introduÇÃo ao cÁlculo conjuntos numericos. em matemática, o conceito de conjunto é considerado...
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
CONJUNTOS NUMERICOS
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Em matemática, o conceito de conjunto é considerado primitivo e não se dá uma definição deste, portanto, a palavra CONJUNTO deve aceitar-se logicamente como um termo não definido.
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Um conjunto se pode entender como uma coleção ou agrupamento bem definido de objetos de qualquer classe. Os objetos que formam um conjunto são chamados membros ou elementos do conjunto. Exemplo:Na figura ao lado temos um Conjunto de Pessoas
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NOTAÇÃOTodo conjunto se escreve entre chaves { } e se denota mediante letras maiúsculas A, B, C, ..., seus elementos se separam mediante ponto e vírgula.
Exemplo:O conjunto das letras do alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim:
L = {a; b; c; ...; x; y; z}
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Exemplo:
A = {a; b; c; d; e} seu cardinal n(A) =
B = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n(B) =
Na teoria de conjuntos não precisa repetir os elementos, por exemplo:O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }.
Ao número de elementos que tem um conjunto Q chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se representa por n(Q).
5
3ÍNDICE
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Para indicar que um elemento pertence a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertence a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10}
2 M ... se lê 2 pertence ao conjunto M5 M ... se lê 5 não pertence ao conjunto M
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I) POR EXTENSÃO
Há duas formas de determinar um conjunto, por Extensão e por Entendimento.
É aquela forma mediante a qual se indica cada um dos elementos do conjunto.
Exemplos:A) O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20.
A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }
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B) O conjunto de números negativos ímpares maiores que -10.
B = {-9; -7; -5; -3; -1 }
II) POR ENTENDIMENTOÉ aquela forma mediante a qual se dá uma propriedade que caracteriza a todos os elementos do conjunto.Exemplo:
Se pode entender que o conjunto P está formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
P = {os números dígitos }
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Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito } se lê “P é o conjunto formado pelos elementos x tal que x é um dígito”.Exemplo:Expressar por extensão e por entendimento o conjunto de dias da semana.Por Extensão: D = {segunda; terça; quarta; quinta; sexta; sábado; domingo }Por Entendimento: D = { x / x = dia da semana }
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Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John Venn (1834-1883) servem para representar conjuntos de maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que podem ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada.
AMT
7
23
6
9
aei
o
u(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)841 5
ÍNDICE
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A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” ou “A é o conjunto nulo “
CONJUNTO VAZIOÉ um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { }
Exemplos:M = { números maiores que 9 e menores que 5 }P = { x / }1 0X
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CONJUNTO UNITÁRIOÉ o conjunto que tem um só elemento.Exemplos:F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2x /x 4 x 0
CONJUNTO FINITOÉ o conjunto com limitado número de elementos.Exemplos:E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 }N = { x / x2 = 4 }
;
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CONJUNTO INFINITOÉ o conjunto com ilimitado número de elementos.Exemplos:R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par }CONJUNTO UNIVERSALÉ um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U
Exemplo:O universo ou conjunto universal
;
de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS.
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INCLUSÃOUm conjunto A está incluso em outro conjunto B, se e somente se, todo elemento de A for também elemento de B.
NOTAÇÃO : A BSe lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B.REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :
B A
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PROPRIEDADES:
I) Todo conjunto está incluido em si mesmo.
A AII) O conjunto vazio se considera incluido em qualquer conjunto. AIII) A está incluido em B ( ) equivale a dizer que B contém A ( )
A BB A
IV) Se A não está incluido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( )A B
V) Simbolicamente: A B x A x B
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CONJUNTOS COMPARÁVEISUm conjunto A é COMPARÁVEL com outro conjunto B se entre esses conjuntos existe uma relação de inclusão.
A é comparável com B se A U B = B U A
Exemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } e B = { 2; 4 }
1
2 34
5A
B
Observe que B está incluso em A, portanto, A e B são COMPARÁVEIS
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IGUALDADE DE CONJUNTOSDos conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos.Exemplo:A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolvendo a equacão de cada conjunto se obtém em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = B
Simbolicamente : A B (A B) (B A)
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CONJUNTOS DISTINTOSDois conjuntos são distintos quando não têm elementos comuns.
REPRESENTACÃO GRÁFICA :
A B
1
7
5 3
9
2
4
86
Como podemos observar os conjuntos A e B não têm elementos comuns, portanto são CONJUNTOS DISTINTOS
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CONJUNTO DE CONJUNTOSÉ um conjunto cujos elementos são conjuntos.Exemplo:F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} }Observe que os elementos do conjunto F também são conjuntos.{a} é um elemento do conjunto F então {a} F
É correto dizer que {b} F ? NÃO
Porque {b} é um elemento do conjunto F, o correto é {b} F
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CONJUNTO POTÊNCIAO conjunto potência de um conjunto A denotado por P(A) ou Pot(A) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.Exemplo: Seja A = { m; n; p }Os subconjuntos de A são:
{m}, {n}, {p}, {m;n}, {n;p},{m;p}, {m;n;p}, ΦEntão o conjunto potência de A é:
P(A) = { {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}; Φ }
QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO POTÊNCIA DE A ?
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Observe que o conjunto A tem 3 elementos e seu conjunto potencia ou seja P(A) tem 8 elementos.PROPRIEDADE:Dado um conjunto A cujo número de elementos é n, então o número de elementos de seu conjunto potência é 2n.Exemplo:Dado o conjunto B ={ x / x é um número par e5 < x < 15 }. Determinar o cardinal de P(B).
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Números Naturais (N) N = {1; 2; 3; 4; 5; ....}
Números Inteiros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2;....}
Números Racionais (Q) Q = {...; -2; -1; ; 0; ; ; 1; ; 2; ....}
Números Irracionais ( I ) I = {...; ;....}2; 3;Números Reais ( R )R = {...; -2; -1; 0; 1; ; 2; 3; ....}2; 3
12 1
512
43
Números Complexos ( C )C = {...; -2; ; 0; 1; ; 2 + 3i; 3; ....}2; 31
2
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NZ
Q I
RC
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EXEMPLOS:Expressar por extensão os seguintes conjuntos:
A ) 2P x N /x 9 0
B )C )
D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0
E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0
2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0 4T 3
B 2
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76
556
A B
O conjunto “A unão B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos.
A B
A B x /x A x B
Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
873
1
4
2
A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9
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REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA UNÃO DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis
Se A e B são conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
B
AUB AUB
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PROPRIEDADES DA UNIÃO DE CONJUNTOS
1. A U A = A2. A U B = B U A3. A U Φ = A4. A U U = U5. (AUB)UC = AU(BUC)6. Se A U B = Φ A = Φ e B = Φ
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556
A B
O conjunto “A intersecção B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B.
A B
A B x /x A x B
Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8731
4
2
A B 5;6;7
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REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis
Se A e B são conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
A B A B = B
B
A B = Φ
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PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
1. A A = A2. A B = B A3. A Φ = Φ4. A U = A5. (A B) C =A (B C)6. A U (B C) =(A U B) (A U C) A (B U C) =(A B) U (A C)
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556
A B
O conjunto “A menos B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
A B
A B x /x A x B
Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8731
4
2
A B 1;2;3;4
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556
A B
O conjunto “B menos A” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a A.
B A
B A x /x B x A
Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8731
4
2
B A 8;9
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REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis
Se A e B são conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
A - B A - B
B
A – B = A
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A B
O conjunto “A diferença simétrica B ” que se representa é el conjunto formado por todos os elementos que pertencem a (A - B) ou (B - A).A B
A B x /x (A B) x (B A)
Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8731
4
2
A B 1;2;3;4 8;9
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Também é correto afirmar que:A B (A B) (B A)
A B (A B) (A B)
A BA - B B - A
A B
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Dado um conjunto universo U e um conjunto A, se chama complemento de A ao conjunto formado por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto A.Notacão: A’ ou AC
Exemplo:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {1; 3; 5; 7; 9}e
Simbolicamente: A ' x /x U x A
A’ = U - A
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12 3
45
6
78
9
U AA
A’ = {2; 4; 6; 8}
PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO1. (A’)’ = A2. A U A’ = U3. A A’ = Φ
4. U’ = Φ5. Φ’ = U
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PROBLEMA 1PROBLEMA 2PROBLEMA 3PROBLEMA 4PROBLEMA 5FIM
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Dados os conjuntos: A = { 1; 4; 7; 10; ... ; 34} B = { 2; 4; 6; ...; 26} C = { 3; 7; 11; 15; ...; 31}a) Expressar B e C por entendimentob) Calcular: n(B) + n(A)c) Achar: A B , C – A
SOLUÇÃO
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Os elementos de A são:Primeiro analisemos cada conjunto
1 3x1
tt4tt1 3x2
tt7tt1 3x3
tt tt101 3x11
tt3 tt4
1 3x0
tt1tt
...
A = { 1+3n / nZ / 0 n 11}Os elementos de B são:
2x2
tt4tt2x3
tt6tt 2x4
tt8tt 2x13
tt tt262x1
tt2tt ...
B = { 2n / nZ / 1 n 13} n(B) = 13
n(A) = 12
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Os elementos de C são:3 4x1
tt7tt3 4x2
tt tt113 4x3
tt tt153 4x7
tt tt31
3 4x0
tt3tt
...
C = { 3 + 4n / nZ / 0 n 7 }
a) Expressar B e C por entendimentoB = { 2n / nZ / 1 n 18}C = { 3+4n / nZ / 0 n 7 }
b) Calcular: n(B) + n(A)
n(C) = 8
n(B) + n(A) = 13 +12 = 25
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A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}C = {3;7;11;15;19;23;27;31}
c) Achar: A B , C – A
A B = { 4; 10; 16; 22 }
C – A = { 3; 11; 15; 23; 27 }
Sabemos que A B é formado pelos elementos comuns de A e B, então:
Sabemos que C - A é formado pelos elementos de C que não pertencem a A, então:
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Se : G = { 1; {3}; 5; {7;10}; 11 }Determinar se é verdadeiro ou falso:a) Φ Gb) {3} Gc) {{7}; 10} Gd) {{3}; 1} Ge) {1; 5; 11} G
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Observe que os elementos de A são:1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11
e VERDADERO
Então:é VERDADEIRO porque Φ estáincluso em todos os conjuntos é VERDADEIRO porque {3}é um elemento de G
é FALSO porque {{7};10} não é elemento de G
é FALSO
a) Φ G ....
b) {3} G ...
c) {{7}; 10} G ...
d) {{3}; 1} G ...e) {1; 5; 11} G ...
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Dados os conjuntos:P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }M = { x/4N / -4 < x < 21 } T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }a) Calcular: M - ( T – P )b) Calcular: Pot(M – T )c) Calcular: (M U T) – P
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P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 } Analisemos cada conjunto:
2x2 + 5x – 3 = 02x – 1
+ 3x(2x-1)(x+3)=0
2x - 1 = 0 x = 1/2x + 3 = 0 x = -3
Observe que xZ , então: P = { -3 }
M = { x/4N / -4 < x < 21 }Como x/4 N então os valores de x são: 4; 8; 12; 16; 20 porém os elementos de M se obtêm dividindo x entre 4, portanto :
M = {1; 2; 3; 4; 5 }
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T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }Igualamos cada fator a zero e calculamos os valores de x
x – 4 = 0 x = 4x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = 3 ou x = -3
Portanto: T = { -3; 3; 4 }
a) Calcular: M - ( T – P )T – P = { -3; 3; 4 } - { -3 } T – P = {3; 4 }M - (T – P)= {1; 2 ;3 ;4 ;5 } - {3; 4 }M - (T – P)= {1; 2; 5 }
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b) Calcular: Pot( M – T )M – T = {1; 2; 3; 4; 5 } - { -3; 3; 4 } M – T = {1; 2; 5 }
Pot( M – T ) = { {1}; {2}; {5};
{1;2};{1;5};{1;2;5};
{2;5};Φ }
c) Calcular: (M U T) – PM U T = {1; 2; 3; 4; 5 } U { -3; 3; 4 } M U T = { -3; 1 ; 2 ; 3; 4; 5 }(M U T) – P = { -3; 1; 2; 3; 4; 5 } - { -3 }
(M U T) – P = {1; 2; 3; 4; 5 }
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Expressar a região sombreada em termos de operações entre os conjuntos A, B e C.
A B
C
A
B
C
SOLUÇÃO
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A B
C
A B
CA
B
CA
B
C
[(AB) – C]
[(BC) – A]
[(AC) – B]
U U
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A B
A
B
C
Observe como se obtém a região sombreada
Toda a zona de amarelo é AUBA zona de verde é ABEntão, restando se obtém a zona que se vê na figura: (AUB) - (AB)
C
Finalmente, lhe agregamos C e se obtém:[ (AUB) - (AB) ] U C ( A B ) U C=
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Segundo as preferências de 420 pessoas que assistem os canais A, B ou C se observa que 180 assistem o canal A, e 240 assistem o canal B e 150 não assistem o canal C, os que assistem pelo menos 2 canais são 230. Quantos assistem os três canais?
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O universo é: 420Assistem A: 180 Assistem B: 240Não assistem C: 150Então, se assistem o canal C: 420 – 150 = 270
A B
C
a
d
(I) a + e + d + x = 180be
xf
(II) b + e + f + x = 240
c
(III) d + c + f + x = 270Fato: Assistem por lo menos dos canales 230, entonces:
(IV) d + e + f + x = 230
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(I) a + e + d + x = 180 (II) b + e + f + x = 240(III) d + c + f + x = 270
Somamos as equações (I), (II) e (III)
Sabemos que: a + b + c + d + e + f + x = 420230então: a + b + c = 190
a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690190 230
190 + 560 + x =690 x = 40
Isto significa que 40 pessoas assistem os tres canais