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14. Interferenza

Fisica Generale B

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April 30, 2011

Interferenza

•! Generalmente, sovrapponendo due onde di uguale intensità, si ottiene un’onda di intensità doppia.

•! Se la frequenza delle due onde è la stessa, il piano di oscillazione è lo stesso e la direzione di propagazione è pure la stessa, allora l’intensità risultante dalla sovrapposizione delle due onde non è più doppia, bensì: –! È quadrupla in alcuni punti dello spazio (interferenza costruttiva)

–! È nulla in altri punti dello spazio (interferenza distruttiva).

2!Domenico Galli – Fisica Generale B – 14. Interferenza!

L’Esperimento di Young

•! Un’onda piana incide su di uno schermo !1 sul quale sono praticate due fenditure S1 e S2.

•! Le fenditure divengono (principio di Huygens-Fresnel) sorgenti di onde cilindriche secondarie.

•! Le onde cilindriche prodotte dalle fenditure raggiungono un secondo schermo !2.


Fallimento dell’Ipotesi Corpuscolare

•! Se la luce (ipotesi corpuscolare di Newton) fosse composta di particelle, ci aspetteremmo che ciascuna delle due sorgenti S1 e S2 emetta corpuscoli che raggiungono lo schermo !2 in posizioni diverse.

•! Il numero di corpuscoli che raggiungono lo schermo dovrebbe essere la somma del numero di corpuscoli provenienti dalla sorgente S1 e del numero di corpuscoli provenienti dalla sorgente S2.

•! Ci aspetteremmo perciò di osservare un’intensità doppia di quella che si osserva coprendo una delle due fenditure.


Fallimento dell’Ipotesi Corpuscolare (II)

•! Invece osserviamo che lo schermo non è illuminato uniformemente. Osserviamo: –! Righe non illuminate;

–! Righe illuminate con intensità quadrupla di quella che si osserva coprendo una delle due fenditure;

–! Le righe scure e chiare alternate sono chiamate frange di interferenza.


La Spiegazione Ondulatoria

•! Tracciamo S2B!! S1P.

•! Se D >> d allora S1P // S2P // AP, per cui:

•! La differenza delle distanze che devono percorrere le onde provenienti da S1 e S2 per raggiungere P sarà data da:

S1S2!B " PA!H = !

r1 ! r2 ! d sin" per D" d


La Spiegazione Ondulatoria (II)

•! Il campo elettrico in P sarà dato da:

•! Il campo E ha valore massimo (E = 2 E1) quando:

e valore minimo (E = 0) quando:

cos kr1 !"t( ) = !cos kr2 !"t( ) #t

kr1 = kr2 + 2n +1( )$ , n%!

d sin& =2n +1( )$k

= n + 12

'()

*+,-, n%!

E = E1 + E2 = E0 cos kr1 !"t( ) + E0 cos kr2 !"t( )

cos kr1 !"t( ) = cos kr2 !"t( ) #t

kr1 = kr2 + 2n$ , n%!

d sin& = 2n$k

= n', n%!


La Spiegazione Ondulatoria (III)

•! Poiché, per piccoli angoli ! :

Si avranno i massimi (righe chiare) quando:

e i minimi (righe scure) quando:

sin! ! tan! = yD

d yD

= d sin! = n", n#!

d yD

= d sin! = n + 12

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%&'(, n)!

y = n D!d, n"!

y = n + 12

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$%&D'd, n(!


Il Campo Elettrico sullo Schermo

•! Abbiamo visto la posizione dei massimi e dei minimi. Vogliamo ora calcolare il campo elettrico risultante su tutti i punti dello schermo (posto ):

poiché vale la formula di Prostaferesi:

E y( ) = E1 y( ) + E2 y( ) = E0 cos kr1 !"t( ) + cos kr2 !"t( )#$ %& =

= E02coskr1 + kr2 ! 2"t

2cosk r1 ! r2( )2

!

! E02cos kr !"t( )cos k d y2D

= E02cos kr !"t( )cos' d y(D

cos! + cos" = 2cos

! + "2

cos! # "

2

r = AP


Il Campo Elettrico sullo Schermo (II)

•! Il secondo termine non dipende dal tempo (è costante).

•! Il campo elettrico E sullo schermo oscilla con la stessa frequenza e la stessa lunghezza d’onda del campo di una singola fenditura, e ha un’ampiezza:

E y( ) = 2E0 cos kr !"t( )cos

#d$

yD

%&'

()*

!E0 = 2E0 cos

"d#

yD

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'()


L’Intensità dell’Onda Elettromagnetica sullo Schermo

•! L’intensità di un’onda elettromagnetica è data da:

•! Per l’onda risultante dalla sovrapposizione delle onde provenienti dalle due fenditure sarà perciò (detta I0 l’intensità prodotta da una sola fenditura):

I = 1

2!E0

2 =12

4E02 cos2 "d

#yD

$%&

'()

I = w

!=

S!v

= E2 = E02 cos2

!k i!r "#t( ) =

12

E02

I y( ) = 4I0 cos2 !d

"yD

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Frange di Interferenza con Luce Monocromatica

Domenico Galli – Fisica Generale B – 14. Interferenza! 12!

Frange di Interferenza con Luce Monocromatica (II)


Condizioni per l’interferenza

•! Affinché si osservino le frange di interferenza, le onde emesse dalle due sorgenti debbono soddisfare le seguenti condizioni: –! Avere la stessa frequenza (e perciò la stessa lunghezza d’onda); –! Avere una differenza di fase che non cambia nel tempo (coerenza); –! La differenza di cammino delle due onde non deve essere troppo

elevata (altrimenti viene a meno la coerenza); –! Avere approssimativamente lo stesso stato di polarizzazione; –! Avere approssimativamente la stessa direzione di propagazione; –! Avere intensità non troppo diversa.


Condizioni per l’Interferenza: Stessa Lunghezza d’Onda

•! Se le lunghezze d’onda sono diverse, l’espressione:

diviene:

•! Il secondo fattore non è più costante, ma varia rapidamente nel tempo. Non si ha più un’ampiezza, indipendente dal tempo, che varia con r1 " r2. Si può mostrare che le intensità si sommano semplicemente:

I = 2I0

E y( ) = E0 cos kr1 !"t( ) + cos kr2 !"t( )#$ %& =

= E02coskr1 + kr2 ! 2"t

2cosk r1 ! r2( )2

E y( ) = E0 cos k1r1 !"1t( ) + cos k2r2 !"2t( )#$ %& =

= E02cosk1r1 + k2r2 !"1t !"2t

2cosk1r1 ! k2r2 ! "1 !"2( )t

2


Interferenza con Luce Bianca Coerente

•! Interferiscono separatamente i diversi colori: –! Ma la distanza fra le frange è diversa per i diversi colori.

•! La frangia centrale (ordine zero) è bianca: –! È l’unico caso in cui tutte le frange dei diversi colori si sovrappongono.

•! La frangia del primo ordine è sfumata (rosso verso l’esterno e violetto verso l’interno).

•! A un certo punto i massimi di intensità di alcuni colori coincidono con i minimi di intensità di altri colori: le frange scompaiono.


Frange di Interferenza con Luce Bianca o Policromatica


Condizioni per l’Interferenza: Coerenza

•! Se la differenza di fase tra le due onde cambia nel tempo, l’espressione:

diviene:

•! Il secondo fattore non è più costante, ma varia rapidamente nel tempo. Non si ha un’ampiezza, indipendente dal tempo, che varia con r1 " r2. Si può mostrare che le intensità si sommano semplicemente:


I = 2I0

E y( ) = E0 cos kr1 !"t( ) + cos kr2 !"t( )#$ %& =

= E02coskr1 + kr2 ! 2"t

2cosk r1 ! r2( )2

E y( ) = E0 cos kr1 !"t( ) + cos kr2 !"t +# t( )( )$%

&' =

= E02coskr1 + kr2 ! 2"t +# t( )

2cosk r1 ! r2( ) !# t( )

2

Condizioni per l’Interferenza: Coerenza (II)

•! Mentre è relativamente semplice ottenere la stessa lunghezza d’onda per le due sorgenti (uso di filtri colorati a banda stretta), non è altrettanto semplice ottenere la coerenza.

•! Il problema nasce dal fatto che l’energia di un’onda elettromagnetica è prodotta e assorbita in quantità definite dette quanti.

•! Il singolo quanto è un treno d’onde di lunghezza finita.


Condizioni per l’Interferenza: Coerenza (III)

•! Le onde emesse da due antenne (onde radio, microonde) sono coerenti se le antenne sono entrambe collegate allo stesso circuito oscillatore: –! I treni d’onda emessi nei diversi atti di emissione risultano sincronizzati

con la corrente elettrica che scorre nel circuito.


Onde coerenti: i massimi dei diversi treni d’onda si sovrappongono.

Condizioni per l’Interferenza: Coerenza (IV)

•! Se le sorgenti sono invece due lampade a incandescenza o a scarica (emissione nel visibile, IR, UV), esse non risultano coerenti: –! Gli atti di emissione atomici non sono sincronizzati: –! I treni d’onda, tipicamente di durata pari a 10 ns e lunghezza pari a circa

3 m, sono emessi in modo non coordinato. –! Treni d’onda prodotti in diversi atti di emissione atomica hanno fasi

diverse.


Eccitazione Diseccitazione

Onde incoerenti: I massimi dei diversi treni d’onda NON si sovrappongono

Condizioni per l’Interferenza: Coerenza (V)

•! Per osservare l’interferenza nello spettro visibile occorre dividere la medesima onda in due parti e fare interferire tali parti (in modo che il singolo treno d’onde risulti diviso). Esistono due metodi per effettuare tale divisione:

–! Divisione del fronte d’onda;

–! Divisione di ampiezza.

•! Poiché il treno ha lunghezza limitata, se la differenza di cammino delle due onde è troppo elevata (> 3 m con sorgenti a incandescenza, > 3 cm con sorgenti a scarica, > 30 km con sorgenti laser) le due parti del treno d’onde non si sovrappongono non si ha più interferenza.


Divisione del Fronte d’Onda: Esperimento di Young

•! Lo stesso treno d’onde raggiunge simultaneamente S1 e S2.

•! Il treno si divide in due parti, che hanno origine dalla divisione in due parti del fronte d’onda.

•! La lente convergente consente di avere r1 // r2.


Divisione del Fronte d’Onda: Specchi di Fresnel

•! Gli specchi, disposti ad un angolo vicino a 180º, producono due immagini virtuali, S1 e S2, della sorgente S, le quali agiscono come sorgenti coerenti di luce.

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Divisione del Fronte d’Onda: Bi-Prisma di Fresnel

•! Il doppio prisma produce due immagini virtuali, S1 e S2, della sorgente S, le quali agiscono come sorgenti coerenti di luce.

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Divisione del Fronte d’Onda: Interferometro di Rayleigh

•! È un interferometro a doppia fenditura.

•! La lente L1 fa arrivare sulle fenditure fronti d’onda piani e paralleli allo schermo !1, per aumentare l’intensità dei 2 fasci.

•! Dopo lo schermo !1 i 2 fasci di onde coerenti provenienti dalle 2 fenditure sono tenuti separati da due tubi, fino alla lente L2.

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Divisione del Fronte d’Onda: Interferometro di Rayleigh (II)

•! La lente L2 fa convergere i due fasci che si sovrappongono in prossimità del punto O, producendo interferenza.

•! L’interferometro di Rayleigh è prevalentemente utilizzato con luce bianca, per meglio individuare la frangia di ordine zero.

•! Utilizzato per misurare l’indice di rifrazione dei gas (n ~ 1). –! P. es.: naria = 1.0002926.

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Cammino Ottico

•! Si chiama cammino ottico di un raggio che percorre i tratti li in mezzi di indice rifrazione ni, l’espressione:

•! Poiché si ha:

ne consegue che il tempo che la luce impiega effettivamente per percorrere i tratti li nei vari mezzi è uguale al tempo che essa impiegherebbe per percorrere il cammino ottico l0 nel vuoto.

l0 = l1n1 + l2n2 + l3n3 +…

l0

c=

l1v1

+l2

v2

+l3

v3

+…


Misura dell’Indice di Rifrazione dei Gas con l’Interferometro di Rayleigh

•! I due tubi dell’interferometro di Rayleigh (che hanno alle 2 basi due finestre trasparenti) sono riempiti con due gas: –! Il gas di cui si vuole misurare l’indice di rifrazione; –! Un gas con indice di rifrazione noto.

•! Un mezzo con n > 1 (v < c), posto sul percorso di un raggio, ne aumenta il cammino ottico e sposta le frange di interferenza.

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Misura dell’Indice di Rifrazione dei Gas con l’Interferometro di Rayleigh (II)

•! Se i 2 gas hanno lo stesso n, i 2 cammini ottici sono uguali e la frangia bianca (ordine zero) rimane al centro.

•! Se i 2 gas hanno n diversi, i 2 cammini ottici sono diversi e la frangia bianca è spostata dal centro.

•! Si inseriscono 2 lamine di vetro compensatrici di spessore diverso e tale da riportare al centro la frangia bianca.


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Misura dell’Indice di Rifrazione dei Gas con l’Interferometro di Rayleigh (III)

•! Quando la frangia bianca è nuovamente al centro, i 2 cammini ottici sono di nuovo uguali.

•! Conoscendo i cammini ottici nelle 2 lamine e nel tubo riempito con gas noto, si può determinare il cammino ottico nel gas incognito e da questo calcolare l’indice di rifrazione di tale gas.


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Divisione di Ampiezza: Interferometro di Michelson

Domenico Galli – Fisica Generale B – 14. Interferenza!

•! Un fascio di luce incide su di uno specchio semitrasparente D inclinato di 45°, nel punto I1.

•! Una parte della luce attraversa lo specchio e procede nella stessa direzione. Il resto è riflessa a 90°.

•! I due raggi così ottenuti incidono perpendicolarmente su due specchi ordinari M1 e M2 e sono riflessi indietro.

•! Entrambi i raggi incidono nuovamente sullo specchio semitrasparente D e parte di entrambi viene indirizzata su di uno schermo, sul quale si osserva la figura di interferenza.

32!

Divisione di Ampiezza: Interferometro di Michelson (II)

•! Utilizza una lastra di vetro avente una superficie semitrasparente e semiriflettente (vetro parzialmente argentato).

•! Il raggio riflesso attraversa 3 volte lo spessore dello specchio, quello trasmesso lo attraversa soltanto 1 volta.

•! Per eliminare tale asimmetria è stata inserita una lamina compensatrice trasparente C.


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Divisione di Ampiezza: Interferometro di Michelson (III)

•! Sia M#2 l’immagine di M2 nello specchio semitrasparente D.

•! Il cammino ottico SI1JI2P è uguale al cammino ottico SI1KI2P.

•! L’interferenza può essere considerata come originata dalle sorgenti coerenti M1 (reale) e M#2 (virtuale).

•! Se i piani M1 e M#2 sono paralleli le frange di interferenza sono circolari.

•! Se i piani M1 e M#2 sono vicini ma inclinati, le frange sono linee rette equidistanziate.


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Interferometri di Michelson

Sotto: l’esperimento italo-francese VIRGO è a Cascina (PI, Italia) è un interferometro di Michelson con i bracci lunghi 3 km per rivelare onde gravitazionali.


Divisione di Ampiezza: Lamina Sottile

•! I raggi provenienti dalla sorgente puntiforme S:

–! In parte si riflettono sulla prima superficie della lamina;

–! In parte sono rifratti dalla prima superficie e poi riflessi dalla seconda superficie e rifratti di nuovo dalla prima superficie.

•! Le onde riflesse dalla prima e dalla seconda superficie interferiscono fra loro.

•! La differenza dei cammini ottici dei due raggi dipende dall’angolo di osservazione.


Iridescenze

•! Le iridescenze osservate sulle bolle di sapone sono dovute a interferenza da lamina sottile.

•! Le bolle di sapone hanno uno spessore dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d’onda della luce visibile.

Foto Jeff Kubina

Foto Bellylou


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Iridescenze (II)

•! Le bolle si comportano come lamine sottili e riflettono la luce sia sulla superficie esterna, sia sulla superficie interna.

•! La luce riflessa dalle due superfici ha percorso due cammini che differiscono all’incirca del doppio dello spessore della bolla.

•! La differenza tra i due cammini dipende tuttavia dall’angolo tra il raggio incidente e il raggio riflesso.

•! Si osserva perciò l’interferenza tra il raggio riflesso sulla superficie esterna e quello riflesso sulla superficie interna.


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Iridescenze (III)

•! Se la bolla è illuminata da luce bianca, interferiscono separatamente i diversi colori.

•! La frangia centrale (ordine zero) è bianca.

•! Quelle degli ordini successivi si trovano a un angolo diverso per ogni colore.

•! Questo spiega le iridescenze osservate.


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Iridescenze (IV)

•! Analoghe iridescenze si osservano nelle pozzanghere di acqua sporca di olio, benzina o gasolio (osservare dopo la pioggia presso un distributore di carburante o presso l’officina di un meccanico).

•! Olio, benzina o gasolio non si mescolano all’acqua, ed essendo meno densi, rimangono in superficie, formando uno strato sottile.

•! La luce si riflette sia sulla superficie di separazione aria-olio, sia su quella olio-acqua.

•! La luce riflessa dalle due superfici interferisce.


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Iridescenze (V)

•! Strato superficiale di olio, benzina o gasolio su acqua.

Foto zen♫♫

Foto Andy Cahill

Foto Leted


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Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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