1Introduo Lgicapara a

Cincia da Computao

Jair Minoro AbeAlexandre Scalzitti

Joo Incio da Silva Filho

Introduo Lgicapara a

Cincia da Computao

2.001

Jair Minoro AbeAlexandre Scalzitti

Joo Incio da Silva Filho

2001, by Editora Arte & CinciaDireo Geral

Henrique Villibor FloryEditor e Projeto Grfico

Aroldo Jos Abreu Pinto / Karel H. LangermansEditorao Eletrnica

Alain Ferreira do NascimentoCapa

Karel H. Langermans

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Biblioteca de F.C.L. - Assis - UNESP)

ndice para catlogo sistemtico:1.2.3.

Editora Arte & CinciaRua Treze de Maio, 71 Bela VistaSo Paulo SP - CEP 01327-000

Tel/fax: (0XX11) 257-5871Na internet: http://www.arteciencia.com.br

Dedico este trabalho ao Rusky (1990-2000) que me ensinou muitas coisas,

aprendi muitas coisas,por uma linguagem no falada.

Jair Minoro Abe

7PrefcioEste texto foi elaborado pelos autores tendo por base os diversos

cursos de Lgica que os mesmos tm lecionado nos ltimos anos.

A presente monografia destinada a introduzir o leitor neste fasci-nante ramo do conhecimento humano que a moderna Lgica Matemtica.O trabalho foi redigido para atender um nmero maior de leitores, engloban-do estudantes de diversas reas, tais como, Cincia da Computao, Anlisede Sistemas, Processamento de Dados, Inteligncia Artificial, as diversasEngenharias, Matemtica, Cincias Biolgicas, Economia, Psicologia, Filo-sofia, Direito, enfim todo estudioso interessado no assunto.

A Lgica se converteu nos ltimos anos em disciplina de primeiranecessidade para os diversos cursos, e isto no surpreendente, pois,disse o pensador norte americano W. Quine : A Lgica o denominadorcomum das Cincias Especiais ....

No se exige, praticamente, pr-requisito algum para sua leitura; comefeito, a exposio do texto est detalhada tanto quanto possvel com notasexplicativas referente a pontos delicados do desenvlvimento, procurandofazer do texto uma leitura agradvel. Os tpicos escolhidos cobrem o quehodiernamente denominamos de ncleo da Lgica Clssica.Complementou-se com algumas aplicaes nas diversas reas.

Um comentrio ao nefito em Lgica: no se l um livro de lgicacomo se l um livro de romance, i.e., sua leitura muitas vezes no conveni-ente que se faa de maneira linear; tambm sugere-se ao leitor que faa osinmeros exerccios propostos para um entendimento salutar dos conceitosvistos. Aqui se aplica vivamente um pensamento de Confcio: se ouo,esqueo; se vejo, gravo; se fao, compreendo ...

O tomo que vem a lume apenas uma primeira verso que pretende-mos futuramente aprimor-lo e enriquec-lo. Para tanto, contamos com assugestes e crticas construtivas por parte dos leitores.

Os Autores.

9SUMRIOPREFCIO1 INTRODUO................................................................................................9

0.1 Nota Histrica......................................................................................90.2 O que Lgica ?.................................................................................100.3 Cincia e Lgica.................................................................................110.4 Aspectos da lgica atual..................................................................13

1 INTRODUO AO CLCULO PROPOSICIONAL1.1 Introduo..........................................................................................151.2 Os paradoxos.....................................................................................151.3 Linguagens artificiais........................................................................201.4 A linguagem universal da lgica.....................................................221.5 Conectivos lgicos e tabelas-verdade...........................................221.6 Frmulas atmicas e frmulas.........................................................371.7 rvore de composio de uma frmula - rvore dedecomposio............................................................................................381.8 Tabela-verdade de uma frmula......................................................491.9- Tautologias.........................................................................................651.10 rvore de refutao........................................................................701.11 Inferncia lgica..............................................................................821.12 Regra de eliminao de parntesis................................................931.13 A notao polonesa de frmulas..................................................941.14 Forma normal disjuntiva.................................................................951.15 Uma axiomatizao da lgica proposicional..............................101

2- O CLCULO DE PREDICADOS..................................................................1172.1 Lgica e gramtica...........................................................................1172.2 Um sistema formal para a lgica de predicados..........................1252.3 Estrutura dedutiva...........................................................................1282.4 Semntica..........................................................................................138

3 ALGUNS ASPECTOS DE PROGRAMAO EM LGICA E PROLOG3.1 Introduo........................................................................................1453.2 A proposta da programao em lgica........................................1463.3 Clusula de Horn.............................................................................1473.4 Consideraes preliminares...........................................................1483.5 Clusula............................................................................................151

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3.6 Clusula de programa.....................................................................1533.7- Clusula de programa condicional.................................................1543.8- Clusula de programa incondicional.............................................1553.9 Clusula gol......................................................................................1563.10- Clusula vazia..................................................................................1573.11- Clusula de Horn.............................................................................1573.12 Programs lgicos e teoremas.......................................................1593.13 Computao de gols......................................................................1613.14 Substituies e unificadores........................................................1703.15 Substituies..................................................................................1713.16 Instncia de uma substituio...........................................................3.17 Composio de substituies.....................................................1723.18 Variante...........................................................................................1723.19 Proposies....................................................................................1733.20- Substituio mais geral........................................................................3.21 Unificadores...................................................................................1733.22 Unificador mais geral umg........................................................1743.23 Algoritmo de unificao.....................................................................3.24 Resolvente......................................................................................1803.25 SLD-derivao.................................................................................1823.26 SLD-refutao.................................................................................1833.27 Um pouco de PROLOG.................................................................1903.28 A notao PROLOG.......................................................................1903.29 A estratgia PROLOG...................................................................1923.30 Interpretador PROLOG.................................................................1933.31 Assuntos relacionados programao em lgica....................196

4 CIRCUITOS LGICOS DE CHAVEAMENTO4.1 A lgebra da lgica.........................................................................1994.2 Negao lgica circuito no......................................................2024.3 Conjuno lgica circuito E.......................................................2044.4- Disjuno lgica circuito OR......................................................2054.5 Exemplos de aplicaes.................................................................207

5 PORTAS LGICAS.......................................................................................2155.1 As portas lgicas bsicas..............................................................2165.2 Porta lgica inversora.....................................................................2165.3 Porta lgica E...................................................................................2175.4 Porta lgica NO-E (NAND)........................................................2175.5 Porta lgica OU...............................................................................2185.6 Porta lgica NO-OU (NOR)........................................................2195.7 Combinao de portas lgicas......................................................2205.8 Exemplos de aplicao...................................................................207

APNDICE1.Algumas estruturas algbricas...........................................................2332.Lgica proposicional e lgebra de Boole..........................................2353.Modelos de Herbrand..........................................................................2364.A lgica clssica .................................................................................240

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.....................................................245

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1 INTRODUO1.1 - Nota Histrica

A Lgica, ao que tudo indica, foi descoberta por Aristteles (384-322a.C.). Os registros se encontram em seu famoso livro da Metafsica.Aps sua descoberta, ela permaneceu praticamente intacta por mais de doismil anos, sendo retocada em detalhes de pouca importncia. E. Kant chegoumesmo a asseverar que a cincia descoberta pelo Estagirita se constituanuma cincia acabada: a lgica no havia dado nenhum passo para diante enenhum para trs (desde sua introduo).

No obstante, grandes mudanas comearam a ocorrer notadamentecom G. Boole (1815-1864), A. De Morgan (1806-1871) e contemporneos coma introduo da simbolizao na Lgica. Boole, na realidade, estava estu-dando as Leis do Pensamento Humano. Houve, porm, alguns precurso-res dessa mudana, como G. Leibniz (1646-1716) e J.H. Lambert (1728-1777).Outras investigaes de carter mais filosfico foram efetuadas por G. Frege(1848-1925), contribuindo enormemente para o desenvolvimento da lgicade predicados. Porm, o grande avano propriamente dito foi estabelecidocom a publicao da monumental obra Principia Mathematica, em trsvolumes, de A. N. Whitehead e B. Russell no alvorecer deste sculo. Pode-se mesmo dizer que a moderna Lgica Matemtica teve incio com a publica-o da referida obra. Alis, no seria exagero, se afirmarmos, como A. N.Whitehead disse, que a lgica atual est para a lgica aristotlica como amatemtica moderna est para a aritmtica das tribos primitivas.

No entanto, as dcadas posteriores aguardavam mais novidades. K.Gdel, na poca um jovem lgico austraco, mostrou que no pode haveruma sistematizao completa da Aritmtica. Isto quer dizer que, intuitiva-mente e sem rigor, h proposies aritmticas que dizem: sou verdadeiro,porm indemonstrvel. Desse resultado, Gdel deduziu outro: que, se aAritmtica for consistente, sua consistncia no pode ser demonstrada den-tro da teoria, ou seja, h que se recorrer teorias que a englobem, maisgerais, e, portanto, mais inseguras que a original. Tais resultados so conhe-cidos como teoremas de incompleteza de Gdel. Como se sabe, os resulta-dos de Gdel representaram o limiar de uma nova era na moderna LgicaMatemtica. Suas reflexes so de longo alcance, deixando muitas questessobre os fundamentos da disciplina para as dcadas posteriores.

Outra contribuio de envergadura foi efetuada pelo lgico polonsA. Tarski. Constitui na matematizao do conceito de verdade como corres-pondncia. Tal concepo de verdade remonta Aristteles: dizer do queno que , e dizer do que , que no , falso. E, dizer do que no , que no

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, e dizer do que , que , verdadeiro. Noutras palavras, verdade aquiloque e falso, aquilo que no . Note que o conceito de verdade repousa noverbo ser. Antes de Tarski, a idia de verdade era utilizado livremente nodiscurso matemtico e inmeras contradies haviam aparecido nas teoriasmatemticas.

Outra enorme revoluo que a lgica experimentou neste sculo foramalguns resultados de independncia de certos postulados da teoria dosconjuntos obtidas por P. Cohen. No incio da dcada de sessenta, Cohenmostrou, por exemplo, que um dos axiomas mais discutidos, o Axioma daEscolha, era independente dos demais postulados da teoria dos conjuntos.Tambm Cohen demonstrou a independncia de outros postulados signifi-cativos da teoria dos conjuntos. Cohen foi agraciado com a medalha Fields(o prmio de maior prestgio em Matemtica) por suas perquiries.

Como a Matemtica constitui prolongamento natural da teoria dosconjuntos, segue-se que h patentemente Matemticas alternativas em rela-o Matemtica Clssica. Grosso modo, teorias dos conjuntos em quevalem certos postulados como o Axioma da Escolha, Hiptese do Contnuo,e outros denominam-se Teoria dos Conjuntos Cantorianas. Teorias em queno valem essas condies, chamam-se No-Cantorianas. Logo, podemosfalar em Matemticas Cantorianas e No-Cantorianas. As Matemticas No-Cantorianas ganharam relevo sobretudo com os resultados de Solovay nadcada de setenta. Solovay considerou um modelo de teoria dos conjuntosno qual no vale a forma geral do Axioma da Escolha e, se obtm resultadosque diferem muito da Matemtica Cantoriana. Por exemplo, prova-se que nareta real, todo subconjunto Lebesgue mensurvel (intuitivamente que todoconjunto de nmeros reais pode ser medido), ou, que num espao deHilbert, todo operador limitado, e por conseguinte, contnuo. Porm, essesresultados modificam profundamente a maneira de se ver as teorias fsicas,pois, como sabido, teorias fsicas tm, em sua maioria, bases em certasestruturas conjuntistas. Advm, ento, a indagao: qual a teoria dos con-juntos que melhor retrata as teorias fsicas? Alm disso, qual o significadofsico quando uma mesma teoria fsica considerada em teorias de conjun-tos distintas?

Todas essas questes esto sendo pesquisadas intensamente. Talsituao se mostra absolutamente nova, pois, o investigador que vai aplicara Lgica possui em mos agora Matemticas alternativas, situao esta muitodistinta de um passado recente. Alis, a Matemtica que era una at ento,ceder fatalmente diversidade.

1.2 - O que Lgica ?

O que Lgica?Talvez seja esta a primeira curiosidade que advm mente do leitor.

Preliminarmente, observemos que o pblico no especialista costuma em-pregar o termo lgica em vrias acepes: por exemplo, costumamos ouvirexpresses como a lgica do amor, a lgica do tcnico de futebol, algica do presidente, e assim por diante. Convm ressaltarmos que, apesardo uso do termo lgica nesses exemplos no ser destitudo totalmente de

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sentido, tais contextos so inadequados quando tratamos do termo lgi-ca que adquire hodiernamente. Uma definio popular de lgica : Lgica o estudo das inferncias (raciocnios) vlidos. Tal definio no est incor-reta, porm, ela no adequada se observarmos o que a Lgica modernamente. Por exemplo, a Teoria dos Modelos, um ramo importante daLgica atualmente, dificilmente se enquadraria nessa definio. Outra defini-o que encontramos em algumas obras de Lgica a seguinte: Lgica oestudo do raciocnio feito pelos matemticos... Comentamos uma definioque nos parece mais adequada: Lgica o que os lgicos cultivam ou o queest nos tratados de Lgica. Ou seja, para bem compreendermos o que lgica, necessrio seu cultivo sistemtico. O leitor deve ter percebido queno existe uma definio satisfatria de Lgica. Tal questo pertence Filo-sofia que trata, entre outras coisas, de temas que no possuem respostacabal. Esta situao se afigura constrangedora, pois vamos estudar Lgicasem poder saber exatamente o que ela ...

1.3 - Cincia e LgicaEntre as vrias indagaes que o homem se faz, uma das mais signifi-

cativas e recorrentes diz respeito ao conhecimento. E justamente no campoda cincia que se d a investigao e a busca desse conhecimento. Seramosparciais se dissssemos que isto ocorre apenas no campo cientfico ou aca-dmico. Essa busca, na verdade, acontece na maioria das atividades queenvolvem o ser humano. Existem mtodos de apreenso da realidade noscampos religioso, poltico, social, entre outros. Mesmo assim, a cincia (e omtodo cientfico) ocupa um papel cada vez mais importante em todos essescampos. Mas, nos perguntamos, o que cincia? Ou, em outros termos, como que se preocupa o cientista em sua investigao? Por exemplo, um bilogoest buscando o que?

Uma resposta adequada e definitiva difcil, mas, em princpio, dira-mos que todo cientista est buscando compreender algum fenmeno, enten-der e explicar uma parte da nossa realidade.

O bilogo que, por exemplo, esteja buscando conhecimento sobremoscas. Neste caso, a poro da realidade que ele pretende captar, compre-ender (e depois transmitir a outras pessoas, comunidade) seria algum as-pecto relativo vida da mosca, ou algo assim. O mdico pesquisador, porexemplo, que busca investigar o mecanismo interno de certas doenas, atuberculose, o cncer, etc. J o psicanalista, que se preocupa em compreen-der o psiquismo das pessoas. Enfim, cada cientista est, ento, tentandoentender e explicar certas pores de nossa realidade.

Passaramos, ento, para um segundo ponto, que seria o caminhopercorrido na busca dessa compreenso da realidade. sabido que, emtempos mais remotos, alguns cientistas usaram uma boa dose de misticismonas suas ponderaes, porm, hoje dificilmente uma tal atitude seria aceitaou encorajada no campo cientfico. Diramos que o cientista utiliza aqueleque um dos atributos mais importantes do ser humano para empreendersua investigao, a razo. A cincia s se concretiza em virtude e atravs darazo humana, sendo definida, justamente, como uma atividade racional.Teramos assim uma primeira relao importante: cincia e razo.

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Mas afinal, perguntaramos novamente, o que razo? No pretende-mos abusar da pacincia do leitor, mas responder tal questo no simples,sendo porm necessrio que consideremos um importante aspecto da ques-to. A questo fundamental a ser percebida, para a nossa discusso, que arazo humana se materializa, se corporifica sempre em algum contextolingstico. Poderamos praticamente dizer que no h razo sem linguagem,o que ilustra a importncia da Teoria da Linguagem para a cincia. Pois bem,perguntemos neste ponto, ao bilogo, que linguagem estar ele utilizandopara investigar seu objeto de estudo, as mosquinhas? Talvez ele se surpre-enda com a pergunta, mas provavelmente dir, a lngua portuguesa, ou seja,a linguagem natural que aprendemos desde tenra idade. Talvez muitos doscientistas diriam o mesmo: a linguagem natural!

Voltemos aos lgicos e perguntemos a eles: qual a poro da reali-dade que o lgico busca compreender? Que linguagem estar ele empregan-do para isso? Vejamos um objeto lgico que a maioria das pessoas certamen-te conhece muito bem, os nmeros naturais: 0, 1, 2, 3, ..., n, ... (sim! nmerosso entidades lgicas). Alm dos nmeros, a maioria das pessoas sabe so-mar e multiplicar nmeros, sabe tambm, comparar nmeros, e assim pordiante.

Uma peculiaridade interessante numa investigao em Lgica. Umbilogo que quer estudar as moscas, sabe onde ir busc-las. Um mdicotambm sabe em que espao se encontram as doenas que quer investigar,em seres vivos. Mas, e quanto ao nmero 2, onde ser que ele se encontra?Uma questo como essa, que pode parecer irrelevante primeira vista, temdesdobramentos interessantes. Indague o leitor a si mesmo se o nmero 2existe de fato ou no. Acreditamos que um matemtico convencional noporia dvidas quanto existncia do nmero 2, mas certamente teria dificul-dades em justific-la. Para aguarmos um pouco mais essa questo, o leitorest certo de que este livro, que est diante dele, existe mesmo? claro quesim! diria. Se pedssemos uma argumentao que justificasse essa certeza,talvez uma resposta suficiente aos olhos do senso comum seria: Eu estouvendo, tocando! Ou seja, justificaria a existncia do livro pelos sentidosusuais que os seres humanos so dotados. Infelizmente, no estaramossatisfeitos com essa argumentao. O tato pode falhar, a viso nos enganafreqentemente. Logo, em termos racionais, os sentidos no so capazes denos fornecer fundamentos para a certeza absoluta da existncia do livro. Seo leitor aplicasse essa argumentao a ele prprio, as coisas ficariam aindapiores. O leitor tem certeza absoluta que existe? O que pode parecer estra-nho, mas inatacvel, nessa linha de argumentao, que no conseguimoslegitimar a existncia das coisas somente por argumentos lgicos. Um dosmais belos desenvolvimentos em cima desse argumento devido ao mate-mtico e filsofo francs Ren Descartes, resumido na frase penso, logoexisto. Porm, o que podemos concluir da que existe pensamento, no oser.

Assim, necessitamos de uma postura para vermos as coisas. A maio-ria absoluta dos lgicos e cientistas em geral adota a postura platnica(muitas vezes inconscientemente). Grosso modo, Plato acredita na existn-cia de dois mundos:

1) O mundo fsico (em que vivemos) e

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2) O mundo das entidades ideais.Para nos familiarizarmos com o segundo mundo tomemos o exemplo

clssico da circunferncia. Algum consegue desenhar uma circunfernciaperfeita? Acreditamos que o leitor tenha respondido no. Porm, para Platoa circunferncia perfeita existe, porm no no nosso mundo fsico e sim nomundo das entidades ideais. Alm disso, Plato diz que as circunfernciasdo mundo fsico so cpias imperfeitas da circunferncia perfeita, do mundoideal. Todas as entidades lgicas esto no mundo das entidades ideais. Osobjetos so atemporais e no temos o conceito de espao em tal mundo.Nesse sentido, podemos dizer que o nmero 2 sempre existiu e sempre vaiexistir independentemente da existncia do homem e, alm disso, no seencontra em lugar algum.

Decorre da, em particular, que a Lgica (ou Matemtica) a mesmapara todos. Plato nos diz tambm que o nico acesso ao mundo das entida-des ideais feita atravs de nosso intelecto, e segundo ele, esta a razopela qual poucos o conhecem, e que a nossa relao com tais entidades dedescoberta (e no de criao, por exemplo). Os poucos que no seguem apostura platnica so vistos como excntricos, porm existem adeptos deoutras correntes, em nmero menor.

1.4 - Aspectos da Lgica AtualAs principais reas de pesquisa em lgica clssica na atualidade po-

dem ser classificadas nas seguintes:

1. Sintaxe lgica: nesta rea estudam-se certos constructos lingsticosformalizados, as linguagens artificiais. Estas servem para traduzir problemaslgicos referentes s linguagens da matemtica e das cincias empricas.Tambm pode-se estudar questes ligadas s linguagens naturais. Por meiodesta ferramenta, pode-se axiomatizar teorias, etc. e, como observamos ante-riormente, obteve-se resultados extremamente fecundos como os teoremasde incompleteza de Gdel.

2. Teoria de modelos: aqui se estudam as inter-relaes existentesentre as linguagens artificiais e certas estruturas conjuntistas s quais elasse referem. Os contornos atuais deste ramo se devem a A. Tarski e A.Robinson. Um dos resultados mais importantes da teoria de modelos foi amatematizao do conceito de verdade feita por Tarski, dando-se assim, umacontribuio de profundo significado filosfico. Um dos resultados surpre-endentes que o prprio Tarski observou foi de que a classe das proposiesverdadeiras mais abrangente que a classe das proposies demonstrveisem teorias matemticas fortes e consistentes. A teoria de modelos possuiatualmente as mais variadas aplicaes, por exemplo, em cincias empricase na metodologia da cincia.

3. Teoria da recurso: grosso modo, a teoria da recurso trata do que exeqvel mecanicamente, computacionalmente, sem recurso intelign-cia. Foram introduzidas certas mquinas ideais atualmente conhecidas comomquinas de Turing (outros contemporneos foram A. Church e E. Post).

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Todos os grandes computadores da atualidade (inicialmente projetados econstrudos por J. von Neumann por volta de 1950) so realizaes fsicas damquina de Turing. So conhecidos resultados deveras interessantes nateoria da recurso; atualmente uma das questes mais atraentes a investi-gao do que computvel, em particular, o problema conhecido como P =NP. No convm falar dele aqui por ser demasiado tcnico.

4. Fundamentos da matemtica: aqui um dos tpicos de pesquisa aobteno de sistemas lgicos potentes capazes de fundamentar a matemti-ca clssica, investigar alguns de seus axiomas, analisando suas conseqn-cias tanto matemticas quanto seu significado do ponto de vista das aplica-es. Alguns desses sistemas investigados so a teoria das categorias,teoria dos topos, teoria dos tipos e outros sistemas. O interessante que taissistemas extremamente fortes servindo de anlise a prpria matemtica, en-contraram aplicaes em cincia da computao e Inteligncia Artificial.

5. Lgica algbrica: a lgica serviu de catalisador deste ramo da mate-mtica pura. Todo sistema lgico no fundo uma certa estrutura algbrica;por exemplo, o clculo proposicional clssico constitui numa lgebra deBoole, que por sua vez uma estrutura mais bsica: ela constitui num anel deBoole. Muitos problemas em lgica ou matemtica, ou mesmo em cincia dacomputao, podem ser melhor tratados como certas estruturas algbricas.

6. Aplicaes da lgica em matemtica: este tpico estuda-se aplica-es de tcnicas da lgica para a soluo de problemas em matemtica. Pormeio deste expediente foram resolvidas algumas questes relevantes emlgebra e topologia Tambm no teceremos mais comentrios por ser umatema demasiado tcnico.

Exerccio 1. Responda sucintamente.1. Dar algumas definies usuais do que Lgica. A Lgica

uma Cincia? Discutir de forma breve.2. O que postura platnica ?3. Comente o por qu a lgica clssica esteve estagnada por

mais de dois milnios.4. Quando pode ser considerado o incio da lgica moderna ?5. Quem foi o introdutor dos smbolos em lgica ?6. O que teoria dos conjuntos Cantoriana ?7. A matemtica que voc viu at agora feita em que teoria de

conjuntos ?8. Qual o prmio de maior prestgio em matemtica ?9. Por qu no existe prmio Nobel em Matemtica ?10. Quais so algumas das principais reas de pesquisa em Lgi-

ca Clssica na atualidade ?

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2. INTRODUO AO CLCULOPROPOSICIONAL

2.1 - Introduo

Neste captulo trataremos alguns conceitos elementares da lgicaproposicional, de uma maneira intuitiva. Isto no nos impede, entretanto, desermos rigorosos em nosso tratamento. O clculo proposicional o estudoda linguagem proposicional. Ela estuda basicamente cinco smbolos:

1. Negao: 2. Conjuno: ^3. Disjuno: 4. Implicao: 5. Bi-implicao:

2.2 Os paradoxos

Os paradoxos ou antinomias foram objeto de estudos e inquietaespor parte de filsofos e lgicos, desde os tempos da Antiga Grcia. Semmuito rigor, os paradoxos podem ser classificados em paradoxos semnticose paradoxos lgicos. Vejamos alguns.

Paradoxos semnticos.

1)Paradoxo do mentiroso.Dentre os paradoxos desta categoria, destaca-se aquele descoberto

pelo filsofo grego Eublides de Mileto (384-322 a.C.) conhecido popular-mente como o paradoxo do mentiroso. Eublides foi professor de Demstenes,contemporneo e declarado inimigo de Aristteles.

Teamos algumas consideraes sobre esse assunto.Inicialmente, trata-se do senso comum que toda sentena declarativa

da lngua portuguesa ou verdadeira ou falsa, nunca ambas simultanea-mente. Suponhamos, por exemplo, que, num quadro negro, se escreva aseguinte (nica) frase :

Verifica-se, neste caso, prontamente, que a sentena S1 constitui uma

S1 : A sentena escrita neste quadro contm oito palavras.

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sentena verdadeira, pois S1, contm efetivamente, oito palavras.Consideremos agora esta outra sentena:

S2 : A sentena escrita neste quadro contm onze palavras.

Evidentemente trata-se de uma sentena falsa pois S2 contm oitopalavras e no onze.

Passemos a considerar agora esta terceira sentena, de interesse paranosso argumento:

S3 : A sentena escrita neste quadro falsa.

Constitui S3 uma sentena verdadeira ou falsa ?Analisemo-la: observemos, preliminarmente, que S3 se trata de uma

sentena declarativa, legtima do ponto de vista gramatical e, pelo exposto,ou S3 verdadeira,ou S3 falsa.Se S3 for verdadeira, verdadeira S3 - verdadeiro que A sentena

escrita neste quadro falsa - e, portanto, conclumos que S3 falsa.Analogamente, se S3 falsa, falsa S3 - falso que A sentena

escrita neste quadro falsa - logo, deduzimos que S3 verdadeira.Por conseguinte, S3 verdadeira se e somente se S3 falsa !Tal o paradoxo do mentiroso. Ressaltamos que esta antinomia de

difcil soluo, e constitui, at agora, um genuno paradoxo.

2) Paradoxo do cartoProposto pelo matemtico britnico P. Jourdain, em 1913: suponha-se

que numa das faces de um carto esteja escrita a frase

Pergunta-se, a sentena escrita em cada um dos lados do carto verdadeira ou falsa ? E a resposta que cada uma das sentenas verdadeirase, e somente se, for falsa.

3) Paradoxo de GrellingProposto em 1908 por Leonhard Nelson e Kurt Grelling, da seguinte

maneira: definimos os adjetivos como autolgicos, se a propriedade que eledenota pode ser atribuda a ele mesmo. Assim, os adjetivos curto eproparoxtona so autolgicos, enquanto os adjetivos que no possuemtal propriedade de denotarem atributos que no sejam aplicados a si prpri-os, chamam-se heterolgicos. Longo, oxtona e verde so, portanto,adjetivos heterolgicos. Consideremos agora o adjetivo heterolgico. Seheterolgico for heterolgico, ento ele autolgico. Se heterolgico

A sen tena escrita no verso deste ca rto verdade ira .

A sen tena escrita no verso deste ca rto fa lsa .

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no for heterolgico, ou seja, autolgico, ele heterolgico. Por conseguin-te, o adjetivo heterolgico , simultaneamente, heterolgico e noheterolgico.

4) Paradoxo de BerryProposto em 1906. Existe um nmero finito de smbolos (letras, sinais

de pontuao, etc.) na lngua portuguesa. Ento, existe um nmero finito deexpresses em nossa lngua que contem menos de 200 smbolos, mesmocontando as repeties. H, portanto, um nmero finito de inteiros positivosque podem ser denotados por expresses da lngua portuguesa que contemmenos de 200 smbolos. Agora consideremos k como sendo o menor intei-ro positivo que no se consegue denotar numa expresso em portuguscom menos de 200 smbolos. Ora, a expresso em itlico acima tem menosde 200 smbolos, e a prpria expresso do inteiro positivo k.

5) Paradoxo do barbeiro.Numa pequena cidade do interior vive um barbeiro, muito conhecido

dos moradores da cidade, que barbeia todas (e somente aquelas) pessoasmoradoras da cidade que no se barbeiam sozinhas. Ora, o barbeiro ummorador da cidade. Coloca-se a questo: quem faz a barba do barbeiro ?

bvio que:ou ele se barbeia,ou ele no se barbeia.

Portanto, como o leitor se apercebe, um tal barbeiro se barbeia se esomente se ele no se barbeia. Adotando-se a Lgica Clssica, tal barbeirono existe.

6) Paradoxo do exameNuma segunda-feira, certa professora informa seus alunos de que eles

tero um exame nos prximos quatro dias, mas que no devero saber o diaexato, a no ser no momento de prestar o exame. Os alunos, ento, raciocina-ram assim: o exame no pode ocorrer na sexta-feira (o quarto dia), pois, emcaso contrrio, eles saberiam de antemo, na quinta-feira, depois das aulas,que ele seria na sexta-feira, quebrando-se, assim, o acordo de ser surpresa.De modo anlogo, no pode ser na quinta-feira. Nem na quarta-feira, nem natera-feira. Logo, no pode haver exame nas condies formuladas pela mes-tre. Porm, esta, digamos na quarta-feira, pode aplicar o exame, satisfazendoas condies impostas.

7) Paradoxo dos insociveisOs habitantes de uma comunidade formam entre si vrios tipos de

associaes ou clubes. Um habitante pode pertencer a mais de um clube.Cada clube tem o nome de um habitante. No existem dois clubes diferentescom o nome do mesmo habitante. E toco habitante tem um clube com seunome. No necessrio que uma pessoa seja membro do clube que leva seunome. Se a pessoa membro do clube que leva seu nome, ela chamada deuma pessoa socivel. Se a pessoa no membro do clube que tem seu nome,ela ento chamada de uma pessoa insocivel. possvel formar um clubecontendo todos os insociveis da comunidade?

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Paradoxo semitico.Seja A o conjunto dos nmeros naturais de 1 a 12, inclusive, A = {1, 2,

..., 11, 12}. Imaginemos um sistema de notao N para eles. Usaremos osnumerais 1, 2, ... , 8 e 9 e sinais 0, 1, 2, ... , 9, 10, 11 e 12, para denot-los, comousualmente, e mais o signo j.

O signo j denotar o menor elemento de A que no sistema de notaoN no pode ser denotado por um nico smbolo. N aparenta ser, sem sombrade dvida, um sistema de notao cordial. Porm, vejamos o que ocorre como nmero 10. Suponhamos que 10 seja denotvel por um nico smbolo de N;ento esse smbolo obviamente s pode ser j, e 10 no denotvel por umnico smbolo de N, de conformidade com a definio de j. Admitamos,ento, que 10 no seja denotvel por um nico smbolo de N; da advm que10 o menor nmero de A que no pode ser denotado por um nico smboloe que, em conseqncia, deve ser denotado por j. A concluso a de que 10 denotvel por um nico smbolo de N se, e somente se, no o for. Adotan-do-se a Lgica Clssica, o sistema notacional N no existe.

Paradoxo da Fsica Quntica.O paradoxo a seguir acha-se ligado dualidade onda-corpsculo do

eltron. No chamado experimento dos dois orifcios, enviam-se eltrons so-bre um anteparo, passando por um obstculo, onde h dois orifcios conve-nientemente colocados, e o feixe de eltrons produz no anteparo configura-es de interferncia, comprovando o carter ondulatrio. Porm, se colo-carmos um detetor de partculas logo aps qualquer um dos orifcios, tudose passa como se o feixe fosse composto de partculas, que atravessam oobstculo, normalmente, atravs dos orifcios. Logo, o eltron onda e cor-psculo ao mesmo tempo. O fsico acata a soluo de Copenhague: mantm-se que nada se pode conhecer do interfenmeno.

Paradoxos lgicos.Os paradoxos desta categoria, diferentemente dos semnticos, envol-

vem certas noes lgicas, principalmente relacionadas coma teoria intuiti-va das colees.

1)Paradoxo de Russell1Vejamos inicialmente o chamado Paradoxo de Russell. A exposio um

tanto quanto detalhada possui o fito de relembrar alguns conceitos funda-mentais da teoria intuitiva de conjuntos.2

Dentro da posio platnica subjacente teoria dos conjuntos, umdos princpios bsicos que regem essa teoria, de contedo bastante eviden-te, o seguinte:

Princpio da separao (ou da compreenso): Toda propriedade Pdetermina um certo conjunto, a saber, o conjunto formado pelos objetos quepossuem a propriedade P e apenas por eles.

Exemplo. Consideremos a propriedade de ser homem. Ela determina o1 Descoberto independentemente por E. Zermelo.2 Uma exposio da teoria elementar de conjuntos pode ser vista em [Abe &

Papavero 92].

2 1

conjunto{x | x um homem} = conjunto dos homens.

Exemplo. Se P ser satlite natural da Terra. Ento:{x | x um satlite natural da Terra } = {Lua}

Exemplo. Seja P pessoas que sonham e no-sonham simultaneamen-te. Ento:

{x | x uma pessoa que sonha e no sonha simultaneamente} = Como dissemos h pouco, bastante intuitivo que, dada uma propri-

edade qualquer, ela determina o conjunto dos elementos que satisfazem areferida propriedade.

O princpio em questo, porm, na realidade, incompatvel com algica elementar clssica. Isto foi constatado em 1902 pelo renomado lgicoingls Bertrand Russell, e o paradoxo por ele descoberto leva o nome deantinomia (ou paradoxo) de Russell. Vamos agora exp-lo:

Inicialmente, observemos que existem conjuntos X tais que X no membro de si mesmo, isto :

X X

Exemplo. O conjunto de todos os homens, por no ser um homem,no membro de si mesmo.

Exemplo. Dado o conjunto A = {0, 1, 2}, evidente que A A.Observemos, tambm, que existem conjuntos X tais que so mem-

bros de si mesmos, isto , X X.

Exemplo. O conjunto de todos os conjuntos, por ser um conjunto, obviamente membro de si mesmo.

Exemplo. Um caso interessante o seguinte: seja o conjuntoA = {B | o nmero de elementos de B maior ou igual a 3}.Existem muitos conjuntos com pelo menos 3 elementos:B1 = {0, 1, 2, 3}B2 = conjunto das bananas de So PauloB3 = {a, b, c, d, e}B4 = conjunto dos planetas de nosso sistema solar, etc.Logo, A possui mais do que 3 elementos e, consequentemente, A A.

Exemplo. Seja a um objeto. Formemos o conjunto dos objetos distin-tos de a,

{x| x a}. Obviamente tal conjunto distinto de a e, por conseguinte,pertence a ele mesmo.

Consideremos, agora, o seguinte conjunto:R = {X | X X}.

2 2

Por um princpio da Lgica Clssica (Princpio do Terceiro Excludo),ou R R ,ou R R.

Se R R, conclumos que R R.Se R R, conclumos que R R.

Logo, R R se e somente se R R.

Tal a famosa antinomia de Russell.Historicamente, o desgosto que causou a descoberta da antinomia de

Russell entre os especialistas em Lgica Matemtica foi bem expresso por G.Frege em 1903, num apndice ao segundo volume de seu Grundgesetze:

Nada pior praticamente pode acontecer a um autor cientfico do quever uma das fundaes de seu edifcio ser abalada depois de ter terminadoa obra. Fui colocado nessa posio por uma carta contendo o paradoxo deMr. Bertrand Russell exatamente quando a impresso deste segundo volumeestava quase pronta ... Solatium miseris, socios habuisse malorum. Eu tam-bm tenho este consolo, se que consolo; pois todos aqueles que em suasdemonstraes empregaram extenses de conceitos, classes, conjuntos, in-clusive sistemas de Dedekind, esto nesta mesma posio. No s umaquesto de meu mtodo particular de colocar as fundaes, mas trata-se desaber se alguma fundamentao lgica para a Matemtica possvel ...(Frege, 1964).

2) Paradoxo de CantorPor exigir um resultado da Teoria dos Conjuntos, que o Teorema de

Cantor, o paradoxo ser apresentado de modo resumido, em suas idiasprincipais. Mas, antes disso, cumpre colocar a idia bsica do Teorema deCantor, a de que o nmero de elementos de um conjunto qualquer sempremenor que o nmero de elementos do conjunto formado por todos os seussubconjuntos. Em linguagem simblica: #A < #2A. Vamos ao paradoxo, en-to: seja C o conjunto de todos os conjuntos. Portanto, cada subconjuntode C tambm um membro de C. Assim, o conjunto potncia de C subconjunto de C. Em linguagem da teoria dos conjuntos, 2C C. Mas, 2C C implica em #2C #C, o que absurdo, de acordo com o Teorema deCantor, segundo o qual, #C < #2C .

3) Paradoxo de Burali-FortiProposto em 1897, esse paradoxo exige uma familiarizao do leitor

com a Teoria dos Nmeros Ordinais. Em linhas gerais, ele anlogo aoparadoxo de Cantor, visto acima. No faria sentido apresent-lo neste texto,a no ser resumidamente, por tratar de um contedo por demais especficoda matemtica. Em linhas gerais, o paradoxo seria o seguinte: dado qualquernmero ordinal, existe um outro nmero ordinal maior que ele. Mas o nmeroordinal determinado pelo conjunto de todos os nmeros ordinais o maiornmero ordinal existente.

2.3 Linguagens artificiaisOs poucos exemplos de paradoxos semnticos colocam em relevo o

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fato de qualquer linguagem natural, como por exemplo, a lngua portuguesa,no pode ser adequada ao tratamento rigoroso da lgica. Mais ainda, admi-tindo-se certas leis bsicas da lgica clssica, toda linguagem universal,como tem a capacidade de referir-se a si prpria, sem quaisquer restries,leva inevitavelmente a contradies. Isto foi observado no incio deste s-culo pelo renomado lgico polons Alfred Tarski. Necessitamos, ento, cons-truir uma linguagem que possibilite o tratamento da lgica. Uma tal lingua-gem ser usualmente chamada de linguagem artificial (de artefato) ou lingua-gem formal (de forma).

A considerao de linguagens artificiais nos obriga a pensar certasquestes. Ao termos uma linguagem artificial em tela, automaticamente, te-mos uma linguagem que diz respeito a ela. A essa linguagem damos a deno-minao de meta-linguagem. Observamos, ento, que para construirmos alinguagem artificial em questo (que denominaremos de linguagem objeto),obviamente sero empregados os recursos oferecidos pela meta-linguagem.Esta observao fundamental, porquanto veremos posteriormente que, nocaso da considerao da linguagem proposicional, por exemplo, faremosuso, alm da linguagem portuguesa, de pores da prpria Matemtica e denoes ditadas pelo senso comum. primeira vista, parece que nos enre-damos num crculo vicioso, porm, medida em que o leitor se familiarizecom os conceitos desenvolvidos notar que no h tal inconveniente.

Figura 1Logo, ao considerarmos uma linguagem-objeto, necessitamos de uma

espcie de pano de fundo. Mais pormenorizadamente, tal pano de fundo qualquer modelo (ou, o que d no mesmo, a prpria teoria) de teoria dosconjuntos (Cantoriana). Mais ainda, freqentemente utilizamos uma aritm-tica usual e, portanto, uma meta-matemtica na meta-linguagem. O leitorzeloso, notar ento que o estudo feito em tais linguagens artificiais serfeito olhando-se de fora, ou seja, todos os resultados que puderem serobservados, sero observados de um lugar que no o mesmo onde elesefetivamente ocorrem. Por conseguinte, tratar-se-o de meta-teoremas. Umaimportante observao, feita a partir disso, a de que quase sempre estamostrabalhando e realizando meta-matemtica. Da, o que chamaramos, licenci-osamente, de uma equao fundamental:

Matemtica = Meta-Matemtica !!Esta situao ilustrada magnificamente por Nietzsche: ... a frontei-

L

L in

Linguagem ObjetoMeta-linguagem

(Teoria dos conjuntosCantoniana)Linguagem Proposicional

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ra da Cincia possui uma infinidade de pontos. Todo homem nobre etalentoso, antes de atingir a metade de sua carreira, defronta-se com al-gum ponto da fronteira que desafia sua compreenso, independentementede saber como a regio pode ser inteiramente mapeada. Quando o pesqui-sador, levado periferia, compreende como a Lgica, neste lugar, curva-sesobre si mesma e morde a prpria cauda, fica perplexo com uma novaespcie de percepo: uma percepo trgica que requer, para se tornartolervel, o remdio da arte.

Por exemplo, havia voc percebido que os Teoremas que aprendeusobre Geometria ou Clculo Diferencial e Integral so, na realidade, meta-teoremas?

Exerccio 1. Discutir pelo menos dois paradoxos semnticos da lin-guagem natural, no vistos no texto, mostrando, ento, a inadequao douso das linguagens naturais para o desenvolvimento de teorias lgicas.

Exerccio 2. Pesquise sobre teoremas da Geometria Euclidiana edetermine se estes so realmente teoremas ou meta-teoremas da GeometriaEuclidiana.

2.4 A linguagem universal da lgica

A linguagem da teoria dos conjuntos constitui na linguagem univer-sal da lgica.

Exerccio 1. D exemplos de linguagens artificiais. Qual a linguagemuniversal da Lgica?

2.5 - Conectivos lgicos e tabelas-verdadeNo estudo da linguagem proposicional, apesar de ser formal, invoca-

remos muitas vezes proposies da lngua portuguesa, com o fito de ameni-zar a exposio. Esperamos que o leitor se aperceba de um rigor saudvelque estar subjacente s discusses que se seguem, apesar de consciente-mente cometer tal heresia.

As sentenas que esto em tela so as ditas sentenas declarativas.Tais sentenas so sentenas, como o prprio nome diz, que declaram (afir-mam) algo. Portanto, o que afirmam passvel de ser considerada ou comoverdadeira, ou como falsa. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1. Exemplos de sentenas declarativas.1. A neve branca. (verdadeira)2. 2 + 2 = 5 (falsa)3. H cinco milhes de gros de areia na lua. (ningum contou os

gros; mas sabemos ou que verdade, ou que falsa (provavelmente falsa)).Daqui em diante, toda sentena (declarativa) que trabalharmos ou

verdadeira ou falsa, mas nunca ambas simultaneamente. Da a lgica clssicaser chamada de lgica bivalente. Existem vrias notaes para designarmosos valores-verdade ou valores-lgicos das sentenas.

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Adotaremos neste texto a notao booleana:1 designa o valor-verdade verdadeiro0 designa o valor-verdade falso

1) NegaoDada a proposio A podemos considerar a proposio ( A) denomi-

nada a negao de A. Como a proposio A ou verdadeira ou falsa, atabela-verdade da negao toma ento a seguinte forma:

Tabela-verdade da negao.

A ( A)1 00 1

A proposio A verdadeira se e somente se sua negao (A) falsa.Exemplo 2.

1. Seja A (2 + 2 = 4) (no caso, verdadeira). Ento ( A) ( (2 + 2 = 4))constitui uma sentena falsa. Na aritmtica comum, costuma-se escrever altima expresso como 2 + 2 4.

2.Seja B (2 {1, 3, 5}) (no caso, falsa). Logo, (B) ( (2 {1, 3, 5})constitui uma sentena verdadeira. Na linguagem da Teoria dos Conjuntos(ver [Abe & Papavero, 92]), a ltima expresso usualmente escrita como 2 {1, 3, 5}.

Mesmo na linguagem comum, a tabela-verdade se aplica:

Exemplo 3. Seja A A neve branca (verdadeira). Sua negao (A) A neve no branca (falsa).

Tambm, A A cidade de So Paulo pequena (falsa). Sua negao (A) A cidade de So Paulo no pequena (verdadeira).

Algumas negaes delicadas.Exemplo 4. Vejamos algumas negaes de sentenas:1. A Todo homem mortalQual a negao de A ? O mais simples escrever(A) Nem todo homem mortal ou No que todo homem

mortal. Porm, h outras sentenas equivalentes que queremos chamar aateno: dizer Nem todo homem mortal o mesmo que dizer Existemhomens que no so mortais ou H homens imortais.

2. A Existem pessoas insegurasQual a negao de A ? O mais simples escrever(A) No existem pessoas inseguras. Porm, esta equivalente a

escrever Todas as pessoas no so inseguras (pense bem !) ou Todas aspessoas so seguras.

3. A Todos os animais mamferos so animais vertebrados.(A) Nem todos os animais mamferos so animais vertebrados ou

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No que todos os animais mamferos so animais vertebrados. Ou ainda,Existem animais mamferos que no so animais vertebrados ou H ani-mais mamferos que so animais invertebrados.

4. A Existem pessoas que se preocupam em tica.(A) No existem pessoas que se preocupam em tica ou No

existem pessoas que se preocupam em tica. Ou ainda, Todas as pessoasno se preocupam com a tica

5. A Todo nmero par divisvel por dois(A) Nem todo nmero par divisvel por dois ou No que todo

nmero par divisvel por dois. Ou ainda, Existem nmeros pares que noso divisveis por dois ou H nmeros pares que indivisveis por dois.

Exerccio 1. Faa o que se pede.1. Em cada item so dadas duas sentenas. Responda se a segunda

frase ou no a negao da primeira. Caso no seja, determine essa nega-o.a) Estou feliz. No estou feliz.b) Todos os elefantes so cor-de-rosa. Um elefante no cor-de-rosa.c) Alguns cavalos so brancos. Alguns cavalos so pretos.d) Todos os cavalos so pretos. Alguns cavalos so brancos.e) O sol est brilhando. O sol no est brilhando.f) Estou certo. Estou errado.g) Nenhum homem um elefante. Algum homem um elefante.h) Todos os tomates so vermelhos. Todos os tomates so amarelos.i) Algumas vezes estou certo. Todas as vezes estou certo.j) H sempre algum na portaria. Nem sempre h algum na portaria.

2. Em cada sentena abaixo, determine a respectiva negao.a) Hoje sbado. b) Lgica fcil.c) Esta sala est muito fria. d) falso que a vida bela.e) No verdade que no se sabe que fez isso. f) Existem polticos trabalhadores.g) Todas as ruas da cidade esto esburacadas. h) Toda ao provoca uma reao.i) No vou viajar. j) Irei a outro lugar.

3. Em cada item so dadas duas sentenas. Responda se a segundafrase ou no a negao da primeira. Caso no seja, determine a respectivanegao.

a) Todos os estudantes so responsveis. Alguns estudantes so irresponsveis.b) A neve branca. A neve no branca.c) Ele rico. Ele pobre.d) Eu creio na honestidade. Ningum honesto.e) Nenhum homem uma ilha. Algum homem uma ilha. f) Todos os livros so interessantes Um livro no interessante. g) H sempre algum feliz. Nem sempre h algum feliz. h) Alguns estudantes so responsveis. Alguns est. so irresponsveis. i) Todos os exerccios so instrutivos. Todos os exerccios so fceis.

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j) Algumas vezes me engano. Todas as vezes me engano.

4. Em cada sentena abaixo, determine a respectiva negao.a) H alunos na sala. b) Esta aula muito importante.c) Algumas pessoas gostam de chocolate. d) Todos votaram nele.e) Ningum foi ao aniversrio. f) Existem pessoas estudiosas.g) falso que esta moeda verdadeira. h) Todas as pessoas so felizes.i) H uma pedra no meio do caminho. j) Se fosse fcil, j estaria feito.k) H sempre algum no saguo. l) Sempre h algum no saguo.m) No o caso de no ser reprovado. n) o caso de ser aprovado.

5. Em cada item so dadas duas sentenas. Responda se a segundafrase ou no a negao da primeira. Caso no seja, determine essa nega-o.a) Estudo e trabalho. No estudo nem trabalho.b) O sol brilha e o ar est quente. O sol no brilha ou o ar no est quente.c) Estou certo e voc est errado. Estou errado ou voc est certo.

6. Em cada sentena abaixo, determine a respectiva negao.a) Hoje feriado ou domingo. b) A sala e o quarto esto escuros.c) A rua est esburacada e mal iluminada. d) Se for feriado ou domingo, vou viajar.e) Se for feriado e o tempo estiver ensolarado, vou viajar.

2) ConjunoDadas as proposies A e B podemos considerar a nova proposio

(A B), a conjuno de A e B.A veracidade ou falsidade da proposio (A B) depende da veraci-

dade ou falsidade da proposio A e da proposio B. Logo, a tabela-verda-de de (A B) possui quatro possibilidades de valores-verdade para A e B.

1. A verdadeira e B tambm verdadeira.2. A verdadeira e B falsa.3. A falsa e B verdadeira.4. A falsa e B tambm falsa.

Postulamos que a proposio (A B) verdadeira se e somente seambas as proposies A e B so verdadeiras. A proposio (A B) falsa see somente se uma das proposies A ou B for falsa.

As consideraes acima podem ser esquematizadas como se segue:

Tabela-verdade da conjuno:

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A B (A B)1 1 11 0 00 1 00 0 0

Exemplo 5. Consideremos as seguintes proposies:1) [(2 + 4 = 4) (1 2)] Esta proposio verdadeira verdadeira verdadeira2) [(2 + 4 = 4) (1 2)] Esta proposio falsa verdadeira falsa3) [(2 + 4 4) (1 2)] Esta proposio falsa falsa verdadeira4) [(2 + 4 4) (1 2)] Esta proposio falsa falsa falsa

Observao. Convm frisar algumas diferenas entre os conectivos (lgico) e e (da lngua portuguesa). Na linguagem proposicional, se A eB so frmulas, ento (A B) e (B A) so logicamente equivalentes. Comefeito, vejamos os exemplos seguintes:a) (2 + 2 = 4 1 2) eb) (1 2 2 + 2 = 4)possuem o mesmo significado.

Na linguagem natural, porm, nem sempre isto ocorre. Vejamos osseguintes exemplos:a) Sejam A Joo inteligente e B Joo l as obras de Plato. (A B)representa a sentena Joo inteligente e Joo l as obras de Plato. (B A) a sentena Joo l as obras de Plato e Joo inteligente. O sensocomum nos indica que (A B) e (B A) se eqivalem.b) Sejam agora A Maria casou e B Maria teve um filho. (A B)representaria a sentena Maria casou e Maria teve um filho. (B A) asentena Maria teve um filho e Maria casou. Neste caso, note-se, no huma equivalncia entre as sentenas (A B) e (B A). Na linguagem naturalinsinua-se quase sempre uma certa seqncia temporal (e s vezes umaimplicao de causalidade).

A observao se aplica tambm aos demais conectivos.

Exerccio 2. Faa o que se pede.1. Em cada item so dadas duas sentenas. Escreva a conjuno delas.a) A Joo estuda. B No estudo.b) A O sol brilha. B O ar no est quente.c) A Estou certo. B Estou errado.2. Em cada sentena abaixo, determine a respectiva negao.a) Hoje feriado e domingo. b) A sala e o quarto esto escuros.c) A rua est esburacada e mal iluminada. d) Clarissa vai praia e tomar sol.e) Ela bonita e inteligente.

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3. Admitindo-se o senso comum, diga se so verdadeiras ou falsas.a) O sol brilha e a nuvem verde.b) 2 + 2 = 4 e = {}c) Curitiba a capital do Paran e Paris a capital da Frana.4. Obtenha a negao das seguintes proposies:a) Bianca no estuda e mal educada.b) Est chovendo e fazendo frio.c) Chiquinho esperto e atento.3) Disjuno

Dadas as proposies A e B podemos considerar a nova proposio(A B), a conjuno de A e B.

Postulamos que a proposio (A B) verdadeira se e somente seuma das proposies (ou ambas) A ou B so verdadeiras. A proposio (A B) falsa se e somente se quando ambas proposies A e B for falsa.

As consideraes acima podem ser esquematizadas como se se-gue:

Tabela-verdade da disjuno:A B (A B)1 1 11 0 10 1 10 0 0

Exemplo 6. Consideremos as seguintes proposies:

1) [(2 + 4 = 4) (1 2)] Esta proposio verdadeira verdadeira verdadeira2) [(2 + 4 = 4) (1 2)] Esta proposio verdadeira verdadeira falsa3) [(2 + 4 4) (1 2)] Esta proposio vardadeira falsa verdadeira4) [(2 + 4 4) (1 2)] Esta proposio falsa falsa falsa

Na linguagem natural, muitas vezes o conectivo ou possui idia de exclu-so:Bianca vai ao supermercado ou vai escola. Neste caso, claro que Biancavai fazer uma coisa ou outra, mas no ambas simultaneamente.

O conectivo que leva em conta a observao anterior chama-sedisjuno exclusiva.

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Exerccio 3. Faa a tabela-verdade da disjuno exclusiva.Em Lgica, como se observou, uma disjuno verdadeira quando

uma das proposies constituintes verdadeira ou, tambm, quando ambasso verdadeiras simultaneamente.

Exerccio 4. Faa o que se pede.1. Sejam as proposies A O livro interessante e B O livro caro.Fornecer uma sentena na linguagem natural que descreva cada uma dassimbolizaes abaixo: a) (A) b) (A B) c) (A B) d) (B (A)) e) ((A) (B))2. Sejam as sentenas: A A neve branca e B O sol um astro.Determinar o valor-verdade das sentenas abaixo: a) [A (B)] b) [(A B)] c) [(A) B] d) [(A) (B)]e) [A (B)]3. Em que casos as sentenas abaixo so falsas? (Em cada item estude todasas possibilidades)a) Ela mineira e ele paraense.b) Ela mineira ou ele paraense.c) falso que ela mineira e ele paraense.d) falso que ela mineira e falso que ele paraense.4. Sejam as expresses A O cu azul, B Deus existe e C O Solgira em torno da Terra. Fornecer uma sentena na linguagem natural quedescreva cada uma das afirmaes abaixo:a) (A) b) (A B) c) ((A B) C)d) (B (C)) e) [(A) (B)] f) [((A) C)]g) [(A (B))] h) (C (B))5. Escreva as sentenas em linguagem simblica abaixo utilizando osconectivos , e .a) No verdade que Galileu esteja certo.b) A gua no pode ser simultaneamente lquida e slida.c) O seguro da casa inclui incndio ou roubo.d) Compro ou no compro.e) No estudarei hoje, mas estudarei amanh e quarta-feira.6. Determinar a tabela verdade das sentenas abaixo, sendoA = {}, B = , C {} = {{}}:a) [A (C)] b) [(B C)]c) [(B) (C)] d) [(A (B))]f) [[(A) (B)]] g) [A ((A C))]

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7. Em que casos as sentenas abaixo no so falsas? (Estude todas aspossibilidades)a) A Terra gira e Maria gosta de Jos.b) Passarei em lgica ou 2 + 2 = 4.c) falso que ela gosta dele e falso que ele gosta dela.d) falso que ela gosta dele e ele gosta dela.8. Entendemos por disjuno exclusiva ao tipo de disjuno em que assentenas no podem ocorrer simultaneamente, como no exemplo Ela estalegre ou no est alegre. Definir, nos casos abaixo se o ou corresponde disjuno inclusiva ou exclusiva.a) Eu menti ontem ou mentirei amanh.b) Meu time o campeo deste ano ou no o campeo deste ano.c) Ela se formou em 1993 ou em 1998.d) Com sol ou com chuva, voc trabalhava.e) O terno de Bentinho ou de Escobar.4) Implicao

Dadas as proposies A e B podemos considerar a nova proposi-o (A B), a implicao de B por A.

A proposio A chama-se antecedente da implicao (A B) e Bchama-se o conseqente da implicao (A B).

Postulamos que a proposio (A B) falsa se e somente se oantecedente A verdadeiro e o conseqente B falso. Nos demais casos, aproposio (A B) verdadeira.

As consideraes acima podem ser esquematizadas como se se-gue:

Tabela-verdade da implicao:

A B (A B)1 1 11 0 00 1 10 0 1

Exemplo 7. Consideremos as seguintes proposies:

1) [(2 + 4 = 4) (1 2)] Esta proposio verdadeira verdadeira verdadeira2) [(2 + 4 = 4) (1 2)] Esta proposio falsa verdadeira falsa3) [(2 + 4 4) (1 2)] Esta proposio verdadeira falsa verdadeira4) [(2 + 4 4) (1 2)] Esta proposio verdadeira falsa falsa

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Observao. Teamos algumas consideraes sobre a tabela-verdade refe-rente implicao.

1) A tabela positivamente obscura no uso ordinrio. Vejamos alguns exem-plos.

Leis causais. Quando a implicao lgica interpretada como causar nalinguagem natural.

1. Sejam as sentenasA Este pote dgua for colocado no fogo no instante t0 eB A gua congelar.

A sentena A s falsa no caso de o pote no ser colocado no fogono instante indicado. Coloquemos o pote no fogo num instante t distinto det0. Logo, A falsa.Consideremos a sentena(A B) Se este pote dgua for colocado no fogo no instante t0 ento agua congelar.De acordo com a tabela-verdade da implicao, (A B) verdadeira, inde-pendentemente do valor-verdade de B, o que configura uma situao absur-da !

2. Sejam as sentenasA Se sua sogra chegar em sua casa exatamente no instante t0 eB Voc ficar mais inteligente.

A sentena A s falsa no caso de sua sogra no chegar em suacasa exatamente no instante indicado (o que muito provvel). Suponha-mos que ela venha antes do instante t0. Logo, A falsa.Consideremos a sentena(A B) Se sua sogra chegar em sua casa exatamente no instante t0 entovoc ficar mais inteligente.

De acordo com a tabela-verdade da implicao, (A B) verdadei-ra, independentemente do valor-verdade de B, o que configura uma situaoabsurda (convenhamos) !Situaes em que o antecedente no um fato.

Consideremos a sentena:Exemplo 8. A sentena Se Joo Guimares Rosa no tivesse escri-

to nenhuma obra literria, ento no teria havido inflao em nenhuma pocaem nosso pas admitidamente falsa, mesmo que o antecedente seja falso.

O mesmo se sucede com a sentena Se Cabral no tivesse desco-berto o Brasil, ento homem no teria chegado lua.

2) Uma justificativa favorvel que podemos oferecer para a tabela-verdadeda implicao a seguinte: admitamos ser razovel a tabela-verdade da con-juno. Para quaisquer sentenas A e B, , ento, razovel considerar a

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sentena ((A B) B) como verdadeira, quaisquer que sejam os valores-verdade de A e B.

Assim, se A e B so ambas verdadeiras, (A B) verdadeira, e, porconseguinte, isto justifica a 1a linha da tabela.

Se A falsa e B verdadeira, ento (A B) falsa. Este casocorresponde 3a linha da tabela.

Se A e B so ambas falsas, ento (A B) falsa, o que correspon-dente ltima linha da tabela.

3) Esta observao citada em [Iski & Abe 01]: Temos certeza que o leitorest perplexo que o valor-verdade de 0 0 e 0 1 1. Uma explicaoadequada dada no exemplo a seguir. Estamos acostumados a dizer a seguintesentena: se x divisvel por 10, ento x divisvel por 2. Se escrevermosem smbolos obtemos

x(x/10 x/2).(Aqui, a expresso x/a significa que x divisvel por a.) A expresso anterior amplamente aceita como verdadeira.. Como x arbitrrio, se fizermos x = 20,temos 20/10 = 2 e 20/2 = 10 e, por conseguinte, como o antecedente e oconseqente so ambos verdadeiros, a expresso como um todo verdadei-ra (isto , o valor verdade de 1 1 associado 1). Se fizermos x = 8, oantecedente falso enquanto que o conseqente verdadeiro, ou seja temoso caso 0 1; no entanto a expresso como um todo verdadeira. Finalmen-te, se fizermos x = 5, tanto o antecedente quanto o conseqente so falsos,porm a expresso como um todo verdadeira.

Esta explicao conhecida como interpretao do famoso lgicopolons S. Lesniewski.

Convm ressaltar que nas consideraes acima h uma questomuito importante subjacente, ou seja, contm um problema de metodologiamatemtica.

Questes da lgica proposicional levamos para uma estrutura ge-neralizada denominada lgica de predicados, e ali podemos eleger respostasadequadas.

Por exemplo, ainda sobre esse procedimento, sabemos que nopodemos efetuar subtraes quaisquer de nmeros naturais. Porm, se es-tendermos para os nmeros inteiros , obtemos uma boa interpretao para asubtrao. Outro exemplo, o mesmo se d quando uma equao quadrticano solvel no conjunto dos reais, apelamos para o mundo dos nmeroscomplexos onde obtemos uma soluo.

De modo geral, a observao importante que ao considerarmosuma estrutura bsica, vrios problemas tm uma resposta adequada em es-truturas mais gerais.

Exerccio 5. Nas seguintes sentenas dizer qual o antecedente equal o conseqente:1. (2 + 2 = 7 2 + 1 = 0)2. Det(M) = 0 implica que M no invertvel.3. Se f : uma funo derivvel, ento f : uma funocontnua.

3 4

Exerccio 6. Dizer se so verdadeiras ou falsas (adote o bom sen-so nos juzos):

1. Se a neve branca, ento Paris a capital da Frana.2. Se Penha um bairro de So Paulo, ento o cu no contm estrelas.3. Se os planetas giram em torno da terra, ento inexistem extra-terrqueos.4. Se o sol um planeta inerte, ento a terra uma estrela.

5) Bi-implicaoDadas as proposies A e B podemos considerar a nova proposi-

o (A B), a bi-implicao de A e B.Postulamos que a proposio (A B) verdadeira se e somente se

as proposies A e B possuem o mesmo valor-verdade. A proposio (A B) falsa se e somente se as proposies A e B tiverem valores-verdadetrocados.

As consideraes acima podem ser esquematizadas como se se-gue:

Tabela-verdade da bi-implicao:

A B (A B)1 1 11 0 00 1 00 0 1

Exemplo 9. Consideremos as seguintes proposies:

1) [(2 + 4 = 4) (1 2)] Esta proposio verdadeira verdadeira verdadeira2) [(2 + 4 = 4) (1 2)] Esta proposio falsa verdadeira falsa3) [(2 + 4 4) (1 2)] Esta proposio falsa falsa verdadeira4) [(2 + 4 4) (1 2)] Esta proposio verdadeira falsa falsa

Exerccio 7. Faa o que se pede.1. Indiquemos por A Est calor e por B vero. Escrever em formasimblica as seguintes afirmaes:a) vero somente se est calor.b) Uma condio necessria para estar calor que seja vero.c) Uma condio suficiente para estar calor que seja vero.d) Sempre que vero, faz calor.e) Nunca vero, quando est calor.

3 5

2. Dentro do contexto da lgica proposicional, identifique as sentenas abai-xo quanto a sua veracidade ou falsidade justificando devidamente cada res-posta dada.a) (5 + 4 = 9 2 4), b) (3 + 2 = 6 2 + 2 = 4),c) (5 + 3 = 7 4 + 4 = 7), d) (4 + 3 = 7 2 + 3 = 4),e) (2 + 3 = 5 2 + 2 = 4), f) (3 + 3 = 5 32 33),g) (2 + 4 = 7 2 + 2 = 5), h) (3 + 2 = 5 2 + 2 = 5),i) (6 + 2 = 8 6 8), j) (3 + 3 = 5 2 + 2 = 3),k) (2 + 2 = 3 2 + 2 = 4), l) (3 + 4 = 6 3 + 3 = 7),m) (3 2 4 3), n) (32 33 4 + 5 = 8),o) (2 3 (2 + 2 = 4 7 + 2 = 9)), l) ((3 4 4 3) 3 + 3 = 7).

A seguir apresentamos algumas leituras que a negao, conjuno,disjuno, implicao e bi-implicao podem ter na linguagem natural.

(A) No A;No se d que A;No fato que A;No verdade que A;No que A;No se tem A.

(A B) A e B;A, mas B;A, embora B;A, assim como B;A e, alm disso, B;Tanto A como B;A e tambm B;No s A, mas tambm B;A, apesar de B.

(A B) A ou B ou ambos.(A B) se A, ento B;

se A, isto significa que B;tendo-se A, ento B;quando A, ento B;sempre que A, B;B, sempre que se tenha A;B, contanto que A;A condio suficiente para B;B condio necessria para A;Uma condio suficiente para B A;Uma condio necessria para A B;B, se A;

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B, quando A;B, no caso de A;A, s se B;A, somente quando B;A, s no caso de B;A implica B,A acarreta B,B implicada por A.

(A B) A se e s se B;A se e somente se B;A quando e somente quando B;A eqivale a B;Uma condio necessria e suficiente

para A B;A condio necessria e suficiente

para B

3. Escreva as sentenas a seguir em linguagem simblica, usando sentenasbsicas (ou atmicas), isto , as sentenas que no podem ser construdas apartir de outras sentenas.a) Se Antnio est feliz, a esposa do Antnio no est feliz, e se o Antniono est feliz, a esposa do Antnio no est feliz.b) Ou Antnio vir festa e Pedro no, ou Antnio no vir festa e Pedrose divertir.c) Uma condio necessria e suficiente para o rei ser feliz ele ter vinho,mulheres e msica.d) Teresa vai ao cinema s se o filme for uma comdia.4. Traduza as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema:A Clarissa sorriB Clarissa despertaC Clarissa vai praiaD Clarissa fica indecisaE Clarissa sente o sola) (B A)b) (A C)c) ((D C) (A (B (E))))5. Simbolize as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema:A o estudante comete erros,B h motivao para o estudo,C o estudante aprende a matria.a) Se o estudante no comete erros, ento ele aprende a matria.b) Se no h motivao para o estudo, ento o estudante no aprende a

matria.c) Se h motivao para o estudo, o estudante no comete erros.d) O estudante aprende a matria se, e somente se, h motivao para o

estudo.

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6. Simbolize as sentenas abaixo:a) Ou Capitu ou no a criao mais notvel de Machado de Assis.b) No verdade que Machado de Assis escreveu ou no escreveupoesias.c) Se fcil ler o que Jos da Silva escreveu, no fcil ler o que escreveuGuimares Rosa.

7. Escreva as sentenas a seguir em linguagem simblica, usando formassimples, isto , as sentenas que no podem ser construdas a partir deoutras sentenas.a) Uma condio suficiente para x ser mpar x ser primob) Uma condio necessria para uma seqncia s convergir que s sejalimitada.c) O suborno ser pago se, e somente se, a mercadoria for entregue.d) Judite vencer o torneio de xadrez, a menos que Tnia vena hoje.e) Se x positivo, ento x2 positivo.8. Traduza as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema:A ganho um livroB ganho uma revistaC posso lerD estou motivadoE sou aprovado no exame.a) (C (A B))b) (D (C))c) (D ((C) (A B)))d) ((D) (E (A B)))e) ((D) (C (A B))f) (((C) A) (E (D)))9. Traduza as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema:A h nuvens,B chover,C ventar.D far bom tempo amanh.a) (A B)b) (A (D))c) ((D) (B C))d) ((A) D)e) (A (B C))f) ((A B) C)g) (A (B C))h) ((A B) C)i) ((A B) ((C) D))j) (A ((B C) D))10. Simbolize as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema:A o estudante comete erros;

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B h motivao para o estudo,C o estudante aprende a matria.a) Se no h motivao para o estudo, ento o estudante comete erros ou

no aprende a matria.b) Se o estudante comete erros, ento, se no h motivao para o estudo,

o estudante no aprende a matria.c) O estudante comete erros; alm disso, h motivao para o estudo e o

estudante aprende a matria.d) No h motivao para o estudo se e somente se o estudante comete

erros e no aprende a matria.e) Se h motivao para o estudo e o estudante no comete erros, ento o

estudante aprende a matria se h motivao.

11. Simbolize as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema:A Paulo diminui os erros cometidos,B h motivao para o estudo,C Paulo aprendeu a matria,D O professor bom.a) Se o professor bom, Paulo aprende a matria.b) Se o professor no bom, no h motivao para estudar.c) O professor bom, h motivao para estudar e, alm disso, Paulo

aprende a matria.d) Paulo no aprendeu a matria; ele no diminuiu os erros cometidos.e) Se Paulo no diminuiu os erros cometidos, o professor no era bom ou

no havia motivao para estudar.f) Paulo aprende a matria ou diminui os erros cometidos.g) Paulo diminui os erros cometidos se, e somente se, h motivao para

estudar.h) Se o professor bom, ento, caso haja motivao para estudar, Paulo

aprender a matria.i) Paulo diminuir o nmero de erros cometidos se, e somente se, no

ocorrer o seguinte: no deixa de haver motivao para o estudo e Paulono deixa de aprender a matria.

12. Simbolize as sentenas abaixo:a) fcil compreender as obras de Jos da Silva, mas no os de Guimares

Rosa.b) Se Diana foi ao baile, no fato que no tenha ido ao baile.c) No fato que Paulo que v festa e fique satisfeito.d) Se o computador auxilia o cientista se, e somente se, altera a sua

programao, ento, se altera a programao, til.e) No se d o seguinte: no viajamos e no levamos as barracas.f) Irei praia salvo se chover.g) Vou estudar exceto se tiver vontade.13. Dadas as sentenas atmicas abaixo, escrever por meio de smbolos:A Ela bonitaB Ela inteligenteC Ela rica

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D Ela jovemE Ela gosta de mimF Quero casar com elaa) Ela pobreb) Ela rica ou jovemc) Ela inteligente e ancid) No que ela burrae) Se ela rica, ento quero casar com elaf) Ela inteligente, bonita, rica, jovem e ela gosta de mimg) Quero casar com ela, mas ela no gosta de mimh) Uma condio necessria para casar com ela que ela seja bonitai) Uma condio suficiente para casar com ela que ela seja ricaj) Ela feia, burra, pobre, anci, mas quero casar com elak) Quero casar com ela s se ela gosta de miml) Se ela jovem ento ela bonitam) Uma condio necessria e suficiente para casar com ela que ela

goste de mimn) Quero casar com ela, exceto se ela burra2.6 - Frmulas atmicas e frmulas

Como observamos no incio deste captulo, atravs dos conectivoslgicos , , , e , podemos construir sentenas mais complexas apartir de outras sentenas mais simples. Este procedimento clarificadopela seguinte regra de formao de sentenas:

Partimos de certas sentenas denominadas frmulas atmicas1 : p,q, r, ... Elas desempenham, intuitivamente, o papel de sentenas bsicas ouatmicas da linguagem proposicional.

As sentenas (que daqui em diante recebero o nome de frmulas)em geral so obtidas pela seguinte definio indutiva generalizada:1. Todas as frmulas atmicas so frmulas.2. Se A e B so frmulas, ento

(A),(A B),(A B),(A B) e(A B)

so tambm frmulas.3. Uma dada expresso constitui uma frmula se e somente se foi obtida pelaaplicao de uma das regras (1 ou 2) acima.

Observe-se que os smbolos A e B introduzidos na definio anterior(item 2) se tratam de variveis que denotam sentenas quaisquer da linguagemproposicional. O leitor deve estar atento para o fato de que tais smbolos noso propriamente smbolos da linguagem em apreo, mas sim smbolos queesto fora da linguagem proposicional. Tais variveis denominam-se,costumeiramente, meta-variveis.

4 0

A clusula 3 da definio acima tambm conhecida como clusulamaximal e, juntamente com as demais, permite-nos reconhecer quando umadada expresso se trata de uma frmula ou no.

Daqui em diante, usamos tambm a seguinte terminologia: diz-seque uma frmula(A) do tipo no.(A B) do tipo e(A B) do tipo ou(A B) do tipo implica(A B) do tipo bi-implica.2.7 - rvore de composio de uma frmula. rvore de decomposio.Vimos a definio de frmula no pargrafo anterior. Podemos esquematiz-la no que chamamos rvore de formao de frmulas: A, B, C, D indicamfrmulas atmicas.

A B C D ...

(A) (A B) (B C) (C D) (D D)

((A)) ((A (B C)) ((C D) (B C)) ((D D))

1 No sentido de sentena indecomponvel.

Na rvore acima notamos alguns pontos importantes.Inicialmente, observemos a 1a linha: partimos de sentenas atmicas

A, B, C, D, ... que constitui a regra 1 da definio de frmula.Observemos a 2a linha: aplicamos a regra 2 e obtemos novas frmu-

las: (A), (A B), (B C), (C D), (D D), dentre outras. Observe que asfrmulas obtidas seguem estritamente a regra 2, ou seja, por exemplo, em (A B), absolutamente necessrio abrir um parntesis esquerda, escrevera atmica A, escrever o conectivo e depois escrever a atmica B efinalmente fechar o parntesis esquerda.

Observemos a 3a linha: aplicamos a regra 2 novamente e obtemosnovas frmulas: ((A)), ((A (B C)), ((C D) (B C)), ((D D)),entre outros. Novamente atente para a regra 2 que foi aplicada cuidadosa-mente s frmulas anteriormente obtidas.

Finalmente, queremos observar ao leitor que muito importanteento aplicar corretamente a regra de formao de frmulas.

A verificao cuidadosa da formao de frmulas, permite tambmimediatamente analisar como uma frmula foi obtida. Esta tarefa defundamental importncia para as discusses deste livro. A seguir, prepare-

4 1

mos alguns conceitos para o enquadramento desta noo.Vamos exibir um processo grfico para determinar todas as

subfrmulas (i.e., intuitivamente, todas as frmulas que compe a frmulaem questo) de uma dada frmula. Tal processo faz uso de uma estrutura,muito utilizada nas diversas reas das cincias da computao, chamadarvore, mais precisamente faremos uso somente de rvores binrias. Aseguir, apresentamos graficamente as componentes de uma rvore binriaqualquer, observamos que tal descrio, no tem nenhum carter formal, apenas para nos familiarizarmos com os elementos dessa estrutura.

Acima est a representao grfica de uma rvore binria genrica,chamamos de aresta o segmento de reta que liga os ns, (ou vrtices ). Osns ou vrtices so de trs espcies, o n a partir da qual toda a rvore gerada chamado de raiz, o n terminal chamado de folha e os ns interme-dirios chamados de n interior. Freqentemente utilizaremos as seguintesdenominaes para determinados ns de uma rvore binria n pai, nfilho, n irmo. Tal denominao pode ser vista no diagrama abaixo, referen-te a rvore anteriormente citada.

4 2

Observaes: 1. Chamamos a estrutura acima de rvore binria, pois cada n pode ter zero,um ou no mximo dois filhos. 2. Podemos tambm classificar os ns como sucessores e ancestrais, porexemplo:

Utilizaremos essa estrutura de rvore binria do seguinte modo:1. Dada uma frmula qualquer S esta ser a raiz da rvore de subfrmulasde S,2. Se S uma frmula do tipo no, ento ela composta por uma frmula A,de tal modo que S = (A), logo teremos (A)

A3. Se S uma frmula do tipo e, ento ela composta por duas frmulas A eB de tal modo que S = (A B), logo teremos (A B).

A B4. Se S uma frmula do tipo ou, ento ela composta por duas frmulas Ae B de tal modo que S = (A B), da teremos (A B)

A B5. Se S uma frmula do tipo implica, ento ela composta por duas frmu-las A e B de tal modo que S dado por (A B), e teremos (A B)

A B6. Se S uma frmula do tipo bi-implica, ento ela composta por duasfrmulas A e B de tal modo que S dado por (A B), e teremos

4 3

(A B)

A BCada n representa uma frmula, em particular, cada n gera uma

sub-rvore, isto , cada n pode ser considerada uma raiz de uma rvoremenor que tem como ns os sucessores do respectivo n raiz.

A construo de uma rvore de subfrmulas a partir de uma frmu-la dada, termina quando todas as folhas contiverem somente letrasproposicionais.

muito importante o leitor ter em mente que uma frmula definidapasso a passo e nica a sua construo. Assim, por exemplo, podemosdizer qual conectivo foi aplicado inicialmente, o segundo, etc., at chegar-mos ao ltimo. Desse modo, possvel decompor uma frmula exibindotodas as suas frmulas que o compe. Como este tema relevante, convmfamiliarizarmos mais de perto.

Analisemos a frmula:

1) [A (B C)]Podemos verificar sem dificuldade que ela foi obtida das frmulas A

e (B C) pela aplicao do conectivo . Portanto, este foi o ltimoconectivo que foi aplicado frmula [A (B C)]. Esquematizamos issoassim:

[A (B C)]

A (B C)A frmula (B C) por sua vez foi obtida das frmulas atmicas B e C.

(B C)

B C

A rvore final fica assim:[A (B C)]

A (B C)

B C

4 4

Notamos alguns passos importantes:1. O primeiro conectivo aplicado ento .2. O ltimo conectivo aplicado .

Vejamos mais um exemplo:2) {[[(B) ((A))] [((B C))]]}

Como saber a seqncia em que foram aplicados os conectivos ?Se prestarmos ateno quando definimos a definio de frmula, vimosuma propriedade que um parntesis esquerda possui sempre oparntesis direita correspondente. Vejamos. Voc pode identificar isso devrios modos, porm, h alguns pares de parntesis bvios. Por exemplo,o par de parntesis mais externos da frmula:

Vemos que a frmula {[[(B) ((A))] [((B C))]]} foiobtida de[[(B) ((A))] [((B C))]] pela aplicao do conectivo . Logo,deduzimos que a primeira ocorrncia foi o ltimo conectivo aplicado frmula. Por conseguinte, o tipo desta frmula negao.

[[(B) ((A))] [((B C))]] por sua vez foi obtida de(1) [(B) ((A))] e(2) [((B C))] pela aplicao do conectivo . Logo, foi o

ltimo conectivo aplicado na frmula anterior.

4 5

Analisemos separadamente:(1) [(B) ((A))] foi obtida de (B) e ((A)) pela aplicao do conectivo. Logo, foi o ltimo conectivo aplicado na frmula anterior.(B) foi obtida de B pela aplicao do conectivo . Logo, foi o ltimoconectivo aplicado na frmula anterior.((A)) foi obtida de (A) pela aplicao do conectivo . Logo, foi oltimo conectivo aplicado na frmula anterior.(A) foi obtida de A pela aplicao do conectivo . Logo, foi o ltimoconectivo aplicado na frmula anterior.

(2) [((B C))] foi obtida de ((B C)) pela aplicao do conectivo .Logo, foi o ltimo conectivo aplicado na frmula anterior.((B C)) foi obtida de (B C) pela aplicao do conectivo . Logo, foi oltimo conectivo aplicado na frmula anterior.(B C) por sua vez foi obtida das frmulas atmicas B e C. Logo, foi oltimo conectivo aplicado na frmula anterior.

A rvore de decomposio toma a forma:

{[[(B) ((A))] [((B C))]]}

[[(B) ((A))] [((B C))]]

[(B) ((A))] [((B C))]

(B) ((A)) ((B C))

B (A) (B C)

A B C

Vendo o esquema de decomposio de uma frmula, podemos entoidentificar qual foi o ltimo conectivo que foi aplicado quela frmula. Dapodemos determinar o tipo de uma frmula.

Faamos mais exemplos.

3) {[(A B) A] A}Vemos 3 conectivos . O ltimo a terceira ocorrncia de . O

tipo desta frmula ento implicao.Logo, a rvore de decomposio fica

4 6

{[(A B) A] A}

[(A B) A] A

(A B) A

A B

4) {A [C (A C)]}Vemos 3 ocorrncias de conectivos: , , . O ltimo a primeira

ocorrncia de . O tipo desta frmula ento conjuno. Logo, a rvore dedecomposio fica:

{A [C (A C)]}

A [C (A C)]

C (A C)

A C

5) {[( E C) (A D)] [(E C) (A D)]}Vemos 7 ocorrncias de conectivos: , , , , , , . O ltimo

a quarta ocorrncia . O tipo desta frmula ento conjuno. Logo, arvore de decomposio fica:

{[( E C) (A D)] [(E C) (A D)]}

[( E C) (A D)] [(E C) (A D)]

( E C) (A D) (E C) (A D)E C A D E C A D

Exerccio 1. Em cada uma das frmulas abaixo dizer qual o ltimoconectivo aplicado e o tipo da frmula. Em seguida faa a rvore dedecomposio.1. {(A (C)) [[[C (A C)]] [[( E C) (A D)]]]}2. (((( E C) (A D)) ((( E C) ((F D))) (E D))))

4 7

3. {[[[[(A B) B] A]]]}Exemplo 1. (Frmulas e suas respectivas rvores de subfrmulas)

1. Dada a frmula A a nica subfrmula a prpria frmula A, ou seja, arvore de subfrmulas constitui-se de um nico n que a prpria raiz.2. Dada a frmula B a nica subfrmula dada pela prpria frmula B, isto, a rvore de subfrmulas constitui-se de um nico n que a prpria raiz.3. Dada a frmula (B C) teremos a seguinte rvore de subfrmulas: (B C)

B CNesse caso a rvore constitui-se de trs ns, o n raiz contm a

frmula (B C), a seguir vemos que a rvore divide-se em duas, a quebraocorre exatamente sobre o conectivo que determina o tipo da frmula e queliga as letras proposicionais B e C, repare que as letras proposicionais soas folhas da rvore. Os parnteses mais externos de cada n abaixo da raizso eliminados, e por fim, note que cada n representa uma subfrmula dafrmula dada.4. Dada a frmula (B C) teremos a seguinte rvore de subfrmulas: (B C)

B CA rvore compe-se de trs ns, na raiz temos a frmula (B C), a

seguir vemos que a rvore divide-se em duas, a quebra ocorre exatamentesobre o conectivo que faz a ligao das letras proposicionais B e C. Asletras proposicionais so as folhas da rvore, os parnteses mais externosde cada n abaixo da raiz so eliminados, e cada n representa uma subfrmulada frmula dada.5. Dada a frmula (B C) teremos a seguinte rvore de subfrmulas: (B C)

B CNovamente, a rvore compe-se de trs ns, no n raiz temos (B

C), a seguir vemos que a rvore divide-se em duas, a quebra ocorreexatamente sobre o conectivo que faz a ligao das letras proposicionaisB e C. As letras proposicionais so as folhas da rvore, os parnteses maisexternos de cada n abaixo da raiz so eliminados, e cada n representa umasubfrmula da frmula dada.6. Dada a frmula (B) temos a seguinte rvore de sufrmulas:

4 8

(B)

B

Aqui a rvore compe-se de dois ns, na raiz est a frmula (B), aseguir vemos que a rvore decompe-se em uma parte, novamente a quebraocorre exatamente sobre o conectivo que determina o tipo da frmula, aplicadana frmula atmica B. A frmula atmica a folha da rvore, os parntesesmais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados, e cada n representauma subfrmula da frmula dada.7. Considere a frmula ((A) B) a sua rvore de formao : ((A) B) (A) B A

Na raiz da rvore est a frmula ((A) B) e a rvore decomposta emduas partes. A quebra ocorre exatamente sobre o conectivo que faz aligao das frmulas (A) e B. A frmula atmica r uma das folhas darvore, os parnteses mais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados.Uma das folhas da rvore acima contm (A), que no uma frmula atmica,da a necessidade de continuarmos o processo de decomposio. Novamenteos parnteses mais externos do n filho de (A) so eliminados.8. Considere a frmula (A (B)) teremos a seguinte rvore dedecomposio:

(A (B)) A (B) B

9. Considere a frmula ((A B) A) teremos a seguinte rvore dedecomposio:

((A B) A) (A B) A A B

Na raiz da rvore est a frmula (A B) A), a rvore decompostaem duas partes e a quebra ocorre exatamente sobre o conectivo que faza ligao das frmulas (A B) e A. A frmula atmica A uma das folhas darvore, os parnteses mais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados.Uma das folhas da rvore acima contm (A B), que no uma frmulaatmica, da a necessidade de continuarmos o processo de decomposio.

4 9

Novamente os parnteses mais externos dos ns filhos de (A B) so elimi-nados. Note que apesar da rvore apresentar cinco ns a frmula ((A B) A) tem somente quatro subfrmulas distintas, entre si, basta ver que doisns contm a uma mesma frmula.

10. Considere a frmula ((A B) C) teremos a seguinte rvore dedecomposio:

((A B) C) (A B) C A B

Temos na raiz a frmula ((A B) C), a seguir vemos que a rvore decomposta em duas partes, e a quebra ocorre exatamente sobre oconectivo que faz a ligao das subfrmulas (A B) e C. Os parntesesmais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados, como as folhas darvore acima so (A B) e C, que no so letras proposicionais temos anecessidade de continuarmos o processo de decomposio. Fazendo adecomposio da rvore at que todas as folhas sejam letras proposicionaisobteremos a rvore acima.11. Considere a frmula (C (B A)) teremos a seguinte rvore dedecomposio:

(C (B A)) C (B A) B A12. Seja dada a seguinte frmula (A (B A)), vejamos a sua rvore desubfrmulas.

(A (B A))

A (B A)

B A13. Dada a a frmula ((A C) (B A)) teremos a seguinte rvore dedecomposio: ((A C) (B A))

5 0

(A C) (B A)

A C B A14. Considere a frmula ((A C) (B D)) teremos: ((A C) (B D))

(A C) (B D)

A C B D

15. Considere a frmula (((A B)) (C)) teremos a seguinte rvore dedecomposio: (((A B)) (C)) ((A B)) (C) (A B) C A B

16. Considere a frmula (((A B)) ((C))). Temos: (((A B)) ((C))) ((A B)) ((C)) (A B) (C) A B C

17. Dada a frmula ((A B) ((A (B)) (A))) temos: ((A B) ((A (B)) (A))) (A B) ((A (B)) (A)) A B (A (B)) (A) A (B) A B

Exerccio 2. 1) Determine todas as subfrmulas de cada uma dasfrmulas dadas a seguir, usando o conceito de rvore de decomposio.1. ((A C) ((B C) ((A B) C))).

5 1

2. (( A (A B)) A)3. ((A (A B)) A)4. ((A (A B)) (A B))5. (((A B) (A C)) (A (B C)))6. ((( A B)) ((A) (B)))7. (((A B)) ((A) (B)))8. [[A (B C)] [(A B) (A C)]]9. [[A (B C)] [B (A C)]]10. [(A B) (A B)]11. [((A) B) (B A)]2) Idem.1. [((A B)) ((A B))]2. [(A B) ((B) (A))]3. [(A (B C))]4. [(A B) (A C)]5. [[(B) (A)] [(((B) A)) B]]6. [[(B) (C)] (A)]2.8 - Tabela-verdade de uma frmula

Temos agora condies de construir a tabela-verdade de qualquerfrmula dada. Seja A uma frmula qualquer, con