integrales(guerreiro)
TRANSCRIPT
La derivad¿ de una función es oualbncion:
(cos r)' = - ser x
Guerreiro,¡Ríos indeñnidas Teoria .doc Facultad de Ingenieria UCV
IxIEGRALE, S IXUEFII\IDAS1.1 Primitiva de una función
En el primer curso de cálculo se aprende a obtener. r'iadefinición y regla de derivación. la función deril'ada de una
función. Adernás se prueba que es única. es decir. una funcióntiene una sola funcion derivada.
Consideremos ahora el problema inverso de la derivación:
Dada uncr Jitrtción .fk), deÍenninat' ot¡':l Jimción Fk) tcrl
que F'(x1=./'(x).
Si la función f es alguna de las contenidas en una tabla de
derivadas. la obtención de F debe ser inmediata, simplemente
leyendo la tabla al revés:
rG) F(r)
En base a io anterior damos la siguiente:
Definici&n 1.1
Lina función F(x) es la primitiva de una función f1r) en
interv'alo I si y sólo si F'(x) = f (x), para cada x e I.
Ejemplo 1.1
F(x) = arcsen x es la primitiva
en el inten'alo (- t, i) ya
un
La de
que
función
1
f1x; =
1
F'(x) = + = t(x) Para cada * e (- i, t).rj1 - r-
1.2 Integral indefinida
Decíamos antes que una función tiene una única derivada;
2 11312002
La liurción derÍr ada es única;'I
(]os x )r Lnlt)
Grallco de la iarnilie de
inx=C:funciones
t
l
lnr-+c
j: ¡
--J
La clasificación de indefinida es
obvia. F1s) -rC no es una funcióndefinida sino corno dijimos una familiade ftrnciones.
sin embarqo Ia primitiva no es única. por ejemplo las funcionest
F de la siguiente tabla son primitivas de la función f (x) = '\F(x) = Ln xF(x)=Lnx:lF(x)=Lnx=2En general siendo C unaconstante arbitrariaF(x)=Lnx*C.
F'1x) = f1"1= 1
x
Generalizando lo anterior: si F(x) es primitiva de f(x) en
el inten'alo I entonces la expresión F(r)+C describe toclas ias
prinritivas de f(x) y es llarnadaprimitiva genet'cl de f(x),Asi tenemos. del ejemplo. que F(x)=Ln x r-C es la
primitiva qeneral de f(r)=l. )i representa una familia dex
funciones que dependen de la constante C v slls gráficas guardan
entre si una relación geométrica de traslación vertical.
La "foruilict de .fimciones" o conjunto de todas lasprimitivas de (r). recibe el nombre de integral indefinida de fv tiene una notación muv especial que fue introducida por elnotable nlatemático alemán Gottlñied Leibniz ( I 646- 1 7 1 6) :
a
I f(x) dx-a
El sir¡bolo de integral J (sigma) pror.iene del griego 1'
significa suma- cuando tratemos la integral definida veremos elporqué de ello.
En lo suce.ivo omitiremos el inten'alo de definición cle iapnmltl\'a
Definición 1.2 (inteeral indefinida)
si .v sólo si F'(x) = f(x)
La función (x) recibe el nombre de integrande" dx indica que lavariable de la integración es x -y C se llama constante deintegración.
1.3 Cálculo de nrimitivas
Como usted tal vez ha podido obsen'ar. los siguientes
enunciados:
Jr,"; dr = F(x) = c
---.,
Si usted maneja adecn¿rdamente la tablade derivadas le será ruás fácil d¿rrespuesta a la preguta P.
Verilique que:
F'(x) = f 15¡
I .:. '. t. ^:. a.
Guerreiro/Ríos Indefimdas Teoría .doc Facultad de Ingeniería UCV 2L/3/2002
- Calcular la familia de primitivas, de (x).- Integrar la función (x).- Resolver la integral Jf(")a",son equivalentes y, repetimos, se relacionan directamente con [asiguiente pregunta:
P.- ¿;Cuat es la.función [.(x) cttya tlerivada esJft)'?
Ejemplo 1.2
La fórmula [*"0* = d1* a indica que la familia deJ n+l
primitivas de f(x) = ¡n es el conjunto descrito porn+1
F(x) = ] + C donde C es una constante arbitraria.\ / n+I
Con poco más que invertir las columnas de una tabla de
derivadas podemos construir la siguiente:
1.4 Tablat.l: Férmulas de integración inmediata
[x*dx= Ll *c conc.É_-[J cr,+t
l.e*dx = e. +CI
, [a*clx = o* + c-t Ln (a)
fa o" = Lnl*l+ c
, J*"., (x) dx = -- cos(x) 'i C
, Jcos(x) dx = sen(x) +C
, Jr""'x dx = tg(x)+C
. [.r.'x dx = -ctg(x) + C,l
. Jsec(x¡
tg(x) dx = sec(x) + C
, Jcsc(x) ctg(x) dx = -csc(x) +-o
frlT-; dx = arcsen (x) +CJ ','[ - x"
|., ' , dx=arcrg(x)+cJl+x
Veri{icación: La derivada tarnbién es
lineal
fr3=Jt)r,7,*, -c,=-1 v- i
_ 1,.,, , i - ,' lo ..37; _ I. * 1C),-\-\ /=,T'. ;.,
-(i\- -5t'/- - -:
\,
) [- 1- dr = arcsec (x)'Jr \: -1it |.-!0. = senh-ir : C
Jr'-: --1
f-:Ldr=cosh-rx-CJ*/tt -t
I |.l= o. - l'relt-l t = c sr :
J t-rj lcotgh-lr*C sr
1.5 Proniedades de la inteeral
El proceso de integracion es lineal respecto de la suma
algebraica 1'multiplicación por una constante. esto significa:
t tt(r) dx .k = iiJtr(xtdr=k,
frt't = s(x)lo* = Jrt,r a* t
Js{'.) a,
Ejemplo 1.3
I(u'' ,s*tr*) dx = 6
J.' o. *,
J*',' dr -2 I.-' o"
\.i a,. l/:+l t *--i-l-.L:L--' _ Ía
3 y"-l -3=l
= 2x-3 -19*t,'t *l*c
.-C
a,
=Lni x-\'x-=11*f\l/
-\=Lnlx+{x'-l i-C\i
't- i'1*.r-Ln - "'.C-\r <I ¡2 ,, 1--x
;r' >r 'lar,,=.r,*all I r-l r
si ;xi<l
si irj> I
3x'
1.6 Técnicas de.inteeración
Integrar es buscar una respuesta a la pregunta (P)- no
obstante no siempre 1a respuesta es inmediata como en ios
ejemplos dados, existen rutinas para integrar con éxito.
1.6.1 Cambio de variable o sustitución
Es uno de los procedimientos más usuales en integración,v
su finalidad es reducir la integral dada a una de integración
inmediata.
"L-.ónto se cletecta la pertinencia cle un cambio de variable?
Cuando se obsen'a que el integrando tiene la forma:
Recuerde:
Si F'(x) =f(x) entonces
[fiet.)t -r- C] = F' ig(r'))' g' (:r)
= f(g(x)) 'g'(x)
Cambio tie r¿rri¿ble:
u=senx = du=cosxd-t
Cambio de variable:
u=.3+9=du=3xldr
C¡r¡errei¡o,'Rios Indefinidas Teoria.doc Facuhad de Ingenieria UCV
r(sG)'s'(x);
Coii e1 eambio de variable u=g(x), de ,Jonde * = S'(*) o seadx
du = g'(x) dx se reduce la integral a una más sencilla:
Ejemplo 1.4. fcosx flJ"otg (x) cix = Jffi * = Ji
ciu = Lnlul * c
R.egresanCc a la ''ariable oi igiilal (devc1"'ienCo el cambio),
tenemo§:
[.o,n (:r) d:r = Lnlseirr"l'C .
J""'-'Ejemplo 1.5
[*rJ*, *s ¿*: [.69 =!**c:]],,% *cJ J 5 53,2 33
Regresando a la variable original:
[.'.F;6* = ?1*' *o¡)'' *,J
1.6.2 Inteeració-n nor nartq,s
otra técnica de integración se basa en la derivación de un
producto de funciones:
' (u'v)'(x) = u'(x)'v(x) + u(x)'v'(x)'
integrandc a at-rrbos laCos tenelncs
{(u' ,)'(*) ¿;r = Ju'{x)' v(*) dx +
Ju(x)'v'(x) dx = u(x)'v(x)
de donde:
Írt.l v'(x) dx = ,r(*)'rG)- I"'(.)'v(x) ax
.r-int e gra i origniai int e gra i ar»iiliar
Para el éxito de esta tecnica debe tener en cuenta lo siguiente:
a.- Elegir v, entre los factores de la integral original, de forma
que se obtenga v sin dificultad.
Seanv'=\ v tt=f,ltx
entonces1s-lv---- \' u=-2x
Cambio de variable:x=4senz-dx=4coszdz
+ C'onsidcrando el coseno positivo.
\Ñ
Cambio de vtriable:
b.- La integral auxiliar clebe ser tácil de calcular.
Ejemplo 1.6
Con la elecciÓn de u y v' como se indica a la izquierda tetlefilos:
J* rn* d* =. {Ln
"- 1, I ¿*
2 ,--* Lnr-11*¿*
a olL ./-¿
22= * Ln*:a-+C.24
1.6.3 Sustituciones trisonométricas
Algunas integrales cLlyo integrando contiene expresiones como
.r2to2 o o2xu2,se pueden simplificar usando cambios trigonométrictls que
involucran respectivamente las identidades :
l+tg2x:sec2x
Ejemplos 1.7
y ser",2*+cos2x=1
Idr=ld#+4coszdz: l'{_r",r, * r- l- f**n,, ,=J-o*:dz'J z dz
= J,*' z dz =J(*""' , -t)d,
= Jr""2 zAz * !dz = tgz - z + C .
Ahora se debe regresar & la variable original. Para ellocorrsideremos el triángulo rectángulo de ángulo agudo z , a la
izquierda, tal que senz = f , norlotanto tgz-- Jt¿: *;.
Luego,
e\ =ltgo
-_ .tdr=lsecladu
- + Cousrdcraudo: secü >(,
Del e-jercicio resuelto l l-l se tiene:F
I secrdz =Lusecz - tgz - CJ
Completacion de cuadrados:
rl --lx -3 = xl -t {x -4 - -l -3=(.r=:f _l
C¿mbio de r-ariable.sr-2=SCCü
ds = secq tgu dcr
x Suponiendo tgrr > L)
Gu"'r-'iro Ríos Indefinidas Teone.do¡ Facultad de Ingeniería L.C\ 21t3i2002
= m ¿o= J"to
do = Lnlseco+ tgul+ c
Devolvamos la variable (use la identidad respectiva):
to z =L. Ir.no sec 0, = f rlG. - .^
Luego:- \ l. \' /
l--l-¿* =t_n1¡++el\ ia *C = senh-liJnl4*"4- rf ' 2, \
^r)i- l+C,rl
1.6.4 Integrales gue contienen el término ax2 + bx + c
Trataremos ahora integrales en cu!'o integrando aparece el
término cuadrático axl -r-bx*c conb *0 y que no sea un
cuadrado perfecto: para b:0 se aplica el apartado anterior.
Se completa cuadrado para reducir el término a la forma
u2 t u2 o bien a2 + u: y luego se hace un cambio de variabletrigonométrico.
Ejemplo 1.9
l.-:§=.r]-0.= l- §¿-*J *t-=4xt3 J (x+2\=-l
f secu= l---::::--sec0" tqq. düJr1se.2o - I
e?*F
= lsec-ü tgü du= lsec:u doJ ttgai J
r rtga*C.
Regresando a la variable original:
tg3 cr = sect cr -1 = (x + z)2 -ttgc =,G-2)L1de donde
Por lo tanto
[ +--3. dx = 1* *z¡= l *cJ *'-.4x +-3
1.6.5 Descomoosición en fracciones simnles
Si el integrando es una función racional, es decir, tiene laforma
Raíces de multiplicid¿d uno.
Q(rl=(r-lN-rr2[s-3)Raices: \1 = -1. \2 = -2. \3 = -1 . que
son Reales r distintas. se dice que tienenrmrltiplicidad ulo.
No sierlpre Qtsi aparccefactorizado corno r'i ejemplo.
donde At. A:, .. .-A,, son constantes a determinar.
Ejemplo 1.10F
Resolr er la sieuiente integrat J ,a_ , tr- 2X*- )
d*
''¡'Se buscará una descomposición de la tbrma siguiente:
r*r
-
\. -:'1r-*
A, * A,r ' (r-l[r=2[r*3) -\-:-l x+2 x-3
Debemos encontrar las constantes A1 , Au y A3 que satisfacen
R(x) = ¡.¿Q(r)
donde P. Q son polinomios, se buscará una descomposición deR en fracciones simples. Deberán ser considerados varios casos:
I) El gp'ado cle P es merrct'que el g'ado tle O.
a.- Si el grado de Q es n v tiene n raices reales distintas,\r,\f ,...,X1l, se descompone R(r) en la forma.
P(§¿ = Aj_ -' 1, -...+ j,, _ .
Q(x) X-xr x-\: X_X,,
la igualdad
.\(r-lX*-3Xx-3)
de donde
(**) r =.A,(x * 2[x - 3)" A.(x -r iX* -:)- er(r - i]x - ?):
daremos dos técnicas de cálculo:
i) Desarrollando e igualando los coeficientes de los términos de
igual potencia (método de los coeficientes indeterminados).
, = ^q,(*' - * - o)+ lr("' - 2x -:)+ a.(r: +:* * 2)
= (Ar -:A., +A3) ": +(-Ar -2A: *3Ar)x -6Ar -3A: +2A.
la ecuación conduce al sistema
iAr-Ar+A_1 =s
1- A, - ?A: -:3A-3 = i ,
.-UO, -3A: +?A3 = 0
_ Ar(x * 2Xr - 3)+ A:(r + lXx- * 3)+ A:(r +1.)(.'. + 2)
(x+l[x+2[x-3)
Atención: Esta tecnica de sustittrir tasraíces pudiera parec€r errónea porque elintegrando no está definido en _.1 , -2 y3. La ecuación (*) es válida para cadavalor de x diferente de los mencionados,es una identidad. por lo tanto parax*-l:
1;F*:r.Ar'n'i*'*'*-*v
, ( -{+l -t+t\-l'l'1, 6;P¡' "t9,|.'t"
n,;á' n, ;;Jde donde A, = 1.'4En ii) reemplazarnos cl ptrso al lirnitcpol' urn sustitución directa.
Raíces con multiplicid¿rd m>1.
Factorie¿rción de Q(x):
Q(x) = *4 - 2*3 'l- *2
= *'(t' - z* + r)
= ,2(* - tfRaices:
.\l =0 . connrulúplicidad2.
x2=l , r¿ !' 2,
Gucneirr/Rios Indefinid¿s'I'eorí¿ .doc Eacult¿d de Ingeniería UCV 2t/3i2002
cuyas soluciones son: A1 = 1, A. = -? y A¡ = *-r4'-520
ii) Sustituyenclo clirectamente las raices en (**)
x=--1:
-t = Ar(- I +2[-l *3)=+ -1 = -4Ar > At = V4x=-'2:
-z = Az?2 +1[- 24)=] -2 =. 5A2 =] Az = *215
x=3:: = A:(3 + l[: + 2)> 3= -2oA¡ = A: :3120
Así tenemos
f-----¡- , í tl4 zls 3¡20 )J¡;.6;rFr*= J[«ó a;a*f-:ij d.
= lLnl* + rl - l-r-nl* + zl +]Lnlx - :l + c4r15''20r
b.- Si la descomposición de Q tiene un término de la fbrma
(x - xr )"', se dice que x¡ €s una raiz con multiplicidad m,
entonces la descomposición en fiacciones simplescorrespondiente a esta raíz tendrá la siguiente tbrma:
Br *_ ", _ _l-...+_q-r"--x-xk (*-*r)' (*-*r)"'
Ejemplo t.1l
Resorver [,:1 _I:,ii,.] o.Jx
Las raíces tienen multiplicidad dos por lo tantocorresponde una descomposición como sigue:
4x:l *4x2 +x+.1 4x3 -4x2 +.t+l A1 A2 81 R2
- -r¡-¡ = *'(*Ll =;*J*.--r*¡*;
Se debe encontrar los valores de las constantes A.¡ , ,A2,
I3r, y Bz que satisfagan la igualdad:
4x3 -4x2 +x-rl - A1x(x-.l)2 tA2(x.-1)2 +B1x2(x-l)+B2x2-7ñ-t'-- --
"'?^ J\':
de donde
l0
Al§lg¡Sli La ecrmción es verdadera paracualquieyvalor de x diferente de 0 y l.
Término cu¿rdrático con multi¡llicidadm.
4x3 -- 4x2 +x *-1 = A,x(x -1)' + Ar(, -t)2 +8,x2(x -- l) +Brxz
_ Usted puede desarrollar, agrupando términos de igualpotencia y luego igualar los coeficientes de potencia de igualgrado. Pero, tal vez requiere menos trabajo de cálculo una"variación" del método (ii) aplicado en el ejercicio anterior.
Sustituimos las raices en la ecuación anterior:
x=0 ::¡ A:=1X=l :+ BZ=2
Ahora sustituimos los valores de A, y B, encontrados y dos
valores diferentes de x:
x = ..'1 conduce a 24, + B1 == 7
x=2 conducea Ar+2Bl=5 ;
la solución de este sistema es Ar = 3 y Br = IAsí tenemos:
f4x'¡--4x2+x+1J -;rf-;'; a* = -4x2+-x+1 --....."""...-...'..':-'dx
*:1* - t¡2r{-l¡i '{**.ú,] dx
=, I*0" - Ilo*, Jl];0.*2 IAh.d.
= rlnlxl-++.hlx- rl-- ¿ -*6
c.- Si en la tbctorización de Q(x) aparece un término cuadrático
ax' -f bx * c irreducible (b2 - 4ac > 0 ) con rnultiplicidad m,
entonces para éste térrnino se buscará una descomposición de lafbrma
A¡x +.B1 A2x + 82 Elr,,x +Cn,
u*tu**-6ilTt"'r6.d;I"Ejernplo 1.12
Resorver I_¡#;t d*
De acuerdo a la factorización de a corresponde ladescomposición:
Factorización de Q(x):
Q(x)="6+2*4+*2
= *'(*u + zx? + r)
= *'(t' * rl ,
x = 0 es una raíz con multiplicidad 2
y, x2+l es un término cuadráticoirreducible con multiplicidad 2.
Ahorraremos cálculos. en este ejemplodebido a la cantidad de ecuacioneshornogéneas que se deriban. sidesarrollamos e igualamos loscoeficientes de los términos de igualpoteucia.
Cambio de variable:x=tgu
dx = sec2c d«
Devolución del carnbio:
Gumeiro,/Ría:; Indefi nidas 1'eoria . doc Facult¿d de Ingeniería UCV 21t3/20$2
It
x6 + ?x4 + x2 *r(*, * rf_ Ar -A, -Btx+Cr *Bzx+Ce*--7- l*r - 6,*ry '
que conduce a la ecuación
t = Ar*(x2 *rf *or(t'+tf +1n1*+c1¡*2(*2 +t)+1e2x+Cz)*2
Determinemos las constantes :
I = xs(Ar + B,)+ *o(A, + c,)+ *'(2A, + B, + Br)
+ x' (z.Ar+ cr + cr)* xA, + A,
de donde se obtiene el sistema,A, +Br = 0
Ar*C, =Q
2A., +8, +8, = Q
2Ar+ C, +C, = 0
At=oAz =l
cuya solución es
Ar = 0, Az = l, Bt = 0, Bz = 0' Cr = -1,C2 * -1
dx=jffi*r{r ,___J
"lo.= JL; -.-*l
(x" rt)'I=-i-arctg"-ffi*
Itima integral:
Id;hao= J"o.zud.^FI§4do -- 1o *f ,.n za +cJ2241u."r** *-l--:-! +c2 2J*'+tJx2+l
Asi tenemos:
f_1J*u * 2x4 +x2
Resolución de la ú
[-1--- o* =I r*2 r t\2
J\^ I LI
:
12
-K1
xcosü=_[1-.-.--'seno
{x" +l
Recuerde que:
l=c*RaadondeCyRsoncociente y el resto.
Identidades de ángulo medio:
)ü. l-cosc¿sell- - =
-1u l+cosu
COS- - = ---*
l'r"rr,r, xcos.x dxJ
= ' a"n2m+l**62nr+l
I=:J*2 *t
Poi lo tanto
frt__J*u * 2x4 +x2
1lx=larctsx*- :'- *C', " 1---!,L L
^ -l
dx = -l-larctsx+--]-+C .x 2 2(xr+1)
ff) Si el gyado de P es n ayor o igual que el grado de Q se reduceal coso ilrlerior ditidiendo.
Ejemplo l.13
I$}o* = (* "",1)0. = ; -tsh-l(x) +c
si lxl < t.
1.6.6 Intesrandos trieonométricos
En esta sección evaluaremos integrales cuyos integrandosson potencias o productos de potencias de funcionestrigonométricas.
1.6.6.I Potencias de seno y coseno
Veamos como resolver las integrales
Isenkxdx y J"otoxdx,donde k es un entero positivo mayor que uno.
- Si la potencia es par use las identidades dadas a la izquierdapara bajar el grado de la potencia.
Ejemplo l.L4
J*..,0x dx = I(,*,*f o* = ('-Tt'";'o-= t [|,, -2cos2x *' (t *.or+*ld*4J[ 2' ')
3 1 t2x +!."rr 4x + c= -x - -Sef 32
-Si la potencia es impar usar la identidad sen2 * + cos2 = I para
obtener integrandos de la fortna
"or2"' x sen x o bien ,an2"' aos* que se integran fácilmente.
I ;os-"t r serr r drJ
I .,,,_,s-"'\*Llrtt * I
1atg"Cl - 1= Sec-Cr.
Cotg-ü-1=CSC-C¡
Gu.'neiro Riu in{¿r-uids T e.rir . J.rt Fasuhad de lngenierir 1. C\-
t3
Ejemplo 1.1;5
J.o.'r dx = J.ort xcosx a* = J(1- sen: r)cosr
:-senr-fsen3r-C3
1.6.é.II.- Potencias de la tangente y cotangente
Para las integrales:
con k >l y' entero. se usan las
obtener integrandos de la
cotg"'x csc: x.
Ejemplo 1.16
J.otg'- ¿s = jcotst* (9sc'*-r)a* =..! =
= J(.ots'* csc? x - ct-qx csc2 x - .o,gr)d*lri- --cotg*x + lcotg:x + Ln sen x + C.i"a+L
1.6.6.If[.- Potencias de la secante y cosecante
tsect r dx " [aoraakr dx) , J
- Si n es par se usan las identidades trigonométricas anteriores.
Ejemplo 1.17
Jr".tx dx = j(J*,st *)r..'¿* = ir..tdx -{tg: x sec:x cix
= tgx = 1tgt. * cJ
- Si n es impar se combinan las identidades con integración porpartes.
Ejemplo 1.18
f.or."" ¿x = jcose.* (t*"otg'*)d*
= [.or..* d* -. [cosecx cotgx cotgx dx
Esra última ,. ,.rr.,.,. .on in**roción por partes:
II cotg*x dr.J
identidades de la izquierda para
tbrma tgn'x rec2 * o bien
Jts* " o* ),
1+
'= CoSeCx cotgx \: = -CoSecx
u = cotgx u'= -cosec2x
Se aplica la formula tle integración por partes I' se despeja la
integral:
i.or.." o. = I (Ln cosec* - cotgx - cosecx cotgx)* c .
Fórmulas de reducción
Otra ria alternativa para integrar potencias de funcionestrigonornétricas es a traves de las tórmulas de reducción que se
deducen usando integración por partes, véase a titulo de ejemploel ejercicio resuelto 1.23 donde se deduce la correspondiente
fformula para lsec'' xdx .
J
1.6.6.1Y.- Productos de senos y cosenos de igual argumento
Trataremos ahora las integrales de la forma:
|.r"rr'n xcos" x dxJ
- Si una de las potencias es impar digamos m = 2k + 1:
i r"n t'*t x cos" r dr = J (s"r' x) cos" x sen x d.x
fii -.or'..I.or" " . senx dxt.\ ,
t Potcnciasdr'l cos eno ucnvada lllt enl¿t
= J(.ort x - 2cos+ x + cosu.)sen. d.
= -1.or' r -lcos5 * -l"ort x + c3s7- Si ambas potencias son pares se usan las identidades de
ángulo medio para bajar la potencia:
Ir.n" * coss'' x dr = Í6""'
*)'(.or=|'a*
lf I - cos2x)"/I + cos2x \"' .=Jl = i l, 2 i o*
Ejemplo 1.20
Ejemplo l.l9
_[-.r' r coi xdr =
Jtr -.ort x): cos2 x sen x dx
Identid¡dts:
iclrü, senl-l ={[.o.k -p )- cos{u -§ )]
coso. cosg = ]f.ortu -B ¡- ¡65(¿ *¡t)]
scnrru'osp =][..n{o -p)-sen@ +B}]
j".. k ,. -... :s tg rdx = 1f r..k=l r - c
Gue¡retrRíos I¡rdc1-i¡rjd¿sTer.rir.do.' Fec.uhadde Ingaled¡ LC\: 21 '3 ?002
15
i,*n, \ cos: r dx = Ifl=jr=T= l."
=-1*-lr.n4x*c.8321.6.6.\.'.- Productos de senos y cosenos de argumentos
diferentes
Las integrales de la forma siguiente:
Jt.no* senpx dx ; J..no,, cospx dx : J.oro* cosBx dr
se resuelven pasando a una suma de senos ío cosenos con lasformulas de la izquierda.
Ejemplo 1.21
[r.r1i*¡ sen(6x) = i Jt ".,3x)-cos(er¡]dsJ
= l-sen(3s)
- -! senlsr¡ * 66 18
1.6.6.\1.- Producto de potencias de tangente y secante
i,=** sec" x dx
-Si la potencia de la tangente es impar el integrando se reduce
a suma de términos de la forma seck * secx tgx, en efecto:
Siendo m:2k-1.
l',,t*-' x sec" r ds = fi,*= .I sec'-l x sec x tg x drf - l\- tJA
' = [(s".t * - t] sec"-lx . secxtg\ dx
- P."r"* ..1. *. r* ¡eri,«u i[rnu
Ejemplo 1.22
Jtgt rec'x dx = I(*..'* - r..*)r"cx tgx dx
=1r..**-1se.'+c-Si la potencia de la tangente es par el integrando se reduce apotencias de la secante, en efecto:
Siendo m:2k
f ,-n'* rsec" xdx = I(,*'* -tf secn xdx.
1b
f."t *,i\ : lsec \ tg \ *lt-npec s =tg
Canrbio universal:
u = ts(s/2)
Ejemplo 1.23
[,*t = secx dx = [(r.."- l)secx dx
1 1_= lsecx tgx - it"secx
+tgx] = C .
1.6.6.\itr.- Integrandos racionales,en §eno§ y co§enos. Cambíouniversol
Si el integrando es una función racional de senos
cosenos, este se puede reducir a una función racional con
cambio universal.
ve1
de donde
- 1 rX l( 1i \ r
du = -sec- dx - -: ts- 1+t l¿* = 1{u'+t[x2 2 2q- 2 ) 2'
lue_qo
i. 2 ,lrdX = -;-OUri u'+1 I
Deducimos además que:
^xsec''-=u--l .lue-so2
de donde
! t-u'I:cosx--- .i: l+u-l
z r \if 1 "¿ Iy sen:x=l-i '-i,i luego(l + u'j
r------r;-lisenx:;_:iI l+uJ
Ejemplo 1.24
1." 2u *t-"''"1*rrl ' l+u2
)5dul-rU
1 + cosx rx 1
=cos--=--,2 u'+l
Idx-1* 2senx + cosx
l"l
=Í#*,= itrlt+2ul+c
Carnbio de variable:
t3 =x+9=3t2dt=dx
21t312002
= 1r-nh + z tsrl -u c2 I "21
1.6.7 Intesrales irracionales
Denominamos con este título los itrtegrandos que
contienen radicales. Con un cambio de variable adecuado se
puede convertir los radicales en potencias enteras
Ejemplo 1.25
J" V;-* s a* = J(,' -s),' 3t2 dt = |t' -?;7 t * c
= iG +slis -']G+ e)+r: *. .
7' ' 4'
En un mundo que va tan a prisa y donde las especializaciones se imponen sobre la cultur¿t
general, un instrumento de cálculo que permite obtener un resultado con poco más que presionar un¿l
iecla no deja de ser algo valioso, al menos para los interesados en acompañar al mundo cientifico en su
veloz carrera. Sin embargo desde el punto de vista educativo estos instrumentos de cálculo,
(calculadoras, computadoras y paquetes de calculo) pueden resultar un verdadero espejismo para el
aprendizaje en especial para la adquisición de destrezas de cálculo. Los autores de estas notas
entendemos la necesidad de Que el estudiante sepa manejar con eficiencia estas herramientas, pero a la
vez queremos alertar clue solamente serán útiles para el aprendizaje si el estudiante no intenta.eemplarar las técnicas de resolución de problemas y la adquisición de destrezas por un simple
ciíüculo. Use estos instrumentos como un recurso auxiliar y tenga en cuenta que la habilidad de cálculo
sélo se adquiere con una práctica persistente.
Maple es un poderoso paquete de cálculo que le permitirá comprobar sus cálculos manuales y
obtener comparacionés gráficas en una tbrma rápida y sencilla. Seguidamente presentamos las
instrucciones propias de este capítulo. Se agradece darle un uso educacional eficiente.
TNSTRUCCIONES DE CALCULO EN MAPLE
olntegral indefinida: comandos int e fnt
>int((x),x);(r) : función, x: variabledeintegración.Con el comando Int, Maple escribirá la integral.
Ejemplo:>Int(x^2,x);
Guen'eirolRios hrdefinidas Teoría .doo Facultad de Ingerrieria UCV