integral+vektor+mattek+1

8/6/2019 INTEGRAL+Vektor+Mattek+1

http://slidepdf.com/reader/full/integralvektormattek1 1/30

INTEGRAL VEKTOR

DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO

UNIVERSITAS INDONESIA



INTEGRAL GARIS

Suatu objek bergerak dari titik P1 ke P2

sepanjang l Jika suatu gaya diberikan kepada objek

tersebut, maka besarnya kerja yangdilakukan adalah F cos U l, atau dalam notasi

vektor adalah F . l



Jika gaya yang diberikan

berubah besar dan

arahnya, dan objek

bergerak tidak lurus,maka :

§!(y

N

i

il F

1

Maka integral garis dari F sepanjang lintasan C dari P1 ke

P2 adalah :

´y

C

d l F



Contoh

Htiunglah nilai

C adalah garis lurus dari titik (0,0) ke (1,2)

C adalah lintasan parabola dengan persamaan y=2x2 dari

titik (0,0) ke (1,2)

j xyi x F d l F

C

3 dimana 2 !y´



Pada lintasan ini y = 2x

dy = 2 dx

3

13

3

1313

)2)(2(33

i3

1

0

3

1

0

2

1

0

22

2

!¼½

»¬«!!y

!!y

y!y

´´

´ ´´

´´

xd x xd l F

d x x xd x x xyd yd x xd l F

d yd x j xyi xd l F

C

cC

C C

y



y

Pada lintasan ini y = 2x2

dy = 4x dx

15

77

5

24

3

124

)4)(2(33

i3

1

0

53

1

0

42

2

1

0

22

2

!¼½

»¬«

!!y

!!y

y!y

´´

´ ´´

´´

x xd x xd x xd l F

xd x x xd x x xyd yd x xd l F

d yd x j xyi xd l F

C

cC

C C



Ketidaktergantungan Integr al

pada lintasan

Jika integral garis mempunyai nilai

yang sama untuk batas yang ditentukan ( P1

dan P2) tanpa melihat bentuk lintasan, makaF disebut medan vektor konservatif

´´´ y!y!y321 C C C

d l F d l F d l F

´ yC

d l F



Syar at Konservatif

x

Q

y

P

f Konservat iS yarat

Q F

P F

dyQdx P dy F dx F d l F

y

x

y x

x

x!

x

x

!!

!!y ´´´

:



y

F

x

F 0komponenz

z

F

x

F 0komponeny

z

F

y

F 0komponenx

0 F

:adalahsyaratnyamaka

(3dimensi)zy,x,koordinatUntuk

xy

xz

yz

x

x!

x

x!

x

x

!x

x

!

x

x!

x

x!

!v�

F z F y F x z y x

k ji

F

x

x

x

x

x

x!v�



Skalar Potensial

Medan Vektor konservatif dapat diekspresikan

dalam gradien dari medan skalar (skalar potensial)

sehingga : F = �J dimana :

? A

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

dan

P

P

P

P y x

P

P

P

P

P

P

y x

y x

dy F dx F

d dy y

dx x

dy F dx F

S ehingga

y F

x F

J

J J J

J J

!

!x

x

x

x!

x

x!

x

x!

´

´´´



Contoh :

Tunjukkan bahwa medan vektor

F = y2 i + 2xy j adalah konservatif.

Hitung besarnya integral garis untuk lintasanC sebagai berikut :

C adalah garis lurus dari titik (0,0) ke (1,2)

C adalah lintasan parabola dengan persamaan

y=2x2

dari titik (0,0) ke (1,2) Tentukanlah skalar potensial dari medan

vektor tersebut



2

x

Q

y

P

2x

Q maka 2

2y

P maka

j2 i

f konservatior medan vektPembuktian .1

2

2

y

y xyQ F

y y P F

xy y F

y

x

!

x

x!

x

x

!x

x

!!

!x

x!!

!



Pada lintasan ini y = 2x

dy = 2 dx

? A 4412

)2)(2(2)2(2

i2

1

0

3

1

0

2

1

0

22

2

!!!y

!!y

y!y

´´

´ ´´

´´

xd x xd l F

d x x xd x x xyd yd x yd l F

d yd x j xyi yd l F

C

cC

C C

y



y

Pada lintasan ini y = 2x2

dy = 4x dx

? A 4420164

)4)(2(2)2(2

ji2

1

0

5

1

0

4

1

0

44

2

1

0

222

2

!!!!y

!!y

y!y

´´´

´ ´´

´´

xdx xdx xdx xd l F

xdx x xdx x xydydx yd l F

dydx j xyi yd l F

C

cC

C C



Pencar ian skalar potensial

C xy xy

y

C x y x

j y

i x

xy y F

!!

x

x

!!x

x

x

x

x

x!�

�!

!

2

22

2

maka 2

y maka

F

j2 i

J J

J J

J J J

J ? A ? A

40)2(1 2

)2,1(

)0,0(

22

1

!!y

!!y

´

´

C C d l F

C x yd l F

C

P

P

C

J



INTEGRAL LUAS

Diberikan permukaan S dalam

ruang, untuk S yang terbuka

(bermuka dua), vektor tegak

lurus S memiliki dua arah, arahpositif dan negatif

Sebuah vektor satuan n

disebarang titik dari S disebut

satuan normal positif jikaarahnya keatas dalam kasus ini.



Sehingga integral permukaan (fluks) akibat sebuah

skalar fungsi (medan vektor Q) pada sebuah

permukaan S adalah :

´´´´ !S S

d S nQd Q .S.



Untuk menghitung

integral permukaan akan

lebih sederhana dengan

memproyeksikan S pada

salah satu bidangkoordinat, kemudian

menghitung integral lipat

dua dari proyeksinya.



k nk n

D maka

xy) bidang pada(Proyeksi k nk SD

xz) bidang pada(Proyeksi jn jSD

yz) bidang pada(Proyeksi iniSD

:dimana

)k D()jD()iD(S

:koordinat bidangdalamkandiproyeksidapatS

nS

3

3

2

1

321

y!

y!(

y(!y(!(

y(!y(!(

y(!y(!(

(((!(

(

(!(

dydxS

S

S

S

S



Misalkan Sampel mempunyai proyeksi R pada

bidang xy, xz dan yz maka integral permukaan :

´´´´

´´´´

´´´´

yy!y

yy!y

yy!y

RS

RS

RS

in

dydznQd S nQ

jn

dxdznQd S nQ

k ndxdynQd S nQ



Untuk permukaan f(x,y,z)=C, maka � f

merupakan vektor tegak lurus permukaan

f(x,y,z)=C

f

f

n

k z

f j

y

f i

x

f f k

z j

yi

x f

��

!

x

x

x

x

x

x!¹¹

º

¸©©ª

¨x

x

x

x

x

x!�



Contoh

Hitunglah integral

permukaan dengan

Q = xy i - x2 j + (x+z) k

dan S adalah bagianbidang 2x + 2y + z = 6

yang terletak dikuadran

pertama

622 ! z y x

x y ! 3



´´´´

´´´´

y

!y

!y

!!y

y!y

!

!

!�!�

RS

S S

k n

d xd y y x x xyd S n

d S y x x xyd S n

ermukaan Integral

y x x xy z x x xyn

k jik z x j xi xyn

k jik ji

n

k ji z y x

6222

3

1

62223

1

:

62223

1)(22

3

1

)

3

1

3

2

3

2())( (

3

1

3

2

3

2

122

22

22)622(

:adalah pada Normal

2

2

22

2

222



A4

27)62(

6222

31

622231

62223

1

3

0

3

0

222

3

0

3

0

2

2

2

!!

!

!

y!y

!

´

´ ´

´´

´´´´

dx y y xy y x xy

dydx y x x xy

dxdy y x x xy

k n

dxdy y x x xyd S n A

x

x

y

R

RS

x y ! 3



INTEGRAL VOLUME

Integral Volume (ruang) akibat sebuah medan(A)

pada sebuah permukaan tertutup didalam ruang

yang menutupi sebuah volume V adalah :

dxdy dz ´´´´´´ ! RV

Ad V A



Contoh

Diberikan A = 45 x2y

dan V merupakan volume

ruang tertutup yang

dibatasi oleh bidang

4x + 2y + z = 8,

x=0 y=0 z=0

hitunglah integralvolumenya



A

A d x y x y x x

d yd x y x y x x

d yd x y x y x

d yd x yz x

d zd yd x y x

d zd yd x y xdV A

x

x

x

x

y

x

x

y

y x

x

x

y

x

x

y

y x

z

V V

24

0

2

0

3222

2

0

24

0

222

2

0

24

0

2

248

0

2

2

0

24

0

2

2

0

24

0

248

0

2

)3

2)2(2(45

)2)48(( 45

)248( 45

45

45

45

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

´

´ ´

´ ´

´ ´

´ ´ ´

´´´´´´

!

!

!

!

!

!



A

128)24(

3

145

))24(3

2)24)(2(2(45

)3

2)2(2(45

2

0

32

2

0

3222

24

0

2

0

3222

!!

!

!

´

´

´´´´

!

!

d x x x

d x x x x x x

d x y x y x xdV A

x

x

xV

integral+vektor+mattek+1

Documents