integral garis, integral permukaan, dan integral volume

7/23/2019 Integral Garis, Integral Permukaan, dan Integral Volume

http://slidepdf.com/reader/full/integral-garis-integral-permukaan-dan-integral-volume 1/15

BAB

27

Integral Garis, Integral Permukaan,

dan Integral Volume

Pada Bab 27 ini akan dibahas:

• Integral Kurva (Integral Garis)

• Kebebasan Tapak/Lintasan• Integral Permukaan

• Integral Rangkap 3 (Integral Volume)

27.1 Integral Kurva Integral Garis!

Misalkan suatu kurva C ari titik a sampai titik b i itentukan ole! persamaan parameter"

r (t )=[ x (t ) , y (t ) , z( t )]= x (t ) i+ y (t ) j+ z ( t )k ; (a ≤ t ≤ b )(27−1)

Integral garis ari suatu #ungsi vektor F (r) atas kurva C ie#inisikan engan"

∫c

F (r ) . dr=∫a

b

F (r (t ) ) .dr

dt dt (27−2)

an

dr=dx i+dy j+dz k (27−3)

$e!ingga

781



F 1

i

¿(+ F

2 j¿+ F

3k ) ∙(dxi+dy j+dz k )

F (r ) ∙ dr=∫C

¿

∫C

¿

F 1dx

¿(+ F

2dy¿+ F

3dz )

F ( r ) ∙ dr=∫C

¿

∫C

¿

F 1 x'

¿(+ F

2 y

' ¿+ F 3 z

' )

F (r ) ∙ dr=∫a

b

¿

∫C

¿

(27−4)

∫C

F (r ) ∙ dr=∫a

b

( F 1

dx

dt + F

2

dy

dt + F

3

dz

dt )dt

Integral garis isebut %uga sebagai integral ker%a& karena apat iasumsikan sebagai ker%a 'ang

ilakukan ole! suatu ga'a F untuk menggerakan partikel ari titik A ke titik B sepan%ang C

ika dS men'atakan pan%ang busur S suatu kurva& maka !ubungan dS engan dt aala!"

S (t )=∫√ r ∙ r ; d ~t (r=dr

d ~t ) (27−5)

$e!ingga"

782



( dS

dt )2

=(dr

dt )∙(dr

dt )=( dx

dt )2

+( dy

dt )2

+( dz

dt )2

dSdt =

√(dxdt )

2+(dy

dt )2+( dz

dt )2

dS=(√( dx

dt )2

+( dy

dt )2

+( dz

dt )2)dt (27−6)

"ontoh 27.1:

*itung Integral garis∫C

( x3+ y ) dS;C aala! kurva x=3 t , y=t

3,0≤ t ≤1

#a$ab:

dS men'atakan pan%ang busur S suatu kurva& se!ingga

( dSdt )=√(

d (3 t )dt )

2

+(d (t

3

)dt )

2

=√ 9+9t 4=3√ 1+t 4

dS=3√ 1+ t 4

dt

∫C

( x3+ y ) dS=∫a=0

b=1

( (3t )3+t 3 )3√ 1+t

4dt =∫

a=0

b=1

(84 t 3 )√ 1+ t

4dt

misalkan" u=1+t 4

→ du=4 t 3

dt , & maka"

∫a=0

b=1

(84 t 3 )√ 1+ t

4dt =∫ (21)u

1

2 du=21. 2

3u

3

2=14u

3

2

783



¿14 (1+t 4 )

3

2|t =0

t =1

=14(23

2−1)

27.2 %oal dan Pen&elesaian

+ *itungla!∫C

F (r ) ∙ dr & imana

F =3 y i− x j , C" potongan garis lurus ari

(0,0)

sampai (2, 12 )

#a$ab:

3 y i¿

(− x j¿) ∙ (dxi+dy j+dz k )=∫C

3 y dx− x dy

F (r ) ∙ dr=∫C

¿

∫C

¿

Persamaan parameter garis lurus ari titik (0,0) menu%u (2, 12 ) aala!"

r ( x , y )=(0,0 )+ ( (2,1 /2)− (0,0) ) t ;0≤t ≤1

x=2 t → dx=2dt

y=1/2 t →d y=1/2dt

F (r ) ∙ dr=¿∫C

3 y dx− x dy=∫a=0

b=1

3(12

t )(2dt )−2 t (12

dt )∫C

¿

784



∫a=0

b=1

3 t dt −t dt =∫a=0

b=1

2 t d t =t 2|t =0

t =1

=1

, *itungla!∫C

F (r ) ∙ dr , engan F = y

4i− x4 j & an C" r=t i−t

−1 j ,1≤ t ≤ 3

#a$ab:

∫C

F (r )∙ d r=∫C

( y4i− x

4 j ) ∙ (dx i+dy j+dz k )

¿∫

C

y4

dx− x4

dy

Persamaan parameter aala!" " r=t i−t −1

j ,1≤ t ≤3

x=t →dx=dt

y=t −1

→ dy=−t −2

dt

∫C

F (r ) ∙ d r=∫C

y4

dx− x4

dy=∫a=1

b=3

t −4

dt −t 4 (−t

−2dt )

¿∫a=1

b=3

(t −4+t

2 ) dt =

[ 1

−4+1t −4+1+

1

2+1t 2+1

]t =1

t =3

¿[−1

3t −3+

1

3t 3]

t =1

t =3

=1

3 [−1

t 3 +t

3]t =1

t =3

¿1

3 [(−1

27+27)−(−1+1)]=26,96

3

3 *itungla! Integral garis"∫C

[ ( x2− y ) dx+( y2− x) dy ] engan lintasan C meng!ubungkan

titik (0,1 ) ke titik (1,2) berbentuk"

a Garis lurus ari titik (0,1) ke titik (1,2)

b Garis lurus ari titik (0,1) ke (1,1) kemuian ari titik (1,1) ke (1,2)

- Parabola x=t an y=t 2+1

785



#a$ab :

a Persamaan parameter ari garis lurus ari titik (0,1) ke titik (1,2) aala!"

r ( x , y )=(0,1)+[ (1,2)− (0,1) ] t ;0≤ t ≤1

x=t →dx=dt

y=1+t→dy=dt

∫C

[ ( x2− y ) dx+( y2− x) d y ]=∫t =0

t =1

[( t 2− (1+t ) )dt + ((1+t )2−t ) dt ]

¿∫t =0

t =1

[ ( t 2−t −1 ) dt +(1+2 t +t

2−t ) dt ]

¿∫t =0

t =1

[ ( t 2−t −1 ) dt +(1+t +t

2 ) dt ]

¿∫t =0

t =1

(2 t 2 ) dt

¿[ 23 t 3]

t =0

t =1

=2

3

b Garis lurus ari titik (0,1) ke (1,1) kemuian ari titik (1,1) ke (1,2)

∫C

[ ( x2− y ) dx+( y2− x) dy ]

¿∫ x=0

x=1

( x2− y )| y=1dx+∫ y=1

y=2

( y2− x )| x=1dy

¿∫ x=0

x=1

( x2−1 ) dx+∫ y=1

y=2

( y2−1 ) dy

¿

(

1

3

x3− x

) x=0

x=1

+

(

1

3

y3− y

) y=1

y=2

¿(( 13−1)−0)+(( 83−2)−( 13−1))¿(−2

3 )+(( 23 )−(−2

3 ))=2

3

786



- Parabola x=t an y=t 2+1

x=t →d x=dt ;0≤ x ≤1 sehingga 0≤t ≤1

y=t 2+1→ dy=2 t dt

∫C

[ ( x2− y ) dx+( y2− x) dy ]

¿∫t =0

t =1

( t 2− (t

2+1)) dt +( (t 2+1 )2−t ) (2 t )dt

¿∫t =0

t =1

−1dt +(2t 5+4 t

3−2 t 2+2 t ) dt

¿∫t =0

t =1

(2 t

5

+4 t

3

−2 t

2

+2 t −1 ) dt

¿( 26 t 6+t

4−2

3t 3+t

2−t )t =0

t =1

¿( 13 +1−2

3+1−1)=2

3

. Tentukan besarn'a usa!a 'ang ilakukan mean vektor (ga'a)&

F ( x , y )= ( X +2 y ) i+( x− y )

j , untuk memina!kan partikel sepan%ang kurva/lintasan C

'ang iberikan engan persamaan x=2cos t , y=4sin t engan0≤t ≤

π

4.

#a$ab:

esarn'a usa!a 'ang ilakukan mean vektor (ga'a)& F ( x , y )= ( X +2 y ) i+( x− y ) j

untuk memina!kan partikel sepan%ang kurva/lintasan C 'ang iberikan engan

persamaan

x=2cos t → dx=−2sin t dt

y=4Sint t →dy=4cos t dt

787



0engan batas"0≤t ≤

π

4.

ai" ∫C

F (r ) ∙ d

r=∫C ( ( x+2 y ) i+( x− y )

j )∙ (dxi+dy

j+dz k )

¿∫C

( x+2 y ) dx+ ( x− y ) dy

¿ ∫t =0

t =π /4

( (2cos t +8sint ) (−2sin t dt ) )+( (2cos t −4sin t ) (4 cos t dt ) )

¿ ∫t =0

t =π /4

(−4cos t sin t −16sin2

t ) dt +(8cos2−16sin t cost ) dt

t −16sin2

t +8cos2t −20cos t sin ¿dt

¿¿

¿ ∫t =0

t =π /4

¿

−20cos t sin t −16sin2t +8(1−sin

2t )dt

¿

¿ ∫t =0

t =π /4

¿

t −16sin2

t −8sin2t +8

−20cos t sin¿dt ¿

¿¿ ∫

t =0

t =π / 4

¿

788



t −24sin2

t +8−20cos t sin ¿dt

¿¿

¿ ∫t =0

t =π /4

¿

t

−cos¿− ∫t =0

t =π /4

24 sin2t dt + ∫

t =0

t =π /4

8dt

¿t d ¿

−20cos¿

¿

∫t =0

t =π /4

¿

¿20

2cos

2t |

t =0

t =π /4

− ∫t =0

t =π /4

24( 12−1

2cos2 t )dt +2π

¿10(cos2 π

4−cos

20)−24 ( 12 t −

1

2

1

2sin 2t )

t =0

t =π /4

+2π

¿10( 12−1)−24( 12 π

4−1

2

1

2 )+2 π

¿−5−3 π +6+2 π

¿1−π

1 *itung integral garis berikut"

∮C

[ ( x2− y2 ) dx+ xdy ] C ≡ x

2+ y2=9

#a$ab:

789



Persamaan parameter ari kurva C ≡ x2+ y

2=9⇒ x

2

9+

y2

9=1, iperole! ari persamaan

cos2

t +sin

2

t =1,

(0

≤ t ≤2

π ) , se!ingga

x2

9=cos

2t ⇒ x

2=9cos2

t ⇒ x=3cos t ⇒dx=−3sin t dt

y2

9=sin

2t ⇒ y

2=9sin2

t ⇒ y=3sin t ⇒ dy=3cos t dt

ai" ∮C [ ( x2

− y2

) dx+ x dy ]

t

3cos¿dt ¿

t ¿(9cos2t −9sin

2t ) (−3sin t )dt +3cos¿

¿ ∫t =0

t =2π

¿

¿9 ∫t =0

t =2π

(cos2t −sin2

t ) (−3sin t )dt +9cos2t dt

¿−27 ∫t =0

t =2π

(cos2t −(1−cos2t )) (sin t ) dt +9cos2t dt

¿−27 ∫t =0

t =2π

(−1+2cos2t ) (sin t ) dt + ∫t =0

t =2π

9cos2t dt

¿−27 ∫t =0

t =2π

(−1+2cos2t ) d (−cos t ) dt + ∫

t =0

t =2π

9( 12+ 1

2cos2t )dt

790



B

D

C2C3

C1

A

¿27 ∫t =0

t =2π

(−1+2cos2 t ) d (−cost ) dt +9[ 12 t +1

2. 1

2sin 2t ]

t =0

t =2π

¿27[−cos t + 2

3cos

3t ]t =0

t =2π 9[

1

2t + 1

2. 12sin2 t ]t =0

t =2π

¿27[(−1+2

3 )−(−1+2

3 )]+9 [ ( π +0 )− (0+0) ]

¿27 (0 )+9 π

¿9π

27.' Kebebasan (a)ak*+intasan

2ilai ari suatu integral garis umumn'a akan tergantung paa F & titiktitik u%ung 4 an ari

lintasann'a& an sepan%ang lintasan mana integrasi itu ilakukan ari A ke B

$'arat apa 'ang !arus ipenu!i agar integral garis ari suatu mean vektor F atas kurva C

bernilai sama& 5alaupun bentuk kurvan'a berbea asal u%ungu%ungn'a tetap6 (nilai integral

garisn'a sama untuk semua lintasan C ari A ke B)

791



Gambar 27.1 Kebebasan +intasan

7ntuk mean vektor i 2

& misal D merupakan aera! paa biang XOY an

F ( x , y )= ! ( x , y ) i+g ( x , y ) j engan mean skalar ! ( x , y ) an g( x , y ) kontinu paa D

maka integral garis"

∫C

( ! ( x , y ) dx+g ( x , y ) dy )

∫ "

#

! ( x , y )dx+g ( x , y ) dy (27−7)

ebas lintasan i 0& bila terapat #ungsi ∅( x , y ) 'ang isebut #ungsi potensial (#ungsi skalar)

se!ingga berlaku"

$∅ ( x , y )$ x

=! ( x , y )dan $ ∅ ( x , y )

$ y =g ( x , y )(27−8)

$'arat i atas apat %uga ituliskan ba!5a integral garis bebas lintasan bila berlaku"

$ ! ( x , y )$ y

=$ g ( x , y )

$ x (27−9)

Mean vektor F se!ingga integral garis ari F atas lintasan C bebas lintasan inamakan

konservatif

7ntuk mean vektor i 3:

F ( x , y , z)=! ( x , y , z ) i+g ( x , y , z ) j+h ( x , y , z ) k

isebut konservatif %ika an !an'a %ika" ∇% F =0

792



| i j k

$

$ x

$

$ y

$

$ z

! ( x , y , z ) g ( x , y , z ) h ( x , y , z )|

(27−10)

i ( $h ( x , y , z )$ y

−$ g( x , y , z )

$ z )− j($h ( x , y , z )$ x

−$ ! ( x , y , z )

$ z )+ (k )($ g ( x , y , z )$ x

−$ ! ( x , y , z )

$ y )=0

$h ( x , y , z )$ y

=$ g( x , y , z )

$ z ,

$ h ( x , y , z )$ x

=$ ! ( x , y , z)

$ z ,

$ g ( x , y , z )$ x

=$ ! ( x , y , z)

$ y

ila C merupakan kurva tertutup an mean vektor F i 2

an 3

konservati# maka"

∫C

( ! ( x , y ) dx+g ( x , y ) dy )=0 (27−11)

4tau

∫C

(! ( x , y , z ) dx+g ( x , y , z ) dy+h ( x , y , z ) dz )=0 (27−12)

(-/A

ika F =∇∅ berlaku i aera! R i alam ruang& itentukan ole!

a1 ≤ x ≤ a2 , b1≤ y ≤ b2 , c1≤ z≤ c2 engan ∅ ( x , y , z ) bernilai tunggal an mempun'ai turunan

kontinu i R& maka"

+ ∫ &1

&2

F ∙ d r Tiak tergantu paa lintasan C i R 'ang meng!ubungkan

793



, ∫

C

F ∙ d r=0 $ekeliling sembarang lintasan tertutup C i R

0alam kasus ini& F

isebut medan vektor konservati0 an∅

aala! skalar potensial

$ebua! mean vektor isebut konservati# %ika an !an'a %ika ∇% F =0 atau ekuivalen

F =∇∅

"ontoh 27.2:

$eliiki apaka! mean vektor F ( x , y )= y i+ x j konservati# ila 'a& tentukan P (#ungsi

potensial)

#a$ab:

F ( x , y )= y i+ x j⇒ ! ( x , y )= y dan g ( x , y )= x

Karena $ ! $ y =$ g

$ x =1 maka F konservati#

Misal &( x , y ) #ungsi potensial Maka

& ( x , y )=∫ ! ( x , y )dx=∫ y dx= yx+C ( y )

$

$

=g ( x , y )

x+C ( y )=g( x , y )

x+C ' ( y )= x

794



C ' ( y )=0

C ( y )=C

ai" & ( x , y )= xy+C

795

integral garis, integral permukaan, dan integral volume

Documents