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46Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
INTERPOLACIÓN: LÁ FÓRMULA DE NEWTON
INTERPOLACIÓN: LÁ FÓRMULA DE NEWTON
Prof. Alfredo LProf. Alfredo Lóópez Benitopez BenitoProf. Carlos Conde LProf. Carlos Conde LáázarozaroProf. Arturo Hidalgo LProf. Arturo Hidalgo Lóópezpez
Marzo, 2007
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OBJETIVOSOBJETIVOS
1º. Conocer el concepto de diferencia dividida de orden k definidaen k puntos de un soporte.
2º. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange de una funciónutilizando la fórmula de Newton en diferencias divididas.
3º. Conocer las principales propiedades de las diferencias divididas.
4º. Particularizar la fórmula de Newton al caso de soportesequidistantes: Fórmulas en diferencias finitas.
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NOTACIÓNNOTACIÓN
Soporte de interpolación formado por los (n+1) puntos distintos:{x0, x1, …, xn}
Valores de una función f(x) en los (n+1) puntos del soporte:{f0, f1, …, fn}
PROBLEMA
Calcular el polinomio p(x) que interpola en el sentido deLagrange a la función f(x) sobre el soporte {x0, …, xn}
1ª forma de resolverlo: Usando la fórmula de Lagrange
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2ª forma de calcular el polinomio interpolador2ª forma de calcular el polinomio interpolador
Si se considera el polinomio escrito en la forma:
p(x) = a0 + a1·x + a2·x2 + …… + an·xn
Pueden obtenerse los coeficientes resolviendo el sistema:En (x0, f0): a0 + a1·(x0) + a2·(x0)2 + …… + an·(x0)n = f0
En (x1, f1): a0 + a1·(x1) + a2·(x1)2 + …… + an·(x1)n = f1
En (x2, f2): a0 + a1·(x2) + a2·(x2)2 + …… + an·(x2)n = f2
En (xn, fn): a0 + a1·(xn) + a2·(xn)2 + …… + an·(xn)n = fn
…………………………………………………………………………………………………….
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3ª forma: El Método de Newton3ª forma: El Método de NewtonSi se considera el polinomio escrito en la forma:
p(x) = c0 + c1·(x-x0) + c2·(x – x0)·(x – x1) + …… +
pueden obtenerse los coeficientes resolviendo el sistema:En (x0, f0): c0 + = f0
En (x1, f1): c0 + c1·(x1-x0) = f1
En (x2, f2): c0 + c1·(x2-x0) + c2·(x2 –x0)·(x2-x1) = f2
En (xn, fn): c0 + = fn
…………………………………………………………………………………………………….( 1)
01· ( )
in
i n jji
c x x−
==
−∏∑
+ cn·(x – x0)·(x – x1)·….·(x-xn-1)
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Método de NewtonMétodo de Newton
Que conduce a: c0 = f0
c1 = (f1 – f0)(x1 – x0)
c2 =
(f2 – f1)(x2 – x1)
- (f1 – f0)(x1 – x0)
(x2 – x0)
……………..
Diferencia dividida f[x0]
Diferencia dividida f[x0, x1]
Diferencia dividida f[x0, x1, x2]
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Cálculo de los coeficientes del polinomio Cálculo de los coeficientes del polinomio
{x0} p0(x) = c0 p0(x) = f0 = f[x0]
( )=01 0(xp ) f{x0, x1} p1(x) = c0 + c1·(x-x0) p1(x) = f[x0] + c1·(x-x0)
p0(x)
( )=11 1(xp ) f0
11 0
1 1x(xf p ( )c
x )−
=−
= f[x0, x1] p1(x) = f[x0] + f[x0, x1] ·(x-x0)
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Cálculo de los coeficientes del polinomio Cálculo de los coeficientes del polinomio
( )=02 0(xp ) f
{x0, x1 , x2} p2(x) = c0 + c1·(x-x0) + c2·(x-x0)·(x-x1)
[ ] −= =
−1
0 11 0
01
1 p xx ,x(
)ax
(fx
f)
p2(x) = f[x0] + f[x0, x1] ·(x-x0) + c2·(x-x0)·(x-x1)
( )=12 1(xp ) fc0 = f0 = f[x0]
p2(x2) = f2
p1(x)
2
2 0 2
2
1
12
x(x x )·(x
p)
( )x
c f −=
− −
f[x0, x1, x2]p2(x) = f[x0] + f[x0, x1]·(x-x0) + f[x0, x1 , x2]·(x-x0)·(x-x1)
[ ] [ ] ( )−
= =
= + −∑ ∏(i 1)2
0 0 i ji 1 j 0
2 f fx x x ,...,x · x xp ( ) [ ]( )
−
=
−−=
−∏i i i
0 i (i 1)
i jj 0
1p (xx ,...,xx
ffx
)
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Fórmula de interpolación de NewtonFórmula de interpolación de Newton
(i = 0, 1, ..., n-1)
{x0, x1 ,..., xn} pn(x) = c0 + c1·(x-x0) + .... + cn·(x-x0)·... ·(x-xn-1)
[ ] ii i0 i i
i jj
1i
0
xx ,..., p ( )x fc(x
fx )
−
=
−= =
−∏
pn(x) = f[x0] + ...+ f[x0,..., xn-1] ·(x-x0)·...·(x-xn-2) + cn·(x-x0)·...·(x-xn-1)
( )=in i(xp ) f
pn(xn) = fn
pn-1(x)
n n(n 1)
n jj 0
1nn
x
(xc f
x
)
)
p (−−
=
−=
−∏f[x0, x1,..., xn]
[ ] [ ] ( )−
= =
= + −∑ ∏(i 1)n
0 0 i ji 1 j 0
n f fx x x ,...,x · x xp ( )[ ]
( )−
=
−−=
−∏i i i
0 i (i 1)
i jj 0
1p (xx ,...,xx
ffx
)
Fórmula de interpolación de Newton
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55Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
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Diferencias divididas: DefiniciónDiferencias divididas: DefiniciónDefiniciónSe denomina diferencia dividida de orden k de la función f(x)en los puntos {x0, x1, ..., xk} al valor:
[ ] −−
=
−=
−∏k
0k
k (k 1)
k jj 0
1k xfx ,...,x(x
p
)
(
xf )
donde fk = f(xk) y pk-1(x) es el polinomio interpolador deLagrange de f(x) sobre el soporte {x0, x1, ..., xk-1}.
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56Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: Propiedades
Propiedad 1ª
{ }0 1 k0 i i i nx ,..,x ,...,x ,...,x ,...,x
{ }0 1 ki i ix ,x ,...,x...
{ }0 1 kj j jx ,x ,...,x
Extracción de (k+1) valores:
Soporte inicial:
Reordenación de los (k+1) puntos:
Siendo {i0, i1, ..., ik} un subconjunto de { 0, 1, ..., n} y deno-tando por {j0, j1, ..., jk} una permutación de {i0, i1, ..., ik} severifica que:
=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 1 k0 1 k j j ji i if f x ,x ,...x ,x ,..., ,xx
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57Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: PropiedadesDemostración:Según la fórmula de Newton el polinomio interpolador de Lagrangesobre el soporte es:{ }0 1 ki i ix ,x ,...,x
( ) ( ) ( )− −= + − + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − +
0 0 k 1 0 k 20 0 1k i ii i i ii ix x x ,x · x .p ( ) x x... ,..., · x ·... xf x·xf f x
( ) ( ) ( )− − −+ − − −⎡ ⎤⎣ ⎦0 k 1 k 0 k 2 k 1i i i i i i· xx ,...,x ·...· x · x,x x x xf
Y sobre el soporte es:{ }0 1 kj j jx ,x ,...,x
( ) ( ) ( )− −= + − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ − − +⎦0 0 1 0 0 k 1 0 k 2k j j j j j j j jx , · x .... ,..., · x ·...· xq ( ) x x x x x x xfxf f
( ) ( ) ( )− − −⎡ ⎤⎦+ −⎣ − −
0 k 1 k 0 k 2 k 1j j j j j j,..., , · x ·...· x ·x xx x x x xf
Por la unicidad del polinomio interpolador: pk(x) = qk(x).
Identificando los coeficientes en xk: =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 1 k0 1 k j j ji i if f x ,x ,...x ,x ,..., ,xxc.q.d.
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58Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
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Propiedad 2ªSiendo {i0, i1, ..., ik} un subconjunto de { 0, 1, ..., n} se verifica que:
1 1 k 0 1 k 1
0 1 k 1 k
k 0
i i i i i ii i i i
i i
x ,x ,...,x x ,x ,...,xx ,x ,...,x ,x
f fx x
f −
−
⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎣−
−⎦ =
WxÅÉáàÜtv|™Ç ( ver las 2 diapositivas siguientes)
con: f[xj] = f(xj) = fj.
Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: Propiedades
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59Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: PropiedadesSegún la fórmula de Newton el polinomio interpolador de Lagrange sobreel soporte es:{ }0 1 ki i ix ,x ,...,x
( ) ( ) ( )− −= + − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − − +
0 0 1 0 0 k 1 0 k 2i i i i i ik i ix x x ,x · x x .... x ,...,x · x x ·..p ( ) . x xf ·f f
( ) ( ) ( )− − −+ ⎡ ⎤ − −⎦ −⎣ 0 k 1 k 0 k 2 k 1i i i i i ix ,...,x ,x · x x ·...· x x · x xf
Y sobre el soporte es:{ }−k k 1 0i i ix ,x ,...,x
( ) ( ) ( )−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦= + − + + − −⎣ +⎦ ⎣ ⎦k k k 1 k k 1 k 2i i i i i i i ik x x x ,x · x x ...q . x ,...,x · x x ·...f · xf xf( )
( ) ( ) ( )+ − −⎡ ⎤⎣ ⎦ −k 1 0 k 2 1i i i i i ix ,...,x ,x · x x ·...· x x · x xf
Por la unicidad del polinomio interpolador: pk(x) = qk(x).
Identificando los coeficientes en xk-1 :
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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: Propiedades
( )− − −− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ + ⎣ ⎦ =0 k 1 k 0 1 2 k 1 0 1 k 1i i i i i i i i i ix ,...,x ,x · x x x ... x x ,x ,...,xf f
( )− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − + ⎣ ⎦⎣ ⎦k 1 0 k k 1 2 1 k k 1 1i i i i i i i i i ix ,...,x ,x · x x ... x x x ,x ...,xf f
Son iguales (ver propiedad 1ª)
( )− −− = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 k 1 k k 0 1 k 0 k 1i i i i i i i i ix ,...,x ,x · x x x ,...,x x ,...f ,xf f
( )−
−
⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦−
=−
1 k 0 k 1
0 k 1 k
k 0
i i i ii i i
i i
x ,...,x x ,...,xx ,...,x ,x
x
f
x
ff
c.q.d.
⎡ ⎤⎣ ⎦1 2 ki i ix ,x ,...,xf
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61Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: Propiedades
Caso particular:
[ ] [ ] [ ]+ + − + + + −+ + − +
+
−=
−i 1 i k 1 i k i i 1 i k 1
i i 1 i k 1 i ki k i
f fx ,...,x ,x x ,x ,...,xx ,x ,...
xf ,x ,x
x
Denotando por: f[xi] = fi (i = 0, 1, ...., n)se verifica:
(i = 0, 1, ...., n-k)
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62Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: Propiedades[ ] [ ] [ ]+ + − + + + −
+ + − ++
−=
−i 1 i k 1 i k i i 1 i k 1
i i 1 i k 1 i ki k i
f fx ,...,x ,x x ,x ,...,xx ,x ,...
xf ,x ,x
x
x0
x1
f0
f1
x2 f2
x3 f3
x4 f4
[ ]0 1f x ,x
[ ]1 2f x ,x
[ ]2 3f x ,x
[ ]3 4f x ,x
[ ]0 1 2x ,x ,xf
[ ]1 2 3x ,x ,xf
[ ]2 3 4x ,x ,xf
[ ]0 1 2 3x ,x ,x ,xf
[ ]0 1 2 3x ,x ,x ,xf
[ ]0 1 2 3 4x ,x ,x ,x ,xf
p4(x) = f0 + f[x0, x1]·(x-x0) + f[x0, x1 , x2]·(x-x0)·(x-x1) ++ f[x0, x1 , x2 , x3]·(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) +
+ f[x0, x1 , x2 , x3 , x4]·(x-x0)·(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)
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Diferencias divididas: EjemploDiferencias divididas: EjemploObtener el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) = sen(x) sobre el soporte formado por los puntos: π π⎧ ⎫
⎨ ⎬⎩ ⎭0, ,
4 2Solución:
x0
x1
x2
f(x0)
f(x1)
f(x2)
f[x0, x1]
f[x1, x2]
f[x0, x1 , x2]0
π4
π2
0
12
1
f[x0, x1] =−−1
1
0
0
xf
xf −
=π−
1 0
4
2
0
π2· 2
f[x1, x2] =−−2
2
1
1
xf
xf −
=π π−
112
2 4
−π
2·(2 2)f[x0,x1 ,x2] =
[ ] [ ]−−
1 2 0 1
2 0
x ,x x ,xx
fxf
−π2
8·(1 2)
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Diferencias divididas: EjemploDiferencias divididas: Ejemplo
p2(x) = f(x0) + f [x0,x1]·(x - x0) + f [x0,x1, x2]·(x - x0)(x-x1)
0
π4
π2
0
12
1
π2· 2 −
π28·(1 2)
−π
2·(2 2)
=
= 0 +π
2· 2·( x – 0) + −
π28·(1 2) ·(x-0)·(x-π/4)
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Diferencias divididas: EjemploDiferencias divididas: Ejemplo
f(x) = sen(x)p2(x) |ε(x)| = |f(x) – p2(x)|
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Diferencias divididas: Ejemplo 2ºDiferencias divididas: Ejemplo 2ºObtener el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) = sen(x) sobre el soporte formado por los puntos: π π π π⎧ ⎫
⎨ ⎬⎩ ⎭0, , , ,
6 4 3 2
Tabladel
ejercicioanterior
0
π4
π2
0
12
1
π2· 2 −
π28·(1 2)
−π
2·(2 2)
0
π4
π2
0
0.707
1
0.90
0.373
−0.336
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Diferencias divididas: Ejemplo 2ºDiferencias divididas: Ejemplo 2º
f[x2,x3]
f[x3,x4]
f[x2,x3 ,x4]
f[x1,x2 ,x3]
x3 f(x3)
x4 f(x4)
0
π4
π2
0
0.707
1
0.90
0.373
−0.336 f[x0,x1,x2,x3]
f[x1,x2,x3,x4]
f[x0,x1,x2,x3 ,x4]
π6π3
0.5
0.867
0.477
0.699
-0.399
-0.423
-0.121
-0.091
0.0288
p4(x) = p2(x) +
+ f[x0,x1,x2,x3,x4]·(x-0)·(x-π/4)·(x-π/2)·(x-π/6)0.0288
+ f[x0,x1,x2,x3]·(x-0)·(x-p/4)·(x-p/2) +(-0.121)
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Diferencias divididas: Ejemplo 2ºDiferencias divididas: Ejemplo 2ºπ
+ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − −
π π π π π⋅ + − − −−
4 (x 0) (x 0) (x )4
x
x 0 0.90 0.336
0.121 0.0·(x - )·(x - ) ·x·(x )·(x )·(x )4 2 6 2
)
88
p (
62
|ε(x)| = | f(x) – p4(x)|
f(x) = sen(x)p2(x)
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