integrale improprii_proprietati

7/28/2019 Integrale improprii_proprietati

1/24

Exemple 1of: [0, ) R, cu ( ) 21

1f x

x=

+i y= 0 asimptot orizontal.

( )

Aria de calculat este reprezentat prin:

2 00arctg arctg

1

u udxyu x u

x= = =

+A

( )lim lim arctg2

Ru u

u

= = A = A u

of: [0, 1) R,2 ( )2

1

1f x

x=

are

i dreapta x=culat:

x= 1 punct singular 1asimptot la graficul lui f; aria de cal

( )020

arcsin arcsinA uu udx

1x u= = =

x

( )1 11

lim limarcsin 2 Ru uu

u a, feste integrabil pe [a, u] [a, ) .

3) Funcia f : [a, c) R (cu x = c punct sin

bil pe [a, c), daci numai dac, pentru u > a, f este integrabil

pe [a, u] [a, c).

Observaii:

ia f: I R

dac, feste continu a.p.t. pe I.

2. Dac f: [a, ) R este

u> a, cu uvariabil i asociem lui f integrala Riemann

(VII.10) ( ) ( )notu

af x dx F u=

numitintegral parial.

u f: (, b] R, local integrabil se asociaz

pentru

cazul f: R flocal integrabil pe R, se asociaz pentru

u, v

n mod analog pentr

v< b cu vvariabil, integrala parial:

(VII.10') ( ) ( )not b

= .vG v f x dxn R,

R, cu v< uvariabili, integrala parial:

(VII.10") ( ) ( ), .notu

vf x dx H u v= .


3/24

532

efiniia VII.3.

1] Fie f l integrabili u> a variabil. Dac exist limita

D

: [a, ) Rloca

finit

(VII.11) ( ) ( ) ( )1 1lim lim ,notu

au ua

f x dx F u I f x dx I

= = = R

atunci spunem c, integrala improprie ( )a

f x dx

este convergent sau

c are sens n Ri valoarea ei este I1.

st sau este infinit, integrala

improprie

Dac limita (VII.11) nu exi

( )a

f x dx

este divergent sau nu are sens.

2] Fie f: (, b] local integrabil i v < b variabil. Dac exist limita

finit

(VII.12) ( ) ( ) ( )2 2lim lim ,

bnotb

vv vf x dx G V I f x dx I = = = R

atunci spunem c, integrala improprie ( )b

f x dx este convergent sau

c are sens n Ri valoarea ei este I2.

st sau este infinit, integrala

improprie

Dac limita (VII.12) nu exi

( )b

f x dx este divergent sau nu are sens.

3] Fie f: RR local integrabili u, vRvariabili cu v < u. Dac

vv vu u

dx H u v I f x dx I

+ +

exist limita finit

(VII.13) ( )u

f x ( ) ( )3 3lim lim , ,not

= = = R,


4/24

atunci spunem c, integrala improprie ( )f x dx

este convergent sau c

are sens n Ri valoarea eieste I3.

Dac limita (VII.13) nu exist sau este infinitintegrala improprie

( )f x dx

este divergentsau nu are sens n R.

Definiia VII.4.

1o] Fie f: [a, c) Rcu x = c punct singular, flocal integrabil [a, c) i u

variabil, cu a< u< c. Dac exist limita finit

(VII.14) ( ) ( ).

1 1lim lim ( ) ,cnotu

au c u cau c u c

f x dx F u J f x dx J

< >

= = = R,

atunci spunem c, integrala improprie ( )c

af x dx

+ este convergent sau

care sens n Ri valoarea ei esteJ 2.

Dac limita (VII.15) nu exist sau este infinit, integrala

improprie ( )c

af x dx

+ este divergent sau nu are sens.

533


5/24

3o] Fie f: (a, c) Rcu x1 = a, x2 = c puncte singulare, flocal integrabil

pe (a, c) i u, v (a, c) variabili cu a< v< u< c. Dac exist limita finit

(VII.16) ( ) ( ) ( )3 3lim lim , ,

notu c

v av a v au c u c

f x dx H u v J f x dx J

+

= = = R,

atunci spunem c, integrala improprie ( )c

af x dx

+ este convergent sau

care sens n Ri valoarea ei esteJ 3.

Dac limita (VII.16) nu exist sau este infinit, integrala

improprie ( )

c

a f x dx

+ este divergent sau nu are sens.Exemple:

1o ( ) ( )00 0 0lim lim ' limu u ux x x

u u ue dx e dx e dx e

= = = u =

xe dx

( )0

lim 1 1uu

e

= = convergent, cu valoarea 1.

2o

( ) ( )11 1lim lim limu ux x x u

u u ue dx e dx e e e

= = = = +

1

xe dx

este divergent.

3o ( )11 1

ln lim ln lim lnu u

u uxdx xdx x x x

= = =

( ) ( )1

lim ln 1 lim ln 1 1 lnu u

u u u u u xdx

= + = + = este

divergent.

4o2 2

1lim lim arctg

4 4 2

uu

vv vvu u

dx dx x

x x

2

= = =

+ +

( ) ( )1 1 1 1

lim arctg arctg arctg arctg2 2 2 2 2 2v

u

u v

= = + =

534


6/24

1

2 2 2 2

= = 2 4

dx

x

+ este convergent, cu valoarea 2

.

5o

1

0 01 1 01lim lim 2 11 1

uu

u uu

dx dx

xx x

= = =

[ ]1

00lim 1 ln 1 lnv v v v xdx+= + = este convergent, cu valoarea -1.

7o cu 0 i 0; limu

a a a u

dx dxa x dx

x x

> > = = a x dx=

11 1

ln ; pentru 1 ln ln ; pentru 1

lim lim 1 1 11 ; pentru 1; pentru 1 11

u

a

u

u u

a

x u a

xu a

+

= =

= =

( ) 1

; pentru 1

; pentru 0 1

1; pentru 1

1 a

= <

=

adxx

este convergent pentru > 1, cu valoarea ( ) 111 a i

divergent pentru 1.

8o( ) ( )

( )cu 0; limc c u

a a au cu c

dx dxc x dx

c x c x

=

=

535


7/24

( )

( )1

ln ; pentru 1lim 1

; pentru 11

u

a

u cu c

c x

c x +

<

este convergent

pentru < 1, cu valoarea( )

1

1 1

1 c a

i este divergent pentru 1.

Astfel, au loc cazurile particulare:

1

20

dx

x+ este divergent ( = 2 > 1), iar

1

0

dx

x+ este convergent ( =

1

2< 1).

Observaii:

1. Integralele improprii pe interval necompact, cu f: [a, c) R, c +,

sunt de dou tipuri:

I pentru c= , avem ( )a

f x dx de tip I sau integral pe

interval nemrginit.

II pentru c R finit i x = c punct singular al lui f, avem

( )c

af x dx

de tip II sau integralimproprie din funcie nemrginit (n

limita superioar).

536


8/24

2.Prin schimbarea de variabil ( ) ( )( )

,t c a

x t tc t

= =

cu ,

intervalul [a, c) este aplicat pe [a, ) i la fel

[ )( )1 ,C a c

( )

1 cxt xx c a

= =+

aplic

[a, ) pe [a, c). Din acest motiv se are n vedere, n continuare, doarteoria

integralelor improprii cu interval nemrginit (de tip I).

3. Dac ( )2b

I f x dx

= este convergent atunci prin schimbarea de

variabil x = t, se obine ( ) 1b

f t dt I

= . Toate aspectele studiate

pentru ( )1a

I f x dx

= vor fi valabile i pentru ( )2b

I f x dx

= , n caz de

convergen.

Teorema VII.6. (Formula de reducere)

Fie f: RRo funcie local integrabil pe R.

(i) Dac ( )3I f x dx

= este convergent, atunci aRsunt convergenteintegralele ( ) ( )1 2i

a

aI f x dx I f x dx

= = i are loc formula de

reducere:

(VII.17) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1a

af x dx f x dx f x dx I I I

= + = +

(ii) Dac existaRastfel nct integralele improprii ( )2a

I f x dx= i

( )1a

I f x dx

= sunt convergente, atunci este convergent integrala

improprie ( ) 3f x dx I

= i are loc formula de reducere (VII.17).

Demonstraia se bazeaz pe rezultatul cunoscut de la integrala

definit: dac feste integrabil pe [v, u], atunci a cu v < a < u, festeintegrabil pe [v, a ] i pe [a, u] i are loc egalitatea:

537


9/24

( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )u a u

v v a

f x dx f x dx f x dx H u v G v F u= + = +

Folosind apoi definiiile integralelor improprii i proprieti ale limitei de

funcii, se deduc direct afirmaiile (i) i (ii) i formula (VII.17).

Observaii

1. Pe baza teoremei de reducere i a formulei (VII.17) se pot studia doar

integralele improprii pe interval nemrginit (de tipul I), de forma

( )1a

I f x dx

= .

2. Integrala improprie ( )a

f x dx

este convergent, dac i numai dac,

exista' a astfel nct integrala improprie ( )a

f x dx

este convergent,

cci ( ) ( ) ( ) ( )( )u a u u

a a a a

F u f x dx f x dx f x dx A f x dx

= = + = + , cu AR i,

din definiia integralei improprii convergente, se obine echivalena ncauz.

3. n aplicaii se ntlnesc integralele improprii mixte: intervalul de

integrare este nemrginit i integrandul are cel puin un punct singular;

convergena acestora se analizeaz prin izolarea punctelor singulare i

trecerea la limit n fiecare termen independent, adic se face reducerea la

tipurile precizate prin teorema VII.6 i observaiile de mai sus.

Exemple( )

( )( )01

cu : 0, , ( )1 1

dxf f x

x x x+

=

x+ +R , x = 0 punct

singular. Fie > 0, ( )0

f x dx

+ (de tip II) i ( )f x dx

(de tip I).Avem:

( ) ( )2

0 00

lim

1 1vvv

dx dxJ

x x x

+ >

= =

+ + xi

538


10/24

( ) ( )1 lim

1 1

u

u

dx dxI

x x x

= =

+ + xi:

( )2 lim 2arctg

u

vJ x = iar ( )1 lim 2arctg

u

uI x = . Deci:

( )2 1 20

2arctg , 2arctg ,1

dxJ I J

x x

+= = = +

+ 1I = .

Definiia VII.5

Fie f: [a, ) Ro funcie local integrabil.

1) Integrala improprie (de tipul I) ( )a f x dx

este, prin definiie, absolut

convergent, dac i numai dac, integrala improprie ( )a

f x dx

este

convergent.

2) Integrala improprie (de tipul I) ( )a

f x dx

se numete simplu

convergent sau semiconvergent, dac i numai dac, ( )a f x dx

esteconvergent i ( )

af x dx

este divergent (dac ( )a f x dx

este

convergent i nu este absolut convergent).

Teorema VII.7(Criteriul lui Cauchy)

Fie f: [a, ) R local integrabil. ( )a

f x dx

este convergent, daci

numai dac, satisface condiia Cauchy:

( )( ) ( )

( )

0

''

0 '

0, orict de mare dorim a.. ', '' [ , ), cuVII.18

' ''u

u

u u

u u u f x dx

>

< <

u a

Demonstraie. Conform definitiei, ( )a

f x dx

convergent

exist

539


11/24

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0 0

lim lim ( ) 0, 0 orict de mare dorim

cu 0 a.. , i ( ) ( ) ( )

T.Cauchy-Bolzano

Ru

u ua

u

u

f x dx F u u

u u u u u u F u F u f x dx

= > >

> < < < <

(VII.18).

Consecina VII.1

Fie f : [a, ) R local integrabil i care are limit la +. Dac

( )a

f x dx

este convergent, atunci (n mod necesar) ( )lim 0x f x = .

Demonstraia este o consecin imediat a teoremei Cauchy(teorema VII.7).

Consecina VII.2

Fie f: [a, ) R o funcie local integrabil. Dac integrala improprie

( )a

f x dx

este absolut convergent, atunci ea este convergent.

Demonstraia este direct. Din teorema lui Cauchy, folosindproprietatea integralei definite , cuu u a u u > < , avem:

( ) ( )'' ''

' '

u u

u uf x dx f x dx . Astfel, rezult (VII.18).

Observaii

1. Dac f: [a, ) R este local integrabil i exist ( )lim 0x

f x l

=

(condiie suficient), atunci ( )a

f x dx

este divergent.

2. Pe un interval compact [a, b] R, integrabilitatea funcei fimplici

integrabilitatea funciei | f|.

3. Consecina VII.2 arat c pe un interval necompact din R,

integrabilitatea lui |f| ( ( )a f x dx

convergent) implic integrabilitatea

540


12/24

lui f( ( )a

f x dx

convergent), dar nu i reciproc. (O integral improprie

semiconvergent, conform definiiei, este convergent i nu este absolut

convergent).Fie f: [a, ) R local integrabili un ir numeric ( ) 1 Rn nb >

cresctor, cu 0 1 1lim i ...nn

b a b b b b + n n= + = < < < <


13/24

542

= ( ) ( ) ( )1

1

10

lim lim lim lim ( )n

k

k

bn b

n nbn n n n

k a a

S f x dx f x dx F b f x dx I+

=

= = = =

R

Deci( )

1

0

n

n

b

bn

f x dx+

=este convergent.

Dac f(x) 0, x a i ( )1

0

n

n

b

bn

f x dx+

= este convergent, notm

, suma seriei numerice. Pentru orice ucu a < u, existnlim nn

S S

= R uN

a. . i cum F(u) este strict cresctoare pe [a, ), avem:un

u b a, n 0, atunci convergena

seriei ( )1

0

n

n

b

bn

f x dx+

= implic convergena integralei improprii

( )a

f x dx

, chiar dacfnu este pozitiv pe [a, ).


14/24

3. Aceast teorem VII.18 pune n eviden legtura dintre integrale

improprii i serii numerice. Din acest motiv, se poate stabili o analogie

ntre criteriile de convergen pentru integrale improprii i cele deja

demonstrate pentru serii numerice, dup urmtorul tabel:

Serii numerice Integrale improprii

0n

n

a

= ( )a f x dx

anR, nN termen general f: [a, ) Rn; n indice de sumare x; xvariabil de integrare

Sn= sum parial; nN0

n

kk

a=

F(u) = ( )u

af x dx integral parial;

u>a

lim nn

S S

= R suma seriei 1lim ( )u

F u I

= Rvaloarea integralei

0na

conv. def

lim nn

S S

= R ( )a

f x dx

convergentdef

1lim ( )u

F u I

= R

Ssuma seriei convergente S=0

na

I1 valoarea integralei improprii

convergente I1= ( )a

f x dx

4. Studiul integralelor improprii se bazeaz pe studiul seriilor numerice i

se afl la confluena dintre teoria integralelor definite i cea a funciilor

reale cu limit. Analogia cu seriile numerice nu este complet; integralele

improprii absolut convergente se ncadreaz n teoria integralei Lebesgue.

5. Din observaia precedent rezult c se pot reformula, pentru integralele

improprii, unele proprieti ale integralei definite, precum: liniaritatea

543


15/24

monotonia, formula Leibniz Newton, integrarea prin pri, schimbarea de

variabil etc.

6. Problema fundamental din studiul integralelor improprii este aceea a

convergenei, analoag cu convergena seriilor numerice. n concluzie,

vom urmri:

I. natura integralei improprii (fie convergent, fie divergent);

II. valoarea (numeric) a unei integrale improprii convergent.

Teorema VII.9.

Fie f, g: [a, ) R funcii local integrabile. Dac integralele improprii

( )a

f x dx

i sunt convergente, atunci pentru , R este

convergent integrala improprie

( )a

g x dx

( ) ( )a

f x g x d

+ x i are loc egalitatea:

(VII.21)( ) ( ) ( ) ( )a a a

f x g x dx f x dx g x dx

+ = +

.

Demonstraie: Conform definiiei, avem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

lim

lim lim lim

. Astfel, este convergent

u

ua a

u u u u

u u ua a a a

a a a

f x g x dx f x g x dx

f x dx g x dx f x dx g x dx

f x dx g x dx f x g x dx

+ = + =

= + = + =

= + +

R

i are loc egalitatea (VII.21).

544


16/24

Observaii:

1. Mulimea funciilor f: [a, ) R local integrabile, cu ( )a

f x dx

convergent, notat ([a ,)) are structur algebric de spaiu vactorial

real.

2. Aplicaia : ([a ,)) Rcare asociaz fiecrui f([a ,)) numrul

real ( )1a

I f x dx

= (convergent) este liniar, dup egalitatea (VII.21) din

teorema VII.9.

2. Criterii de convergen pentru integrale improprii

Problema convergenei integralelor improprii va fi studiat n dou

situaii: integrantul are semn constant i apoi cnd integrantul are semn

variabil. n afar de teorema lui Cauchy, aplicabil fr condiii asupra

semnului integrantului, vom avea criterii de comparaie cu inegaliti i cu

limit, criteriul integral al lui Cauchy (pentru funcii pozitive) i criterii de

tip Abel-Dirichlet, Leibniz (pentru funcii de semn oarecare).

Presupunem f 0, x[a, ) (cazul f(x) 0, x[a, ) nu se

studiaz deoarece convergena ( )a

f x dx

este echivalent cu convergena

integralei ( )a

f x dx

).

Condiia f 0, xa implic faptul c F(u) = ( )u

af x dx , u > a este o

funcie monoton cresctoare i, n acest caz, existena limitei estelim ( )u F u

545


17/24

echivalent cu faptul c F(u) este majorat (mrginit superior) pentru

u.

Teorema VII.10

Fie f : [a, ) R pozitiv i local integrabil. Integrala improprie

( )a

f x dx

este convergent, dac i numai dac, F(u) este majorat pe

[a, ) pentru u.

Demonstraie: ( )a

f x dx

convergent 1lim ( )def

uF u I

= R .

Totodat, existena l , cu F funcie cresctoare, este echivalent cu

faptul cF majorat pentru u.

im ( )u

F u

Teorema VII.11. (Criteriul de comparaie cu inegaliti - I)

Fie f, g: [a, ) Rpozitive i local integrabile. Dac avem: f(x) g(x),

xa, atunci au loc afirmaiile:

1) convergent( )a

g x dx

( )a f x dx

convergent;

2) ( )a

f x dx

divergent divergent.( )a g x dx

Demonstraie: Din ipoteza f(x) g(x), x a, rezult c:

F(u) = ua

fdx G(u) =u

agdx , u> a.

1) Dac este convergent, atunci G(u) este majorat

pentru u. Aadar, din inegalitatea F(u) G(u), u> a rezult cF(u)

este majorat pentru u. Deci, dup teorema VII.10,

( )a

g x dx

( )a

f x dx

este

convergent.

546


18/24

2) Dac ( )a

f x dx

este divergent, atunci lim ( )u F u = . Cum

F(u) este cresctoare i pozitiv rezult c F(u) este nemajorat pentru

u. Deoarece F(u) G(u), u > a rezult cG(u) nemajorat pentruu. Dar G(u) este cresctoare i pozitiv, deci lim ( )

uG u

= , ceea ce

nseamn c este divergent.( )a

g x dx

Observaii:

1. Criteriul de comparaie cu inegaliti este anevoios de aplicat, deoarecenecesit stabilirea n prealabil a inegalitii: f(x) g(x).

2. Pentru aplicarea acestui criteriu, putem folosi afirmaia: " ( )a

f x dx

convergent ( )0a

f x dx

convergent pentru orice a0 > ai a0 suficient

de mare ales". Deci comparaia celor dou funcii f i g ar fi suficient "de

la un loc ncolo" potrivit de deprtat de x = a.

Teorema VII.12. (Criteriul de comparaie cu inegaliti - II)

Fie f, g: [a, ) Rpozitive i local integrabile. Dac exist a0 > a, astfel

nct f(x) g(x), x [a0, ), atunci au loc afirmaiile:

1') convergent( )a

g x dx

( )a f x dx

convergent;

2') ( )a

f x dx

divergent divergent.( )a g x dx

Demonstraia se obine direct din teorema VII.11 i observaia 2.

547


19/24

Teorema VII.13. (Criteriul de comparaie cu limit).

Fie f , g: [a, ) R pozitive i local integrabile. Dac exist limita

(VII.22) [ ]( )lim i 0,( )x f x l lg x =

atunci au loc afirmaiile:

1) pentru l finit (l < ) i convergent ( )a

g x dx

( )a f x dx

este

convergent;

2) pentru l nenul (l >0) i divergent ( )a

g x dx

( )a f x dx

este

divergent;

3) pentru 0 < l < +, integralele ( )a

f x dx

i au aceeai

natur.

( )a

g x dx

Demonstraie:

1) Fie 0 l < + . Atunci (VII.22)

(VII.22')

( ) ( )

0, 0 i a. ..

( ) ( ) ( )

u u a x u

l g x f x l g x

> > > > >

< < +

a

Deci f(x) < ( l + ) g (x), x > u > a. Cum este convergent,

dup teorema VII.12, rezult c

( )a

g x dx

( )a

f x dx

este convergent.

548


20/24

2) l 0 ( )

( )

( )

( )lim 0 limx x

f x g xl

g x f x l= = < + . Din (VII.22'),

rezult cg(x) < ( l + ) f(x), x > u > a. Astfel, cum ( )a

f x dx

este

divergent, dup teorema VII.12, rezult c este divergent.( )a

g x dx

3) Fie 0 < l< i (VII.22'). Alegem > 0 a. . l - > 0. Cum

( )a

f x dx

este convergenti (l - ) g(x) < f(x), x> u > a, dup teorema

VII.11, rezult c este convergent.( )a

g x dx

Cnd este convergent, avnd f(x)u( )a

g x dx

>a,

dup teorema VII.11, rezult c ( )a

f x dx

este convergent.

Cnd ( )a

f x dx

este divergenti f(x) < ( l + ) g (x), x> u > a,

dup teorema VII.11, rezult c este divergent.( )a

g x dx

Cnd este divergenti ( l + ) g(x) < f(x), x> u( )a

g x dx

> a,

dup teorema VII.11, rezult c ( )a

f x dx

este divergent.

549


21/24

Teorema VII.14. (Criteriul n )Fie f: [a, ) Rpozitivi local integrabil.

(i) Dac exist > 1 a. . lim ( )x

x f x l

= < , atunci ( )a

f x dx este

convergent;

(ii) Dac exist 1 a. . lim ( ) 0x

x f x l

= > , atunci ( )a

f x dx

este

divergent.

Demonstraie: tiind c ( 0a

dxa

x

> ) este convergent cnd > 1

i divergent cnd 1, pentru (i) aplicm criteriul de comparaie cu

limit, cazul 1), cu1

( )g xx

= (teorema VII.13 - 1), iar pentru (ii)

aplicm criteriul de comparaie cu limit, cazul 2), tot cu 1( )g xx

=

(teorema VII.13 - 2).

Teorema VII.15. (Criteriul n )Fie f: [a, c) R, cu x= c punct singulari fpozitiv, local integrabil.

(i) Dac exist

= > , atunci ( )c

af x dx

este

divergent.

550


22/24

Demonstraia este imediat, folosind criteriul de comparaie cu

limit (teorema VII.13), cu( )

1( )g x

c x=

cunoscut fiind faptul c

( )

c dx

a c x

este convergent pentru < 1 i divergent pentru 1.

Teorema VII.16 (Criteriul integral al lui Cauchy).

Fie f: [1, ) Ro funcie monoton descresctoare i pozitiv.Urmtoarele

afirmaii sunt echivalente:

(I) seria numeric1

( )n

f n

= este convergent.

(II) irul numeric { }1 1( )n

n

f x dx

este convergent.

(III) integrala improprie 1 ( )f x dx

este convergent.

Demonstraie: Fie Sn = f(1) + f(2) + ...+ f(n) irul de sume pariale

al seriei numerice1

( )n

f n

= i Vn =

1( )

n

f x dx termenul general al

irului ( )1 1( )n

n

f x dx

. Funcia f, monoton descresctoare, este integrabil

pe [1, ). Deci feste i local integrabil. Cum f 0, integrala definit a lui

fare proprietatea de monotonie. Astfel, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 2

2 1 , 3 2 ,...,f f x dx f f f x dx f f n

( ) ( )1

1

n

n

f x dx f n

. Adunnd aceste inegaliti, obinem:

551


23/24

(VII.23) Sn f(1) Vn, n 1 i VnSn 1, n 2.

(I) (II) Dac1

( )n

f n

= este convergent (S

def

n) este convergent n R.

Deci (Sn) este (n mod necesar) ir mrginit. Din (VII.23) (VnSn 1, n2),

rezult cirul ( )1n n

V

este mrginit superiori, fiind cresctor, rezult prin

teorema Weierstrass, c (Vn) este ir convergent n R.

(II) (I) Dacirul ( ) 1n nV este convergent atunci (n mod necesar) este

ir mrginit i, din (VII.23) (Sn f(1) Vn, n 1), rezult c (Sn) estemrginit. irul (Sn) fiind monoton cresctori mrginit este convergent. Ca

urmare, seria1

( )n

f n

= este convergent.

(II) (III) Fie F(u) = ( )1

u

f x dx , u 1 i lim nnl V= . Pentru orice u1,

existnN a. . u< n i deci F(u) F(n) = Vnl. Dar lim nn

V

l= >0,

nN a. . n n | Vn - l | < . Fie un . Atunci, un> n de la un

rang ncolo i deci F(un) F(n) = l - . Cum F(unV n) l, rezult c

l -


24/24

Consecina VII.3.

Fie f : [1, ) R o funcie pozitiv i descresctoare. Atunci seria

1( )

n

f n

= i integrala improprie ( )

1

f x dx

au aceeai natur.

Demonstraia este evident din echivalena (I) (III) i din

criteriul integral al lui Cauchy (teorema VII.16).

Consecina VII.4.

Fie f: [1, ) Rcu 1( )f xx

= , pozitivi descresctoare pentru >0.

Atunci seria armonic generalizat sau seria lui Riemann

1 1

1( )f n

n

= i integrala improprie

1

dx

x

au aceeai natur. Deci sunt

convergente pentru > 1 i divergente pentru 1.

Demonstraia este direct, din consecina VII.3 i teorema VII.16.

Consecina VII.5

Fie g: [a, ) R pozitiv i local integrabil, iar f: [1, ) R local

integrabil. Dac exist M > 0, astfel nct | f(x) | Mg(x), x a i

integrala este convergent, atunci( )ag x dx

( )a f x dx

este absolut

convergenti are loc inegalitatea: ( ) ( )a a

f x dx M g x dx

.

553

integrale improprii_proprietati

Documents