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Agrupamento de Dados Intervalares om oAlgoritmo IFCM

Rogério R. de Vargas, Benjamín R. C. Bedregal, Isaa O. FilhoCISAISI 2009

Ari a/Chile, Outubro de 2009

Introdução

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AgrupamentoIntroduçãoAgrupamentoTipos deAgrupamentoMotivação

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A tarefa de agrupamento reúne em um mesmo grupoobjetos de uma oleção que mantenham algum grau dea�nidade. Assim, a sua base é o on eito de similaridade,o seu objetivo prin ipal é de maximizar a similaridade deobjetos do mesmo grupo e de minimizá-la entre oselementos de grupos distintos.

Figure 1: Exemplo de agrupamento de dados em sete gru-pos, onde o rótulo sobre o elemento indi a a qual perten e

Tipos de AgrupamentoIntroduçãoAgrupamentoTipos deAgrupamentoMotivação

De Vargas et al. PPgSC / Universidade Federal do Rio Grande do Norte � slide 4■ Nos métodos de agrupamento hard ada ponto no onjunto de dados perten e a exatamente um luster ;■ Agrupamento fuzzy de uma forma bem geral, tem asua partição baseada na ideia de funções depertinên ia expressa por um grau de pertinên iareferente a um luster, isto é, os algoritmos fuzzyasso iam um dado a todos os lusters através davariação do grau de pertinên ia do dado em ada luster.

MotivaçãoIntroduçãoAgrupamentoTipos deAgrupamentoMotivação

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Representar o onjunto de dados omo intervalos onsisteem delimitar os erros o asionados por estimativas demedições, de simpli� ações, modelagem, por falhahumana ou pelo instrumento de medição. Em diversostrabalhos na literatura, estes lidam om dadosintervalares mas om uma perspe tiva pontual no sentidoque os graus de pertinên ias e as métri as sejampontuais. Um dos objetivos deste trabalho é apresentaruma forma de agrupamento para os valores amostrais que onsideram os erros ontidos. Então a entrada dos dadossão valores intervalares. Desta forma, julga-se que a lassi� ação de ada elemento a um determinado luster(o grau de pertença) também seja um intervalo.

Matemáti a Intervalar

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Operações Bási asMatemáti aIntervalarOperações Bási asFunçõesIntervalaresEspe iaisMétri a Intervalar

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Table 1: Prin ipais operações sobre intervalosDes rição OperaçõesAdição X + Y =[(

x + y)

; (x + y)]Subtração X − Y =

[

(x − y) ;(

x − y)]Multipli ação X ×Y = [min{x×y, x×y, x×y, x×y}; max{x×

y, x × y, x × y, x × y}]Divisão XY

=[

min{

xy, x

y, x

y, x

y

}

; max{

xy, x

y, x

y, x

y

}] om

0 /∈[

y; y]

Funções Intervalares Espe iaisMatemáti aIntervalarOperações Bási asFunçõesIntervalaresEspe iaisMétri a Intervalar

De Vargas et al. PPgSC / Universidade Federal do Rio Grande do Norte � slide 8■ De�ne-se os expoentes de uma função intervalarsendo n ∈ N onforme

Xn =

[xn;xn] se x < 0 e n for par[0; max ([xn;xn])] se x < 0 < x e n for par[xn;xn] aso ontrário

■ De�ne-se a raiz fra ionário intervalar na equaçãon√

X =

{ [

n√

x; n√

x] se x ≥ 0

↑ aso ontrárioObserve que Xmn = ( n

√X)m.

Métri a IntervalarMatemáti aIntervalarOperações Bási asFunçõesIntervalaresEspe iaisMétri a Intervalar

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De�nição 1 (Uma distân ia intervalar)Sejam X e Y ∈ IR. A distân ia essen ialmente intervalarentre X e Y , denotada por dMI(X,Y ), é o intervalo daequação:

dMI(X; Y ) = [min {d(x; y) : x ∈ X e y ∈ Y } ;max {d(x; y) : x ∈ X e y ∈ Y }]onde d(x; y) é a distân ia usual (|x − y|) entre doisnúmeros reais.Proposição 2Sejam X e Y ∈ IR. Então

dMI(X; Y ) =

[0;max(|X − Y |; |X − Y |)] se X ∩ Y 6= ∅ˆ

min(|X − Y |; |X − Y |); max(|X − Y |; |X − Y |)˜ se X ∩ Y = ∅

Algoritmo Proposto

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Interval Fuzzy C-MeansAlgoritmo PropostoInterval FuzzyC-MeansIFCM - Parâmetrosde EntradaIFCM - Passo 1IFCM - Passo 2IFCM - Passo 3IFCM - Passo 4IFCM - Passo 5IFCM - Critério deConvergên ia

De Vargas et al. PPgSC / Universidade Federal do Rio Grande do Norte � slide 11■ A té ni a de lusterização pro ura identi� ar um onjunto de ategorias ou lasses para des rever osdados;

■ Na lusterização parte-se de uma situação em quenão existem lasses, somente elementos de umuniverso. A partir destes elementos, as té ni as de lusterização são responsáveis por de�nir as lasses eenquadrar os elementos;■ Baseado na estrutura do algoritmo Fuzzy C-Means éproposto um algoritmo para a lusterização de dadosintervalares, denominado Interval Fuzzy C-Means(IFCM).

IFCM - Parâmetros de EntradaAlgoritmo PropostoInterval FuzzyC-MeansIFCM - Parâmetrosde EntradaIFCM - Passo 1IFCM - Passo 2IFCM - Passo 3IFCM - Passo 4IFCM - Passo 5IFCM - Critério deConvergên ia

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Os parâmetros de entrada do algoritmo são:■ n é o número de dados intervalares;■ c é o número de lusters onsiderados no algoritmo, oqual deve ser de idido antes da exe ução;■ m é um fator de fuzziness (um valor maior do que 1).

IFCM - Passo 1Algoritmo PropostoInterval FuzzyC-MeansIFCM - Parâmetrosde EntradaIFCM - Passo 1IFCM - Passo 2IFCM - Passo 3IFCM - Passo 4IFCM - Passo 5IFCM - Critério deConvergên ia

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As etapas do algoritmo são:

■ Ini ialize µ om subintervalos de [0; 1] aleatóriosasso iados a ada par (dados/ lusters) tais que para ada par dados/ luster (Xi; j) e aj ∈ µi,j temos queexistem ak ∈ µi,k para todo

k ∈ {1, . . . , j − 1, j + 1, . . . , c} satisfazendoc

∑

k=1

ak = 1

IFCM - Passo 2Algoritmo PropostoInterval FuzzyC-MeansIFCM - Parâmetrosde EntradaIFCM - Passo 1IFCM - Passo 2IFCM - Passo 3IFCM - Passo 4IFCM - Passo 5IFCM - Critério deConvergên ia

De Vargas et al. PPgSC / Universidade Federal do Rio Grande do Norte � slide 14■ Cal ule o entro do luster j da seguinte maneira:

Cj =

n∑

i=1

µmij Xi

n∑

i=1

µmij

◆ Cj é o entro (intervalo) do j-ésimo luster;◆ Xi é o i-ésimo dado intervalar;

IFCM - Passo 3Algoritmo PropostoInterval FuzzyC-MeansIFCM - Parâmetrosde EntradaIFCM - Passo 1IFCM - Passo 2IFCM - Passo 3IFCM - Passo 4IFCM - Passo 5IFCM - Critério deConvergên ia

De Vargas et al. PPgSC / Universidade Federal do Rio Grande do Norte � slide 15■ Cal ule um valor ini ial (um intervalo de dado) para J

J =n

∑

i=1

c∑

j=1

µmij dMI (Xi;Cj)

2

◆ dMI (Xi;Cj) é a distân ia intervalar entre Xi eCj;

IFCM - Passo 4Algoritmo PropostoInterval FuzzyC-MeansIFCM - Parâmetrosde EntradaIFCM - Passo 1IFCM - Passo 2IFCM - Passo 3IFCM - Passo 4IFCM - Passo 5IFCM - Critério deConvergên ia

De Vargas et al. PPgSC / Universidade Federal do Rio Grande do Norte � slide 16■ Cal ule a tabela de função de pertinên ia fuzzyintervalar

µij =

(

1dMI(Xi;Cj)

)1

m−1

c∑

k=1

(

1

dMI (Xi;Ck)

)1

m−1

IFCM - Passo 5Algoritmo PropostoInterval FuzzyC-MeansIFCM - Parâmetrosde EntradaIFCM - Passo 1IFCM - Passo 2IFCM - Passo 3IFCM - Passo 4IFCM - Passo 5IFCM - Critério deConvergên ia

De Vargas et al. PPgSC / Universidade Federal do Rio Grande do Norte � slide 17■ Retornar a etapa 2 até que uma ondição de paradaseja al ançada.

IFCM - Critério de Convergên iaAlgoritmo PropostoInterval FuzzyC-MeansIFCM - Parâmetrosde EntradaIFCM - Passo 1IFCM - Passo 2IFCM - Passo 3IFCM - Passo 4IFCM - Passo 5IFCM - Critério deConvergên ia

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Algumas ondições de parada possíveis são:

■ Um número de iterações pré-�xado foi exe utado, epode-se onsiderar que o algoritmo onseguiu agrupar(�bom o bastante") os dados;

■ O usuário informa um valor de parada ǫ > 0, e sedMI (JU ; JA) ≤ [ǫ; ǫ]então pára, onde JA é a função objetiva al ulada daiteração anterior e JU é a função objetiva da últimaiteração.

Resultados

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Entrada de Dados IntervalaresResultadosEntrada de DadosIntervalaresResultados om oalgoritmo IFCM

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Os parâmetros de entrada foram 50 dados, 3 lusters,m = 1, 25 e ǫ = 0, 01. A entrada de dados foi simulada,gerando dados aleatórios dividido-os em in o grupos.

Table 2: Entrada de dadosGRUPO VALORES ENTRE AMOSTRAG1 [1; 5] 7G2 [6; 15] 13G3 [16; 24] 15G4 [25; 40] 7G5 [41; 50] 8

Resultados om o algoritmo IFCMResultadosEntrada de DadosIntervalaresResultados om oalgoritmo IFCM

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0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

grau

de

pert

inen

cia

dados

CLUSTER 1CLUSTER 2CLUSTER 3

Figure 2: Resultado do Algoritmo IFCM om todos os lus-ters

Con lusões

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Considerações FinaisCon lusõesConsideraçõesFinaisObrigado...

De Vargas et al. PPgSC / Universidade Federal do Rio Grande do Norte � slide 23■ Apresentou-se um estudo das prin ipais operações efunções espe iais da matemáti a intervalar na análisede lusters. Estudou-se outros algoritmos de lusterização para a entrada de dados intervalares e on lui-se que a proposta neste trabalho apresentavantagens por nun a realizar uma onversão de dadosintervalares para dados pontuais e os graus depertinên ias manterem-se omo intervalos;■ Na extensão intervalar do algoritmo fuzzy -meansapli ou-se duas té ni as: a matemáti a intervalar e ateoria dos onjuntos difusos. Desta forma, é possíveltratar os dados de entrada impre isos em resultados om funções de pertinên ias intervalares.

Obrigado...Con lusõesConsideraçõesFinaisObrigado...

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