integral tak tentu

44

Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Jika n bilangan rasional dan n 1, maka nx dx 111

nxn

c di manac adalah konstanta.

Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka( )kf x dx k ( )f x dx

Teorema 1

Teorema 2

B. Integral Tak Tentu

d. g4(x) 2 1 1 10

11 4 2

2 1 1 1 0 1 1x x c

x

3 2 11 4 13 2 2

x x x c

3 21 123 2

x x x c

Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integralmerupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat

didiferensialkan pada interval , a b sedemikian hingga ( ( ))d F xdx

f(x),maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) c.Secara matematis, ditulis

( )f x dx F(x) c

di mana dx Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunanf(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya

c KonstantaSebagai contoh, dapat kalian tuliskan

32

3xx dx c

karena3

2

3d x c xdx

Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagaiwakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilaikonstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikanteorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitungintegral.

Bab 1 Integral5

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka( ( ) ( ))f x g x dx ( ) ( )f x dx g x dx

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Aturan integral substitusiJika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan

rasional tak nol, maka 11( ( )) ( ) ( ( ))1

r ru x u x dx u xr

c, di mana cadalah konstanta dan r 1.

Aturan integral parsialJika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

u dv uv v du

Teorema 3

Teorema 4

Teorema 5

Teorema 6

Aturan integral trigonometri

• cos sinx dx x c

• sin cosx dx x c

• 2

1 tancos

dx x cx

di mana c adalah konstanta

Teorema 7

66


Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkanxn 1 c yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.

1( )nd x cdx (n 1)xn

111

nd x cn dx

1 11

nn xn

1

1

nd x cdx n

xn

Sehingga 111

n nx dx x cn

Pembuktian Teorema 11

Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan( ) ( )f x dx g x dx yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.

( ) ( ) ( ) ( )d d df x dx g x dx f x dx g x dx f x g xdx dx dx

( ) ( ) ( ) ( )d f x dx g x dx f x g xdxSehingga didapat:

( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

. . . kalikan kedua ruas dengan 11n

Hitunglah integral dari 2(3 3 7) !x x dx

Jawab:2 2 (3 3 7) 3 3 7 x x dx x dx x dx dx (Teorema 2, 3, dan 4)

2 13 3 72 1 1 1

x x x c (Teorema 1)

3 23 7

2x x x c

2 3 23Jadi, (3 3 7) 7 .2

x x dx x x x c

Contoh

Pembuktian Teorema 3 dan 4

Bab 1 Integral7

Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi

f(x) u(x) v(x) adalah ( ) ( )d u x v x u x v x v x u xdx

Akan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus tersebut.Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaanseperti berikut.

d u x v x u x v x dx v x u x dxdx

u x v x u x v x dx v x u x dx

u x v x dx u x v x v x u x dx

Karenav (x) dx dv dan u’(x) dx du

Maka persamaan dapat ditulisu dv uv v du


B. 1. Aturan Integral Substitusi

Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturanini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapatdiselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebihjelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Hitunglah integral dari:

a. 29x x dx b. sin x dxx

c. 2 41 2

x dxx

Jawab:

a. Misalkan u 9 x2, maka du 2x dx

2dux dx

1 12 2 2 29 9

2dux x dx x x dx u

31 22 21 12 2 3

uu du c

2 31 2 12 3 3

u c u u c

2 21 9 93

x x c

Jadi, 2 2 219 9 93x x dx x x c .

Contoh

88



Di Kelas XI, kalian telah mempelajari turunan fungsi trigonometri,

yaitu ddx

(sin x) cos x, ddx

(cos x) sin x, dan ddx

(tan x) sec2x.

Berikut ini akan dibuktikan aturan integral trigonometrimenggunakan rumus tersebut. Caranya adalah denganmengintegralkan kedua ruas seperti berikut.

• Dari ddx

(sin x) cos x diperoleh cosx dx sin x c

• Dari ddx

(cos x) sin x diperoleh sin x dx cos x c

• Dari ddx

(tan x) sec2x diperoleh 2sec x tan x c

b. Misalkan u 12x x

dudx

121 1

2 2x

xdx 2 x du, sehingga

sin sinx udxx x

2 x

2 sin2 cos2 cos

du

u duu c

x c

c. Misalkan u 1 2x2, maka du 4x dx

dx 4

dux

sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut.

42

1 2x dx

x 4 ( 4 )x du

u x(Teorema 5)

414

u du

31 14 3

u c

112

u 3 c

Substitusi u 1 2x2 ke persamaan 12u 3 c

42

1 2x dx

x1

12u 3 c

112

(1 2x2 ) 3 c

Jadi, 2 4(1 2 )x dx

x 1

12(1 2x2 ) 3 c 2 3

1 .12(1 2 )

cx

Bab 1 Integral9

B. 2. Integral dengan Bentuk ,2 2 2 2a x a x , dan 2 2x a

Pengintegralan bentuk-bentuk 2 2 2 2,a x a x , dan 2 2x a dapatdilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x a sin t, x a tan t ,x a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini.

1. Hitunglah setiap integral berikut!

a. sin (3 1) cos (3 1) x x dx

b.2

29x dx

xJawab:a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus

mengubah sin (3x 1) cos (3x 1) ke dalam rumus trigonometrisudut rangkap, yaitu

Contoh

2 2a x 2 2 2 2 2sin 1 sina a t a t

2 2cos cosa t a t

2 2a x 2 2 2 2 2tan 1 tana a t a t

2 2sec seca t a t

2 2x a 2 2 2 2 2sec sec 1a t a a t

2 2tan tana t a t

Ingat

1

1

2

1

a

a

a

ax b dx

ax b c

ax b dx

ax b c

ax b dx

ax b c

cos ( )

sin ( )

sin ( )

cos ( )

sec ( )

tan ( )

Gambar 1.1Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri:

(i) 2 2 cosa x a t , (ii) 2 2 seca x a t , (iii) 2 2 tanx a a t

x a

t2 2a x

x

at

2 2x a

a

x

t

2 2x a

(i) (ii) (iii)

1010


sin cos 12 sin 2 .

Dengan rumus ini, kalian mendapatkan:1sin (3 1) cos (3 1) sin (6 2) 2

1 sin (6 2)21 1 cos (6 2)2 6

1 cos (6 2)12

x x dx x dx

x dx

x c

x c

Jadi, 1sin 3 1 cos 3 1 cos 6 212

x x dx x c

b. Misalkan, x 3 sin t, maka sin t 3x dan dx 3 cos t dt.

Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini!Dari segitiga di samping,

cos t29

3x

29 x 3 cos t

2

29x dx

x

2(3 sin ) 3 cos 3 cos

t t dtt

9 2sin t

1 (1 cos 2 )2

t dt

2

29x dx

x 9 (1 cos 2 )

2t dt

9 1 sin 22 2

t t c

9 9 sin 22 4

t t c

9 9 sin cos2 2

t t t c

219 9 9sin

2 3 2 3 3x x x c

1 29 sin 92 3 2

x x x c

Jadi, 2 1 2

29 sin 92 3 29

x x xdx x cx

Ingat

Integral bentuk:• 2 2a x diubah

menjadi x a sin t

• 2 2a x diubahmenjadi x a tan t

• 2 2x a diubahmenjadi x a sec t

3

t29 x

x

Ingat, rumus kosinus sudut rangkapcos 2t 1 2 sin2 t

a

Bab 1 Integral11

2. Jika g’(x) 2x 3 dan g(2) 1, tentukanlah g(x).

Jawab:

g(x) '( )g x dx

(2 3)x dx

x2 3x c

Karena g(2) 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut.g(x) x2 3x cg(2) 22 3 2 c

1 4 6 c1 2 cc 1 2c 3

Jadi, g(x) x2 3x 3

3. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik ( 2, 12) dan

memiliki persamaan gradien garis singgung 6 15dy

xdx

.

Jawab:dydx

6x 15

y (6 15)x dx 3x2 15x cf(x) 3x2 15x c

Karena kurva melalui titik ( 2, 12), maka:f( 2) 3( 2)2 15( 2) c

12 3 4 30 c12 12 30 c12 42 c

c 12 42c 30

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah f(x) 3x2 15x 30.

Asah Kompetensi 11. Hitunglah setiap integral berikut!

a. 32x dx c. 4 31( 2 3)4

x x dx

b. 2(4 3 5)x x dx d. 3 2 1(5 10 3 )4

x x x dx

2. Jika g’(x) 4x 5 dan g(3) 6, tentukanlah g(x).

3. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan memiliki gradien garis singgung

3dy

xdx

.

integral tak tentu

Education