interpol aci o es extrapol aci o - andor...
TRANSCRIPT
![Page 1: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/1.jpg)
Interpolacio es extrapolacio
Kormanyos Andor
Komplex Rendszerek Fizikaja Tanszek
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 2: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/2.jpg)
Attekintes
alapfogalmak, alapveto tulajdonsagok
egydimenzios interpolacio
interpolacio polinommalinterpolacio racionalis fuggvennyelkobos spline hasznalata
ketdimenzios interpolacio
bilinearis interpolaciointerpolacio folytonos derivaltakkalszetszort pontok esete
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 3: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/3.jpg)
Alapkerdes
A fuggveny (jel) erteke bizonyos pontokban ismert, de koztes pontokbanvagy az eredeti pontok altal kijelolt intervallumon kıvul is meg akarjukbecsulni
Ismert:
{x1, x2, ..., xN} es {y1 = f (x1), y2 = f (x2), ..., yN = f (xN)}Az xi -k kozotti tavolsag tetszoleges, valtozhat is
xi lehet tobb dimenzios is
Keressuk:
f (x) kozelıto erteket tetszoleges x helyen
f (x) analitikus alakja nem ismert, es nem is erdekes
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 4: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/4.jpg)
Alapkerdes
Fontos: ez nem fuggvenyillesztes !
f (x) alakjat altalaban lokalisan, x koruli nehany xi -bol becsuljuk,nem pedig az egesz meresi tartomanyon
nem torodunk az esetleges meresi hibakkal, az interpolalo gorbemindig egzaktul atmegy az ismert pontokon
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 5: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/5.jpg)
Interpolacio
Ha a keresett x-re igaz, hogy xk ≤ x ≤ xl .
Az interpolacio rendje: hany xi pontot hasznalunk az interpolaciosmodszerben
Peldak:
nem egyenletes mintavetelezesrol atterunk egyenletesre
kepek atmeretezese es forgatasa
hibas pixelek kipotolasa kepen
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 6: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/6.jpg)
Extrapolacio
A fuggveny ertekere nem koztes pontban vagyunk kıvancsiak, azazx < x1 vagy xN < x
Peldak:
folyamat (aramfogyasztas, idojaras) jovobeli becsleseelmeleti eredmeny egy mennyiseg T = 0 homersekleten felvettertekere, merni viszont csak veges T eseten lehet
Figyelem! Az extrapolacio veszelyes tud lenni!
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 7: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/7.jpg)
Extrapolacio
A fuggveny ertekere nem koztes pontban vagyunk kıvancsiak, azazx < x1 vagy xN < x
Peldak:
folyamat (aramfogyasztas, idojaras) jovobeli becsleseelmeleti eredmeny egy mennyiseg T = 0 homersekleten felvettertekere, merni viszont csak veges T eseten lehet
Figyelem! Az extrapolacio veszelyes tud lenni!
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 8: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/8.jpg)
Alapfeltevesek
Az interpolalando fuggveny jol viselkedik
legyen folytonos, nincs ugrasa ket ismert pont kozott
legyen sima: legyen differencialhato, es a derivaltjai is legyenekfolytonosak
Ekkor valamilyen egyszeru fuggveny segıtsegevel interpolalunk
legegyszerubb: linearis
altalaban: valamilyen alacsony rendu polinom
Vannak nehezen vagy egyaltalan nem interpolalhato fuggvenyek
pl. lokeshullamok hidrodinamikai szimulaciokban (ugrasszeruvaltozas a nyomasban, surusegben stb)
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 9: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/9.jpg)
Lokalis es globalis interpolacio
Lokalis interpolacio
csak az x koruli k szamu xi pontot hasznaljuk
az interpolacio rendje k − 1
Globalis interpolacio
az osszes ismert pontot felhasznaljuk
ez tulajdonkeppen fuggvenyillesztes
a globalis interpolacio rendje N − 1, ahol N az osszes ismert pontszama
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 10: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/10.jpg)
Egyszeru pelda: linearis interpolacio (egyenes illesztes)
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6 7
Figure: Kek pontok: eredeti adatok, piros pontok: kek pontok kozott linearisinterpolacioval kapott ertekek.
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 11: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/11.jpg)
Lokalis vagy globalis interpolacio?
Ha a fuggveny f (x) ismeretlen erteket csak nehany x helyen kellmeghatarozni
lokalisan illesztunk egy fuggveny x koruli k darab pontra
nagyobb numerikus pontossag erheto el
Ha a fuggveny ismeretlen erteket sok x helyen kell meghatarozni
az osszes N pontra illesztunk, kiszamoljuk f (x)-et kozelıto polinomegyutthatoit
magas fokszamu polinomok hasznalata egyeb problemakra vezethet
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 12: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/12.jpg)
Interpolacio es extrapolacio polinommal: Lagrange-formula
Leghatekonyabb megoldas:
a P(x) polinom x helyen felvett erteket kozvetlenul allıtjuk elo, apolinom egyutthatoinak meghatarozasa nelkul
fejezzuk ki P(x)-et az ismert xi es yi = f (xi ) ertekekkel
P(x) =(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xk)
(x1 − x2)(x1 − x3) · ... · (x1 − xk)· y0+
+(x − x1)(x − x3) · ... · (x − xk)
(x2 − x1)(x2 − x3) · ... · (x2 − xk)· y1 + ...
+(x − x1)(x − x2) · ... · (x − xk−1)
(xk − x1)(xk − x2) · (xk − xk−1)· yk
Kielegıti a P(xi ) = yi egyenloseget, hiszen
az i . tagban a szamlalo es nevezo azonos
a tobbi tagban a szamlalo 0
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 13: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/13.jpg)
Interpolacio es extrapolacio polinommal: Lagrange-formula
Leghatekonyabb megoldas:
a P(x) polinom x helyen felvett erteket kozvetlenul allıtjuk elo, apolinom egyutthatoinak meghatarozasa nelkul
fejezzuk ki P(x)-et az ismert xi es yi = f (xi ) ertekekkel
P(x) =(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xk)
(x1 − x2)(x1 − x3) · ... · (x1 − xk)· y0+
+(x − x1)(x − x3) · ... · (x − xk)
(x2 − x1)(x2 − x3) · ... · (x2 − xk)· y1 + ...
+(x − x1)(x − x2) · ... · (x − xk−1)
(xk − x1)(xk − x2) · (xk − xk−1)· yk
Kielegıti a P(xi ) = yi egyenloseget, hiszen
az i . tagban a szamlalo es nevezo azonos
a tobbi tagban a szamlalo 0
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 14: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/14.jpg)
Pelda: sin(x) interpolalasa lokalisan
Negyedrendu polinomot hasznalva
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-1 0 1 2 3 4
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 15: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/15.jpg)
Interpolacios polinom egyutthatoi
Ha sok x pontban keressuk az interpolalando f (x) fuggveny erteket:
akkor jobb kiszamolni az interpolacios polinom egyutthatoit
majd behelyettesıteni a polinomba
Feladat:
adottak az x1, x2, ..., xN pontok esy1 = f (x1), y2 = f (x2), ..., yN = f (xN) ertekek
az interpolalo polinomnak az osszes (xi , yi ) ponton at kell mennie
Polinom fokszama: N − 1, ahol N a pontok szama.
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 16: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/16.jpg)
Egyenletrendszer a polinom ci egyutthatoira
y1 = c1 + c2x1 + c3x21 + ...+ cNxN−1
1
y2 = c1 + c2x2 + c3x22 + ...+ cNxN−1
2
...
yN = c1 + c2xN + c3x2N + ...+ cNxN−1
N
Ezt kell megoldani a ci polinom-egyutthatokra. xi -k ismertek.
az xi -k hatvanyaibol alkotott matrix specialis(Vandermonde-matrix)! Erre letezik specialis megoldo modszer
de a Vandermonde-matrixok tobbnyire numerikusan rosszulkondicionaltak
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 17: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/17.jpg)
Egyenletrendszer a polinom ci egyutthatoira
y1 = c1 + c2x1 + c3x21 + ...+ cNxN−1
1
y2 = c1 + c2x2 + c3x22 + ...+ cNxN−1
2
...
yN = c1 + c2xN + c3x2N + ...+ cNxN−1
N
Ezt kell megoldani a ci polinom-egyutthatokra. xi -k ismertek.
az xi -k hatvanyaibol alkotott matrix specialis(Vandermonde-matrix)! Erre letezik specialis megoldo modszer
de a Vandermonde-matrixok tobbnyire numerikusan rosszulkondicionaltak
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 18: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/18.jpg)
Magasfoku polinomok egy masik problemaja
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
-6 -4 -2 0 2 4 6
Egyutthatok:
c0 = 0.0000c1 = 0.0000c2 = 0.0002c3 = −0.0017c4 = −0.0023c5 = 0.0278c6 = 0.0060c7 = −0.1713c8 = 0.0497c9 = 0.3386
c10 = 0.2109
tobb egyutthato is kozel nulla
a polinom egyes helyeken vadul oszcillal
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 19: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/19.jpg)
Interpolacio es extrapolacio racionalis fuggvenyekkel
Racionalis fuggveny: ket polinom hanyadosa.
Az (xi , yi ) . . . (xi+m, yi+m) pontokon athalado racionalis fuggveny
R(i)(i+1)...(i+m) =Pµ(x)
Qν(x)=
p0 + p1x + p2x2 + ...+ pµxµ
q0 + q1x + q2x2 + ...+ qνxν
osszesen µ+ ν + 1 ismeretlen (q0 tetszoleges)
osszesen m + 1 pont
a vonatkozo egyenletrendszer megoldasa m + 1 = µ+ ν + 1 feltetelteljesıteset jelenti
Rekurzios formulak R(i)(i+1)...(i+m) szomolasara (Numerical Recipies)
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 20: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/20.jpg)
Mikor jobbak a racionalis fuggvenyek a polinomoknal?
Ha az interpolalando fuggvenynek polusai vannak
adott xi ertekeknel a fuggveny divergal, ekkor Qν(x) ott zerus lesz
a polinom interpolacio ilyet nem tud
Vagy ha a fuggvenynek nincs is polusa a valos tengely menten, de
a komplex sıkon, kozel a valos tengelyhez van polusa
a polinomok ilyenkor is rosszul viselkednek
Ezek nem feltetlen kulonleges fuggvenyek!
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 21: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/21.jpg)
Pelda komplex polussal rendelkezo fuggvenyre
f (x) =1
x2 + 1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 22: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/22.jpg)
Linearis interpolacio meg egyszer
Ket pont kozott a legegyszerubb interpolacios fuggveny az egyenes:
y = Ayj + Byj+1,
ahol
A =xj+1 − x
xj+1 − xjB = 1− A =
x − xjxj+1 − xj
Ez kijon a Lagrange-formulabol
Problema:
A masodik derivaltja ugyan ket pont kozott nulla, de az xjpontokban nem meghatarozott (vagy vegtelen)
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 23: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/23.jpg)
Linearis interpolacio meg egyszer
Ket pont kozott a legegyszerubb interpolacios fuggveny az egyenes:
y = Ayj + Byj+1,
ahol
A =xj+1 − x
xj+1 − xjB = 1− A =
x − xjxj+1 − xj
Ez kijon a Lagrange-formulabol
Problema:
A masodik derivaltja ugyan ket pont kozott nulla, de az xjpontokban nem meghatarozott (vagy vegtelen)
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 24: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/24.jpg)
Kobos spline (cubic spline)
Eloırjuk, hogy az ismert xj pontokban az interpolalo f fuggveny simalegyen, azaz
letezzen a masodik derivaltja, es az legyen folytonos
ebbol kovetkezik, hogy az elso derivaltja is folytonos.
Az egyertelmu megoldas kedveert meg altalaban hatarfelteteleket iseloırunk az x1 es xN pontokban, pl:
az interpolacio masodik derivaltja nulla az interpolacios intervallumket vegen, vagy
az interpolacio elso derivaltja meghatarozott erteket vesz azinterpolacios intervallum vegen
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 25: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/25.jpg)
Kobos spline
A harmadfoku spline formulaja:
y = Ayj + Byj+1 + Cy ′′j + Dy ′′j+1,
ahol
A =xj+1 − x
xj+1 − xjB = 1− A =
x − xjxj+1 − xj
a korabbiak, tovabba
C = 16 (A3 − A)(xj+1 − xj)
2
D = 16 (B3 − B)(xj+1 − xj)
2
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 26: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/26.jpg)
Kobos spline
Ellenorzes:d2y
dx2= Ay ′′j + By ′′j+1
Az A ≡ A(x) es B ≡ B(x) konkret alakjat felhasznalva konnyenbelathato:
x = xj eseten d2ydx2 = y ′′j es x = xj+1 eseten d2y
dx2 = y ′′j+1
a masodik derivalt folytonos a ket intervallum, pl (xj−1, xj) es(xj , xj+1) hataran
Hogyan tudjuk meghatarozni az y ′′j erteket?
az (xj−1, xj) es (xj , xj+1) intervallumok hataran a dydx elso derivalt
legyen folytonos!
xj − xj−1
6y ′′j−1+
xj+1 − xj−1
3y ′′j +
xj+1 − xj6
y ′′j+1 =yj+1 − yjxj+1 − xj
−yj − yj−1
xj − xj−1
ez osszesen N − 2 egyenlet az N db ismeretlen y ′′j -re
hatarfeltetel: y ′′1 = y ′′N = 0 vagy az elso derivaltra feltetel
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 27: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/27.jpg)
Kobos spline
Ellenorzes:d2y
dx2= Ay ′′j + By ′′j+1
Az A ≡ A(x) es B ≡ B(x) konkret alakjat felhasznalva konnyenbelathato:
x = xj eseten d2ydx2 = y ′′j es x = xj+1 eseten d2y
dx2 = y ′′j+1
a masodik derivalt folytonos a ket intervallum, pl (xj−1, xj) es(xj , xj+1) hataran
Hogyan tudjuk meghatarozni az y ′′j erteket?
az (xj−1, xj) es (xj , xj+1) intervallumok hataran a dydx elso derivalt
legyen folytonos!
xj − xj−1
6y ′′j−1+
xj+1 − xj−1
3y ′′j +
xj+1 − xj6
y ′′j+1 =yj+1 − yjxj+1 − xj
−yj − yj−1
xj − xj−1
ez osszesen N − 2 egyenlet az N db ismeretlen y ′′j -re
hatarfeltetel: y ′′1 = y ′′N = 0 vagy az elso derivaltra feltetel
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 28: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/28.jpg)
Kobos spline
Ellenorzes:d2y
dx2= Ay ′′j + By ′′j+1
Az A ≡ A(x) es B ≡ B(x) konkret alakjat felhasznalva konnyenbelathato:
x = xj eseten d2ydx2 = y ′′j es x = xj+1 eseten d2y
dx2 = y ′′j+1
a masodik derivalt folytonos a ket intervallum, pl (xj−1, xj) es(xj , xj+1) hataran
Hogyan tudjuk meghatarozni az y ′′j erteket?
az (xj−1, xj) es (xj , xj+1) intervallumok hataran a dydx elso derivalt
legyen folytonos!
xj − xj−1
6y ′′j−1+
xj+1 − xj−1
3y ′′j +
xj+1 − xj6
y ′′j+1 =yj+1 − yjxj+1 − xj
−yj − yj−1
xj − xj−1
ez osszesen N − 2 egyenlet az N db ismeretlen y ′′j -re
hatarfeltetel: y ′′1 = y ′′N = 0 vagy az elso derivaltra feltetel
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 29: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/29.jpg)
y ′′j szamolasa: tridiagonalis egyenletrendszer
A problema egy tridiagonalis egyenletrendszerre vezet:b1 c1 0 0 ...a2 b2 c2 0 ...0 a3 b3 c3 ...
...
... aM−1 bM−1 cM−1
... 0 aN bM
·
y ′′1y ′′2y ′′3...
y ′′M−1
y ′′M
=
d1
d2
d3
...dM−1
dM
Megoldasi pl: LU dekompozıcio
a specialis alak miatt osszesen O(M) muveletet igenyel
nem kell az egesz M ×M matrixot tarolni, eleg a harom atlot plharom vektorban
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 30: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/30.jpg)
A spline-ok jobbak, mint a polinomok
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
polinomköbös spline
A pontok kozott a kobos spline jol viselkedik
Extrapolaciora ez sem sokkal jobb
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 31: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/31.jpg)
Interpolacio tobb dimenzioban, racson, racs nelkul
Ketdimenzios esetet targyaljuk, magasabb dimenziokra altalanosıthato.
Szabalyos racson:
a racspontok indexelhetok xi , yj modon, 1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N
a fuggvenyertekek: z(xi , yj)
szabalyos racs: ket racsvektor definialja, de nem muszaj, hogynegyzetracs legyen.
Ha az ismert pontok elszortan helyezkednek el:
bonyolultabb az interpolacio, pl. Delaunay-haromszogeles
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 32: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/32.jpg)
Interpolalas ketdimenzios racson
Keressuk az z(x , y) fuggvenyerteket, ahol
xi < x < xi+1 es yi < y < yi+1
az (x , y) pont tehat negy racspont altal definialt cellaba esik
Visszavezetjuk a problemat a linearis esetre:
Interpolaljunk eloszor az egyik index szerint:z(x , yi )-t becsuljuk z(xi , yi ) es z(xi+1, yi )-bol, esz(x , yi+1)-t becsuljuk z(xi , yi+1) es z(xi+1, yi+1)-bol.
Majd a masik iranyban:z(x , y)-t becsuljuk z(x , yi ) es z(x , yi+1)-bol
ujrahasznosıthatok az egy dimenzios modszerek
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 33: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/33.jpg)
Interpolacio racson, koordinatak menten
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2
0.4 0.6
0.8 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Figure: z(0.6, 0.5) ertek meghatarozasa egydimenzios interpolalasoksegıtsegevel.
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 34: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/34.jpg)
Bilinearis interpolacio
Jeloles
t =x − xi
xi+1 − xi, u =
y − yjyj+1 − yj
Ebbol a fuggveny interpolalt z(x , y) erteke:
z(x , y) = (1− t)(1− u)zi,j + t(1− u)zi+1,j+
+ (1− t)uzi,j+1 + tuzi+1,j+1
ez linearis kifejezes, de nem egyszeruen egy sık (ahhoz 3 pont is eleg)
sıknal altalanosabb, “nyeregfelulet” is lehet
Fontos tulajdonsagok:
negy racspont altal meghatarozott cellak kozott az interpolaltfuggveny folytonosan valtozik
de a gradiense nem folytonos a cellak hataran
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 35: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/35.jpg)
Bilinearis interpolacio
Jeloles
t =x − xi
xi+1 − xi, u =
y − yjyj+1 − yj
Ebbol a fuggveny interpolalt z(x , y) erteke:
z(x , y) = (1− t)(1− u)zi,j + t(1− u)zi+1,j+
+ (1− t)uzi,j+1 + tuzi+1,j+1
ez linearis kifejezes, de nem egyszeruen egy sık (ahhoz 3 pont is eleg)
sıknal altalanosabb, “nyeregfelulet” is lehet
Fontos tulajdonsagok:
negy racspont altal meghatarozott cellak kozott az interpolaltfuggveny folytonosan valtozik
de a gradiense nem folytonos a cellak hataran
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 36: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/36.jpg)
Bilinearis interpolacio
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2
0.4 0.6
0.8 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Figure: Bilinearis interpolacioval kaphato felulet
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 37: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/37.jpg)
Interpolacio ket dimenzioban folytonos derivaltakkal
Ket modszer, melyek nem fuggetlenek egymastol
bi-kobos interpolacio
kobos spline-ok 2D-ben
Bi-kobos interpolacio
ki kell roni felteteleket az elso derivaltakra es a vegyes derivaltakra is
minden pontban szukseges a derivaltak ertekenek explicit megadasa:
∂z
∂x,∂z
∂y,∂2z
∂x∂y
honnan vegyuk a derivaltak erteket? analitikus alak v. numerikusdifferencialas
a derivaltak erteketol fuggetlenul a felulet sima lesz, de nemgarantalt, hogy jol kozelıti a fuggvenyt
csak akkor lesz jo az interpolacio, ha a derivaltakat is jol tudjukszamolni
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio
![Page 38: Interpol aci o es extrapol aci o - Andor Kormanyosakormanyos.web.elte.hu/teaching/fiznum2f18va/slides/...legegyszerubb:} line aris altal aban: valamilyen alacsony rendu} polinom Vannak](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081410/608ce1ea0efe71638921b5c0/html5/thumbnails/38.jpg)
Interpolacio szetszort pontok eseten
Most a pontok mar nem racson helyezkednek el
korabban egy (x , y) pont korul eppen negy kornyezo pont volt
nem egyertelmu, mi a legjobb valasztas a “kornyezo pontok”-ra
a korabbbi modszerek nem mukodnek
Egy lehetseges megoldas:
minden pontbol huzzunk szakaszokat a kornyezo pontokba ugy, hogyharomszogeket kapjunk
van olyan “haromszogeles” (triangulacio), ami egyertelmu
interpolaljuk a fuggvenyt a haromszog csucsain felvett ertekeksegıtsegevel
⇒ Delaunay triangulacio, Voronoi csempezes
Kormanyos Andor Interpolacio es extrapolacio