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Fixando a ideia de intervalo de confianca e tamanho da amostraIntervalos de confianca para a media: amostras pequenas
Testes de hipoteses para uma media
Intervalos de Confianca - Amostras PequenasTeste de Hipoteses para uma Media
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela,
Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP
Araraquara, SP - 2016
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Quımica, Unesp - 2016
Fixando a ideia de intervalo de confianca e tamanho da amostraIntervalos de confianca para a media: amostras pequenas
Testes de hipoteses para uma media
1 Fixando a ideia de intervalo de confianca e tamanho da amostra
2 Intervalos de confianca para a media: amostras pequenas
3 Testes de hipoteses para uma media
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Quımica, Unesp - 2016
Fixando a ideia de intervalo de confianca e tamanho da amostraIntervalos de confianca para a media: amostras pequenas
Testes de hipoteses para uma media
Fixando a ideia de intervalo de confianca
Para estimar a media µ de uma populacao qualquer usamos a mediaX de uma amostra de tamanho n. Do teorema do limite centraltem-se
E = X − µ ∼ N(0, σX ), sendo σX =σ√n.
P(|E | < 1.96σX ) = P(−1.96σX < X − µ < 1.96σX ) = 0.95
P(X − 1.96σX < µ < X + 1.96σX ) = 0.95
Se, baseados em amostras de tamanho n, construirmos uma quan-tidade grande de intervalos (X − 1.96σX ,X + 1.96σX ), entao 95%deles contem o parametro µ.
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Testes de hipoteses para uma media
Fixando a ideia de intervalo de confianca
Para estimar a media µ de uma populacao qualquer usamos a mediaX de uma amostra de tamanho n. Do teorema do limite centraltem-se
E = X − µ ∼ N(0, σX ), sendo σX =σ√n.
P(|E | < 1.96σX ) = P(−1.96σX < X − µ < 1.96σX ) = 0.95
P(X − 1.96σX < µ < X + 1.96σX ) = 0.95
Se, baseados em amostras de tamanho n, construirmos uma quan-tidade grande de intervalos (X − 1.96σX ,X + 1.96σX ), entao 95%deles contem o parametro µ.
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Testes de hipoteses para uma media
Fixando a ideia de intervalo de confianca
Para estimar a media µ de uma populacao qualquer usamos a mediaX de uma amostra de tamanho n. Do teorema do limite centraltem-se
E = X − µ ∼ N(0, σX ), sendo σX =σ√n.
P(|E | < 1.96σX ) = P(−1.96σX < X − µ < 1.96σX ) = 0.95
P(X − 1.96σX < µ < X + 1.96σX ) = 0.95
Se, baseados em amostras de tamanho n, construirmos uma quan-tidade grande de intervalos (X − 1.96σX ,X + 1.96σX ), entao 95%deles contem o parametro µ.
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Testes de hipoteses para uma media
Tamanho da amostra para estimar µ
Tamanho da amostra:
n =(zασ
E
)2,
sendo E a margem de erro, σ o desvio padrao e zα e tal queP(|z | < zα) = α
2
Para aumentar a precisao da estimativa sem diminuir o nıvelde confianca aumenta-se o tamanho da amostra.
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Testes de hipoteses para uma media
Tamanho da amostra para estimar µ
Tamanho da amostra:
n =(zασ
E
)2,
sendo E a margem de erro, σ o desvio padrao e zα e tal queP(|z | < zα) = α
2
Para aumentar a precisao da estimativa sem diminuir o nıvelde confianca aumenta-se o tamanho da amostra.
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Testes de hipoteses para uma media
Exemplo 1
Determinar o tamanho mınimo da amostra para obter 95% de con-fianca de que a media amostral esteja a uma unidade da mediapopulacional. Assuma que a populacao e normalmente distribuıdacom desvio padrao σ = 4.8.
n =
(1.96× 4.8
1
)2
= 88.51 ≈ 89
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Exemplo 1
Determinar o tamanho mınimo da amostra para obter 95% de con-fianca de que a media amostral esteja a uma unidade da mediapopulacional. Assuma que a populacao e normalmente distribuıdacom desvio padrao σ = 4.8.
n =
(1.96× 4.8
1
)2
= 88.51 ≈ 89
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Tamanho da amostra para estimar a proporcao p
No caso da proporcao tem-se
n = p(1− p)(zαE
)2.
Se nao for possıvel uma estimativa inicial de p use p = 0.5, que eo valor onde se tem o maximo da funcao f (p) =
√p(1− p) (ou a
margem de erro maxima).
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Testes de hipoteses para uma media
Exemplo 2
Deseja-se estimar com 95% de confianca a proporcao de eleitoresque irao votar em determinado candidato. Com uma margem deerro de 3% encontrar o tamanho da amostra necessaria nas seguin-tes situacoes: (a) nao ha nenhuma estimativa previa (b) ha umaestimativa previa p = 0.31.
(a)
n = 0.5× 0.5
(1.96
0.03
)2
= 1067.11 ≈ 1068
(b)
n = 0.31× 0.69
(1.96
0.03
)2
= 913.02 ≈ 914
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Exemplo 2
Deseja-se estimar com 95% de confianca a proporcao de eleitoresque irao votar em determinado candidato. Com uma margem deerro de 3% encontrar o tamanho da amostra necessaria nas seguin-tes situacoes: (a) nao ha nenhuma estimativa previa (b) ha umaestimativa previa p = 0.31.
(a)
n = 0.5× 0.5
(1.96
0.03
)2
= 1067.11 ≈ 1068
(b)
n = 0.31× 0.69
(1.96
0.03
)2
= 913.02 ≈ 914
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Testes de hipoteses para uma media
Quando σ nao for conhecido o desvio padrao amostral s e a distri-buicao t podem ser usados para se obter um intervalo de confiancapara a media populacional.
A distribuicao t
Se a distribuicao X for aproximadamente normal, entao
t =X − µs/√n
segue uma distribuicao t.
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Testes de hipoteses para uma media
Distribuicao t
Cada curva t e determinada pelos seus graus de liberdade (gl). Os glsao o numero de escolhas livres deixadas depois que X e calculada.
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Exemplo 3
Observe que o valor crıtico tc = 2.145 corresponde a uma confiancade 95% quando o tamanho da amostra e 15.
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Intervalos de confianca e a distribuicao t
Identifique a amostra: n, X e s.
X =
∑ni=1 xin
s =
√∑ni=1(xi − X )2
n − 1
Nıvel de confianca c, e graus de liberdade gl = n − 1
Margem de erro: E = tcs√n
Int. Conf.: X − E < µ < X + E
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Exemplo 4
Seleciona-se 16 cafeterias e mede-se a temperatura do cafe vendidoem cada uma delas. A media da temperatura e 162.0 oF com desviopadrao de 10.0 oF. Encontre um intervalo de 95% de confianca paraa temperatura media admitindo que as temperaturas sao aproxima-damente normalmente distribuıdas.
E = tcs√n
= 2.13110√16≈ 5.3
Portanto
IC : (X − E ,X + E ) = (162− 5.3, 162 + 5.3) = (156.7, 167.3)
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Exemplo 4
Seleciona-se 16 cafeterias e mede-se a temperatura do cafe vendidoem cada uma delas. A media da temperatura e 162.0 oF com desviopadrao de 10.0 oF. Encontre um intervalo de 95% de confianca paraa temperatura media admitindo que as temperaturas sao aproxima-damente normalmente distribuıdas.
E = tcs√n
= 2.13110√16≈ 5.3
Portanto
IC : (X − E ,X + E ) = (162− 5.3, 162 + 5.3) = (156.7, 167.3)
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Testes de Hipoteses
Uma afirmacao sobre um parametro populacional e chamada dehipotese estatıstica. Para testar um parametro populacional deve-mos afirmar cuidadosamente um par de hipoteses:{
H0 : µ ≤ kH1 : µ > k
{H0 : µ ≥ kH1 : µ < k
{H0 : µ = kH1 : µ 6= k
H0: Hipotese nula (contem a igualdade)H1: Hipotese alternativa (complemento da H0)
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Tipos de erro.
Inicia-se assumindo que a condicao de igualdade e verdadeirana hipotese H0. Decisoes:
A verdade de H0
Decisao H0 e verdadeira H0 e falsaNao rejeite H0 Decisao correta Erro tipo II
Rejeite H0 Erro tipo I Decisao correta
Nıvel de significancia: probabilidade maxima permitida paracometer um erro do tipo I. E denotado por α.
Probabilidade de um erro de tipo II: β. Para calcular a pro-babilidade de cometer um erro do tipo II e preciso conhecer amedia populacional, o que raramente ocorre na pratica.
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Tipos de erro.
Inicia-se assumindo que a condicao de igualdade e verdadeirana hipotese H0. Decisoes:
A verdade de H0
Decisao H0 e verdadeira H0 e falsaNao rejeite H0 Decisao correta Erro tipo II
Rejeite H0 Erro tipo I Decisao correta
Nıvel de significancia: probabilidade maxima permitida paracometer um erro do tipo I. E denotado por α.
Probabilidade de um erro de tipo II: β. Para calcular a pro-babilidade de cometer um erro do tipo II e preciso conhecer amedia populacional, o que raramente ocorre na pratica.
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Tipos de erro.
Inicia-se assumindo que a condicao de igualdade e verdadeirana hipotese H0. Decisoes:
A verdade de H0
Decisao H0 e verdadeira H0 e falsaNao rejeite H0 Decisao correta Erro tipo II
Rejeite H0 Erro tipo I Decisao correta
Nıvel de significancia: probabilidade maxima permitida paracometer um erro do tipo I. E denotado por α.
Probabilidade de um erro de tipo II: β. Para calcular a pro-babilidade de cometer um erro do tipo II e preciso conhecer amedia populacional, o que raramente ocorre na pratica.
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Teste unicaudal a esquerda
{H0 : µ ≥ kH1 : µ < k
Estatıstica do teste: z0 =X − k
σ/√n
O valor p (p-valor) e a area a esquerda da estatıstica do teste.
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Teste unicaudal a direita
{H0 : µ ≤ kH1 : µ > k
Estatıstica do teste: z0 =X − k
σ/√n
O valor p (p-valor) e a area a direita da estatıstica do teste.
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Teste bicaudal
{H0 : µ = kH1 : µ 6= k
Estatıstica do teste: z0 =X − k
σ/√n
O valor p (p-valor) e duas vezes a area a direita (esquerda) dovalor positivo (negativo) da estatıstica do teste.
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Exemplo 5
Esta sendo proposta uma dieta que visa a reduzir o nıvel de colesterolsanguıneo. De uma populacao em que o nıvel medio e 262 mg/mLe o desvio padrao, 70 mg/mL, e selecionada uma amostra de 20pessoas que se submetem a esta dieta. Ao final de certo tempo, onıvel de colesterol e medido nessas pessoas e a media e 233 mg/mL.Pode-se afirmar que a dieta produziu realmente uma reducao nocolesterol sanguıneo (α = 0.05) ou a diferenca deve ser atribuıda aoacaso?
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Exemplo 5: Resolucao
{H0 : µdieta ≥ 262H1 : µdieta < 262 (afirmacao)
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Exemplo 5: Resolucao
A estatıstica do teste:
z0 =233− 262
70/√
20= −1.8527
esta na regiao de significancia (rejeicao).
Portanto ha evidenciaspara apoiar a afirmacao que a dieta reduz a taxa de colesterol.
Observacao sobre o valor p:
p = P(Z < −1.8527) = 0.032 < 0.05 = α
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Exemplo 5: Resolucao
A estatıstica do teste:
z0 =233− 262
70/√
20= −1.8527
esta na regiao de significancia (rejeicao). Portanto ha evidenciaspara apoiar a afirmacao que a dieta reduz a taxa de colesterol.
Observacao sobre o valor p:
p = P(Z < −1.8527) = 0.032 < 0.05 = α
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Exemplo 5: Resolucao
A estatıstica do teste:
z0 =233− 262
70/√
20= −1.8527
esta na regiao de significancia (rejeicao). Portanto ha evidenciaspara apoiar a afirmacao que a dieta reduz a taxa de colesterol.
Observacao sobre o valor p:
p = P(Z < −1.8527) = 0.032 < 0.05 = α
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Exemplo 6
Em indivıduos sadios, o consumo renal de oxigenio distribui-se nor-malmente em torno de 12 cm3/min. Deseja-se investigar, com baseem 9 indivıduos portadores de uma doenca, se esta tem influenciano consumo renal de oxigenio. Os dados sao: 12.3, 13.1, 11.9, 11.2,11.6, 11.9, 11.6, 11.0 e 10.5. O consumo medio para os 9 pacientesfoi 11.68 cm 3/min e o desvio padrao s = 0.76 cm3/min.
{H0 : µ = 12H1 : µ 6= 12 (afirmacao)
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Exemplo 6
Em indivıduos sadios, o consumo renal de oxigenio distribui-se nor-malmente em torno de 12 cm3/min. Deseja-se investigar, com baseem 9 indivıduos portadores de uma doenca, se esta tem influenciano consumo renal de oxigenio. Os dados sao: 12.3, 13.1, 11.9, 11.2,11.6, 11.9, 11.6, 11.0 e 10.5. O consumo medio para os 9 pacientesfoi 11.68 cm 3/min e o desvio padrao s = 0.76 cm3/min.{
H0 : µ = 12H1 : µ 6= 12 (afirmacao)
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Exemplo 6: Resolucao
Como σ e desconhecido usamos a variavel t de Student comn − 1 = 8 graus de liberdade e α = 0.05, isto e tc = 2.306
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Exemplo 6: Resolucao
A estatıstica do teste e
t0 =X − µ0
s/√n
=11.68− 12
0.76/√
9= −1.26,
que nao pertence a regiao crıtica.
Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a doenca tem influencia no consumo renalde oxigenio.
Valor p:
p = P(|t8gl | > 1.26) = 0.1216 + 0.1216 = 0.2432 > 0.05
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Exemplo 6: Resolucao
A estatıstica do teste e
t0 =X − µ0
s/√n
=11.68− 12
0.76/√
9= −1.26,
que nao pertence a regiao crıtica. Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a doenca tem influencia no consumo renalde oxigenio.
Valor p:
p = P(|t8gl | > 1.26) = 0.1216 + 0.1216 = 0.2432 > 0.05
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Exemplo 6: Resolucao
A estatıstica do teste e
t0 =X − µ0
s/√n
=11.68− 12
0.76/√
9= −1.26,
que nao pertence a regiao crıtica. Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a doenca tem influencia no consumo renalde oxigenio.
Valor p:
p = P(|t8gl | > 1.26) = 0.1216 + 0.1216 = 0.2432 > 0.05
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Exemplo 7
O teor de enxofre na analise de um gas distribui-se normalmente emtorno de 80 ppb (partes por bilhao) com um desvio padrao de 5 ppb.Deseja-se investigar o teor de enxofre em 6 analises: 83.08, 61.00,57.00, 80.41, 65.57, 87.29. Com base nesta analise podemos afirmarao nıvel de 5% de significancia que o teor de enxofre e diferente de80 ppb? {
H0 : µ = 80H1 : µ 6= 80 (afirmacao)
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Exemplo 6: Resolucao
Como σ e desconhecido usamos a variavel t com n − 1 = 5 grausde liberdade e α = 0.05, isto e tc = 2.5706.
A media amostral eX = 72.40 e o desvio padrao amostral e s = 12.76. A estatıstica doteste e
t0 =X − µ0
s/√n
=72.40− 80
12.76/√
6= −1.46
que nao pertence a regiao crıtica. Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a media seja diferente de 80.
Valor p:
p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05
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Exemplo 6: Resolucao
Como σ e desconhecido usamos a variavel t com n − 1 = 5 grausde liberdade e α = 0.05, isto e tc = 2.5706. A media amostral eX = 72.40 e o desvio padrao amostral e s = 12.76.
A estatıstica doteste e
t0 =X − µ0
s/√n
=72.40− 80
12.76/√
6= −1.46
que nao pertence a regiao crıtica. Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a media seja diferente de 80.
Valor p:
p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05
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Exemplo 6: Resolucao
Como σ e desconhecido usamos a variavel t com n − 1 = 5 grausde liberdade e α = 0.05, isto e tc = 2.5706. A media amostral eX = 72.40 e o desvio padrao amostral e s = 12.76. A estatıstica doteste e
t0 =X − µ0
s/√n
=72.40− 80
12.76/√
6= −1.46
que nao pertence a regiao crıtica. Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a media seja diferente de 80.
Valor p:
p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05
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Fixando a ideia de intervalo de confianca e tamanho da amostraIntervalos de confianca para a media: amostras pequenas
Testes de hipoteses para uma media
Exemplo 6: Resolucao
Como σ e desconhecido usamos a variavel t com n − 1 = 5 grausde liberdade e α = 0.05, isto e tc = 2.5706. A media amostral eX = 72.40 e o desvio padrao amostral e s = 12.76. A estatıstica doteste e
t0 =X − µ0
s/√n
=72.40− 80
12.76/√
6= −1.46
que nao pertence a regiao crıtica. Portanto nao ha evidencias paraapoiar a afirmacao que a media seja diferente de 80.
Valor p:
p = P(|t5gl | > 1.46) = 0.1021 + 0.1021 = 0.2042 > 0.05
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Quımica, Unesp - 2016
Fixando a ideia de intervalo de confianca e tamanho da amostraIntervalos de confianca para a media: amostras pequenas
Testes de hipoteses para uma media
Em um teste de hipotese a maior preocupacao e com o erro do tipoI, cuja probabilidade α e conhecida. Tem-se uma decisao estatisti-camente forte quando se rejeita H0.
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Quımica, Unesp - 2016