SOLUCION

45 48 49 50 51 52 53 54 55 56 56 57 57 58

58 59 60 61 61 62 62 63 63 63 64 64 65 66

67 68 70 72 74 n = 33

a) LA MEDIA ARITMÉTICAPara datos sin agrupar

x=∑ x i

n= 45+48+49+. . .+70+72+74

33=1963

33=59,48

x=59,48centesimas desegundo

b) LA MEDIANA

Para datos sin agrupar

Me=x n+12

=x33+12

=x17=60centesimasde segundo

c) EL PRIMER CUARTILPara datos sin agrupar

Q1=x 1n+24

= x 1.33+24

=x8,75=54+55

2=54,5

Q1=55centesimas de segundo

d) EL TERCER CUARTILPara datos sin agrupar

Q3=x 3n+ 24

= x 3.33+24

=x25,25=63+64

2=63,5

Q3=64 centesimasde segundo

SOLUCION

45 48 49 50 51 52 53 54 55 56 56 57 57 58

58 59 60 61 61 62 62 63 63 63 64 64 65 66

67 68 70 72 74 n = 33

i) Determinar el rango:R = xmax – xmin = 74 – 45 = 29

ii) Numero de intervalosm = 5

iii) Determinar la amplitud de cada intervalo: C = 29/5 = 5,8 C = 6

Tiempos Marca de

clase N° de sujetos F. Acumulada Li Ls yi fi FAi yi*fi45 51 48 4 4 19251 57 54 7 11 37857 63 60 10 21 60063 69 66 9 30 59469 75 72 3 33 216 33 1980

a) LA MEDIA ARITMÉTICAPara datos agrupados

x=∑ yi∗fi

n=

198033

=60centesimas desegundo

b) LA MEDIANA

Para datos agrupados

Me=Li+( n2−F j−1

fj ) . c=57+( 16,5−1110 )∗6=60,30 centesimasde seg .

Las diferencias existentes entre los valores anteriores (exactos) y los valores actuales (aproximados) son debidas al efecto del agrupamiento de los valores en clases. En este último caso los cálculos hacen la suposición de que las observaciones están uniformemente distribuidas dentro de los intervalos, si este supuesto se cumple exactamente ambos valores coincidirán. Conforme los datos reales se aparten de este supuesto mayor será la discrepancia entre ambos procedimientos. Como en este caso los datos se distribuyen

de forma bastante uniforme, las discrepancias entre los valores obtenidos por ambos procedimientos son pequeñas.

SOLUCION

Li Ls fi FAi0 10 8 8

10 20 22 3020 30 32 6230 40 44 10640 50 28 13450 60 20 15460 70 6 160 160

a) Se trata de calcular el primer cuartil que dejará por debajo el 25% inferior, y el tercer cuartil que dejará por encima el 25% superior. De esta forma entre ambos valores se encontrará el 50% central.

Para calcular el primer cuartil determinamos la cuarta parte del tamaño de la muestra 160/4 = 40. La primera frecuencia acumulada que supera este valor es 62, por consiguiente el primer cuartil se encuentra en el intervalo de 20 a 30, aplicamos la fórmula para su determinación:

Q1=Li+( n4 −F j−1

fj ). c=20+( 40−3032 )∗10=23,125

Las tres cuartas partes del tamaño de la muestra son 120, por tanto el tercer cuartil se encuentra en el intervalo de 40 a 50 y su valor es:

Q3=Li+( 3n4

−F j−1

fj ) . c=40+( 120−10628 )∗10=45

El 50% central de los datos se encuentra entre 23,125 y 45 de hostilidad

b) El 27% del tamaño de la muestra es 43,2, luego el percentil 27 está en el intervalo de 20 a 30 y su valor es:

P27=Li+( 27n

100−F j−1

fj ) . c=20+( 43,2−3032 )∗10=24,125

c) El valor que deja por encima el 12% de los sujetos más hostiles, es el mismo que deja por debajo el 88% con menores puntuaciones, por tanto debemos calcular el percentil 88. El 88% del tamaño de la muestra vale 140,8. Aplicando la formula tenemos:

P88=Li+( 88n100

−F j−1

fj ) . c=50+( 140,8−13420 )∗10=53,40

d) Se trata de calcular el percentil 15 y el percentil 85. El 15% del tamaño de la muestra es 24. El 85% del tamaño es 136 y por tanto:

P15=Li+( 15n100

−F j−1

fj ). c=10+( 24−822 )∗10=17,27

P85=Li+( 85n100

−F j−1

fj ) . c=50+( 136−13420 )∗10=51

SOLUCION

Calculamos la media aritmética:

x=∑ x i

n=3+5+3+6+4+2+8+3+7+5+8+9+4+5+5+3

16

x=5

a) Calculo de la desviación media (DM)

DM=∑ ¿x i−x∨¿

n¿

DM=|3−5|+|5−5|+|3−5|+|6−5|+|4−5|+|2−5|+|8−5|+|3−5|+|7−5|+|5−5|+|8−5|+|9−5|+|4−5|+|5−5|+|5−5|+¿3−5∨ ¿16

¿

DM=2+0+2+1+1+3+3+2+2+0+3+4+1+0+0+216

=1,625

b) Calculamos la desviación típica (S)

S=√∑ (x i−x )2

n

S=√¿¿¿

S=√ 22+02+22+12+12+32+32+22+22+02+32+42+12+02+02+22

16

S=√4,125

S=2,03

INTERVALOS DE CONFIANZA

SOLUCION:

Calculamos la media aritmética:

x=∑ x i

n= 448+460+514+488+…+562+584+507+461

17=8591

17

x=505,35

Calculamos la desviación típica (S)

S2=∑ (x i−x )2

n

S2=¿¿

S2=30757,882517

=1809,287206

S=√1809,287206

S=42,54

Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad, obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12

Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la media tenemos:

x− p∗s

√n≤u≤ x+ p∗s

√n

505.35−2,12∗42.54

√16≤u≤505.35+ 2,12∗42.54

√16

482,80≤u≤527,90

SOLUCION:

x=32,7 S=12,64 n = 65

a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:

x− p∗s

√n≤u≤ x+ p∗s

√n

32,7−1,671∗12,64

√65≤u≤32,7+ 1,671∗12,64

√6530,06≤u≤35,34

b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del 95% la media de la población puede valer

E=x±p∗s

√n E=32,7±2∗12,64

√65E=32,7±

2∗12,648

E1 = 35,86 E2 = 29,54

Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: (35,86 – 29,54)/2 = 3,16

SOLUCION:

La varianza S2 es:

S2=∑ (x i−x )2

n

S2=¿¿

S2=30757,882517

=1809,287206 S2=1809,29

La cuasivarianza sn−12 es:

sn−12 =

∑ (x i−x )2

n−1

sn−12 =¿¿

sn−12 =30757,8825

16=1922,367656 sn−1

2 =1922,37

En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad de 0,95. Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza tenemos:

( 17* 1809,29 / 26,30 ; 17 * 1809,29 / 7,96 ) operando ( 1169,50 ; 3864,06 )

Por tanto el error por defecto sería 1922,37 – 3864,06 = – 1941,69 Y el error por exceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87

SOLUCION:

n = 300 p = 80% = 0,8 1 - p = 20% = 0,2

En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 1,96.

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para una proporción:

0,8−1.96∗√ 0,8∗0.2300

≤ p≤0,8+1.96∗√ 0,8∗0.2300

0,755≤ p≤0,845

CONTRASTES PARAMÉTRICOS DE HIPÓTESIS

SOLUCION:

Hipótesis nula: H0 µ = 11,5 Hipótesis alternativa: H1 µ > 11,5Calculamos la media de la muestra:

x=∑ x i

n=11+9+12+…+20+14+15

30=374

30

x=12,47

Calculamos la desviación típica (S)

S2=∑ (x i−x )2

n

S2=¿¿

S=5,22

El estadístico de contraste en este caso es:

t= x−μs

√n−1

t=12,47−11,55,22

√30−1

=1,00

Como el contraste es bilateral, buscamos en las tablas de la t de Student, con 29 grados de libertad, el valor que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,95, que resulta ser 1,699El valor del estadístico es menor que el valor crítico, por consiguiente se acepta la hipótesis nula.La interpretación sería que no hay evidencia de diferencias significativas entre ambos grupos.

SOLUCION:

La hipótesis nula sería que nacen igual número de niños que de niñas, o lo que es lo mismo que la proporción de niños nacidos es igual 1/2.Por consiguiente:

Hipótesis nula: H0 P = 0,5 Hipótesis alternativa: H1 P > 0,5

El estadístico de contraste en este caso es:p−P0

√ P0∗Q 0

n

Como la proporción muestral es 542/1000 = 0,542, sustituyendo se obtiene el valor del estadístico:

0,542−0,5

√ 0,5∗0,51000

=2,66

Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la Normal el valor de la variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 1,282. El valor del estadístico 2,66 es mayor que el valor crítico 1,282 por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula. Efectivamente, nacen en mayor proporción niños que niñas.

SOLUCION:

Hipótesis nula: H0 p = 0 Hipótesis alternativa: H1 P ≠ 0r = 0.24 n = 66

El estadístico de contraste es:

t= r √n−2

√1−r 2

Remplazando los datos tenemos:

t=0,24√66−2

√1−0,242=1,98

El contraste es bilateral, por ello buscamos en las tablas de la t de Student, con 60 grados de libertad (el valor más próximo a 64 que figura en nuestras tablas), el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 que es 2. Por tanto la región de aceptación será el intervalo (-2; 2).El valor del estadístico pertenece a la región de aceptación, por consiguiente se acepta la hipótesis nula.No existe correlación entre ambas variables, de donde se deduce que el tiempo empleado no influye en la calificación.

SOLUCION:

Hipótesis nula: H0 σ 2=60 Hipótesis alternativa: H1 σ 2>60Total de datos de la muestra: n = 101 Varianza: S2 = 80

El estadístico de contraste es: nS2

ρ02

Sustituyendo en el estadístico obtenemos:

101∗8060

=134,67

Como el contraste es unilateral buscamos en las tablas de la Ji-cuadrado, con 100 grados de libertad, el valor de la variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9; este valor es 118,5.

El valor del estadístico es mayor que el valor crítico, por consiguiente se rechaza la hipótesis nula.En efecto, la varianza es significativamente mayor lo que indica que ha aumentado la dispersión de la puntuaciones lo que indica que se han incrementado las diferencias entre los individuos.