integrale definito -...
TRANSCRIPT
CALCOLODIAREE
INTEGRALE DEFINITO
AREA REGIONE FINITA DI PIANO COMPRESA:
- FRA FUNZIONE E ASSE X
- FRA DUE FUNZIONI
CalcolodiAREE:regole
2
+a b
-a b
+-
ab
c
Area = + f(x)dxa
b
! Area = ! f(x)dxa
b
"
Area = ! f(x)dxa
c
" + f (x)dxc
b
"
+-a
bc
Area = f(x)dxa
c
! " f (x)dxc
b
!
AreaCompresa = f (x)dxa
b
! " g(x)dxa
b
! = [ f (x) " g(x)]dxa
b
!
a b
y=f(x)
y=g(x)
a b
y=f(x)
y=g(x)
f(x) positiva f(x) negativa
f(x) con segno variabile
Area compresa fra due funzioni f(x) e g(x)
3
Area regione finita di piano compresa frafunzione y=f(x) e asse x
1) Calcolo le coordinate dei punti di intersezioni di f(x) con asse x
Ixy = 0
y = f (x)
!"#
$ f (x) = 0$
2) Rappresento la funzione che può essere:y = ax
2+ bx + c
a>0:concava v.altoSegno negativocome in figuraa<0:conc. v.bassoSegno positivo
y = ax3+ bx
2+ cx + d
a>0: forma come figuraa<0: forma contraria
I .D. = f (x)dxa
b
!
-
Parabola Cubica con segno variabile
3) Calcolo I.DEF fra a e b ➞ il suo valore positivo =Area1 Calcolo I.DEF fra b e c ➞ il suo valore positivo =Area2
Area =|Int.D| u2 AREA=Area1+Area2
a
Risolvo equazione: trovo a ,b ,c
ba b c
estremi integrazione
3) Calcolo I.DEF fra a e b
4
1) Calcolo intersezioni della parabola con l’asse x ( retta y=0 )
y= !x2 + 5x! 4
I x
y= 0
y= !x2 + 5x! 4" 0 = !x2 + 5x! 4" x2 ! 5x+ 4 = 0" x=5 ± 3
2x1=1 x
2= 4
#
$%
&%
2) Rappresento la parabola, dopo aver trovato il Vertice
3) Calcolo l’integrale definito della funzione fra gli estremi a=1 e b=4
A=(1;0)B=(4;0)
I .Def = (!x2 + 5x! 4) "1
4
# dx= !x3
3+ 5
x2
2! 4x
$
%&
'
()
4
1
= !64
3+80
2!16
*+,
-./! !
1
3+5
2! 4
*+,
-./
!64
3+ 40 !16 +
1
3!5
2+ 4 = !
63
3!5
2+ 28 =
!126 !15 +1686
= +27
6= +
9
2
Area =+I.Def=+9/2 u2
V =5
2;9
4
!"#
$%&
+V = !
b
2a;!(")4a
#$%
&'(
Arearegionefinitadipianocompresafraparabolaeassex
1
1) Calcolo intersezioni della parabola con l’asse x ( retta y=0 )
y= x2 ! 6x
I x
y= 0
y= x2 ! 6x" x
2 ! 6x= 0" x(x! 6) = 0" x1 = 0 x2 = 0
#$%
&%
2) Rappresento la parabola, dopo aver trovato il Vertice
3) Calcolo l’Integrale Definito della funzione fra gli estremi a=1 e b=6
ID = (x2 ! 6x) "
0
6
# dx=x3
3! 6
x2
2
$
%&
'
()
6
0
=216
3!108
*+,
-./! +0 ! 0( )=
=216 ! 324
6= !
108
3= !36
V = 3;!9( )
-
Risposta: Area = - IntegraleDefinito = - (-36) = 36 u2
A=(0;0)B=(6;0)
V = !b
2a;!(")4a
#$%
&'(
Arearegionefinitadipianocompresafray=f(x)parabolaeassex
2
1) Calcolo intersezioni della parabola con l’asse x ( retta y=0 )
y= x2 ! 4
I x
y= 0
y= x2 ! 4" x
2 ! 4 = 0" x2
= 4" x = ± 4 = ±2
#$%
&%
2) Rappresento la parabola, dopo avertrovato il Vertice
3) Calcolo l’Integrale Definito della funzione fra gli estremi a=-2 e b=+2
ID = (x2 ! 4 ) "
!2
+2
# dx=x3
3! 4x
$
%&
'
()
+2
!2
=8
3! 8
*+,
-./! !
8
3+ 8
*+,
-./=
=8
3! 8 +
8
3! 8 =
16
3!16 =
16 ! 483
= !32
3
V = 0;!4( )
-
Risposta: Area = - IntegraleDefinito = - (-32/3) = +32/3 u2
A=(-2;0)B=(+2;0)
V = !b
2a;!(")4a
#$%
&'(
Arearegionefinitadipianocompresafray=f(x)parabolaeassex
3
Areacompresafray=f(x)cubicaeassex
7
y= x3 ! 9x
2) Rappresento approssimativamente la cubica3) Calcolo i due Integrali DEFINITINB: Gli estremi di integrazione sono le ascisse dei punti!
ID1 = (x3 ! 9x) "
!3
0
# dx =x4
4! 9
x2
2
$
%&
'
()!3
0
= 0[ ]!81
4!81
2
$
%&'
()=!81+162
4= +
81
4
A=(-3;0) B=(0;0) C=(+3;0)
I x
y= 0
y= x3 ! 9x" x3 ! 9x= 0" x(x2 ! 9) = 0" x1= !3 x
2= 0 x3 = +3
#
$%
&%
Risposta : Area compresa fra cubica e asse x = 81/2 u2
4
ID2 = f (x) !0
+3
" dx =x4
4# 9
x2
2
$
%&
'
()0
3
=81
4#81
2
$
%&'
()# 0[ ] =
81#162
4= #
81
4
4) Calcolo le AREE ( positive!) riferite ai due Integrali e le sommo AREA TOT= A1+A2= 81/4+81/4=81/2u2
1) Calcolo intersezioni della cubica con l’asse x ( retta y=0 )
A1=+81/4u2
A2=+81/4u2
-+
Areacompresafray=f(x)cubicaeassex
8
y = !x3+ 5x
2! 4x
2) Rappresento approssimativamente la cubicaA=(0;0) B=(+1;0) C=(+4;0)
Ix
y = 0
y = !x3 + 5x2 ! 4x" x3 ! 5x2 + 4x = 0" x(x
2 ! 5x + 4) = 0" x1 = 0 x2 = 1 x3 = +4
#
$%
&%
5
1) Calcolo intersezioni della cubica con l’asse x ( retta y=0 )
ID1 = f (x) !1
4
" dx = #x4
4+ 5
x3
3# 4
x2
2
$
%&
'
()1
4
= #256
4+320
3# 32
$
%&'
()# #
1
4+5
3# 2
$
%&'
()=
#768 +1280 # 384
12##3+ 20 # 24
12=128
12##7
12=128
12+7
12=135
12
4)Calcolo_ AREA_TOTALE = A1+ A2 =7
12+135
12=142
12=71
6u2
A1=+7/12u2
A2=+135/12u2
ATOT=+71/6u2
ID1 = f (x) !0
1
" dx = #x4
4+ 5
x3
3# 4
x2
2
$
%&
'
()0
1
= #1
4+5
3# 2
$
%&'
()# 0[ ] =
#3+ 20 + #24
12= #
7
12
+
-3) Calcolo i due Integrali DEFINITINB: Gli estremi di integrazione sono le ascisse dei punti!
Areacompresafray=f(x)cubicaeassex
9
y = !x3+ x
2+ 2x
2) Rappresento approssimativamente la cubica3) Calcolo i due Integrali DEFINITINB: Gli estremi di integrazione sono le ascisse dei punti!
ID1 = f (x) !"1
0
# dx = "x4
4+x3
3+ 2
x2
2
$
%&
'
()"1
0
= 0[ ]" "1
4+"1
3+ 2
1
2
$
%&'
()== +
1
4+1
3"1 =
3+ 4 "12
12= "
5
12
A=(-1;0) B=(0;0) C=(+2;0)
Ix
y = 0
y = !x3 + x2 ! 2x" x3 ! x2 + 2x = 0" x(x
2 ! x + 2) = 0 x1= !1 x
2= 0 x
3= +2
#
$%
&%
Risposta : Area compresa fra cubica e asse x = 37/12 u2
6
4) Calcolo le AREE ( positive!) riferite ai due Integrali e le sommo AREA TOT= A1+A2= 5/12+8/3=37/12u2
1) Calcolo intersezioni della cubica con l’asse x ( retta y=0 )
A1=5/12u2
A2=+8/3u2
ID2 = f (x) !0
2
" dx = #x4
4+x3
3+ 2
x2
2
$
%&
'
()0
2
= #4 +8
3+4
1
$
%&'
()# 0[ ] == +
8
3
+-
10
Risolvo il sistema trovando le coordinatedei punti di intersezione A=(a;..) B=(b;..):
Le ascisse a e b sono estremi di integrazione
a b
y=f(x)
y=g(x)
AreaCompresa = [ f (x) ! g(x)]dxa
b
"Integrale Definito fra a e b
della f-funzioneSoprameno g-funzioneSotto
y = f (x)
y = g(x)
!"#
y=f(x) funzione“sopra”y=g(x) funzione“sotto”
A
B
AREA COMPRESA FRA DUE FUNZIONI
2) Rappresento graficamente le due funzioni (anche in modo approssimato)
3) Calcolo AREA COMPRESA fra f(x) e g(x) di estremi a e b.
Casi con RETTA e PARABOLA
1)
Sia y=f(x) > g(x) nell’intervallo [a;b]
Se a>0 la concavità èverso l’alto:Se a<0 la concavità èverso il basso:
Formule vertice
y = ax2+ bx + c y = mx + q
q= intercetta con asse ym=coefficiente angolare
Se m>0 retta crescente
Se m<0 retta decrescente
Se m=0 retta orizzontale-->y=q funzione costanteV
xv = !b
2a
yv = !"
4aoppure sostituisco_ xv
#
$%%
&%%
Da ricordare…Equazione parabola Equazione retta
12
1) Calcolo intersezioni fra parabola e rettay = !x
2+ 4 ; y = !x + 2
Iy= !x2 + 4
y= !x+ 2" !x2 + 4 = !x+ 2" x2 ! x! 2 = 0...." x = !1# x = 2
$%&
'&
2) Rappresento la parabola passante per A e B e conconcavità verso il basso . Vertice V= (0 ; 4 ) Rappresento la retta sapendo che passa per A e B
3) Calcolo l’area compresa di estremi a=-1 e b=2
A=(-1;+3)B= (+2; 0)
Area = ((!x2 + 4) ! (!x + 2)) " "!1
2
# dx = (!x2 + 4 + x ! 2) "!1
2
# dx =
(!x2 + x + 2) "!1
2
# dx = calcolo int egrale !x3
3+x2
2+ 2x
$
%&
'
()!1
+2
=
!8
3+4
2+ 4
*+,
-./! +
1
3+1
2! 2*
+,-./= !
8
3+ 2 + 4 !
1
3!1
2+ 2 = !
9
3+ 8 !
1
2
= !3+ 8 !1
2= 5 !
1
2=10 !12
=9
2Area = 9/2 u2
Ix = !1
y= !(!1) + 2 = +3
"#$
%x= 2
y= !2 + 2 = 0
"#$
(f sopra )-(g sotto)
conviene prima sommare…
A
B
1)Areacompresafraparabolaeretta
svolgi tutti i passaggi!
-1 2
f
g
13
1) Calcolo intersezioni fra parabola e rettay= x
2! 6x ; y= !2x
Iy= x
2 ! 6x
y= !2x" x2 ! 6x = !2x" x2 ! 4x = 0...." x = 0 # x= 4
$%&
'&
2) Rappresento la parabola di Vertice V= (3 ; -9 ) e passante per A e B ( concavità verso alto!)Rappresento la retta sapendo che passa per A e B
3) Calcolo l’area compresa di estremi a=0 e b=4
Area = 32/3 u2
Ix = 0
y= !2x= 0
"#$
%x= 4
y= !2x= !8
"#$
(f_sopra) - (g_sotto)
2)Areacompresafraparabolaeretta
svolgi tu tutti i passaggi
B= (+4; -8)
A=(0;0)A=(0;0)B= (+4; -8)
f
g
40
A = (!2x) ! (x2 ! 6x)"# $% &0
4
' dx = !2x ! x2 + 6x"# $% &0
4
' dx =
= !x2 + 4x"# $% &0
4
' dx = calcolo int egrale !x3
3+ 4
x2
2
"
#(
$
%)0
4
=
= !64
3+ 416
2
"
#($
%)! 0[ ] = !
64
3+ 32 = + =
!64 + 96
3=32
3
prima sommare…
3)Areacompresafraparabolaeretta
14
1) Calcolo intersezioni fra parabola e retta
y= x2! 3 ; y= x! 3
3) Calcolo l’area compresa di estremi a=0 e b=1
A=(0;-3)B=(1;-2)
Area = ((x ! 3) ! (x2 ! 3)) "0
1
# dx = (x ! 3! x2 + 3) "0
1
# dx =
(x ! x2 ) "0
1
# dx = calcolo int egrale =x2
2!x3
3
$
%&
'
()0
1
=
1
2!1
3
*+,
-./! 0 ! 0( ) =
3! 26
=1
6Area = 1/6 u2
Ix = 0
y= 0 ! 3 = !3
"#$
%x= 1
y=1! 3 = !2
"#$
(f sopra) - (g-sotto)
prima sommare…
10
A
B
I
y= x2 ! 3
y= x! 3" x2 ! 3 = x! 3" x
2 ! x= 0" x(x!1) = 0"x= 0
x =1
#
$%
&%
2) Rappresento la parabola di Vertice=(0;-3) [ricorda che la parabola pura ha sempre V=( 0; c) ]
che passa per A e B e concavità verso l’altoRappresento la retta che passa per A e B
15
1) Calcolo intersezioni fra le parabolef : y = !x
2+ 4 g : y = x
2! 2x
3) Calcolo l’area compresa di estremi a=-1 e b=2
Area = ((!x2 + 4) ! (x2 ! 2x)) "!1
2
# dx = (!x2 + 4 ! x2 + 2x) "!1
2
# dx =
(!2x2 + 2x + 4) "!1
2
# dx = calcolo int egrale = !2x
3
3+2x
2
2+ 4x
$
%&
'
()!1
+2
=
!16
3+8
2+ 8
*+,
-./! +
2
3+1! 4*
+,-./= !
16
3+ 4 + 8 !
2
3!1+ 4 = !
18
3+15 = !6 +15 = +9
Area = 9 u2
Ix = !1
y = !(!1)2 + 4 = +5
"#$
%x = 2
y = !(2)2 + 4 = 0
"#$
(f sopra) - (g sotto)
prima sommare…
4)Areacompresafra2parabole
2-1
A
B
Iy = !x2 + 4
y = x2 ! 2x" !x2 + 4 = x2 ! 2x" 2x
2 ! 2x + 4 = 0...." x = !1# x = 2
$%&
'& f
g
A=(-1;+5)B= (+2; 0)
2) Grafico: Rappresento le parabole anche in modoapprossimato facendole passare per A e B.La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!!NB:per grafo preciso i vertici sono Vf=(0;4) Vg=(1;-1)
16
1) Calcolo intersezioni fra le 2 paraboley = !x
2+ 2x + 4 y = x
2! 4x + 4
3) Calcolo l’area compresa fra a=0 e b=3
A=(0;4)B= (3; 1)
Area = ((!x2 + 2x + 4) ! (x2 ! 4x + 4)) "0
3
# dx = (!x2 + 2x + 4 ! x2 + 4x ! 4) "0
3
# dx =
(!2x2 + 6x) "0
3
# dx = calcolo int egrale = !2x
3
3+6x
2
2
$
%&
'
()0
+3
=
!54
3+54
2
*+,
-./! 0( ) = !18 + 27 = +9 Area = 9 u2
Ix = 0
y = !(0)2 + 2(0) + 4 = +4
"#$
%x = 3
y = !(3)2 + 2(3) + 4 = 1
"#$
(f sopra) - (g sotto)
5)Areacompresafra2parabole
30
A
B
Iy = !x2 + 2x + 4
y = x2 ! 4x + 4" !x2 + 2x + 4 = x2 ! 4x + 4" 2x
2+ 6x = 0...." x = 0 # x = 3
$%&
'&
2) Grafico: rappresento le parabole anche in modoapprossimato facendole passare per A e B.La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!!NB: i vertici sono Vf=(1;5) Vg=(2;0)
f
g
17
1) Calcolo intersezioni fra le parabole
y = !x2+ 4 y = x
2! 4x + 4
3) Calcolo l’area compresa di estremi a=0 e b=2
A=(0;+4)B= (+2; 0)
Area = ((!x2 + 4) ! (x2 ! 4x + 4)) "0
2
# dx = (!x2 + 4 ! x2 + 4x ! 4) "0
2
# dx =
(!2x2 + 4x) "0
2
# dx = calcolo int egrale = !2x
3
3+4x
2
2
$
%&
'
()0
+2
=
!16
3+8
2
*+,
-./! 0( ) = !
16
3+ 4 =
!16 + 243
=8
3 Area = 8/3 u2
Ix = 0
y = !(0)2 + 4 = +4
"#$
%x = 2
y = !(2)2 + 4 = 0
"#$
(f sopra) - (g sotto)
prima sommare…
6)Areacompresafra2parabole
20
A
B
Iy = !x2 + 4
y = x2 ! 4x + 4" !x2 + 4 = x2 ! 4x + 4" 2x
2 ! 4x = 0...." x = 0 # x = 2
$%&
'& f
g2) Grafico: rappresento le parabole anche in modoapprossimato facendole passare per A e B.La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!!NB: i vertici sono Vf=(1;5) Vg=(2;0)