Mtodos Numricos Grupo 3 Integracin

Henry Zrate

RESUMEN

Clase Virtual sobre integrales compuestas, ejemplo y ejercicios propuestos

2 - Integrales

1. Definicin de Integral.

= !

!

!!!

= = !

!

!!!

= ()!! =

Usando el polinomio de Lagrange

= !! !

!

!!!;!!!

!

!!!

!

=

Donde n es el grado del polinomio y el nmero de intervalos.

= ()!

!= + = ! +

!

!

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3

1.1 Regla del Trapecio

= !! !

!

!!!;!!!

!

!!!

!

!

!= !

! =2 (! + !!!)

1 = =

1.2 Regla Simpson

= !! !

!

!!!;!!!

!

!!!

!

!

!= !

! =3 (! + 4!!! + !!!)

2 =

4 - Integrales

1.3 Regla Simpson 3/8

= !! !

!

!!!;!!!

!

!!!

!

!

!= !

! =

38(! + 3!!! + 3!!! + !!!)

3 =

1.4 Regla de Boole

= !! !

!

!!!;!!!

!

!!!

!

!

!= !

! =

245(7! + 32!!! + 12!!! + 32!!! + 7!!!)

4

=

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Mtodos de cuadraturas de newton- Cotes Intervalos Nombre

! =2 (! + !!!)

x0=a x1=b

Regla del Trapecio

! =3 (! + 4!!! + !!!)

x0=a x1=a+h x2=b

Regla de Simpson

! =38 (! + ! !!! + ! !!! + ! !! !!

x0=a x1=a+h x2=a+2h x3=b

Regla de Simpson 3/8

!!! !245 !7! + !" !!! + !" !!! + !" !!! + ! !!! )

x0=a x1=a+h x2=a+2h x3=a+3h x4=b

Regla de Boole

6 - Integrales

2. Reglas Compuestas

Los mtodos anteriores debido al nmero de puntos y el polinomio generado producen un grado de erro, pero si segmentamos aun ms el intervalo a, b tomando n puntos podemos obtener un mejor resultado de cualquier mtodo.

1. Regla Compuesta del trapecio Si definimos una integral como una sumatoria de integrales en intervalos separados equidistantes podemos afirmar que:

= ! !!

!!+ ! !

! !

!!! + ! !"

!!

!! !!

Ahora, haciendo la analoga con el mtodo del trapecio:

!! =!!! + ! !! ! Frmula Generalizada

!! ! !!) ! ! (! !!

2 !!! ) ! ! (! !!

2 !

+! !! !!)+ (!)

2 Resumiendo

! =2 !! ) ! 2 ! (! !!

!! !

!!!

! (! !!

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Si dividimos por 2n no afectamos la situacin y podemos tener una formula ms general, la cual es la siguiente.

! = ( ! )! (! ) ! 2 ! (! !!!! !!!! ! !!!

2!

Conocida como la regla compuesta del trapecio para n intervalos

2. Regla Compuesta de Simpson De forma anloga podemos decir

= !!

!!+

!!

!!+ +

!!

!!!!

Luego si hacemos el mismo proceso sobre la formula generalizada de Simpson tenemos:

!! = 2(!) + 4(!) + (!)

6+ 2

(!) + 4(! ) ! !! )!

+ !

! !"!! ! ! ) ! ! !! !! ) ! !! )

!

Generalizando la ecuacin tendriamos que:

!!! ! (! ! )! (! !! + !4 ! ! !!!! !!!! ,! ,!

3!+

! !! )! !!!! !!!!!!

!!! )

!

8 - Integrales

Ejemplo Se tiene la siguiente tabla x 0 3 6 9 12 15 18 y 0 6.2 18.5 25 18.5 6.2 0 Si lo resolvemos por el mtodo de Simpson se deben garantizar los tres puntos para generar un intervalo, segn la formula bsica. Por lo cual existen tres intervalos de 0 a 6, de 6 a 12 y de 12 a 18. En cada uno de ellos tenemos 3 puntos. Como la regla de Simpson necesita 2 subintervalos de h, el numero de integrales es 6/2=3 De forma muy sencilla tenemos , una vez organizados los intervalos: !! ! ! = 0!!"#! ! = !

!! =!3

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

Reemplazando

!!!! !!!

! ! ! ! ! !! ! !" !! ! !" !!

! ! !"#!" !! ! ! !! !"#! !! ! !"

!!!! !!!

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

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Reemplazando

! !! =!!

!" !! ! ! ! !" ! !" !5 ! !"# !! ! !"#!" !! ! !" !! !"#! !! ! !" !!

!!!! !!!

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

Reemplazando

! !! !!!

!" !! ! ! ! ! !! ! ! ! !" !!

! ! !! !

!

! ! !

!! ! !! ! !! ! !! ! !" !! ! !"# ! !" !! ! !!" !!

!

! ! !

Ejercicio Los siguientes ejercicios se deben subir al drive antes de acabar la clase es decir 1:00 pm.

1. Para estimar el ara superficial y el volumen de una botella de vino, el radio de la botella es medido en diferentes alturas. El rea superficial S y el volumen V, puede ser determinados por:

! ! !! ! !"#!

!!! !!!! ! ! ! ! !"

!

!

Use la siguiente tabla para determinar el volumen y el rea superficial de la botella.

10 - Integrales

Use el mtodo compuesto del trapecio y de Simpson

2. Hall las expresin compuesta para el mtodo de Simpson 3/8.

3. Evalu la integral, por el mtodo de Simpson y Simpson 3/8, dividiendo en seis sub intervalos. Realcela tambin de forma analtica.

! ! ! !"!!

!!