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Integrationsunterricht zum Thema Differenzialgleichungen
Daniel Diserens und Martin Lehner Deutsches Gymnasium Biel
Workshop Köniz, 27.10.03
http://www2.dgb.ch/users/le/iwshop.html
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Workshop Übersicht• Die fächerübergreifende Kursform
‚Integrationsunterricht‘ (IU) am Deutschen Gymnasium Biel (DGB)
• Maturprüfung im Schwerpunktfach PAM am DGB• Inhalt und Hauptziele unseres IU‘s• Organisation des IU‘s Differenzialgleichungen• Zwei konkrete Beispiele aus dem IU• Erfahrungen, Material zum IU• Diskussion
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Die fächerübergreifende Kursform ‚Integrationsunterricht‘ (IU) am
Deutschen Gymnasium Biel (DGB)
• Dauer 1 Semester (2 Lektionen/Woche)• Die zwei Lehrkräfte der beiden Fächer sind in beiden
Lektionen anwesend.• Kosten: In jedem Fach eine zusätzliche Lehrer/innen-
Lektion.• Die Anzahl Lektionen für die Klasse bleibt
unverändert.• Inhalt: Ein fächerübergreifendes Thema.
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Die Maturprüfung im SPF PAM am DG Biel
• Schriftliche AM-Prüfung mit einer ‚physiknahen‘, obligatorischen Aufgabe aus dem IU
• Beispiele siehe mat-am.doc auf http://www2.dgb.ch/users/le/wshop/• Mündliche Physikprüfung
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Hauptziele des IU Differenzialgleichungen
• Verbindung der Teile P+AM zu PAM
• Erkennen des Zusammenhangs zwischen physikalischem Problem und Differenzialgleichung
• Programmierung und Anwendung numerischer Verfahren
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Semesterplanung
Woche Inhalt Unterricht
1 Einführung (Freier Fall,Euler, Begriffe)
Gemeinsam
2 Einführung (Runge-Kutta II, Übungen)
Gemeinsam
3-6 FederpendelEinschaltvorgängeDiffgl. 2. OrdnungAnalytische Lös.wege
4 Gruppenje 2 betreutvon 1 LK
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Semesterplanung
Woche Inhalt Unterricht
7-10 FadenpendelEinschaltvorgängeLogistischesWachstumRäuber-Beute-Modell
4 Gruppenje 2 betreutvon 1 LK
11 Übungen Gemeinsam
12 Probe Gemeinsam
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Semesterplanung
Woche Inhalt Unterricht
13 Rückgabe, Projektthemen und–organisation
Gemeinsam
14-16 Projekte:TaylorreiheKettenlinie, GekoppelteSchwingung, Schiefer Wurfmit Luftwiderstand
Gemeinsam
17 Abschluss, Präsentation derProjekte
Gemeinsam
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Einschaltvorgänge
• Kondensatorladung (Einfaches RC-Glied)
• RLC-Glied
R
L
CU
ULI, PC
• Messung mit ULI (Interface) und PC• Rechnung mit MATHEMATICA
0)0y(,0y(t)C
1Ry'(t)Ly''(t)
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RC-Glied mit MATHEMATICAClearR, c, U;c 0.00105; R 480; U 2.624; L 630.;
sol1 DSolveR y't 1c yt U, y0 0, yt, t;p1 PlotEvaluate1cyt.sol1,t, 0, 2
0.5 1 1.5 2ts0.5
1
1.5
2
2.5
UV
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Eulerverfahren
xen_ x0 nh;yen_: yen hfxen 1, yen 1 yen 1;ye0 y0;euler Tablexen, yenc,n, 0, 20;TableFormeuler
fx_, y_ UR yRc;h 0.1; x0 0; y0 0;
0.5 1 1.5 2ts0.5
1
1.5
2
2.5
UV
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Runge-Kutta 2. Ordnung
xrn_ x0 nh;yrn_: yrn yrn 1 1
2hfxrn 1, yrn 1
12hfxrn 1 h, yrn 1hfxrn 1, yrn 1
yr0 y0;0.5 1 1.5 2
t s0.5
1
1.5
2
2.5
U V
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RLC-Glied (Messung und Theorie)
2 4 6 8 10ts
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
UV
IU Klasse 1e, Messung 4.11.02
Simulation MATHEMATICADSolveLy''tRy't1Cyt Uo,
y00, y'00, yt, t
data ReadList"mess.txt",Number, Number;plomess ListPlotdata, PlotStyle PointSize0.007;
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Eulerverfahren für RLC-Gliedft_, x_, y_ x;gt_, x_, y_ UL RLx 1cLy;h 0.1;
tn_: t0 nh;t0 0;
xen_: xen xen 1 hgtn 1, xen 1, yen 1;yen_: yen yen 1 hftn 1, xen 1, yen 1;xe0 0;ye0 0;
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Eulerverfahren für RLC-Glied
Abweichung von der exakten Kurve für h = 0.1 s
2 4 6 8 10ts0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
UV
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Populationsmodelle
• Modell 1: Exponentielles Wachstum
• Modell 2: Logistisches Wachstum
• Modell 3: Räuber-Beute Modell von Lotka/Volterra
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Exponentielles Wachstum
kan(t): Anzahl Kaninchen zum Zeitpunkt t
tc
tc
eatkan
eytcytyc
dtdyyc
dtyc
dyyc
dt
dy
)(
lnln1
11
)()(' tkanctkan
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Logistisches Wachstum
)()(' tkanctkan
Die Differenzialgleichung zum exponentiellen Wachstum wird um den Faktor in der Klammer erweitert.
K
tkan )(1
K ist die Kapazitätsgrenze.
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Beispiel: Hefewachstum
http://www.learn-line.nrw.de/angebote/modell/hefe/hefe.htmbefindet sich eine Tabelle mit Messdaten des Hefe-Wachstums.Tab. 1: Wachstum einer Hefekultur (Carlson 1913)Zeit t (in Std.) Hefemenge, N(t) (in mg) Zeit t Hefemenge
0 9,6 10 513,31 18,3 11 559,72 29,0 12 594,83 47,2 13 629,44 71,1 14 640,85 119,1 15 651,16 174,6 16 655,97 257,3 17 659,68 350,7 18 661,89 441,0 Quelle: Krebs 1972,S.218
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Hefewachstum (2)
Die Messdaten ergeben folgenden Kurve:
2 4 6 8 10 12 14 16 18
100
200
300
400
500
600
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Hefewachstum (3)Durch Ausprobieren finden die Schüler
c=0.29, K=665 und f(0)=9.6: (Euler-Verfahren)
2 4 6 8 10 12 14 16 18
100
200
300
400
500
600
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Räuber-Beute Modell
• kan(t): Kaninchen zum Zeitpunkt t• fu(t): Füchse zum Zeitpunkt t• Gekoppelte Differenzialgleichung
)()()()('
)()()(
1)()('
tfustkantfugftfu
tkantfujK
tkantkanctkan
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Parameter
• c und K aus dem Modell logistisches Wachstum
• j: Jagderfolg der Füchse
• gf: Vermehrung der Füchse aufgrund von Fresserfolg
• s: Sterben der Füchse aufgrund von Konkurrenz
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Berechnung mit Euler-Verfahren
kan(0)=2000, K=4000, fu(0)=10,
c=0.1, j=0.05, gf=0.00005, s=0.025.
200 400 600 800 1000
500
1000
1500
2000
2500
3000
Kaninchen
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Berechnung mit Euler-Verfahren
200 400 600 800 1000
5
10
15
20
25
30Füchse
![Page 27: Integrationsunterricht zum Thema Differenzialgleichungen Daniel Diserens und Martin Lehner Deutsches Gymnasium Biel Workshop Köniz, 27.10.03](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062623/55204d8049795902118d2b5b/html5/thumbnails/27.jpg)
Populationen konvergieren gegen ein Gleichgewicht
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000Kaninchen
5
10
15
20
25
30
35Füchse
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Material zum IU
Skripte, MATHEMATICA-Dateien, Einführungsübungen, etc. siehe http://www2.dgb.ch/users/le/iwshop.html