Intervalos de Confianza para la Varianza de la

Población

Intervalo de confianza para la varianza Para estimar un intervalo de confianza para la varianza, Se utiliza la siguiente propiedad de la distribución

:

Entonces un intervalo de confianza al nivel para la varianza de una distribución gaussiana (cuyos parámetros desconocemos) lo obtenemos teniendo en cuenta que existe una probabilidad de que:

Por tanto el intervalo que buscamos es:

En una muestra aleatoria de 15 unidades se obtiene una varianza muestreal s2=0.393. Calcule el intervalo de confianza bilateral al 95 % para la varianza.

Resolución: Estimador puntual s2. La ecuación a aplicar es:

n 1 s2

/2,n12 2

n 1 s2

1 /2,n 12

15 1 0.3932

26.12 2

15 1 0.3932

5.63

EJEMPLO

Intervalo de confianza para la Diferencia de Varianzas

Teniendo en cuenta la normalidad e independencia de ambas poblaciones, se verifica que:

Por tanto, un intervalo de confianza a

nivel 1 - α se obtiene de la siguiente manera:

Intervalo de confianza para la Diferencia de Varianzas

Con frecuencia se toma como extremo inferior del intervalo el 0. Así, el intervalo de confianza a nivel 1 - α es:

EJEMPLO

Siguiendo con el ejemplo de los alquileres en Madrid y en Barcelona, vamos a obtener un intervalo de confianza para el cociente de varianzas. Se obtenían los siguientes datos:x = 82.5

Y = 85.4

n = 70

m = 50

El intervalo de confianza para es el siguiente

Estimación de la razón de dos varianzas

Una estimación puntual del cociente de dos varianzas poblacionales

está dada por la razón

22

21

22

21 ss

de la variancias muéstrales. De aquí que el estadístico

22

21 SS

se le llama estimador de

22

21

Si son las variancias de poblaciones normales, se puede establecer una estimación del intervalo de utilizando el estadístico:

22

21

22

21

22

21

21

22

S

SF

De acuerdo con el teorema 6.20, la variable aleatoria F tiene una distribución F con y grados de libertad. Por lo tanto, se puede escribir (ver figura 7.8):

111 nv 122 nv

,1),(),( 2122121 vvfFvvfP

Donde y son los valores de la distribución F con y grados de libertad, con áreas de y ,respectivamente, a la derecha.

),( 2121 vvf ),( 212 vvf

1v 2v 21 2

,1),(),( 2122121 vvfFvvfP

021 f 2f

2 21

f

Intervalo de confianza para Si Y son las varianzas

de muestras independientes de tamaño y , respectivamente,

de poblaciones normales, entonces un intervalo de confianza del para es: 2

221

21s

22s

1n 2n

%100)1(

22

21

),(),(

1212/2

2

21

22

21

212/22

21 vvf

s

s

vvfs

s

donde es un valor con y grados de libertad con un área de a la derecha, y es un valor similar con

y grados de libertad.),( 212 vvf

),( 212 vvf f 111 nv 122 nv2 f

111 nv122 nv

Tal como se hizo en la sección 7.10, un intervalo de confianza del para se obtiene al sacar la raíz cuadrada de cada punto extremo delIntervalo para .

22

21

21 %100)1(

En el ejemplo 7.8 de la página 262, se obtuvo un intervalo de confianza para la diferencia en los contenidos promedios de ortofósforo, medidos en miligramospor litro, en dos estaciones sobre el James River, suponiendo que las variancias de las poblaciones normales eran diferentes. Justifique esta suposición encontrando un intervalo de confianza de 98% para y para ,donde y son las variancias de las poblaciones de contenido deortofósforo en las estaciones 1 y 2, respectivamente.

22

21 21

21 2

2

Solución Del ejemplo 7.8 se tiene que , ,y . Para un intervalo de confianza de

98%, . Tras interpolar en la tabla A.6, se encuentra quey . Por lo

Tanto, el intervalo de confianza de 98% para es:

el cual se simplifica a,

87.380.0

07.3

30.4

1

80.0

07.32

2

22

21

2

2

991.56425.322

21

151 n 122 n07.31 s 80.02 s

02.030.4)11,14(01.0 f 87.3)11,14(01.0 f

22

21

Al calcular las raíces cuadradas de los límites de confianza, se encuentra que un intervalo de confianza de 98% para es:

Dado que este intervalo deja fuera la posibilidad de que sea iguala 1, entonces es correcta la suposición que se hizo en el ejemplo7.8 de que ó

549.7851.12

1

21

21 .22

21

21

Ejemplo 7.10 En una muestra aleatoria de n = 500 familias que poseen televisiones en la ciudad de Hamilton, Canadá, se encontró que x = 340 se habían suscrito a la HBO. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la proporción actual de familias en esta ciudad que se suscriben a la HBO.

Solución La estimación puntual de p es = 340/500 = 0.68. Al utilizar la tabla A.3, se encuentra que Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95% para p es:

.96.1025.0 z

el cual se simplifica a,

,500

)32.0)(68.0(96.168.0

500

)32.0)(68.0(96.168.0 p

72.064.0 p

p̂

Si p es el valor central de un intervalo de confianza del

entonces estima p sin error. La mayor parte del tiempo, sin embargo,

no será exactamente igual a p y la estimación puntual es un error. La magnitud

de este error será la diferencia positiva que separa a y a , y se puede

tener una confianza del de que esta diferencia no excederá de

.

p^

%,100)1( p̂

p p̂

%,100)1(

2zn

pq^

Teorema 7.4 Si se utiliza como una estimación de p, se puede tener una confianza del de que el error será menor que una cantidadEspecificada e cuando el tamaño de la muestra sea aproximadamente:

%,100)1(

2

22

^^

e

qpzn

El teorema 7.4 resulta engañoso en cuanto que se debe utilizar para determinar el tamaño n de la muestra, el problema está en que se calculaa partir de la muestra. Si se puede hacer una estimación imperfecta de p sin tomar una muestra, se podría utilizar este valor para y entonces determinar n. A falta de tal estimación, se podría tomar una muestra preliminar de tamaño para obtener una estimación de p. Entonces, mediante el teorema 7.4 es posible determinar en forma aproximada cuántas observaciones se necesitan para proporcionar el grado deseado de precisión.Una vez más, todos los valores fraccionarios de n se redondean al siguienteNúmero entero superior.

^

p^

p

^

p

30n

Ejemplo 7.11 ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra en el ejemplo 7.10 si se desea tener una confianza del 95% de que la estimación de p estará dentro de 0.02?

Solución Se debe tratar a las 500 familias como a una muestra preliminar queProporciona una estimación Entonces, por el teorema 7.4,68.0

^

p

.209002.0

32.068.096.12

2

n

Ejemplo 7.12 ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra en el ejemplo 7.10 si se desea tener una confianza al menos de 95% de que la estimación de p estará dentro de 0.02?

Solución A diferencia del ejemplo 7.11, ahora se debe asumir que no se ha tomado muestra preliminar alguna para obtener una estimación de p. en consecuencia, se puede tener una confianza al menos del 95% de que la proporción muestral no diferirá de la proporción real en más de 0.02 si se escoge una muestra de tamaño,

.240102.04

96.12

2

n

Al comparar los resultados de los ejemplos 7.11 y 7.12, se puede ver que laInformación concerniente a p, que se obtuvo en una muestra preliminar, o talvez por experiencia pasada, permite escoger una muestra más pequeña en tanto se conserve el grado de seguridad requerido.

Relación de graficas

Intervalo de confianza para la varianza

Para estimar un intervalo de confianza para la varianza, nos ayudaremos de la siguiente propiedad de la distribución

:

Intervalo de confianza para la varianza

212

2*

1

22*

)1(queVimos

)(1

1 :Estimador

),(Población

n

n

ii

sn

xxn

s

N

22/1;1

2*2

22/;1

2* )1()1(

nn

snsn

Intervalo de confianza para las varianzas:

Intervalo de confianza:

Ejemplo: n = 31

222 de tablaslas de 8.16 ; 0.47025.0;30975.0;30

4* s = 0.05

8.16

430

0.47

430 22

2 57.2821.10 2

n -1 = 30

Si se desea estimar = 2 3.20 5.35