x2−2sin x ) dx
4. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
Cara menentukan integral dengan menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan mengubah bentuk integral tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebih sederhana sehingga mudah menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian yang satu ada kaitan turunan dari bagian yang lain.
Contoh 1 :Tentukan integral dari :
a . ∫ 2x ( 4 x2−1 )10 dx
b . ∫ 2sin5 xcos x dx
Penyelesaian :
a. Misal :u=4 x2−1 Maka:
dudx
=8 x
⇔dx=du8 x
Sehingga :
∫2 x (4 x2−1)10 dx=∫2 x .u10 .du8 x
=∫ 14u10du= 1
4 . 11u11+c= 1
44( 4 x2−1 )11+c
b. Misal u = sin x
dudx
=cos x
⇔dx=ducos x
Sehingga :
∫2 sin5 x cos x dx=∫2u5 . cos x
ducos x
=∫2u5du=26u6+c=1
3sin6 x+c
LATIHAN SOAL
Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi !
1 . ∫ (2 x+3 ) 5 dx
2 . ∫6 (x+4 ) 5 dx
3 . ∫2(5 x+1 ) 4
dx
4 . ∫ 5√ (2 x−4 ) 3 dx
5 . ∫ 4 x (x2−4 ) 6 dx
6 . ∫ 12x2 (x3+5 ) 4 dx
7 . ∫ 6x √6−x2 dx
8 . ∫ sin5 x dx
9 . ∫ cos3 x . sin x dx
10 . ∫cos x√1−sin x dx
5. INTEGRAL PARSIAL
Bagaimana jika dua bagian pada suatu integral tidak ada kaitan turunan antara bagian yang satu dengan bagian lainnya ? Untuk itu perlu ada cara lain untuk menyelesaikannya yaitu dengan integral parsial.Seperti telah kita ketahui pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita integralkan kedua rua, maka akan didapat :
∫ y ' dx=∫ u ' v dx+∫uv ' dx ⇔∫ uv ' dx= y−∫u ' v dx=uv−∫u ' v dxRumus di atas sering disingkat dengan :
∫u dv=uv−∫ v du
Contoh 1 : Tentukan :
a . ∫ 2x (5 x+1)6 dx
b . ∫ x sin x dx
Penyelesaian : a. Misal 2x = u maka 2 dx = du
Misal dv = (5 x+1 ) 6dx→ v=1
5.17
(5x+1 ) 7= 135
(5x+1 ) 7
∫2 x (5x+1 )6 dx=2x .135
(5x+1 )2−∫135
(5x+1 )7 .2 dx
=2 x35
(5x+1 )7−235
.15
.18
(5 x+1)8+c
=2x35
(5 x+1)7−1700
(5 x+1)8+c
b. Misal x = u maka dx = du Misal dv = sin x dx maka v = -cos x
∫ x sin x dx=x .−cos x−∫−cos x dx=−x cos x+sin x+c
LATIHAN SOALTentukan integral berikut dengan metode parsial !
X
Y y=f(x)P Q
0 a bx x+h
h
S
U
f(x) f(x+h))
R
T
1 . ∫6 x ( x+2 ) 5 dx
2 . ∫8 x (1−2 x ) 3 dx
3 . ∫ x √2x−4 dx
4 . ∫ x√ x+1dx
5 . ∫ x sin x dx
6 . ∫ x2 cos x dx
7 . ∫ (2x+1 ) sin 2x dx
8 . ∫ 6x3 √x2+1 dx
9 . ∫ x cos (3 x+1 ) dx10 . ∫ x3 sin ( 2x2+6 ) 5 dx
6. INTEGRAL TENTU
Perhatikan gambar di bawah ini :
Luas daerah dari x = a hingga x = b adalah L(b) – L(a) ….. (1)
Luas RSUT ¿ Luas RQUT ¿ Luas PQUT
h.f(x) ¿ L(x+h) – L(x) ¿ h.f(x+h)
f ( x )<L( x+h )−L( x )
h<f (x+h )
Untuk h → 0 maka :
Limh→0 f(x) ¿
Limh→0
L(x+h )−L( x )h ¿
Limh→0 f(x+h)
f ( x )<L' ( x )< f ( x ) → L '( x )=f ( x )
L( x )=∫ f ( x ) dx=F ( x )+c
Dari (1) maka :
L=∫a
b
f ( x ) dx=L(b )−L( a)=(F (b)+c )−(F (a )+c )=F (b )−F (a )
Jadi : ∫a
b
f ( x ) dx= [F ( x )]ab=F (b )−F( a)
Contoh 1 : Hitunglah ∫1
3
(3x2−4 x+1 ) dx
Penyelesaian:
∫1
3
(3x2−4 x+1 ) dx=[ x3−2x2+ x ]13=(33−2. 32+3 )−(13−2 . 12+1 )=12
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai integral di bawah ini :
a . ∫0
3
4 x dx
b . ∫−2
1
6 x2 dx
c . ∫0
4
12 x√ x dx
d . ∫−1
1
(5−2x−6x2 ) dx
e . ∫1
2
( x−1x )
2
dx
2. Tentukan nilai a jika diketahui :
a . ∫0
a
√x dx=18
b . ∫−1
2 a1x2dx=1
2
3. Tentukan a jika ∫−1
2
(2 x+a ) dx=−6
4. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut :
a . ∫0
4
3x dx
b . ∫−2
3
x2 dx
c . ∫−3
3
(x2−4 ) dx
d . ∫−2
2
x3 dx
5. Tentukan nilai integral dari :
a . ∫1
3
(2 x+3 ) 5 dx
b . ∫−2
2
6 ( x+4 ) 5 dx
c . ∫0
12( x+1 ) 4
dx
d . ∫2
35√(2 x−4 ) 3dx
6. Tentukan nilai integral berikut ini :
a . ∫0
12π
cos x dx
b . ∫12π
π
2 cos2 x dx
c . ∫0
π
sin (x+13π ) dx
d . ∫0
2 π
(sin x+cos x ) dx
e . ∫13π
12π
(4 cos x−1 ) dx
B. LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR
1. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA
Daerah antara dua kurva yaitu daerah yang dibatasi oleh dua kurva tersebut dengan selang batas tertentu. Selang batas tersebut bisa batas yang ditentukan atau titik potong kedua kurva tersebut.
Contoh 1 : Lukislah daerah antara garis y = x dan kurva y=x2
!
Penyelesaian :
X
Y
y = xy = x2
1
1
LATIHAN SOAL
Lukislah daerah antara beberapa kurva di bawah ini :
Y
X0 1
-1
3x
1 . x=−2 , x=3 , y=−2 dan y=32 . y=x , y=−x dan y=33 . y=x2 dan y=−x2+24 . y=x dan y=x3
5 . y=x2−4 x dan y=−x2+4 x6 . y=x2 dan y=√x7 . y=2 x−1 , x=4 dan sumbu X8 . y=x2−2x−8,, x=−4 dan x=5
9 . y=sin x , 0≤x≤32π
10 . y=sin x , y=cos x , π≤x≤2π
2. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT
Luas daerah antara kurva y = f(x) dengan sumbu koordinat X pada selang a≤x≤b dimana
daerahnya ada di atas atau di bawah sumbu X adalah :L=|∫
a
b
f ( x ) dx |
Begitupun untuk daerah dengan batas sumbu koordinat Y, yaitu :
L=|∫a
b
f ( y ) dy |
Contoh 1 : Tentukan luas daerah antara kurva y = x3
, sumbu X , x = -1 dan x = 1 !
Penyelesaian :
2xY
X30
y = x + 2Y
X0 2-2
2
3x
X
Y
4
-4
L=−∫
−1
0
x3 dx+∫0
1
x3 dx=−[ 14x4 ]−1
0
+[ 14x 4]
0
1
=−(0−14)+( 1
4−0 )=1
2 satuan luas.
LATIHAN SOAL
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :
a. b.
c.
Tentukan luas daerah antara kurva berikut dan sumbu koordinat atau garis yang ditentukan :
a. y=2x−1 , sumbu X, x = -2 dan x = 3
b. y=x2
, sumbu X, x = 0 dan x = 2
c. y=x2−1 dan sumbu X
d. y=8x−x2, sumbu X dan x = 4
e. y=x3, sumbu X, x = -1 dan x = 3
f. y=√x , sumbu X, x = 1 dan x = 4
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x3−3 x2
, sumbu X, x = -1 dan x = 3
3. LUAS ANTARA DUA KURVA
y=f(x)
y=g(x)
Y
Xba0
Y
X1
0
-2
Untuk menentukan luas daerah antara dua kurva, kita berdasarkan luas antara kurva dan sumbu koordinat.Perhatikan gambar di bawah ini :
Luas daerah yang diarsir adalah :
L=∫a
b
f ( x ) dx−∫a
b
g( x ) dx=∫a
b
( f ( x )−g( x )) dx
Jadi : L=∫
a
b
( f ( x )−g ( x ))
Contoh 1: Tentukan luas daerah antara kurva y=x2+3x dan y = 2x + 2 !
Penyelesaian :Titik potong kedua kurva yaitu :
x2+3 x=2 x+2 ⇔ ( x+2 )( x−1 )=0⇔ x=−2 atau x=1
L=∫
−2
1
[(2 x+2)−( x2+3 x )] dx=∫−2
1
(2−x−x2 ) dx=412 satuan luas.
LATIHAN SOAL
2x
y =x
0 1
Y
X
y=2x
y=x
X
Y
20
1. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :
a. b.
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :
a . y=x2 dan y=x+2b . y=9−x2 dan x− y+3=0c . y=x2 dan y=2 x−x2
d . y=2−x2 dan x+ y=0e . y=x2 , y=x+6 dan sumbu Yf . y=√x dan y=x2
g . y=x2−4 x+3 dan x− y−1=0
4. VOLUME BENDA PUTAR
y = f(x)Y
Xba
Y
X20
4.1 VOLUME BENDA PUTAR ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X yang
diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu X adalah :
V=π∫a
b
y2 dx
Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360∘ dan
dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y dan kurva itu sendiri maka volumenya : V=π∫a
bx2 dy
Contoh 1 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva
y=x2, sumbu X dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360∘
!
Jawab :
V=π∫0
2(x2) 2 dx=π∫0
4x4 dx=π [ 1
5x5 ]
0
2
=π (325
−0)=325π
satuan volume.
LATIHAN SOAL
y = x + 2
X
Y
2-2 0
2
X
2xY
30
1. Pada gambar di bawah, hitunglah volume benda putarnya jika diputar mengelilingi sumbu X
sejauh 360∘ !
a. b.
2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang
diketahui diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360∘ !
a. y = x, x = 1 dan x = 10
b. y = x2
, sumbu X, sumbu Y dan x = 6
c. y = √ x , sumbu X, sumbu Y dan x = 9
d. y = x2+1 , x = 0 dan x = 1
e. y = x3
, sumbu X, x = -3 dan x = 3
3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang
diketahui diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360∘ !
a. y = x dan y = 6
b. y = √ x dan y = 1
c. y = x2−1 , y = 0 dan y = 1
Quiss :
1. Tentukan rumus volume kerucut V=1
3π r 2 t
dari persamaan garis y =
rtx
yang diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360∘
2. Tentukan rumus volume bola V= 4
3π r3
dari persamaan seperempat lingkaran x2+ y2=r2
yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360∘
y=f(x)
y=g(x)
X
Y
a b
4.2 VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA
Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360∘ yang dibatasi oleh
kurva y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b adalah :
V=π∫ab( y
12− y
22 ) dx dimana y1=f (x ), y2=g( x ) dan y1> y2
Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y.
Contoh 1: Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2
dan
y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360∘ !
Jawab : V=π∫0
2 [(2 x )2−( x2 )2] dx=π∫0
2
(4 x2−x4 ) dx=π [43x3−1
5x5 ]
0
2
=6415π
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh dua kurva diputar
sejauh 360∘ mengelilingi sumbu koordinat yang disebutkan !
a. y = x dan y = x2
mengelilingi sumbu X
b. y = x2
dan y2=x mengelilingi sumbu Y
c. y = x2
, y = √ x , mengelilingi sumbu Y
d. y = x2
dan y = x4
mengelilingi sumbu X
e. y = x2
dan y = 6 x−x2 mengelilingi sumbu X
f. y = 1+x2 dan y = 9−x2
mengelilingi sumbu X