Determina la anti derivada ms general.Interpreta la integral y su relacin con la derivada.Define la integral definida.Calcula reas de regiones limitadas en el plano. *

*AntiderivadasDefinicin: Una funcin F se llama antiderivada de una funcin f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F(x) = f(x) para todo x en I.

*Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada ms general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.Teorema:Si dos funciones P y Q son antiderivadas de una funcin f en un intervalo I , entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I.

*INTERPRETACION GEOMETRICA

*INTERPRETACION GEOMETRICA

*INTERPRETACION GEOMETRICA

*INTERPRETACION GEOMETRICA

*Ejemplo 1Encuentre la antiderivada ms general de cada una de las siguientes funciones.

*FuncinAntiderivada particular

*CALCULO DE REASINTEGRAL DEFINIDA Y

*

*Definicin : El rea de la regin S que se encuentra debajo de la grfica de la funcincontinua f es el lmite de la suma de las reas de los rectngulos de aproximacin:

*IntegrandoLimite superiorEl procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integracin.Limite Inferior

*2 Teorema Fundamental del ClculoSi f es una funcin continua en [a, b]y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:Esta regla convierte al clculo de integrales definidas en un problema de bsqueda de antiderivadas y evaluacin.

*PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:Propiedad de linealidad

*Si existen las integrales de la izquierda, tambin existe la integral de la derecha: Propiedad aditiva respecto al intervalo de integracin

*La propiedad anterior es aplicada cuando la funcin est definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo:Si

y se quiere hallar:

*Y representa el rea de un rectngulo de alturah y longitud de base (b a).3.

4. Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) f(x) para todo x [a, b], se tendr:Teorema de comparacin

Sea f una funcin integrable en [a, b], entonces:

Justificando su respuesta, responda lo siguiente:

Ser correcto afirmar que:

a)

b)

5. Determine el valor de tal que:

Se muestra al grafica de . Usando frmulas geomtricas:Evale la integral:

Calcule el rea representada por la integral:

*DEFINICIONES:Sea f una funcin integrable en[a, b], entonces:

*Definicin:Sea f una funcin contnua tal que: f(x) 0 en [a, b] y S={(x, y)/ axb, 0yf(x)}

Se denota por A(S) y se llama rea de la regin definida por S al nmero dado por:

*y = f(x)dxdA = f(x)dxf(x)ab

*Ejemplo 1:Calcular el rea de la regin:S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x2 + 1}

*x = g(y)dA = g(y)dyg(y)

*Ejemplo 2:

Hallar el rea de la regin limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura.

*dxy = f(x)y = g(x)f(x)- g(x)dA =[f(x) - g(x)]dx

*3. Encontrar el rea entre las curvas y = x - x3 ;

*4.Encontrar el rea entre las curvas y - x = 3;

La integral definida se define como:

Donde F(x) = f(x) y adems f(x) es una funcin continua y finita en el intervalo de integracin [a; b]. a y b reciben el nombre de extremo inferior y superior de integracin, respectivamente.

Considere la regin definida por la grfica de la funcin y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x = b, siendo f(x) 0 y f continua en el intervalo [a; b].Para abordar el problema de hallar el rea de dicha regin, la relacionaremos con reas de figuras conocidas, por ejemplo rectngulos

Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la regin cuya rea se desea calcularEl rea de una regin podr plantearse por una integral definida:A = f(b) f(a)

Dividiremos dicha regin en rectngulos verticales. Por ejemplo ...n = 3 rectngulos

n = 6 rectngulos

n = 12 rectngulos

n = 24 rectngulos

n = 48 rectngulos

n = 99 rectngulos

La integral definida plantea el lmite de una suma de reas. Interpretacin geomtrica de la integral definidaalturaanchoSuma desde a hasta b

De cuntas formas podemos calcular el rea R?f(x) = 2xRForma 1: Base*altura/2

2*4/2=4 u2

Forma 2: integral definida

Como acaba de verse, el rea de una regin podr plantearse como el lmite de una suma de reas. Este lmite est dado por la integral definida:Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.

Respuesta:

Respuesta:

Cmo podemos aplicar los conocimientos previos a este grfico?Si se sabe que:

El rea bajo la curva f(x) esEl rea bajo la curva g(x) es

Respuesta:

2. El Excedente del Productor 3.Estimacin del cambio neto, a partir de la razn de cambio, en el valor de reventa de bienes capitales o en la utilidad, ingresos y costos de una empresaAplicaciones de la Integral Definida 4.Estimacin del exceso de utilidad de un plan de inversin, respecto de otro

ANLISIS 1: Recordando el concepto de la demandaUna curva de demanda resume la relacin inversa existente entre precios y cantidades.Una curva de demanda refleja las cantidades que estn dispuestos a comprar los consumidores, ante determinados precios. Una curva de demanda representa la disponibilidad marginal de gastar de parte del consumidor.DemandaAlimentos (unidades mensuales)Precio de los alimentos

Generalizando:En el ejemplo.DTGLa disponibilidad total a gastar de los consumidores refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores.La disponibilidad total a gastar de los consumidores est representada por toda el rea de la regin que est por debajo de la curva de demanda

ESi se define al gasto como p.q....Cul sera el gasto efectuado por los consumidores en este ejemplo? RTA: S/. 8Cul sera el rea respectiva?GastoRTA.

Anlisis 2 La disponibilidad a gastar en este caso es.GastoAnlisis 3 El gasto efectivo (lo que realmente gastan) en este caso es.= 8u2Finalmente. - Todos aquellos consumidores que estuvieron dispuestos a pagar un precio mayor que el del mercado (S/.2 por unidad), se benefician El rea que representa dicho excedente es el EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR : rea de Disponibilidad total rea de Gasto

Resultado del ejemploEn este ejemplo Generalizando:

La ecuacin de demanda para un producto es p = D(q) = -q2+25, para 0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en dlares y q la cantidad de unidades demandadas.

(a) Cul es la disponibilidad total de gasto de los consumidores de este mercado, si se sabe que el precio de mercado asciende a $9?(b) Cul es el EC?

*