Modelado de sistemas discretos

Los sistemas discretos se modelan mediante ecuaciones en diferencias: Evolucin de una determinada variable del sistema a partir de

valores iniciales, valores pasados de la misma y de otras variables del sistema y seales de entrada.

Equivalentes a las ecuaciones diferenciales para los sistemas continuos.

Secuencias: Definicin: Un conjunto numerado de elementos en donde se hace

corresponder a cada nmero entero el valor de modelos elementos del conjunto de valores de la seal de tiempo discreto.

Una secuencia se representa como {Xk}, donde K es el entero asociado a cada elemento e indica el orden de ubicacin relativa de ese elemento dentro de la secuencia, K puede ser positiva o negativa.

Se escoge el ndice 0 para indicar el elemento que se encuentra ubicado en el origen de referencia y que define la frontera entre los valores positivos y negativos del ndice K.

Ejemplo:

{ } { }3,2,1,012 ,, XXXXXXX K =

De igual forma tambin se puede expresar colocando los elementos en el orden en que se encuentran en la secuencia.

Puede tambin especificarse

xk

3

6

8910

{ } { },...8,6,4,1,0=KX{ } { }xk= 610983 21012 ,,,,

3 2 10

1 2 3 K

Secuencia impulso unitario:

Secuencia escaln unitario:

( )

==

0001

kk

k 1

0

( )k

( )

Secuencia exponencial:

2

( ) = kkX ak

( )kX

10

( )kX

1>a1

Secuencia Sinosoidad

SenkCoske jk +=

La transformada Z es el equivalente para sistemas discretos de la transformada de Laplace.

Permite transformar representaciones de sistemas del dominio temporal al dominio frecuencial.

Aplicaciones: Solucin de ecuaciones diferenciales.

Funciones de transferencia.

Simulacin, estabilidad.

Transformada Z

Definicin:

Transformada Z

kk k

zxzX =

= 0)(donde {xk; k=0... } es una secuencia discreta de valores, con xk=0 k

Algunas transformadas bsicas: Escaln:

Rampa: 2)1()(}...0;{}{

===

zTzzFkkTfk

10 111)(}1,...,1,1{}{

=

=== zzzFf kkk

Exponencial:aT

akTk ez

zzFkef

=== )(}...0;{}{

Exponencial general:

rzzzFkrf kk

=== )(}...0;{}{

Parbola:

3

22

)1()1()(}...0;){(}{

+===

zzzTzFkkTfk

Propiedades fundamentales: Linealidad:

)(}{ 11 zXzxZ n

=

Traslacin temporal:

)()1(}{ 11

zXzlimxlimznn

=

Esta propiedad permite transformar las ecuaciones en diferencias en expresiones algebraicas.

Teorema del valor final:

[ ] )()( zbYzaXbyaxZ nn +=+

Convolucin temporal:

El producto en el plano complejo se transforma en una suma de convolucin en el tiempo.

=

=

k

nnTkTgnTfZzGzF

0

)()()()(

Relacin con la transformada de Laplace. Suponiendo muestreo ideal, se puede representar un conjunto de muestras en

forma de seal continua:

=

=

=

0

)()( donde

)()()(*

kkTttm

tmtftf

siendo T el periodo de muestreo y (t) la funcin impulso (que verifica : -g(t)(t-a) dt = g(a) ).

Si aplicamos la transformada de Laplace a la seal continua f* tenemos:

F*(s) = - [k=0 f(t) (t-kT)] e-st dt = k=0 (esT)-k f(kT)

Comparando con la expresin de la transformada Z, tenemos la relacin entre las variables complejas s y z:

z=esT

Siempre que se pueda suponer muestreo ideal, es posible emplear la siguiente aproximacin

F(z) = F*(s)esT=z

Frmula alternativa: Si se expresa F* como una integral de convolucin, se puede utilizar

G(z) = Residuos{ F(s) z/(z-esT) } en todos los polos de F(s)

donde, para un polo simple dado si de una funcin F(s), el residuo correspondiente se calcula como limssi { (s-si) F(s) }.

Permite volver a la representacin en el dominio temporal.

Transformada Z inversa

)}({}{ 1 zXZxk

=

La recuperacin de la seal continua original a partir de las muestras no es posible con total exactitud (no unicidad).

Si el periodo de muestreo ha sido elegido adecuadamente, la incertidumbre es menor.

Tablas de transformadas. Para funciones sencillas.

Mtodos de obtencin

Descomposicin en fracciones simples. Dado que las expresiones de las transformadas Z elementales poseen

siempre una z en el numerador, se realiza la descomposicin de F(z)/z.

Cada fraccin resultante se multiplica por z y se reemplaza por su equivalente temporal.

Ejemplo: Tomando como periodo de muestreo T=10, obtener la transformada inversa de

)1.0)(1(1)(

=

zzzF

1.01)1.0)(1(1)(

+

+=

=

zc

zb

za

zzzzzF

9.030

9.02110 === cba

1.09.030

19.02110)(

+=z

zzzzF

Los dos primeros trminos tienen antitransformadas inmediatas. Para el tercero resulta

23.010

1.0ln1.010 =

=== aee aaT

La secuencia resultante es

kTs ekTukTkTf

23.0

9.030)(

9.021)(10)( +=

O simplemente, prescindiendo de T

ks kukkf 1.09.0

30)(9.0

21)(10)( +=

Expansin en series de potencias. Cuando F(z) es un cociente de polinomios reales en z, puede realizarse una

divisin larga. Los coeficientes de dicha divisin son los valores de la secuencia temporal {fk}.

Ejemplo:

1.01

1)(

=

zzzzF

1

11

2

1.01.111.01.1

1.01.1

=

+

+

zzzzzzz

21

221

21

11.011.11.111.021.11.1

1.01.11.01.1

=

+

+

zzzzzzzz

32

3321

221

111.0111.111.1111.0221.111.1

1.01.111.011.1

=

+

+

zzzzzzzzzz

La secuencia resultante es

{ } { },11.1,1.1,1,0=kf

Funcin de transferencia discreta. Transformada Z de la secuencia ponderatriz.

Relacin entre las transformadas Z de la seal de salida y entrada a un sistema.

Estabilidad. Para que un sistema discreto sea estable, sus races deben estar ubicadas en

el interior del crculo unidad.

1acotada zponderatrisecuencia ...

...))...((

)()(

2211

2

2

1

1

1

Aproximacin discreta de una planta continua Supongamos un esquema de bloqueador de orden

cero, planta continua y muestreador.

G(s)uk yku(t) y(t)

La seal de salida del bloqueador puede ponerse como

= =

)()(0

nTtutun n

El efecto del primer pulso de entrada sobre la salida es

= sTe

ssGLu

ssGLuty )()()( 10

100

T

u0

u0

-u0

= +T

Trasladado al plano Z

=

ssGLZzuzY )()1()( 1100

Extendiendo a toda la secuencia de entrada

[ ] = = ssGLZzzuzY kk k )()1()( 110 La expresin final queda

==

ssGLZz

zUzYzG )()1()()()( 11

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