Interazioni fondamentali

Esistono diversi tipi di interazioni fondamentali, ciascuna delle quali relativa ad una specifica caratteristica dei corpi:

MASSA: genera forze GRAVITAZIONALI

CARICA ELETTRICA: genera forze ELETTRICHE

CARICA DI DIPOLO MAGNETICO: genera forze MAGNETICHE

CARICA NUCLEARE DEBOLE: genera forze nucleari DEBOLI

CARICA NUCLEARE FORTE: genera forze nucleari FORTI

Due corpi dotati entrambi di una di queste proprietà si ATTRAGGONO o si RESPINGONO. L’interazione è generata del fatto di possedere entrambi la stessa proprietà. Ad esempio un magnete è un materiale dotato di dipolo magnetico (magnetizzazione) ; esso attrae il ferro perché il ferro quando è vicino ad un magnete si magnetizza. Dunque si genera un’attrazione tra due magneti

Forza ELETTROMA

GNETICA

Interazioni a distanza L’interazione meccanica (urto) tra due corpi è una semplificazione dovuta alla nostra impossibilità di vedere le reali interazioni a livello microscopico. La meccanica classica è un’utile semplificazione, funziona perfettamente per la maggior parte delle nostre esperienze quotidiane, o per la costruzione di edifici, strade, ponti, ecc…

In realtà, il “contatto tra i corpi” è un’astrazione mentale: TUTTE LE INTERAZIONI AVVENGONO A DISTANZA: un corpo genera forze nello spazio circostante che agiscono a distanza su corpi aventi la stesse caratteristica.

Due esempi di esperienza comune sono la forza magnetica esercitata da una calamita su oggetti di ferro, e la forza di gravità esercitata da corpi che hanno massa su altri corpi che hanno massa.

La forza gravitazionale

Newton ha un’intuizione straordinaria: la forza che causa la

caduta di una mela sulla Terra è la stessa forza che mantiene i pianeti in orbita attorno al Sole, e la Luna attorno alla Terra !! Nel libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, del 1687, egli enuncia la Legge di Gravitazione Universale

FORZA GRAVITAZIONALE

Dati due corpi di masse M1, M2, essi si attraggono con una forza F direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse, ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza La forza gravitazionale è sempre diretta lungo la retta congiungente i due corpi Il verso della forza è sempre attrattivo: la forza agisce in modo da avvicinare i corpi La forza è sempre applicata nel centro di massa del corpo; dunque la distanza R che compare nell’espressione della forza è la distanza dai due centri

2

21

R

MMGF

F

F

R

1M2M

FORZA GRAVITAZIONALE

Notiamo che la forza con cui il corpo M1 è attratto verso M2 è uguale in modulo e direzione ma opposta in verso alla forza con cui il corpo M2 è attratto da M1; ovvero ciascuno dei due attrae l’altro con forza uguale e contraria Dunque la forza gravitazionale soddisfa 3° principio della dinamica, (principio di azione e reazione)

2

21

R

MMGF

F

F

R

1M2M

Costante di Forza Gravitazionale

G è detta costante di forza gravitazionale o costante di gravitazione universale; è esattamente la stessa per tutti i corpi dotati di massa, siano essi grandi come stelle o piccoli come granelli di sabbia

2

21

R

MMGF

2

211107.6

Kg

mNG

2

311

2

211 107.6107.6

sKg

m

Kg

mNG

Dalla formula della forza si vede che l’unità di misura di G è Nm2/Kg2; per esprimere G in termini di sole unità fondamentali sostituisco il Newton con Kg m/s2 e si ottiene:

Dipendenza della forza dalla distanza

2

1)(

RRF

La forza gravitazionale diminuisce col quadrato della distanza dai corpi: è una diminuzione molto rapida

R=1 m, F=10 N

R (metri)

F (N

ew

ton

)

1 0 2 4 3

10

5

2.5

1.1

Consideriamo F come una funzione della distanza tra i

corpi, ovvero F(R); la formula di Newton ci dice

che la forza gravitazionale è inversamente proporzionale al quadrato della distanza:

Nel grafico scriviamo i valori di R sull’asse x e di F sull’asse y; supponiamo che per R = 1 m la forza sia F = 10 N; troviamo i valori di F per R = 2 m, R =3 m, R=4 m

Forza gravitazionale e legge della dinamica

2

2111

R

MMGaMF

La legge di gravitazione universale e quella della dinamica applicata alla massa M1 ci dicono che:

2

2

1

1R

MG

M

Fa

L’accelerazione che subisce M1 è proporzionale alla massa M2 che genera la forza gravitazionale, e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Applico lo stesso procedimento per calcolare l’accelerazione di M2

2

2122

R

MMGaMF 2

1

2

2R

MG

M

Fa

F

F

R

1M2M

2a

1a

Dunque le forze sono le stesse, ma l’accelerazione è maggiore per il corpo più leggero

Dati utili

Terra: Raggio: 6370 km Distanza dal sole: 149.6 × 106 Km Massa: 6 × 1024 Kg

Luna: Raggio: 1738 km Distanza dalla terra: 3.8 × 105 Km Massa: 7.3 × 1022 Kg

Sole: Raggio: 695700 Km Massa: 2 × 1030 Kg

Esercizio: attrazione Terra-Luna

La forza gravitazionale tra Terra e Luna è la stessa per entrambe, ma l’accelerazione della Luna è circa 100 volte maggiore di quella della Terra, poiché la massa della Luna è 100 volte più piccola!!

N

m

KgKg

Kg

mN

R

MMGF

TL

LT 20

28

2224

2

211

2102

108.3

103.7106107.6

2

2

22

20

1027.0103.7

102

s

m

Kg

N

M

Fa

L

L

1) Calcolare la forza di attrazione gravitazionale tra la Terra e la Luna

2) Calcolare l’accelerazione della Luna:

3) Calcolare l’accelerazione della Terra:

2

4

24

20

1033.0106

102

s

m

Kg

N

M

Fa

T

T

Esercizio: attrazione Terra-Luna

2

22

1027.0s

m

R

va

TL

LL

Dunque possiamo trascurare l’accelerazione della Terra dovuta all’attrazione Lunare, e raffigurare il moto combinato dei due corpi con la Terra ferma nel centro gravitazionale e la Luna orbitante attorno alla Terra approssimativamente con moto circolare uniforme; dunque l’accelerazione lunare deve essere uguale all’accelerazione centripeta:

Dalla formula precedente possiamo ricavare la velocità tangenziale con cui la Luna orbita attorno alla terra:

2

268

2

22 101108.31027.0s

mm

s

mRav TLLL

s

Km

s

m

s

mvL 11010 3

2

26

La

T

Lv

Rivoluzione lunare attorno alla Terra

KmKmRC TLL

65 104.2108.328.62

La Luna è un caso di rotazione sincrona: il suo periodo di rivoluzione attorno alla Terra è uguale a quello di rotazione attorno al proprio asse. Conseguenza di ciò è che la Luna mostra alla Terra sempre la stessa faccia !!

La rotazione sincrona si verifica quando la distanza del corpo dal centro di gravità è piccola, ed è causata da complessi effetti gravitazionali. Quasi tutti i satelliti ruotano attorno ai rispettivi pianeti con rotazione sincrona

La

T

Lv

Muovendosi alla velocità tangenziale di 1 Km/s, la Luna compie un giro completo attorno alla Terra in 27 giorni, 7 ore e 43 minuti; la circonferenza orbitale (perimetro del cerchio) misura:

the dark side of the moon

Rotazione e centro di massa

Il moto di 2 corpi che interagiscono attraverso la reciproca forza gravitazionale dipende dal rapporto delle loro masse:

Masse uguali Masse molto diverse

Masse simili

se le masse sono uguali o simili, entrambe i corpi ruotano attorno al centro di massa del sistema, ovvero alla posizione media della distribuzione delle masse. Un esempio è il moto di Plutone e del suo satellite Caronte: https://www.youtube.com/watch?v=fnvRXH__nqo per masse molto diverse possiamo trascurare il moto della massa maggiore, e considerare la massa piccola in moto orbitale attorno alla grande. In tal caso il centro di massa del sistema coincide col centro di massa del corpo grande. Un esempio è il sistema Sole-Terra-Luna: https://www.youtube.com/watch?v=UgpIy4tUjFI

Eclissi Eclisse di Luna: La Terra, interposta tra Sole e Luna, proietta il suo cono d’ombra sulla Luna

Eclisse di Sole: la Luna, posizionata tra Sole e Terra, proietta sulla terra il suo cono d’ombra

Il piano di rotazione della Luna attorno alla Terra è diverso da quello della Terra attorno al Sole, per cui l’allineamento perfetto può avvenire solo in due momenti durante un ciclo di rivoluzione terrestre, ovvero durante l’anno

Traiettoria orbitale Se tra due corpi inizialmente fermi accendessimo improvvisamente la forza di gravità, come descritto dalla Legge di gravitazione sarebbero attratti da una forza diretta lungo la congiungente; poiché la velocità prodotta dall’accelerazione sarebbe radiale, ovvero parallela all’accelerazione, essi si schianterebbero l’uno contro l’altro Nell’Universo però nulla è fermo: i pianeti ruotano attorno alle stelle, le stelle attorno al centro delle galassie, le galassie viaggiano nello spazio. Ciò è dovuto all’enorme energia liberata dal Big Bang che ha creato la materia e l’ha eiettata nello spazio Quando due corpi sono abbastanza vicini da avvertire la reciproca attrazione gravitazionale, possono accadere 3 situazioni, a seconda della loro direzione e velocità: Collidono (caso delle meteoriti che si schiantano sulla terra) Vengono catturati in traiettorie chiuse ed iniziano ad orbitare Vengono deviati nella loro traiettoria iniziale e poi proseguono allontanandosi

Traiettoria orbitale Per comprendere il moto orbitale utilizziamo il ‘cannone di Newton’. Dalla cima di una montagna spariamo palle di cannone in direzione orizzontale con velocità di lancio vL crescente (trascuriamo l’attrito dell’aria) A bassa vL, la palla è attratta verso il centro dalla Terra e cade nel punto A. Aumentando vL la palla raggiunge B Aumentando ancora, si raggiunge un valore tale che, poiché la Terra si incurva sempre di più, la palla non riesce più a precipitare al suolo, percorrendo quindi un’orbita chiusa circolare C. Per una data distanza dal centro della Terra, c'è una specifica velocità minima di lancio che produce un'orbita chiusa Con vL sempre maggiori si ottengono orbite ellittiche come la D Aumentando ancora (caso E) si raggiunge la velocità di fuga: adesso la palla è troppo veloce per essere catturata in un’orbita chiusa; la gravità si limita a deviare la traiettoria della palla, che poi prosegue libera allontanandosi nello spazio

Lv

Esercizio: forza gravitazionale tra piccole masse

Esempio: 2 sfere di un Kg a distanza di 1 m

Nm

Kg

Kg

Nm

m

KgGF 11

2

2

2

211

2

2

107.61

1107.6

1

1

È una forza immensamente piccola !! si consideri che 1 N è la forza peso di un oggetto di 100 g, ad esempio una mela. Se le due sfere fossero poggiate su un tavolo non potrebbero muoversi mai, poiché anche un minimo attrito col suolo sarebbe sufficiente a contrastare ed annullare questa piccola forza

F

F

1 m

1 Kg 1 Kg

Esercizio: forza gravitazionale tra piccole masse

Immaginiamo che le sfere siano sospese nel vuoto e dunque possano muoversi senza impedimenti dovuti ad attrito. Dalla legge della dinamica calcoliamo l’accelerazione (avendo masse uguali anche l’accelerazione è la stessa)

a

a

1 m 1 Kg 1 Kg

2

11107.6s

m

M

Fa

Dalla precedente espressione si ricava il tempo in funzione dello spostamento:

Quanto tempo occorre perché le due sfere arrivino a contatto? La cinematica ci dice che se l’accelerazione è costante, la relazione tra spostamento e tempo è:

2

2

1tas

a

st

22

Esercizio: forza gravitazionale tra piccole masse

ss

s

m

m

a

st 12000010

7.66

1

1067.6

12 6

2

11

Per entrare in contatto ciascuna sfera deve percorrere mezzo metro, per cui 2s = 1 m; dunque il tempo impiegato dalle sfere per arrivare

a contatto è:

Ovvero circa un giorno e mezzo …

Morale delle favola: la forza gravitazionale è importante solo se almeno uno dei due corpi che interagiscono ha una massa enorme, come un pianeta ad esempio; altrimenti è del tutto irrilevante.

a

st

2

Forza gravitazionale tra Terra e oggetti terrestri

2d

MMGF T

KmRT 6370

d M

KgMT

24106

Consideriamo un oggetto di massa M posto ad un’altezza h dal livello del mare; la forza di gravità tra Terra e oggetto è:

La distanza d congiunge i centri di massa dei due corpi, per cui è uguale al raggio della Terra più la distanza h dell’oggetto dal suolo.

22)(T

T

T

T

R

MMG

hR

MMGF

L’altezza h è talmente piccola rispetto al raggio della Terra che possiamo certamente trascurarla, ovvero porre h=0 nella formula

Accelerazione di gravità terrestre g

2d

MG

M

Fa T

gR

MGa

T

T 2

KmRT 6370

d M

KgMT

24106

Dalla forza, attraverso la legge della dinamica ricaviamo l’accelerazione dell’oggetto di massa M:

L’accelerazione dell’oggetto dipende dalla costante di gravitazione universale G e da due costanti: la massa e il raggio della Terra. Dunque questa accelerazione è una costante, uguale per tutti i corpi presenti sulla superficie terrestre !! Per distinguerla dalla generica accelerazione, la indichiamo con un simbolo specifico, ovvero g

Come in precedenza possiamo trascurare l’altezza h dell’oggetto dal suolo e porre la distanza d uguale al raggio terrestre:

Accelerazione di gravità terrestre

Calcoliamo g:

226

24

2

311

28.9

104.6

106107.6

s

m

m

Kg

sKg

m

R

MGg

T

T

Poiché l’accelerazione di gravità è uguale per tutti i corpi, come ben capì Galileo, se lasciamo cadere due corpi diversi da una stessa altezza, essi devono avere istante per istante la stessa velocità e spostamento, e dunque giungere contemporaneamente al suolo, indipendentemente dalla loro massa !! Ciò è vero in assenza di altri disturbi come vento e resistenza dell’aria

La Torre di Pisa, tra leggenda e realtà

Vincenzo Viviani, discepolo e segretario negli ultimi anni di vita di Galileo, ne trascrisse i ricordi, le elucubrazioni e gli sfoghi polemici, scrivendo infine la prima biografia di Galileo. Il libro è un appassionato rendiconto degli esperimenti del maestro, condito da numerose leggende, tra cui quella della torre di Pisa.

Viviani racconta che Galileo salì sulla cima del campanile pendente dì Pisa e, « con l'intervento delli altri lettori e filosofi e di tutta la scolaresca » e « con replicate esperienze » mostrò che « le velocità de' mobili dell'istessa materia, disegualmente gravi, movendosi per un istesso mezzo, non conservano altrimenti la proporzione delle gravità loro, assegnatagli da Aristotele, anzi che si muovon tutti con pari velocità » Nei suoi libri Galileo non menziona la Torre, ma riferisce dì esperimenti all'aperto con palla da cannone e una palla da moschetto, trovando come regola generale che esse cadono a terra nello stesso tempo. Che sia andato o meno sulla Torre, ciò che importa veramente fu la rivoluzione concettuale che condusse Galileo a ribaltare l’idea Aristotelica secondo cui la velocità dei corpi indotta dalla gravità terrestre dipende al loro peso

Galileo Galilei Pisa 1564 – Arcetri 1642

FORZA PESO

gMF

Poiché l’accelerazione di gravità g è la stessa per tutti i corpi, la forza di gravità è identificata unicamente dalla MASSA del corpo. Calcoliamo la forza peso relativa ad 1 Kg materia:

Si definisce FORZA PESO la forza esercitata dal campo gravitazionale terrestre sugli oggetti. Per un qualunque massa M presente sulla superficie terrestre, la forza di gravità con cui esso è attratto verso il centro della Terra è data dall’espressione:

Ns

mKgF 8.98.91

2

In realtà la bilancia che misura la forza peso converte la scala da Newton a Kg dividendo la forza per g, per cui indica direttamente la massa:

Mg

F

Perciò comunemente si dice che la massa di 1 Kg ‘pesa 1 Kg’ e non che ‘pesa 9.8 N’ come a rigore si dovrebbe dire.

Gravità sull’Everest

Sulla cima dell’Everest, l’accelerazione di gravità è diminuita rispetto all’accelerazione di gravità terrestre g dello 0.3%

003.1003.1

gaag

TR

h

TM

Se andiamo sulla cima dell’Everest, è ancora vero che l’altezza h dal livello del mare uguale a 8848 m è trascurabile rispetto al raggio della terra ? l’accelerazione esatta, ottenuta includendo h , è:

Calcoliamo il rapporto tra g ed a:

2hR

MGa

T

T

003.1

6370

848.8637012

2

22

2

Km

KmKm

R

hR

M

hR

GR

MG

a

g

T

T

T

T

T

T

Gravità sull’Everest

L’uomo appare dimagrito di 3 etti, ma ovviamente è un dimagrimento finto: se calcoliamo F/a si trova sempre la stessa massa; ciò che è diminuito in cima all’Everest è la gravità, ovvero la forza peso.

Consideriamo un uomo di massa M=100 Kg. Se si pesa a livello del mare ottiene (la bilancia riscala il valore della forza per g):

Poi va sulla cima dell’Everest con la bilancia, si pesa di nuovo e ottiene:

KgKgM

g

F7.99

003.1

100

003.1

KgMg

F100

003.1

gMMaF

Ovviamente la bilancia, tarata per funzionare a livello del mare, segna:

FORZA GRAVITAZIONALE LUNARE

l’accelerazione di gravità sulla Luna è circa 6 volte minore di quella terrestre, per cui di un uomo di massa = 100 Kg sulla Luna avverte una forza peso di (100/6) Kg = 16.6 Kg; ovviamente la sua massa è sempre la stessa, ma è diminuita enormemente la gravità rispetto al suolo terrestre.

ML=7.3x1022 Kg=1.2% MT

2

L

LL

R

MGg

RL = 1737 Km

226

22

2

311 6.1

1074.1

103.7107.6

s

m

m

Kg

sKg

mgL

RL Calcoliamo l’accelerazione di gravità generata dalla Luna:

Poiché l’accelerazione sulla Terra è 9.8 m/s2, il loro rapporto dà:

6

1

g

gL

Il campo gravitazionale

Abbiamo visto che 2 o più oggetti interagiscono tra loro (ovvero esercitano forze reciproche) se hanno una qualità in comune. Ad esempio, se i corpi hanno MASSA (ci sono anche entità prive di massa) interagiscono mediante forza gravitazionale.

Ma come fa un corpo dotato di massa a generare forze attrattive sugli altri corpi? Il corpo genera un CAMPO GRAVITAZIONALE: il campo è come una rete gettata nello spazio circostante, ed attrae tutti i corpi che finiscono nel raggio di azione del campo

L’interazione è istantanea? L’interazione a distanza è istantanea ? Secondo la Legge di Newton

si: una massa genera un campo che istantaneamente si estende in tutto lo spazio infinito. In questo modo anche stelle lontanissime dovrebbero attrarsi istantaneamente non appena entrano nel raggio d’azione del campo gravitazionale Questo però viola la Teoria della Relatività Generale di Einstein: nulla può essere più veloce della luce, né oggetti e nemmeno i campi di forza. Secondo questa teoria, il campo gravitazionale viaggia e si propaga in modo ondulatorio, mediante onde gravitazionali che viaggiano nello spazio con velocità uguale a quella della luce

Ottobre 2017: assegnato il Premio Nobel della Fisica per la rivelazione delle onde gravitazionali