interpolación bayesiana de series de tiempo no...

Motivación Modelo Interpolación Análisis de datos

Interpolación bayesiana de series de tiempo noequiespaciadas

Luis E. Nieto Barajas

Departamento de EstadísticaITAM

XLIX SMM – 27 de octubre de 2016

Luis E. Nieto Barajas Interpolación bayesiana XLIX SMM – 27 de octubre de 2016 1 / 23


Contenido

1 Motivación

2 Modelo

3 Interpolación

4 Análisis de datos



Datos de cambio climático

Mediciones directas de dioxido de carbono en la atmósfera son recientes : 1950 -

¿Cómo se sabe que hay calentamiento global ?

Se han diseñado mecanismos de medición de los gases de efecto invernadero enla atmósfera de la tierra hasta 300 millones de años atras

Una de estas técnicas es la basada en muestreo de núcleos de hielo (ice coresampling)

Se toman muestras de cilindros de hielo obtenidos perforando una cama de hielo oglaciar

Estos cilindros contienen pequeñas burbujas de aire que atrapan una pequaña muestrade la atmósfera

Los núcleos de hielo más profundos se extienden a 3.26 km de profundidad, muy cercade la cama de rocas de la tierra

Las mediciones más antiguas con esta técnica datan hasta 800,000 años atras




¿Cómo determinan la fecha y las medidas de concentración ?

Una de las técnicas está basada en acumulación de nieve y en un modelo de flujomecánico

Otra técnica se basa en la densificación de la nieve para compensar entre la edad delgas y la edad del hielo

En el 2007 EPICA (Proyecto europeo de núcleos de hielo en antártica) realizóuna perforación en la estación concordia (Domo C)

Se produjeron mediciones de los gases de efecto invernadero : dioxido decarbono (CO2), metano (CH4) y temperatura (diferencias en la temperatura conrespecto a un valor de referencia)




0 200 400 600 800

Thousand years before present

342

624

907

CH

4

0 200 400 600 800

Thousand years before present

172

235

299

CO

2

0 200 400 600 800

−10

.6−

2.6

5.5

Tem

p




¿Qué dificultad presentan los datos ?

La temperatura y el CO2 fueron fechados usando escalas aproximadas,produciendo observaciones en distintos momentos del tiempo

No sólo las variables están medidas en distintos tiempos sino también estánmedidas en tiempos no equiespaciados

Problemas :

1 No es posible hacer un análisis de asociación (e.g. diagramas de dispersión o calcularcoeficiente de correlación)

2 No se pueden usar técnicas tradicionales de series de tiempo para predecir las series

Solución : Proponer un modelo para interpolar series no equiespaciadas paraproducir series equiespaciadas



Estrategia

Producir observaciones equiespaciadas usando interpolación estocástica

Usamos un proceso gausiano con función de correlación parametrizada entérminos de funciones de supervivencia paramétricas

La estimación de los parámetros se hace de manera bayesiana

La interpolación se logra usando la distribución condicional predictiva de un nuevotiempo basada en los m vecinos más cercanos (kriging bayesiano)

El número de vecinos m es determinado por el usuario dependiendo del grado desuavidad que se requiera o mediante un proceso de optimización



Modelo

Sea {Xt} un proceso estocástico continuo con índices t ∈ T ⊂ IR y valores en unespacio de estados X ⊂ IR

Denotamos por Xt1 ,Xt2 , . . . ,Xtn una realización del proceso, observada entiempos no equiespaciados t1, t2, . . . , tn, y n > 0

Suponemos queXt ∼ GP(µ,Σ(s, t)),

i.e., Xt sigue un proceso gaussiano con media constante µ y función decovarianza Cov(Xs,Xt ) = Σ(s, t), donde

Σ(s, t) es isotrópica, i.e., función de |t − s|

Σ(t, t) = σ2 > 0 constante

⇒ Σ(s, t) = σ2R(s, t), con R(s, t) la función de correlación



Modelo

Notamos que R(s, t) isotrópicas se comportan como una fn. de supervivencia

Proponemos

Σσ2,θ,β(s, t) = σ2Sθ(|t − s|)(−1)β|t−s|, β ∈ {1, 2}

Sθ(t) es una función de supervivencia con parámetro θ

β = 1 permite correl. negativas y positivas para |t − s| impar o par, resp.

β = 2⇒ correl. positiva.

Caso Weibull :Sθ(t) = e−λtα , θ = (λ, α)

Si α = 1⇒ R(s, t) = e−λ|t−s| (exponencial)

Si α = 2⇒ R(s, t) = e−λ(t−s)2(exponencial cuadrático)

Caso Log-logistico :

Sθ(t) =1

1 + λtα, θ = (λ, α)



Inferencia

Dist. iniciales :µ ∼ N(µ0, σ

2µ), σ2 ∼ IGa(aσ , bσ),

λ ∼ Ga(aλ, bλ), α ∼ Un(0,Aα) y β − 1 ∼ Ber(pβ)

Verosimilitud : La distribución conjunta de x = (xt1 , xt2 , . . . , xtn ) dadoη = (µ, σ2, θ, β) es una normal n−dimensional

f (x | η) =(

2πσ2)−n/2

|Rθ,β |−1/2 exp{−

12σ2

(x− µ)′R−1θ,β(x− µ)

}



Inferencia

Dist. cond. finales :

f (µ | rest) = N

µ∣∣∣∣∣∣

1σ2 x′R−1

θ,β +µ0σ2µ

1σ2 1′R−1

θ,β1 + 1σ2µ

,

(1σ2

1′R−1θ,β1 +

1σ2µ

)−1 ,

f (σ2 | rest) = IGa(σ2∣∣∣∣ aσ +

n2, bσ +

12

(x− µ)′R−1θ,β(x− µ)

),

β − 1 | rest ∼ Ber(p∗β), p∗β =

{1 +

f (x | β = 1)(1− pβ)

f (x | β = 2)pβ

}−1

,

f (θ | rest) ∝ f (x | η)f (θ), θ = (λ, α)

Simular de µ, σ2 y β es simple

Simular de θ = (λ, α) requiere pasos MH

Problema numérico : Calcular |Rθ,β | y R−1θ,β para n grande.

Solución : usar un subconjunto de puntos (e.g. 500)



Interpolación

Para interpolar usamos la dist. predictiva posterior condicional a un subconjuntode m vecinos

Sea xs = (xs1 , . . . , xsm ) un conjunto de tamaño m de tiempos observados, t.q.s = (s1, . . . , sm) son los m tiempos más cercanos al tiempo t

La dist. cond. de la variable no observada Xt dado xs es

f (xt | xs,η) = N(

xt | µt , σ2t

),

µt = µ+ Σ(t , s)Σ(s, s)−1(xs − µ) y σ2t = σ2 − Σ(t , s)Σ(s, s)−1Σ(s, t)

Finalmente, suponiendo (Xt ,Xs) son cond. indep. de x

f (xt | xs, x) =

∫f (xt | xs,η)f (η | x)dη

la cual se aproxima via Monte Carlo



Interpolación

Considera el caso m = 2, xs = (xs1 , xs2 ) las dos obs. más cercanas al tiempo t ,entonces E(Xt | xs,η) es

µt = µ+(ρt,s1 − ρt,s2ρs1,s2 )(xs1 − µ) + (ρt,s2 − ρt,s1ρs1,s2 )(xs2 − µ)

1− ρ2s1,s2

,

El predictor puntual (la interpolación) es una combinación lineal de los vecinos xs conpesos determinados por las correlaciones entre xt , xs1 y xs2

Interpolación lineal : Se basa en un proceso Browniano (Wiener), i.e.,

Xt ∼ GP(0,Σ(s, t)), Σ(s, t) = min{s, t}

En este caso E(Xt | xs) es

µt =(s2 − t)

(s2 − s1)xs1 +

(t − s1)

(s2 − s1)xs2

El predictor puntual (la interpolación) es una combinación lineal de los vecinos xs conpesos determinados por las distancias entre xt , xs1 y xs2




Nos concentramos en Temperatura y CO2

Los datos de temperatura tienen 5, 788 observaciones mientras que el CO2 tienen = 1, 095 observaciones distribuidos en un intervalo de tiempo de 800, 000 añosatras

Los tiempos de medición son distintos

Calculamos las diferencias en los tiempos de observación ti − ti−1 y losgraficamos contra ti , para i = 1, . . . , n

Las medianas en las diferencias en los tiempos de medición son : 58 años para latemperatura y 586 años para el CO2




0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

−10

−5

05

Years before present

Tem

pera

ture

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

180

200

220

240

260

280

300


C02

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

020

040

060

080

010

0012

0014

00


Tim

e di

ffere

nces

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

010

0020

0030

0040

0050

0060

00


Tim

e di

ffere

nces



Especificaciones del modelo

Ajustamos nuestro modelo a las dos series usando las sig. especificacionesiniciales :

µ0 = 0, σ2µ = 100, aσ = 2, bσ = 1, aλ = bλ = 1, Aα = 2 and pβ = 0.5

La inferencia posterior no es sensible a estas especificaciones ya que la longitudde las series es grande

La función de covarianza se definió en términos de la la función Weibull yLog-logística para comparar

Para la predicción se tomaron varios valores de m ∈ {2, 4, 10, 20}

El muestreador de Gibbs se corrió por 20,000 iteraciones con un periodo decalentamiento de 2,000 manteniendo una de cada 10 simulaciones para reducir laautocorrelación en la cadena



Ajuste del modelo

L(ν) =1n

n∑i=1

Var(xFi |x) +

ν

n

n∑i=1

{E(xF

i |x)− xi

}2, ν ∈ [0, 1]

Weibull Log-logisticm L(0) L(0.5) L(1) B L(0) L(0.5) L(1) B

Temperature2 1.479 1.991 2.504 1.025 1.476 1.990 2.505 1.0294 1.450 1.974 2.498 1.045 1.446 1.975 2.505 1.05910 1.442 1.964 2.486 1.043 1.427 1.959 2.491 1.06420 1.439 1.969 2.498 1.059 1.424 1.960 2.496 1.072

CO22 60.572 87.100 113.628 53.056 59.651 86.232 112.812 53.1614 60.395 87.069 113.744 53.349 59.907 86.519 113.130 53.22310 60.353 87.353 113.554 53.202 59.134 85.664 112.195 53.06120 60.422 86.537 113.252 52.830 59.740 86.149 112.558 52.818



Funciones de correlación

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+050.

00.

20.

40.

60.

81.

0

x

FIGURE : Estimaciones de la función de correlación para los datos de temperatura.Weibull (izq.) y Log-logística (der.)



Interpolaciones

Procedemos a producir interpolaciones con el modelo Log-logistic y con m = 10vecinos ya que con él se obtienen las menores varianzas

Las nuevas series interpoladas se generan con un espaciamiento de 100 y 1000años para comparar



Interpolaciones Temperatura : original, cada 100 y cada 1000

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

−10−5

05


0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

−10−5

05


0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

−10−5

05




Interpolaciones CO2 : original, cada 100 y cada 1000

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

180200

220240

260280

300


0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

180200

220240

260280

300


0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

180200

220240

260280

300




Dispersión CO2 vs. Temp (serie equiespaciada cada 100 años)

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−10

−5

05

CO2

Tem

p

Corr. Pearson : Media 0.86, IC al 95% (0.858, 0.872)

Tau de Kendall : Media 0.66, IC al 95% (0.647, 0.667)

Rho de Spearman : Media 0.85, IC al 95% (0.843, 0.859)



Referencias

Nieto-Barajas, L. E. & Sinha, T. (2015). Bayesian interpolation of unequallyspaced time series. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment 29,577–587.


interpolación bayesiana de series de tiempo no...

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