integral · 6.1 integral tak tentu f(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval i bila...
TRANSCRIPT
6.1 Integral Tak Tentu
F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila
Contoh 1:
dan adalah anti turunan dari
karena F’(x) = f(x).
Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya
berupa suatu bilangan konstan.
Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu.
Notasi :
IxxfxF = )()('
3
3
1)( xxF =
2)( xxf =
31( ) 2
3F x x= +
f x dx F x C( ) ( )= +
+= Cxdxx sincos.3
Sifat-sifat integral tak tentu
A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan
111.
1
r rx dx x Cr
+= ++
+−= Cxdxx cossin.2
, r -1
+= Cxdxx tansec.4 2
+−= Cxdxx cotcsc.5 2
B. Sifat Kelinieran
C. Integral dengan substitusi
Misal u = g(x) , 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 , dan F suatu anti turunan dari f,
maka
a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )+ = +
+=+== cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((
Contoh 2: Hitung
Misal u = 2x + 1 → →
sehingga
( ) =+ duudxx sin2
112sin
( )sin 2 1x dx+
dxdu 2= dudx21=
( ) CxCu ++−=+−= 12cos2
1cos
2
1
+ dxxx 5103 )1(
+ dxxx 5103 )1(
3x
13 += xu
Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran (fungsiyang diintegralkan) hanya fungsi dari u
Contoh 3: Hitung
13 += xu 23xdx
du= 23x
dudx =Jawab : Misal
Maka
== duxux
duxu 310
2
510
3
1
3
Integranfungsi dru dan x
3x
Ctt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu konstanta
Maka, substitusi dengan menggunakan hubungan 13 −= uxsehingga 3 10 5 10 11 10 12 111 1
36 33
3 12 3 111 136 33
1 1( 1) ( 1)
3 3
( 1) ( 1)
x x dx u u du u u du u u C
x x C
+ = − = − = − +
= + − + +
Soal Latihan
A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila
5103)( 2 ++= xxxf
)6720()( 572 +−= xxxxf
f xx x
( ) = +1 6
3 7
f xx x
x( ) =
− +2 3 13 2
2
f x x( ) =−3
4
1.
2.
3.
4.
5.
( )x x dx2 3
4 2−
( ) ( )x x x dx2 2
3 2 2 3− + −
3 3 72
x x dx+
( )5 1 5 3 22 3
x x x dx+ + −
3
2 52
y
y
dy
+
( )( )cos sin4
2 2 2x x dx−
Selesaikan integral tak tentu berikut
6.
7.
8.
9.
10.
11.
6.2 Notasi Sigma ( )Notasi sigma ( jumlah ) :
Sifat dan rumus sigma
1 2
1 1
... dan ...
n n
i n
n sukui i
a a a a k k k k nk
= =
= + + + = + + + =
( ) = = =
+=+n
i
n
i
n
i
iiii blaklbak1 1 1
.1
=
+=
n
i
nni
1 2
)1(.2
=
++=
n
i
nnni
1
2
6
)12)(1(.3
=
+=
n
i
nni
1
2
3
2
)1(.4
Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan induksi matematika
6.3 Integral Tentu
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang
menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada
selang tutup [a, b].
bxxxa n == ...10
},...,,,{ 210 nxbxxxaP ===a b
Langkah :
1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian
disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
11
|,||||| −
−== kkkknk
xxxxMaksP
],[ 1 kkk xxc −3. Pilih k = 1, 2, ..., n
1x 1−kx kx
kx
kc
=
n
k
kk xcf1
)(
0|||| →P
=
→
n
Pk
kk xcf1
0||||)(lim
( ) lim ( ) lim ( )|| || 0 1 1
b n nf x dx f c x f c xk k k knP k ka
= = →→ = =
a b2x 1−kx kx
kx
4. Bentuk jumlah Riemann
Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann
Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sebagai
)( kcf
kc
Contoh 4: Hitung2
0
2x dx−Jawab : Langkah
(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang,n
x 2=
0 2
x xxx
1x 2x 1−ixix 1−nx
sehingga
00 =x
nxx 2
1 0 =+=
n.xx 22
2 20 =+=
ni
i xix 20 =+=
………………………………………………
(ii) Pilihii xc =
(iii) Bentuk jumlah reiman
( ) ( ) = =
−=n
i
n
i
nni
ii xcf1 1
22 2 ( )=
−=n
i
nn
i
1
442
==
−=n
i
n
i ni
n 112
144
nn
n
)n(n
n
22
4
2
14
2+−=−
+=
(iv) Jika →n
( )2
2
0
2 lim 2 2n
nx dx
→− = − + = −
Catatan:
Jika fungsi y = f(x) positif pada selang [a,b], maka integral tentu
diatas menyatakan luas daerah yang terletak dibawah grafik y = f(x)
dan di atas sumbu x antara garis x = a dan x = b
p f x q g x dx p f x dx q g x dx
a
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )+ = +
f x dx f x dx f x dx
a
c
a
b
b
c
( ) ( ) ( ) = +
Sifat integral tentu
1. Sifat linear :
2. Jika a < b < c, maka
( ) 0
a
a
f x dx
−
=
f x dx f x dx
a
a
a
( ) ( )= −
2
0
f x dx
a
a
( ) = 0 ( )f x dx f x dx
a
b
b
a
= − ( )3. dan
4. Bila f(x) ganjil , maka
5. Bila f(x) genap, maka
Contoh 5
Hitung −
++
3
3
24 7 dxxxx
Jawab
7)()()( 24 +−+−−=− xxxxf )(724 xfxxx −=++−= f(x) ganjil
07
3
3
24 =++−
dxxxx
6.4 Teorema Dasar Kalkulus (TDK)
6.4.1 TDK IMisal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).
Maka
Contoh 6: Selesaikan integral tentu
Jawab : Misal u = 2x → du = 2 dx.
1 1 1sin 2 sin cos cos2
2 2 2xdx u du u C x C= = − + = − +
f x dx F b F a
a
b
( ) ( ) ( )= −
( )sin 2
2
x dx
( ) ( ) 1cos2cos2
12cos
2
12sin
2/2
−=−−
=−=
xdxx
Contoh 7: Hitung −
5
1
|2| dxx
Jawab :
( ) ( )
( )
5 2 5
1 1 2
2 5
2 2
1 2
2 2 2 2
2, 2( ) | 2 |
( 2) , 2
| 2 | 2 2
1 12 2
2 2
1 1 1 1.2 2.2 .1 2.1 .5 2.5 .2 2.2
2 2 2 2
1 252 4 2 1
2 2
x xf x x
x x
x dx x dx x dx
x x x x
− = − =
− −
− = − − + −
= − + + −
= − + − − + + − − −
= − + − − + + −
( )0 2 4
3 52 2 5
2 2
− −
= − + + =
6.4.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)
Jika fungsi f kontinu pada [a,b] dan x sebuah (variabel) titik dalam
[a,b], maka
Secara umum
( )
( ) ( ) '( )
u x
x
a
D f t dt f u x u x
=
( )
( )
( ) ( ) '( ) ( ) '( )
v x
x
u x
D f t dt f v x v x f u x u x
= −
)()( xfdttfD
x
a
x =
( )3
2( ) 1f u x x= +
+=
2
4
31)(
x
dttxG +=
x
dttxG1
31)(
Contoh 8: Hitung G’(x) dari
a. b.
Jawab:
a.31)( ttf +=
31)(' xxG +=
b.2)( xxu =
)()(1)(' 232 xDxxxG +=
612 xx +=
3
2
3( ) 1
x
x
G x t dt= +c.
c. 31)( ttf +=
2)( xxu =
3( )v x x=
31)( ttf +=
( )3
2( ) 1f u x x= +
( )3
3( ) 1f v x x= +
3 3 3 2 3 2
2 9 6
'( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )
3 1 2 1
G x x Dx x x Dx x
x x x x
= + − +
= + − +
B. Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx( )
0
5
f xx x
x x( )
,
,=
+
−
2 0 2
6 2 5
f x
x x
x
x x
( )
,
,
,
=
−
0 1
1 1 3
4 3 5
1.
2.
3. f(x) = |x -1|
3
1
3
4
2)( xxxf −=4.
Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut
3 12 3
1
0
x x dx+
−
8 7 22
3
3
t t dt+
−
x
x x
dx
2
31
3 1
3
+
+
sin cos
/2
0
2
3 3x x dx
2sin
0
x dx
82 6 8
0
x x dx− +
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari)(' xG
G xt
dt
x
( ) =+
1
12
1
G xt
dt
x
x
( ) =+
1
12
2
G x t dt
x
( ) sin= +
+
2
2
12
=x
dssxG
)2tan()(
dtt
xG
x
+
=
3
031
1)(
11.
12.
13.
14.
15.