introdução à lógica matemática método dedutivo no cálculo de predicados de 1ª ordem joão...
TRANSCRIPT
![Page 1: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/1.jpg)
Introdução à Lógica Matemática
Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem
João Marques Salomão
Curso de Engenharia Elétrica
CEFET-ES
Introdução à Lógica Matemática - 2006/1 – p. 1/13
![Page 2: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/2.jpg)
Eliminação e Inserção de Quantificadores
No CP as premissas são relações do tipo “Pxy”, “Qxyz”, etc. Portanto, não há nenhum processo sistemático para validar os argumentos.
As regras de inferência e de dedução, se aplicam também ao CP, mas os quantificadores, variáveis e predicados nos enunciados, complicam a validação dos argumentos.
Regras adicionais de inferência são definidas para a inserção e/ou eliminação dos quantificadores.
Neste caso:As Premissas do CP são transformadas em enunciados do Cálculo Proposicional, isto permite usar as eqüivalências e inferências conhecidas, em seguida, insere-se novamente os quantificadores e processa-se a validação.
![Page 3: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/3.jpg)
O processo gera quatros regras e exige:1 - Eliminar os quantificadores das premissas.
2 - Deduzir a conclusão com eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional.
3 - Inserir (se for o caso) os quantificadores na conclusão.
As quatro regras geradas são chamadas de: Generalização Universal e Existencial;Instanciação Universal e Existencial;
Eliminação e Inserção de Quantificadores
![Page 4: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/4.jpg)
Instanciação Universal (IU)
Pode ser enunciada da seguinte forma: “Se todos os objetos de um dado universo possuem uma dada propriedade, então um objeto particular desse universo também possui essa propriedade”. Isto é: u Onde uma regra de inferência (RI), ou implicação tautológica. Isto é, é uma fórmula que resulta de ao substituir cada ocorrência da variável livre u por um termo t.
A RI pode assumir muitas formas, dependendo de : Exemplos:
Se x Fx então Fx Se x Fx então FaSe y (FyGb) então Fx Gb Se y (FyGb) então FaGbSe x Gx então Gy Se x (Gx Hx) então Gz HzSe x (Fxx (GxHy)) então Fb x (GxHy)
Ver aplicação dessa regra na pagina 58.
![Page 5: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/5.jpg)
Generalização Universal (GU)
“Se um objeto, arbitrariamente escolhido dentre um universo, tiver uma certa propriedade, todos os objetos desse universo terão essa propriedade”. Em termos simbólicos: u w ( w), onde é uma fórmula e w um objeto arbitrariamente escolhido, é uma regra de Inferência.
Podemos garantir que todos os elementos de um universo possuem dada propriedade ao utilizarmos a expressão arbitrariamente escolhido.
Alguns exemplos dessa regra de inferência:Se Fx então x FxSe Fx então y Fy
Ver aplicação da regra GU através do argumento da página 59.
![Page 6: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/6.jpg)
Generalização Existencial (GE)
“O que é verdadeiro para um dado objeto, é verdadeiro para algum objeto”.
Em formulação simbólica, temos:: w u u,onde w é uma constante ou variável, u é variável, e w resulta de u pela substituição das ocorrências livres de u por w; - se w for uma variável, deve ocorrer livre em w nos locais em que u ocorrer livre em u.
Exemplos de aplicação desta regra de inferência:Se Fx então y Fy Se Fa então x FxSe Fa então y Fy Se FaGb então x (FxGb)Se Fa Gb então y (Fy Gb) Se Fx Gy então z (Fx Gz)Se Fx Gx então y (Fy Gy) Se Fx Gx então y (Fy Gy)
Um exemplo de utilização da regra GE é dado na dedução do argumento da página 60.
![Page 7: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/7.jpg)
Instanciação Existencial (IE)
“O que é verdadeiro para algum objeto, é verdadeiro para um dado objeto, desde que esse objeto não tenha sido utilizado anteriormente na dedução”. Em notação simbólica: u u w, onde é uma fórmula, e desde que w seja variável livre nos locais em que u ocorria livre em u, e que w não tenha ocorrência livre anterior.
Dois exemplos da utilização dessa regra:Se x Fx então Fx Se x Fx então Fy.
Um exemplo de aplicação dessa regra,é dado na dedução do argumento da página 61.
Obs: A aplicação dessa RI exige certos cuidados. Deve-se certificar de que o termo não tenha sido utilizado anteriormente na dedução.
Observe o 2o argumento da página 61/62 e ver os cuidados no uso da GE- página 62.
![Page 8: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/8.jpg)
Eqüivalências e Regras de Inferências.
As eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional podem ser utilizadas para obter suas correspondentes entre expressões com quantificadores e variáveis. Veja alguns conceitos novos:
Validade lógica (corresponde à tautologia no Cálc. Proposicional): “Uma sentença fechada é logicamente válida, se e somente se, qualquer instanciação da sentença em qualquer universo não vazio for uma sentença verdadeira (for satisfeita para todos os objetos)”.
Isto é, uma sentença fechada é dita válida quando sua veracidade não depender da instanciação das variáveis.
![Page 9: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/9.jpg)
Eqüivalências e Regras de Inferências
A sentença x Px x Px, diz que:“se todos os elementos x possuírem o predicado P, então existe um x que possui o predicado P”. Pode ser instanciada para: “se todos estão alegres, então existe alguém alegre”,
“uma sentença aberta é válido quando seu conjunto verdade for o próprio universo”. Por exemplo:O aberto: Py x Px, afirma que:“se y possui a propriedade P, então existe um x que possui a propriedade P”, o que é satisfeito por todos os objetos de qualquer universo. Instanciações dessa sentença: “se y é sábio, então existe um x tal que x é sábio”; “se y é mortal, então existe um x tal que x é mortal”.
![Page 10: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/10.jpg)
Sentenças x tautologias
É possível mostrar que se um esquema sentencial tiver a forma de um enunciado válido do Cálculo Proposicional (uma tautologia), então ele também será logicamente válido no CP . Isto é extremamente útil, pois permite construir um grande número de esquemas sentenciais abertos e fechados logicamente válidos.
Exemplos:sentenças válidas, por possuírem a forma de tautologias:
![Page 11: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/11.jpg)
Sentenças Eqüivalentes no CP
Duas sentenças S1 e S2 são equivalentes, S1 S2, se e somente se, S1 S2 for um esquema logicamente válido.
“Uma sentença com a forma de uma equivalência do Cálculo Proposicional também será uma equivalência do CP ”. Exemplos:
![Page 12: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/12.jpg)
Sentenças Eqüivalentes no CP
Como ocorre no Sistema Proposicional, se duas sentenças S1 e S2, do CP, diferirem por partes equivalentes, então elas são equivalentes.
Por exemplo: (Py x Qx) Rx é equivalente a Py x Qx Rx.
Em resumo: padrões sentenciais, cuja forma é a de padrões sentenciais equivalentes ou que diferenciam-se pela ocorrência de partes equivalentes, são equivalentes.
![Page 13: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/13.jpg)
Eqüivalencias de esquemas sentenciais do CP
Há esquemas sentenciais do Cálculo de Predicados que são equivalentes, mas que não têm a forma de enunciados equivalentes.
Exemplos:
x Px x Px (De Morgan) [EQ01]
x Px x Px (De Morgan) [EQ02]
x (Px Qx ) x Px x Qx (Distrib) [EQ03]
x (Px Qx ) x Px x Qx (Distrib) [EQ04]
![Page 14: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/14.jpg)
Eqüivalencias de sentenças do CP
Podemos também definir inferências no Cálculo de Predicados. Assim, dizemos que da sentença S1 inferimos S2, e escrevemos
S1 S2, se e somente se S1 S2 for logicamente válida. Mais uma vez as inferências do Cálculo Proposicional podem ser
utilizados como padrões para inferências no Cálculo de Predicados: Exemplos:
![Page 15: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/15.jpg)
Inferências de sentenças do CP
O CP possui inferências, que não correspondem a padrões de inferência nos enunciados do cálculo proposicional. Exemplos:
x Px x Px [INF01]x (Px Qx) x Px x Qx [INF02]x Px x Qx x (Px Qx) [INF03]x (Px Qx) x Px x Qx [INF04]
Essas eqüivalências e inferências serão úteis na dedução de argumentos no CP.
As que possuem a forma de enunciados tautológicos têm, sua validade lógica assegurada. As demais, EQ01 a EQ04 e INF01 a INF04, necessitam de demonstração formal (Ver páginas 65 a 69).
![Page 16: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/16.jpg)
Dedução no CP
Um argumento no CP é tal que, um dos esquemas sentenciais, chamado conclusão, decorre logicamente dos demais, chamados premissas;
Se essa decorrência se verificar, o argumento é dito válido, em caso contrário, é inválido.
Deduzir um argumento, é, obter uma seqüência de esquemas sentenciais 1, 2, ..., n, onde cada i ou é uma premissa ou resulta das anteriores após o uso de eqüivalências e inferências.
Para deduzir a validade de um argumento, usamos as regras de inferência GU, IU, GE e IE, e as de equivalência/inferências EQ01 a EQ04 e INF01 a INF04.
![Page 17: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/17.jpg)
Dedução: Aspectos gerais
Procedimentos gerais usados na dedução (as premissas e conclusão devem estar na forma simbólica).
Utilizar as:1. eqüivalências e inferências do CP que correspondem às
eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional;2. eqüivalências e inferências EQ01 a EQ04 e INF01 a INF04;3. inferências IU e IE, visando eliminar os quantificadores;4. eqüivalências e inferências do Cálculo Proposicional, visando
chegar à conclusão;5. inferências GE e GU, visando reintroduzir os quantificadores
na conclusão, se for necessário.
![Page 18: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/18.jpg)
Revisão: O Diagrama de Venn e o SC
Para a Proposição Universal Afirmativa (A) “Todo S é P”, x (Sx Px) temos o 1o diagrama;
Proposição Universal Negativa (E), “Nenhum S é P”, ou, simbolicamente, x (Sx ~Px), pelo 2o;
A Proposição Particular Afirmativa (I), “Algum S é P”, ou x (Sx Px), é representada pelo 3o diagrama abaixo;
Proposição Particular Negativa (O), “Algum S não é P”, cuja forma simbólica é x (Sx ~Px),
A I E O
![Page 19: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/19.jpg)
Dedução no CP: Exemplo
Nenhum atleta é apegado aos livros.
Carlos é apegado aos livros.
Portanto, Carlos não é um atleta.
Sol: x (Ax Lx)
L (Carlos)
A (Carlos)
![Page 20: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/20.jpg)
Dedução no CP: Exemplo
2. Ácidos ou bases são químicos.
O vinagre é um ácido.
Logo, o vinagre é um químico.
Sol: x(AxBx Qx) A (vinagre) Q (vinagre)
![Page 21: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/21.jpg)
Exemplos de dedução
3. Todos os cidadãos que não são traidores estão presentes.
Todos os oficiais são cidadãos.
Alguns oficiais não estão presentes.
Logo, há traidores.Sol:
x (Cx TxPx)
x (Ox Cx)
x (Ox Px)
x Tx
Ver mais ex. na pp. 71.
![Page 22: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/22.jpg)
Invalidade de argumentos no CP
O método do absurdo Proposicional, (premissas verdades e conclusão falsa), pode ser adaptado ao CP desde que exista pelo menos um indivíduo no universo.
Exemplo: Todos os mercenários são violentos. Nenhum guerrilheiro é mercenário. Logo, nenhum guerrilheiro é violento
Simbolicamente:x (Mx Vx) (A) x (Gx Mx) (E) x (Gx Vx)Se existir apenas um indivíduo a no universo, o argumento assume:Ma VaGa Ma Ga Va
(Mostre por SC)(Ver ex. pp 72 : exige pelo menos 2 indivíduos)
![Page 23: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/23.jpg)
Validade e Subargumentos
Se o número de premissas e/ou de predicados em um argumento é grande, a dificuldade em deduzir a conclusão ou de provar a invalidade do argumento cresce significativamente.
Nestes casos, o uso de subargumentos é recomendável. Ele consiste em:
1. escolher uma ou mais premissas no argumento dado;
2. obter uma conclusão com essas premissas, construindo um subargumento válido;
3. incluir a conclusão obtida como mais uma premissa no
argumento original.Repetir o processo até se obter a conclusão do argumento original, ou ficar convencido de que isso não será possível.
![Page 24: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/24.jpg)
Validade: uso de subargumentos
Exemplo: Alguns fotógrafos são habilidosos. Só artistas são fotógrafos. Os fotógrafos não são todos habilidosos. Todo biscateiro é habilidoso. Logo, alguns artistas não são biscateiros.
Sol: a 3a e 4a premissas escritas na forma típica:Todo biscateiro é habilidoso.Alguns fotógrafos não são habilidosos. Logo, alguns fotógrafos não são biscateiros. (silogismo categórico). Sol: Forma simbólicax (Bx Hx) (A), x (Fx Hx) (O); x (Fx Bx)
O diagrama de Venn ao lado valida o subargumento:
![Page 25: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/25.jpg)
Validade: uso de subargumentos
Substituindo as premissas pela conclusão, e escrevendo a outra premissa na forma típica, temos o outro argumento como outro silogismo categórico:
Todos os fotógrafos são artistas.Alguns fotógrafos não são biscateiros.Logo, alguns artistas não são biscateiros.Sol: Forma simbólica:x (Fx Ax) (A), x (Fx Bx) (O); x (Ax Bx)
O diagrama de Venn ao lado valida o argumento:
(ver outro exemplo na pag 75) .
![Page 26: Introdução à Lógica Matemática Método Dedutivo no Cálculo de Predicados de 1ª Ordem João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica CEFET-ES Introdução](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/552fc103497959413d8bf288/html5/thumbnails/26.jpg)
Invalidade: uso de subargumentos
Ver o exemplo das páginas 78, 79 e 80)
FIM