El periodo de muestreo

• El periodo de muestreo es el intervalo de tiempo con que se discretiza una señal continua.

∑∞

−∞=

−=k

kTttrtr )()()(* δ

X

=

=

• Modelado del muestreo

– Aplicando transformada de Fourier al tren de impulsos

∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

=−n

tN

nj

nk

eCkTtπ

δ2

)(

• donde

TdtekTt

TC

T

Tk

T

tjn

n

1)(

1 2

2

2

=−= ∫ ∑−

∞

−∞=

− π

δ

– La señal muestreada queda

Twe

T

trtr s

n

tjnws π2)()(* == ∑

∞

−∞=

– Aplicando transformada de Laplace

∑

∫ ∑∞

−∞=

∞

∞−

−∞

−∞=

±=

==

ns

st

n

tjnw

jnwsRT

dteeT

trsR s

)(1

)()(*

– En el dominio frecuencial resulta

∑∞

−∞=

±=n

snwwjRT

wR ))((1

)(*

-ws ws

• Esto supone una repetición del espectro de la señal original en múltiplos enteros de la frecuencia de muestreo.

– Problema: esta recuperación no es posible cuando se producen solapamientos en frecuencia.

– La señal original puede recuperarse de la señal muestreada aplicando un filtro paso bajo.

– Esto se denomina aliasing o desdoblamiento de frecuencia.

• En el dominio temporal la interpretación es la siguiente

– Solución: Seleccionar la frecuencia de muestreo (ws) de modo que la mayor componente en frecuencia de la señal (wmax) sea menor que ws/2.

• Esta frecuencia límite ws/2 se denomina también frecuencia de Nyquist.

ws/2wmax

Elección del periodo de muestreo

• Consideraciones teóricas:

– El periodo de muestreo debe ser inferior a la mitad del menor periodo de oscilación del sistema a controlar.

• Consideraciones prácticas:

– Compromiso coste/prestaciones:

• Interesa un periodo de muestreo grande para reducir el coste de diversos elementos del sistema de control: microprocesador, sensores, muestreadores, etc.

• Interesa un periodo de muestreo pequeño para mejorar la estabilidad, precisión en régimen permanente, rechazo de perturbaciones, etc.

– En función de los parámetros del sistema:

• Frecuencia de muestreo de 6 a 10 veces el ancho de banda.

• Periodo de muestreo de 1/2 a 1/4 del tiempo de subida.

• Período de muestreo de 1/10 o 1/20 veces el Tss

– Algunos ejemplos prácticos:

• De 1 a 3 segundos para control de flujo.

• De 5 a 10 segundos para control de nivel.

• De 1 a 5 segundos para control de presión.

• De 10 a 20 segundos para control de temperatura.

• Es deseable que el periodo de muestreo sea lo más estable posible.– Mejor ajuste entre los resultados de las simulaciones y el sistema real.

– Hay que evitar incluir en medio del bucle de control instrucciones con tiempo de ejecución variable.

– Para valores pequeños sólo puede garantizarse en sistemas operativos de tiempo real o con hardware dedicado.

Ejemplos de respuesta

Comportamiento entre los intervalos de muestreo

• El diseño discreto sólo garantiza el comportamiento del sistema en los instantes de muestreo.

– Se precisan métodos para obtener la respuesta del sistema con una resolución mayor.

Efectos de la cuantificación

• Fuentes de imprecisión:

– Errores en la codificación de los valores de los coeficientes del controlador y otras constantes del sistema.

– Errores de cuantificación en la digitalización de las señales.

– Errores de desbordamiento en las operaciones del algoritmo de control.