Introdução ao processamento de

dados e à estatística - parte 02

Ricardo José Lavitschka

Medidas de Dispersão

• Além das medidas de tendência central como a média aritmética e a mediana, há a necessidade de ferramentas para mensurar a “dispersão”.

• Estas medidas indicam se os valores estão relativamente separados ou próximos entre sí

Quão próximos estão os valores de um grupo de

dados?

(a) Pequena dispersão

(b) Grande dispersão

Dispersão: 4 medidas

•Intervalo•Desvio médio•Variância•Desvio padrão

Intervalo

• Medida mais simples de calcular

• Mensurado a partir da diferença dos valores extremos (o maior e o menor valor)

• Sua limitação reside no fato de levar em conta apenas os valores extremos

Exemplos:

• 1,5, 7, 13 13 – 1 = 12

• 14, 3, 17, 4, 8, 73, 36, 48 73 – 3 = 70

• 3,2; 4,7; 5,6; 2,1; 1,9; 10,3 10,3 – 1,9 = 8,4

Intervalo

Você pode expressar o intervalo como a diferença entre o maior e o menor número do grupo de dados, ou ainda pela identificação destes dois números.

Desvio médio absoluto (DMA)

• Mede o desvio médio dos valores em relação à média do grupo

• Todos os valores são considerados positivos para efeito de cálculo

Executando...

1. Calcule a média aritmética2. Determine a diferença entre a média

e cada valor (subtraia de cada número do conjunto de dados a média)

3. Verifique que a soma dos números resultantes seja 0.

4. Faça a “média aritmética” com os valores absolutos – você obterá assim o desvio médio absoluto (DMA).

Exercícios:1. Determine o desvio médio (DMA) para o

conjunto de valores: 1, 2, 3, 4, 5

2. Determine a média, a mediana e o desvio médio (DMA) para cada um dos conjuntos de dados:

a) 7; 9; 2; 1; 5; 4,5; 7,5; 6,2b) 1, 2, 10, 7, 7, 9, 8, 5, 2, 11c) 30, 2, 79, 50, 38, 17, 9 d) 0,011; 0,032; 0,027; 0,035; 0,042 e) 90, 87, 92, 81, 78, 85, 95, 80f) 42, 30, 27, 40, 25, 32, 33

Respostas• 1) 1,2

• 2)a) média = 5,275; mediana= 5,6; desvio médio =

2,15b) média= 6,20; mediana = 7; desvio médio = 2,96c) média = 32,142; mediana = 30; desvio médio =

20,163d) média = 0,0294; mediana = 0,032; desvio médio

= 0,0083e) média= 86; mediana = 86; desvio médio = 5f) média= 32,714; mediana= 32; desvio médio =

4,816

Variância

O cálculo da variância de uma amostra é similar ao do desvio médio absoluto (DMA), com as seguintes diferenças:

1. Os desvios são elevados o quadrado antes da soma

2. A média é obtida dividindo-se por n – 1, em lugar de n.

(se forem dados amostrais, pois se os mesmos se referirem a toda uma população se recomenda o uso de n )

Qual a variância do conjunto 2, 4, 6, 8, 10 ?

Conjunto

Média arit.

x²

2 6 -4 16

4 6 -2 4

6 6 0 0

8 6 2 4

10 6 4 16

Somas

0 40

Se dado amostral = 40/5-1 = 10

Se representam toda população =

40/5 = 8

Variância, executando...

1. Calcular a média2. Subtrair a média de cada valor do

conjunto3. Elevar o quadrado de cada desvio4. Somar os quadrados dos desvios5. Dividir a soma por (n -1 ) se se trata

de dados amostrais, ou simplesmente por n se os dados representam todos os valores de uma população.

Desvio Padrão

• É simplesmente a raiz quadrada positiva da variância. Assim se a variância é 81, o desvio padrão é 9; se a variância é 10, o desvio padrão é 3,16.

Exercícios:1) Calcule a média, a variância e o desvio padrão

para o conjunto de dados abaixo, supondo que eles representem: (a) uma amostra; (b) a população.

83, 92, 100, 57, 85, 88, 84, 82, 94, 93, 91, 952) Calcule o intervalo, o desvio médio absoluto

(DMA) e a variância do grupo de dados relativos a uma amostra quaisquer:

26.5, 27.5, 25.5, 26, 27, 23.4; 25.1, 26.2; 26.8

Respostas

1) (a) : Média = 87; variância = 119,4545; desvio padrão = 10,92 (b) : Média = 87; variância = 109,5378; desvio padrão = 10,46

2) Intervalo = 23.4 à 27.5, ou, 4.1 DMA = 0,8888 Desvio padrão = 1,22 Variância = 1,5

Outras medidas...

Outra medida comumente utilizada é a proporção, que é a fração, ou

percentagens de itens de determinado grupo ou classe.

Por exemplo, se num grupo de 40 pessoas 10 têm casa própria, dizemos que a

proporção dos que a têm é de 10/40 = 0,25 ou 25%.

Converta em fração ou percentagem...

• 5 crianças em 25• 7 pacientes 9• 3 vermelhos, 4 azuis e 5

verdes em 12 dados.

1) Usando a figura, calcule as seguintes frações ou

percentagens:

a) Dias de sol em junho

b) Dias parcialmente nublados em junho

c) Domingos de sol

d) Dias de semana chuvosos

e) Dias com neve

2) Com os dados de obtidos, e adequando alguns dos itens para um cálculo de

freqüência mensal, proponha um simples gráfico (de

colunas) de distribuição dos eventos citados