INTERPOLASI POLINOMIAL

Menentukan titik-titik antara N buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat N-1

Persamaan Polynomial pangkat N-1 :

Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas, diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas

SOAL :

Diberikan data tingkat curah hujan sebagai berikut:

Hari(x)

Tingkat Curah Hujan(y)

0 01 12 1.25992057 1.912931188 227 3

Tentukan interpolasi di hari ke 15 !

JAWABAN :

MANUAL

Z = 2 → T (2) = 1,25992105

Z = 7 → T (7) = 1,91231183

Z = 8 → T (8) = 2

Z = 27 → T (27) = 3

Persamaan umum metode langsung interpolasi kubik

F3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

F3(2) = a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 1,25992105

F3(7) = a0 + 7a1 + 49a2 + 343a3 = 1,91231183

F3(8) = a0 + 8a1 + 64a2 + 512a3 = 2

F3(27) = a0 + 27a1 + 729a2 + 19683a3 = 3

a0

1,25992105

a1 1,912931183a2 = 2a3 3

a0 1 2 4 8 -1 1,25992105a1 = 1 7 49 343 1,912931183a2 1 8 64 512 2a3 1 27 729 19683 3

a0 1,97 -4,1252 3,174 -0,017 1,25992105 3,3629409

a1 = -0,53 2,396 -1,871 0,009 1,912931183 = 0,2006249

a2 0,046 -0,305 0,26 -0,0015 2 -0,0099876

a3-

0,0012 0,008 -0,007 0,000053 3 -

0,00004946

Maka,

F3 (15) = 3,3629409 + 0,2006249 (15) - 0,0099876 (225) - 0,00004946 (3375)

F3 (15) = 3,8569268

ERROR =|3,8569268−2,47263,8569268 |x100 %=35,89 %

1 2 4 81 7 49 3431 8 64 512 1 27 729 19683

MATLABo Script

INTEGRASI NUMERIK

Integrasi numerik merupakan pendekatan dari integrasi analitis  untuk mempermudah mendapatkan solusinya, dimana kadang-kadang suatu integral sulit diselesaikan dengan analitis. Dapat dikatakan juga metode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia.

Integrasi numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada  perkiraan dengan

membagi luasan dalam sejumlah pias kecil. Luas totalnya adalah jumlah dari luas pias semuanya.

Integral numerik dilakukan apabila:

1)      Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis.

2)      Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik

dalam bentuk angka (tabel).

Penyelesaian dari integral numerik dapat dilakukan dengan 2 metode yaitu : Trapezidal dan Simpson.

1. Trapezoid Metode trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik dengan

persamaan polinomial order satu. Dalam metode ini kurve lengkung dari fungsi f (x) digantikan oleh garis lurus. Luasan bidang di bawah fungsi f (x) antara nilai x = a dan nilai x = b didekati oleh luas satu trapesium yang terbentuk oleh garis lurus yang menghubungkan f (a) dan f (b) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b. Pendekatan dilakukan dengan satu pias (trapesium).trapezoidal linear

2.Aturan Komposisi :

3.

Formula Trapezoidal :4.

CONTOH SOAL:Hitunglah luas dari integral berikut

MANUAL

Misal u = 1+x sehingga

Jadi besarnya luas dengan perhitungan manual adalah 0,93 satuan luas. Trapezoid

Hasil integral di atas didekati dengan metode trapezoid dengan persamaan:

Dengan N=8, sehingga nilai h=0,125

Kita lakukan perhitungan manual terlebih dahulu seperti berikut:

ixi F(xi)

0 0 1

1 0,125 0,888

2 0,25 0,8

3 0,375 0,7272

4 0,5 0,666

5 0,625 0,6153

6 0,75 0,571

7 0,875 0,533

8 1 0,5

Sehingga:

Dan hasil yang diberikan metode trapezoid memberikan nilai 0,6938 satuan luas

5. Simpson Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara

lain untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order lebih tinggi untuk menghubungkan titik-titik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik

tambahan di antara f (a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola. Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b), maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga. Rumus yang dihasilkan oleh integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan) Simpson.

Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

N = 0 – nL = L1 + L3 + L5 + . . . + LnDimana h=(b-a)/n

CONTOH SOAL:Hitunglah luas dari integral berikut

MANUAL

Misal u = 1+x sehingga

Simpson

Dengan tabel yang sama maka didapatkan:

Jadi luas yang didapat dengan metode simpson adalah 0,69255 satuan luas

Program MATLAB

Berikut adalah listing programnya:

clear;clc;

a=0;

b=1;

x=0;

h=0.125;

n=(b-a)/h

n=round(n)

for i=1:(n+1)

f(i)=1/(1+x);

x=x+h;

end

f

ff=f(2:n)

sum=0;

for i=1:(n-1);

sum=sum+ff(i);

end

sum

trap=(h/2)*(f(1)+2*sum+f(n+1))

sigma=0;

for i=1:(n-1)

if (rem(i,2)~=0)

sigma=sigma+4*ff(i);

else

sigma=sigma+2*ff(i);

end

end

simp=(h/3)*(f(1)+sigma+f(n+1))

Kedua metode di atas dapat diletakkan pada satu listing program saja, dimana:

Kode trap=(h/2)*(f(1)+2*sum+f(n+1)) digunakan untuk metode trapezoid

Kode simp=(h/3)*(f(1)+sigma+f(n+1)) digunakan untuk metode simpson