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Introdução à Teoria dos Jogos e Aplicações
Prof. Juliano AssunçãoDepto. Economia, PUC-Rio
Abril, 2005
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Motivação Comportamento estratégico:
elemento que está presente nas relações econômicas;
certos ambientes propiciam a adoção de tal comportamento;
forma de interação afeta, de maneira decisiva, o resultado.
Teoria dos Jogos: ferramentas para a análise sistemática do comportamento estratégico.
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Como organizar e utilizar o conteúdo do curso? Decisões envolvem, simultaneamente, vários
aspectos relevantes. Trataremos, no curso, alguns tópicos importantes, separadamente.
Exemplo:
ATLÂNTICA. Prédio luxo, vista mar. 190m2. Varanda, amplo salão, 4qtos, (suítes), copa-cozinha, dependencias, 3vagas. Mobiliado/ equipado. R$3.500,00 +taxas.
LAGOA (B.MEDEIROS) frente Piraquê, 220m2, salão, s.jantar, toillete, 4qtos, (2suítes), banh.soc., copa-coz, 2dependências, 2vagas, frente, alto. R$3.300,00 +taxas.
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Elementos da decisão
2 desafios da análise:
Eliminar características pouco importantes.
Comparar os atributos relevantes isoladamente, mantendo os demais constantes.
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Seqüência dos cursos Teoria dos Jogos: jogos estáticos e
dinâmicos de informação completa.
Informação Assimétrica: jogos com informação incompleta.
Organização Industrial e Estratégia
Antitruste
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Jogo Estático vs Dinâmico Diferença não depende de aspectos
temporais.
Jogos estáticos: jogadores não observam decisões dos
oponentes ao escolher. Ex.: par ou ímpar.
Jogos dinâmicos: escolhas são seqüenciais – ao menos algumas
decisões. Ex.: xadrez.
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O que é um jogo estático?
Jogo estático, forma normal, ou forma reduzida.
Representação: N jogadores; para cada jogador i, temos:
• Si – conjunto de estratégias possíveis;
• Ui(si,s-i) – função de ganhos em cada
resultado possível do jogo.
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Exemplo Caso Si seja finito, podemos representar
um jogo através de uma matriz.
2 (par)
Par Ímpar
1 (ímpar)
Par -1,1 1,-1
Ímpar 1,-1 -1,1
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“Common Knowledge” A hipótese de conhecimento comum será
adotada durante toda a análise. Cada participantes do jogo conhece a
estrutura do jogo. A racionalidade dos jogadores é também
de conhecimento comum.
“Eu sou racional. Sei que meu oponente é racional. Sei que ele sabe que sou racional. Sei que ele sabe que eu sei que ele é racional. Etc.”
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Exemplo 3 crianças numa roda. Há chapéus
brancos e vermelhos.
Nenhuma delas observa a cor do próprio chapéu.
1 2 3
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Exemplo (cont.) A professora pergunta a cada uma a cor
do próprio chapéu. Criança 1: “não sei”. Criança 2: “não sei”. Criança 3: “não sei”.
A professora informa: há, pelo menos, um chapéu vermelho. Repete a pergunta. Criança 1: “não sei”. Criança 2: “não sei”. Criança 3: “vermelho”.
Porque?
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Solução Resposta da criança 1:
Se 2 e 3 estivessem usando chapéus brancos, saberia que o seu era vermelho.
Conclusão: 2 ou 3 está usando vermelho.
Resposta da criança 2: Se 3 estivesse com chapéu branco,
saberia, pelo raciocínio anterior, que o seu chapéu era vermelho.
Conclusão: 3 está usando vermelho.
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Solução Note que, para o exemplo funcionar, é
necessária não apenas a hipótese de racionalidade individual mas, principalmente, a hipótese de “common knowledge”.
A criança 3 é racional; sabe que 1 e 2 são racionais; e sabe que a 2 sabe que 1 é racional.
Além disto: as três sabem que as outras duas sabem que há chapéus brancos e vermelhos. E pelo menos um vermelho
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Resolvendo jogos (i)
Eliminação de estratégias estritamente dominadas
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Dilema dos prisioneiros 2 prisioneiros são capturados e submetidos as
interrogatório, em salas isoladas, sem comunicação.
Alternativas: C - confessar e servir de testemunha contra o parceiro. NC - não confessar e resistir.
Penas dependem da interação de ambos.2
1
NC C
NC -1,-1 -9,0
C 0,-9 -6,-6
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Eliminação de estratégias estritamente dominadas Diante da hipótese de que a racionalidade
é de conhecimento comum, podemos eliminar estratégias que são estritamente piores, independente da ação do oponente.
Definição: A estratégia si’ é estritamente dominada se existir si” tal que:
Ui(si’,s-i) < Ui(si”,s-i),
para todo s-i. Desigualdade é estrita!
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Resolvendo o dilema dos prisioneiros NC é estritamente dominada por C, para
ambos.
2
1
NC C
NC -1,-1 -9,0
C 0,-9 -6,-6
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Características importantes do dilema dos prisioneiros A situação (NC,NC) é melhor que (C,C) para
ambos.
O comportamento estratégico, aliado aos interesses individuais, inviabiliza (NC,NC) como solução.
Esse exemplo simples ilustra a importância desse tipo de comportamento sobre as relações.
No caso de mercado competitivo, em que as ações não afetam o sistema, tal situação não é possível. (Primeiro Teorema de Bem-Estar)
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Exemplo 2
2
1
E C D
A 1,2 3,2 3,3
B 2,3 3,1 4,2
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Exemplo 3
2
1
E C D
A 1,2 3,4 3,3
B 2,3 3,1 4,2
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Limitações
O processo de eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas, em muitos casos, não produz previsões úteis sobre o resultado do jogo.
Consiste em uma noção muito fraca (no sentido que utiliza poucas restrições) de equilíbrio.
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Resolvendo jogos (ii)
Equilíbrio de Nash(estratégias puras)
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Definição de equilíbrio de Nash - EN Uma alocação/resultado é um equilíbrio de Nash
se, a partir dela, nenhum jogador tem incentivo a desviar individualmente.
O EN apresenta uma noção de estabilidade estratégica.
Definição: O perfil (si*,s-i
*) é um EN se, para cada jogador i, tem-se que:
Ui (si*,s-i
*) > Ui(si,s-i*),
para todo si.
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Definição alternativa A função (ou correspondência) de melhor
resposta atribui, a cada possível combinação de estratégias dos oponentes s-i, a(s) melhor(es) resposta(s) si(s-i).
EN é uma situação onde:si
*=si(s-i*),
para todo i.
Formalmente, torna a busca por equilíbrio um problema de “ponto fixo”.
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Exemplo 1
2
1
E C D
A 1,2 3,4 3,3
B 2,3 3,1 4,2
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Exemplo 2Dilema dos prisioneiros
2
1
NC C
NC -1,-1 -9,0
C 0,-9 -6,-6
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Exemplo 3Batalha dos sexos
M
H
Fut. Balé
Fut. 2,1 0,0
Balé 0,0 1,2
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Exemplo 4Jogo de Coordenação
M
H
Teatro Praia
Teatro 2,2 0,0
Praia 0,0 1,1
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Exemplo 5Par ou Ímpar
2
1
Par Ímpar
Par -1,1 1,-1
Ímpar 1,-1 -1,1
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Algumas características Todo EN sobrevive à eliminação de estratégias
estritamente dominadas.
Equilíbrios múltiplos podem ocorrer.
Os equilíbrios podem apresentar ineficiência, seja em relação a outro equilíbrio ou a outra alocação.
Nem sempre existem equilíbrios em “estratégias puras”, isto é, que não envolvem aleatoriedade.
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Exemplo 6Metade da média
Cada aluno escolhe um inteiro entre 0 e 100, anota o número em um papel com o próprio nome, entregando-o ao professor.
Vencedor: aquele mais se aproximar da metade da média de todos os números.
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Exemplo 6(Continuação) Estratégias estritamente dominadas:
Equilíbrio de Nash:
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Exemplo 6(Continuação) Lições:
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Resolvendo jogos (iii)
Equilíbrio de Nash(estratégias mistas)
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Definição Em muitas situações, faz sentido estender o
conjunto de estratégias, possibilitando aleatoriedade.
Para cada conjunto de estratégias Si, define-se a
extensão em estratégias mistas Si, como o
conjunto de medidas de probabilidade que podem ser definidas sobre Si.
Um EN em estratégias mistas do jogo (N,Si,Ui) é
um EN do jogo estendido (N, Si,Ui).
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Existência de equilíbrio
Teorema (Nash, 1950): Todo jogo finito tem, pelo menos, um EN, possivelmente envolvendo estratégias mistas.
O resultado acima pode ser estendido em várias direções.
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ExemploPar ou Ímpar
2
1
Par Ímpar
Par -1,1 1,-1
Ímpar 1,-1 -1,1
p
1-p
q 1-q
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Calculando o EN em estratégias mistas
Fixada a estratégia de 2 em q, temos as seguintes opções p/ 1: Par: q(-1)+(1-q)=1-2q Ímpar: q+(1-q)(-1)=2q-1
Fixada a estratégia de 1 em p, temos as seguintes opções p/ 2: Par: p+(1-p)(-1)=2p-1 Ímpar: p(-1)+(1-p)=1-2p
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Função de melhor resposta
q
p
1
0 11/2
1/22
1EN
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Evidência empírica Levitt, S. P.A. Chiappori e T. Groseclose (2002)
“A Test of Mixed Strategy Equilibria: Penalty Kicks in Soccer.” American Economic Review, 92: 1138-1151.
Utilizam dados das 459 disputas de pênalti dos campeonatos francês (1997-1999) e italiano (1997-2000).
Resultados são compatíveis com a adoção de estratégias mistas.
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Revisão
Principais conceitos e definições
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Revisão
Jogo estático
“Common knowledge”
Eliminação de estratégias estritamente
dominadas
Equilíbrio de Nash
Estratégias mistas
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Aplicações
Estrutura de mercado Formação de cartéis Modelo de Hotelling
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Ambiente econômico Curva de demanda:
p(Q)=a-Q,onde Q=q1+...+qN.
Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,...,n.
Lucro:i(qi,q-i)=p(Q)qi-cqi=[p(Q)-c]qi
Hipótese: c<a (viabilidade econômica da tecnologia)
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2 casos polares Competição perfeita com livre entrada:
Para simplificar, ci=c para todo i. Firmas são tomadoras de preços. Há entrada enquanto houver lucro positivo. Equilíbrio:
pC=c; QC=a-c; C=0
Monopólio: Monopolista incorpora sua influência na demanda. Problema: max [a-Q-c]Q Equilíbrio:
QM=½(a-c)<QC; pM=½(a+c)>pC; M=(a-c)2/4
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Estruturas de Oligopólio
Encontram-se entre os casos anteriores.
Diferentes formas de interação estão associadas a importantes diferenças nos preços, quantidades e lucros.
Serão consideradas situações onde há competição em: quantidade (Cournot, 1838); preço (Bertrand, 1883); localização (Hotelling, 1929).
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Competição em quantidade: o modelo de Cournot Firmas se encontram apenas uma única vez no
mercado, simultaneamente, decidindo sobre quantidade (capacidade instalada).
2 firmas.
Equilíbrio de Nash: (q1*, q2
*) tais que q1*=q1(q2
*) e
q2*=q2(q1
*); onde qi(qj) é a melhor resposta de i à
quantidade qj da adversária.
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Equilíbrio de Nash
Função de melhor resposta:qi(qj)=argmax [a-qi-qj-c]qi=½(a-c-qj).
EN: qi*=(a-c)/3, i=1,2.
Q*=2(a-c)/3 QM < Q* < QC
pM > p* > pC
*=(a-c)2/9 < M/2
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Características do EN O modelo de Cournot apresenta uma
característica semelhante ao dilema dos prisioneiros.
As duas firmas estariam melhores caso praticassem quantidades iguais a qM/2, agindo como uma única firma – situação de cartel.
Entretanto, dado que a adversária pratica qj=qM/2, a melhor resposta é qi=qi(qM/2)>qM/2.
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Extensão para n firmas
Função de melhor resposta:qi(q-i)=argmax [a-qi-Σj≠iqj-c]qi=½(a-c-Σj≠iqj).
EN: qi*=(a-c)/(n+1), i=1,...,n.
Q*=n(a-c)/(n+1) QM < Q* < QC
pM > p* > pC
*=(a-c)2/(n+1)2 < M/n, n>1.
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Propriedades – n firmas Benefício do cartel:
M-*=(a-c)2f(n), onde f(n) tem o formato abaixo.
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Propriedades – n firmas Desvio:
D-M=(a-c)2g(n), onde g(n) tem o formato abaixo.
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Formação de cartéis A formação de cartéis, em um jogo
simultâneo é dificultada por uma série de razões:
há sempre um incentivo individual ao desvio, que é crescente no número de firmas;
os benefícios individuais das firmas, com o arranjo de cartel, depende do número de firmas no mercado – no exemplo, o valor máximo encontra-se entre 4 e 5 firmas. Para n>6, o benefício é decrescente.
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Paradoxo de Bertrand
Suponha agora que a competição ocorre através dos preços.
Os produtos são perfeitamente homogêneos – o consumidor comprará da firma mais barata e irá sortear em caso de empate.
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Equilíbrio de Nash
O EN do modelo é:pi=c, i=1,...,n.
Paradoxo: mesmo com uma estrutura de oligopólio, o equilíbrio de Nash replica o caso competitivo.
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Bertrand com produtos diferenciados 2 firmas
Curva de demanda:qi(pi,pj)=a-pi+bpj.
Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,2.
Lucro:i(pi,pj)=(pi-c)qi(pi,pj)
Hipótese: c<a, b<2 (viabilidade econômica da tecnologia)
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Equilíbrio de Nash
Função de melhor resposta:
pi(pj)=argmax (pi-c)[a-pi+bpj]
=½(a+bpj+c).
EN: pi*=(a+c)/(2-b), i=1,2.
Ao contrário do caso de produtos homogêneos, pi
*>c.
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Competição Espacial 2 firmas
Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,2.
Lucro: i=(pi-c)qi
Demanda: consumidores estão uniformemente
distribuídos ao longo do intervalo [0,1]; há custo de transporte (linear) – cada
consumidor se dirige à loja mais próxima.
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Demanda de cada firma Suponha, sem perda de generalidade, que
a firma 1 é aquela localizada à esquerda, isto é, x1≤x2.
Seja x a localização do consumidor indiferente às duas firmas.
0 1x1 x2x
q1=x q2=1-x
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Interpretação
Localização geográfica
Espaço de produtos
Plataforma política
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Demanda (continuação)
Denotando por pi o preço praticado pela firma i, o consumidor indiferente é dado por:
t(x-x1)+p1=t(x2-x)+p2.
Ou seja,x=(x1+x2)/2 + (p2-p1)/2t.
Se p2=p1, o consumidor indiferente se localiza no centro das duas firmas.
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Equilíbrio de Nash Dados os preços p1=p2=p, as localizações
são definidas simultaneamente. Equilíbrio de Nash:
x1*=x2
*=1/2; cada empresa atende metade do mercado.
Equilíbrio é ineficiente: empresas poderiam auferir os mesmos lucros com os consumidores gastando menos com transporte.
“Princípio da diferenciação mínima”
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Extensões
O modelo de Hotelling é bastante instável a modificações.
Por exemplo, com 3 firmas já não há equilíbrio em estratégias puras.
Caso haja competição de preços após a localização, o equilíbrio muda drasticamente, com as firmas localizadas nas extremidades – diferenciação máxima.