Interpolēšanas metožu izmantošana Delphi un Matlab vidē.

Praksē nereti rodas nepieciešamība noskaidrot sakarības dažādos procesos un parādībās un izteikt šīs sakarības matemātiskas izteiksmes veidā.

Ir zināmi trīs funkciju uzdošanas veidi: analītiskais, grafiskais un tabulārais.

Interpolācija visbiežāk jāizmanto tad, ja funkcija ir uzdota tabulas veidā.

y

x 1 2 … i i+1 … n – 1 n

Funkciju interpolācija

Lineārā interpolācija

bxay * - Taisnes vienādojums

bxaybxay

ii

ii

11 ** Funkcijas vērtības

kaimiņ mezglu punktos

ii

iiii

ii

ii

iiii

ii

xxyyxyb

xxyya

xayxayxayb

1

1

1

1

11

*

***

Atrodam a un b vērtības:

Nosacījums xi < Xt < xi+1

Piemērs.

xt := strtofloat(edit1.text);For i := 1 to n-1 dobegin if (xt < x[i+1]) and (xt > x[i]) then begin

a:= (y[i+1] – y[i])/(x[i+1] – x[i]);

b:= y[i] – x[i] * a; yt:= a*xt + b;

endend;

Kvadrātiskā interpolācija

a*x2 + b*x + c = 0; Parabolas vienādojums

y[i-1] = x[i-1]*x[i-1]*a + x[i-1]*b + c

y[i] = x[i]*x[i]*a + x[i]*b + c

y[i+1] = x[i+1]*x[i+1]*a + x[i+1]*b + c

No vienādojumu sistēmasatrodam a, b un c vērtības:

a = ∆a /∆; b = ∆b /∆; c = ∆c /∆;

kur ∆, ∆a, ∆b, ∆c – trešās kārtas

determinanti.

xi-1 <= x <= xi+1

 Splain-interpolācija

m kārtības splain dēvējas funkcija, kura ir m pakāpes polinoms uz katras atstarpes starp mezglu punktiem un visos iekšējos mezglos apmierina funkcijas un atvasinājumu kontinuitātes nosacījumiem.

Vislielāko izplatīšanu saņēma kuba splains

y=ax3+bx2+cx+d.

Atradīsim atkarības viņa a, b, c, d koeficentu aprēķināšanai pa funkcijas un tās pirmo atvasinājumu vērtībām kaimiņ mezglu punktos.

 Izkravāšanu vienkāršojumam pieņemsim,

ka atstarpes kreisa leņķiska punkta xi,xi+1

argumenta vērtība, kurai meklējam splain-

funkciju, vienāds nullei. To vienmēr var

izdarīt pārveidi x=xi+z, kur z jauns

arguments.

xi

z1 = 0

xi+1

z2 = xi+1 - xi z = x - xi

y=az3+bz2+cz+d

 Tad uzdevums ir noformulējams sekojoši:

atrast nezināmus a, b, c, d splaina koeficentus,

apmierinoši mezglu punktos nosacījumam

z1=0; y(z1)=f1; y'(z1)=f1'; y(z2)=f2; y' (z2)=f2'.

Šeit f1,f2,f1',f2' - attiecīgi interpolēšanas

funkcijas un tās atvasinājuma vērtības mezglu

punktos z1, z2.

 Lai atrastu a,b,c,d saliksim vienādojumu

sistēmu, izmantojot nosacījumus mezglu

punktos

f1 = d;

f1′ = c;

f2 = az23 + bz2

2 + cz2 +d;

f2′ = 3az2

2 + 2bz +c; tātad

d = f1;c = f1

′

 Paliekot atrastās d, c vērtības divos

pēdējos vienādojumos un atļaujot tos

relatīvi a, b saņemsim

a = (z2(f2′ - f1

′ ) – 2(f2 - f1′ * z2 – f1))/z2

3

b = (3(f2 - f1′ * z2 – f1) – z2(f2

′ - f1′ ))/z2

2

Paliekot atrastos koeficentus kuba splainu un uzdodot argumenta vērtību, aprēķināsim funkcijas vērtību starp mezglu punktiem.

y = az3 + bz2 + cz + d

Bieži pie interpolācijas ir esamas tikai funkcijas vērtības mezglu punktos un nav atvasinājumu vērtību. Tad pirmie atvasinājumi iekšējos mezglu punktos aprēķina pa formulām

fi′ = (fi+1 – fi-1)/(xi+1 – xi-1),

fi′ = (fi+1 – fi-1)/(2h), i = 2, .. N-1

h- attālums starp mezglu punktiem.N – mezglu punktu skaits

Atvasinājuma vērtību pirmajā un pēdējā mezglu punktos aprēķina pa formulām:

f1′ = f2

′ - f2″ h; fn

′ = fn-1′ – fn-1

″ h;

f2″ = (f1 + f3 – 2f2)/h2;

fn-1″ = (fn-2 + fn – 2fn-1)/h2;

f2″ , fn-1

″ - otro atvasinājumu pietuvinātās vērtības otrajā un n - 1 punktos.

Programmas fragmenti Delphi vidē

Funkcijas kubisks splains

function k_spl(xx:Real):Real;var d:Real; // koeficient d{pirmā atvasinājuma aprēķins mezgla punktos (i>= 2) and (i <= n-1)}function fi_1(i:Byte):Real;begin fi_1 := (y[i+1] - y[i-1])/(x[i+1]-x[i-1]);end;{otrā atvasinājuma aprēķins punktā i = 2}function f22:single;begin f22 := (y[1] + y[3] - 2*y[2])/sqr(x[2]-x[1]);end;{pirmā atvasinājuma aprēķins punktā i = 1}function f12:single;begin f12 := fi_1(2) - f22*(x[2]-x[1]);end;

{otrā atvasinājuma aprēķins punktā i = n-1}function fn2:single;begin fn2 := (y[n-2] + y[n] - 2*y[n-1])/sqr(x[n]-x[n-1]);end;{pirmā atvasinājuma aprēķins punktā i = n}function f1n:single;begin f1n := fi_1(n-1) - fn2*(x[n]-x[n-1]);end;{koeficienta c aprēķināšana}function c(i:byte):single;begin if (i>= 2) and (i < n-1) then c := fi_1(i); if i = 1 then c := f12; if i = n-1 then c := f1n;end;

{koeficienta a aprēķinšāna}function a(i:Byte):Real;begin if (i>= 2) and (i < n-1) then begin a := ((x[i+1]-x[i])*(fi_1(i+1)-fi_1(i)) - 2*(y[i+1] - fi_1(i)*(x[i+1]-x[i]) - y[i]))/power(x[i+1]-x[i],3); end; if i= 1 then begin a := ((x[i+1]-x[i])*(fi_1(i+1)-fi_1(i)) - 2*(y[i+1] - f12*(x[i+1]-x[i]) - y[i]))/power(x[i+1]-x[i],3); end; if i= n-1 then begin a := ((x[i+1]-x[i])*(f1n-fi_1(i)) - 2*(y[i+1] - fi_1(i)*(x[i+1]-x[i]) - y[i]))/power(x[i+1]-x[i],3); end;end;

{koeficienta b aprēķināšana}function b(i:Byte):Real;begin if (i>= 2) and (i < n-1) then begin b := (3*(y[i+1] - fi_1(i)*(x[i+1]-x[i]) - y[i])-(x[i+1]-x[i])* (fi_1(i+1)-fi_1(i)))/sqr(x[i+1]-x[i]); end; if i = 1 then begin b := (3*(y[i+1] - f12*(x[i+1]-x[i]) - y[i])- (x[i+1]-x[i])*(fi_1(i+1)-

fi_1(i)))/sqr(x[i+1]-x[i]); end; if i= n-1 then begin b := (3*(y[i+1] - fi_1(i)*(x[i+1]-x[i]) - y[i])- (x[i+1]-x[i])*(f1n-fi_1(i)))/sqr(x[i+1]-x[i]); end;end;

{Funkcijas ķermenis}begin for j := 1 to n-1 do if(xx > x[j]) and (xx < x[j+1]) then it := j; {it – kreisa mezgla numurs x[it] - kreisa mezgla koordināta xx – argumenta vērtība} d := y[it];

k_spl := a(it)*power(xx-x[it],3) + b(it)*sqr(xx-x[it])+ c(it)*(xx-x[it]) + d;end;

{Funkcijas y(xt) vērtības aprēķināšana}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);begin xt := strtofloat(edit1.Text);{ lasīt vektorus x un y no stringgrid komponenta} for i := 1 to n do begin x[i] := strtofloat(stringgrid1.Cells[i-1,0]); y[i] := strtofloat(stringgrid1.Cells[i-1,1]); end; yt := k_spl(xt) ; {vērtības y(xt) izvade}

edit2.Text := floattostrf(yt,fffixed,10,3);end;

{Grafika konstruēšana}procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);begin Series1.Clear; Series2.Clear; for i := 1 to n do begin x[i] := strtofloat(stringgrid1.Cells[i-1,0]); y[i] := strtofloat(stringgrid1.Cells[i-1,1]); Series1.AddXY(x[i],y[i]); end; xg := x[1]; yg := y[1]; Series2.AddXY(xg,yg); repeat xg := xg + 0.05; yg := k_spl(xg) ; Series2.AddXY(xg,yf); until xg >= x[n];end;

{Lasīt vektorus x un y no faila, izmantojot OpenDialog komponentu}

procedure TForm1.Open1Click(Sender: TObject);begin if OpenDialog1.Execute then begin AssignFile(ff,OpenDialog1.FileName); Reset(ff); i:=0; while not Eof(ff) do begin i := i+1; readln(ff,x[i],y[i]); end; end; CloseFile(ff);end;

{Fails dati.txt Notepadā}

-5.0 9.13-4.2 1.26-3.4 -0.7-2.6 1.03-1.8 -2.05-1.0 -7.23-0.2 -6.150.6 -2.021.4 -3.022.2 -5.43