introducao derivadas

∆𝑦

∆𝑥

x1 x2

y = y2 – y1

x

y

x = x2 – x1

y1

y2P2

P1

∆𝑦

∆𝑥=𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1)

𝑥2 − 𝑥1

A INCLINAÇÃO DA SECANTE A UMA CURVA

A inclinação desta secante é dada por

Tomemos a curva definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Tomemos uma reta secante 𝑃1𝑃2

O PROBLEMA DA TANGENTE

P

Q

∆𝑥∆𝑥

∆𝑥∆𝑥

y

xx0+ ∆xx0

Quando Q se aproxima de Pa secante 𝑷𝑸 se aproximada tangente em P .

Como calcular a inclinação da reta tangente a curva y = f(x) em um ponto

qualquer 𝑃(𝑥0, 𝑓 𝑥0 ) ?

•

•

•

Vamos iniciar com uma secante 𝑃𝑄, passando pelos ponto 𝑃(𝑥0, 𝑓 𝑥0 )e Q(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 ) ;

•f (x0)

Em seguida vamos fazer o ∆𝑥 tenderpara zero, o que equivale aaproximar o ponto Q de P .

•f (x0+ ∆x)

x

y

x = 1

⦁y = 1

Exemplo : Determinar a inclinação da reta tangente a função f(x) = x2 no ponto P (1,1) .

Os cálculos sugerem que quando x tende a

zero, teremos∆𝑦

∆𝑥tendendo a 2.

O PROBLEMA DA TANGENTE - EXEMPLO

𝒙 ∆𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒚 𝒎 =∆𝒚

∆𝒙

- - -1 1

2 1 3 34

1,5 0,5 1,25 2,52,25

1,1 0,1 0,21 2,11,21

1,05 0,05 0,1025 2,051,1025

1,01 0,01 0,0201 2,011,0201

1,001 0,001 0,0020 2,0011,0020

m 𝑥0 = lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥0+𝑥 −𝑓(𝑥

0)

∆𝑥

Matematicamente este fato se exprime escrevendo :

P

Q

∆𝑥2∆𝑥1

∆𝑥3

∆𝑥4

y

xx0+ ∆xx0

m 𝑥0 = lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥

PROBLEMA DA TANGENTE E O CONCEITO DE LIMITE

O PROBLEMA DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA

Da Física sabemos que a velocidademédia de um móvel em um intervalo detempo ∆t é dada por

𝑣𝑚 =∆𝑠

∆𝑡

𝑣𝑚 =∆𝑠

∆𝑡

tt t + t

s

s

t

s (t)

s (t+t)P2

P1

Pergunta: Como podemos calcular avelocidade de um móvel em um instanteespecífico (𝑡0) ?

Logo, se tomarmos o gráfico da posiçãodo móvel em função do tempo 𝑠(𝑡), avelocidade média equivale a inclinação dasecante a este gráfico.

Por analogia ao que foi visto anteriormente, a velocidadeinstantânea será definida como a inclinação da tangente aográfico de 𝑠(𝑡) no instante 𝑡0 .

t0 t0 + t

Exemplo : Após observações experimentais cuidadosas, Galileu descobriu que a distânciapercorrida por qualquer objeto em queda livre é dada pela função s(t) = 4,9 t2 .

t0 s(t) = 4,9t2 t s v (5)

5 122,5 - -

6 176,4 1 53,9 53,9

5,1 127,449 0,1 4,949 49,49

5,05 124,962 0,05 2,462 49,245

5,01 122,9905 0,01 0,49049 49,049

5,001 122,5490 0,001 0,049005 49,0049

O PROBLEMA DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA

Podemos notar que, a medida quediminuímos o intervalo ∆t, a velocidade médiase aproxima do valor 49 m/s. Diz-se entãoque a velocidade instantânea do objeto noinstante t = 5s é v(5) = 49 m/s.

Define-se a velocidadeinstantânea como o limite parao qual tende a velocidademedia quando t → 0.

Pode-se calcular a velocidade de um corpo em queda livre no instante t = 5s poraproximações sucessivas.

A DEFINIÇÃO FORMAL DE DERIVADA

𝑓´(𝑥0) = lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥0 + 𝑥 − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

A Derivada de uma função 𝒚 = 𝒇(𝒙) em um ponto x = x0 é indicada por𝒇´(𝒙𝟎) e definida pela expressão :

Como vimos, essa expressão fornece a inclinação ou coeficiente angular dareta tangente ao gráfico da função no ponto 𝑃(𝑥0, 𝑓 𝑥0 ) .

O matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz, foi o criador da, hojeconsagrada, notação:

𝑦´ = 𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑓

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥) ∙ 𝑑𝑥ou

DERIVADA E TAXA DE VARIAÇÃO

Suponhamos que 𝑦 é uma quantidade que pode ser expressa como função da variável𝑥, ou seja, 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Se adotarmos o mesmoprocedimento que usamos noscasos da tangente e da velocidade,podemos definir a taxa instantâneade variação da 𝑓 em um ponto 𝑥0 ,como:

𝑓´ 𝑥0 = lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

x0 x0+∆x

•

•

f (x0)

f (x0+∆x)

y = f (x0 + x) – f (x0)

x

f ´ 𝑥0 = lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥

Então o quociente

∆𝑦

∆𝑥=𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

mede a taxa média de variação de 𝒚 com relação a 𝒙, no intervalo [𝑥, 𝑥 + ∆𝑥]

EQUIVALÊNCIA DE CONCEITOS

Concluímos então que há uma equivalência entre os três conceitos

DERIVADA da função 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥0

INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTEao gráfico da função no ponto 𝑥0

TAXA DE VARIAÇÃOda função no ponto 𝑥0

A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO LINEAR

Tomemos uma função f : ℝ ⟶ ℝ , do tipo f(x) = ax + b

∆𝑦

∆𝑥

xx x+x

y

y

xf (x)

f (x+x) P2

P1

Pela definição de derivada temos :

CÁLCULO DA DERIVADA USANDO-SE A DEFINIÇÃO

𝑓´ 𝑥 = lim∆𝑥→0

(𝑎 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑏) − (𝑎𝑥 + 𝑏)

∆𝑥


𝑎𝑥 + 𝑎∆𝑥 + 𝑏 − 𝑎𝑥 − 𝑏

∆𝑥


𝑎∆𝑥

∆𝑥= 𝑎

Vemos então que a função linear tem derivada constante, o que faz todo sentido,já que toda reta tem inclinação constante .

A DERIVADA DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Tomemos uma função f : ℝ ⟶ ℝ , do tipo f (x) = ax2+ bx + c

Pela definição de derivada temos :

y

x x+ ∆x

•

•x

𝑚

x

y

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥 + ∆𝑥)


𝑎 𝑥 + ∆𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑐 − 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐

∆𝑥


𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥∆𝑥 + 𝑎∆𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑏∆𝑥 + 𝑐 − 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐

∆𝑥


2𝑎𝑥∆𝑥 + 𝑎∆𝑥2 + 𝑏∆𝑥

∆𝑥


2𝑎𝑥 + 𝑎∆𝑥 + 𝑏 = 2𝑎𝑥 + 𝑏

Vemos então que a função quadrática tem como derivada uma função linear

Função Derivada

f(x) = k f ’(x) = 0

f(x) = x f ’(x) = 1

f(x) = xn f ’(x) = nxn-1

f(x) = 1

𝑥f ’(x) = −

1

𝑥2

f(x) = 𝑥 f´(x) = 1

2 𝑥

f(x) = ex f ’(x) = ex

f(x) = ln x f ’(x) = 1

𝑥

f(x) = sen(x) f ’(x) = cos(x)

f(x) = cos(x) f ’(x) = -sen(x)

f(x) = tg(x) f ’(x) = sec2(x)

f(x) = sec(x) f ’(x) = tg(x).sec(x)

TABELA DE DERIVADAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES

Na tabela ao lado apresentamos asderivadas de algumas funçõeselementares. Essas derivadas podemser calculadas utilizando-se a definiçãode derivada e o cálculo de limites. Odetalhe dos cálculos destas derivadasestá fora do escopo destaapresentação, porém pode serencontrado em qualquer bom livro decálculo.

Para calcular derivadas de funções maiscomplexas vamos usar as derivadaselementares da tabela ao lado ealgumas regras que nos permitirãocombiná-las.

Regra da Soma

𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓’(𝑥) = 𝑢’(𝑥) + 𝑣’(𝑥)

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Regra da Constante

𝑆𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑢(𝑥) 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓’(𝑥) = 𝑘𝑢’(𝑥)

Regra do Produto

𝑆𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓’(𝑥) = 𝑢’𝑣 + 𝑣’𝑢

Regra do Quociente

𝑆𝑒 𝑓 𝑥 =𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥)𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓′ 𝑥 =

𝒖′𝒗 − 𝒗′𝒖

𝒗𝟐

EXEMPLOS DE CÁLCULOS DE DERIVADAS

a. 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟑𝒍𝒏𝒙

b. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐𝒆𝒙

c. 𝒇 𝒙 =𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝐜𝐨𝐬 𝒙

d. 𝒇 𝒙 =𝟏

𝒙𝟐∙ 𝒍𝒏𝒙

𝑓´ 𝑥 = 2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3 ∙1

𝑥= 2. cos 𝑥 +

3

𝑥

𝑓´ 𝑥 = 𝑢´. 𝑣 + 𝑢. 𝑣´

𝑓´ 𝑥 = 2𝑥. 𝑒𝑥 + 𝑥2. 𝑒𝑥

𝑓´ 𝑥 = 𝑒𝑥(2𝑥 + 𝑥2)

𝑓´(𝑥) =𝑢´𝑣 − 𝑢𝑣´

𝑣2=𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥=

1

𝑐𝑜𝑠2𝑥= 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Ou, lembrando que 𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos 𝑥= 𝑡𝑔𝑥

𝑓´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

𝑓´ 𝑥 = 𝑢´. 𝑣 + 𝑢. 𝑣´

𝑓´ 𝑥 = −2

𝑥3∙ 𝑙𝑛𝑥 +

1

𝑥2∙1

𝑥

𝑓´ 𝑥 =1 − 2𝑙𝑛𝑥

𝑥3

EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE EM UM PONTO

𝑓´ 𝑥0 =𝑦−𝑦

0

𝑥−𝑥0

⇒

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓´(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0) ⇒

Se usarmos a notação 𝑦0=𝑓(𝑥0), então,para qualquer ponto P(𝑥, 𝑦 ), sobre areta, podemos escrever:

x

y

𝑥0

𝑦0 = 𝑓(𝑥0)

𝑥

P0 (𝑥0, 𝑦0)

P(𝑥, 𝑦)•𝑦

𝑦 = 𝑓´ 𝑥0 ∙ 𝑥 + 𝑦0− 𝑓´(𝑥0) ∙ 𝑥0

a b

Vamos determinar a equação da reta tangenteao gráfico da 𝑓(𝑥), no ponto P0 = (𝑥0, 𝑓(𝑥0))

Equação da Reta Tangente

Exemplos: Determine as retas tangentes as funções a seguir nos pontos indicados.

a) f(x) = x2 - 4x + 4 , para 𝑥0 = 0 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥, para 𝑥0 = 1

EXEMPLOS

𝑓´ 𝑥 = 2𝑥 − 4 ⇒ 𝑓´ 𝑥0 = −4

Usando a fórmula geral da reta tangente

𝑓´ 𝑥0 =𝑦 − 𝑦0𝑥 − 𝑥0

⇒

−4 =𝑦 − 4

𝑥 − 0

𝑦0 = 𝑓 𝑥0 = 4

𝑦 − 4 = −4𝑥 ⇒ 𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝟒

𝑓´ 𝑥 =1

2 𝑥⇒ 𝑓´ 𝑥0 =

1

2

Usando a fórmula geral da reta tangente

𝑓´ 𝑥0 =𝑦 − 𝑦0𝑥 − 𝑥0

⇒

1

2=𝑦 − 1

𝑥 − 1

𝑦0 = 𝑓 𝑥0 = 1

𝑦 − 1 =1

2𝑥 −

1

2⇒ 𝒚 =

𝟏

𝟐𝒙 +

𝟏

𝟐

REGRA DA CADEIA

Uma Função Composta é aquela que resulta da aplicação de uma função sobreoutra função. Por exemplo, se 𝑦 é o resultado da aplicação da função 𝑓 sobre afunção 𝑔, então escrevemos

𝒚 = 𝒇(𝒈 𝒙 )

Exemplos :

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑒 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑥2 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥2

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑒 𝑔 𝑥 = 2𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛 2𝑥

Regra da Cadeia

Dada a função composta 𝑓 𝑔 𝑥 𝑒𝑛𝑡ã𝑜𝑑𝑓

𝑑𝑥= 𝑓′(𝑔 𝑥 ) ∙ 𝑔′(𝑥)

Na notação de Leibniz, se fizermos 𝑢 = 𝑔(𝑥)

𝑑𝑓

𝑑𝑥=𝑑𝑓

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥

EXEMPLOS DE REGRA DA CADEIA

Calcular a derivada das seguintes funções

a. 𝑦 = ln(3𝑥2 − 4)

b. 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥

c. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑒𝑥)

d. 𝑦 = 𝑒1

𝑥

𝑢 = 3𝑥2 − 4

𝑦´ =𝑑𝑓

𝑑𝑥=𝑑𝑓

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥=1

𝑢∙ 6𝑥

𝑦´ =6𝑥

3𝑥2 − 4

𝑢 = 𝑥2 − 3𝑥

𝑦´ =𝑑𝑓

𝑑𝑥=𝑑𝑓

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥=

1

2 𝑢∙ 2𝑥 − 3

𝑦´ =2𝑥 − 3

2 𝑥2 − 3𝑥

𝑢 =1

𝑥

𝑦´ =𝑑𝑓

𝑑𝑥=𝑑𝑓

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑒𝑢 ∙ −

1

𝑥2

𝑦´ = −𝑒1𝑥

𝑥2

𝑢 = 𝑒𝑥

𝑦´ =𝑑𝑓

𝑑𝑥=𝑑𝑓

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥= cos(𝑢) ∙ 𝑒𝑥

𝑦´ = cos 𝑒𝑥 . 𝑒𝑥

TAXAS RELACIONADAS

Em alguns problemas da engenharia, quando se tem duas grandezas relacionadasentre si, busca-se determinar a taxa de variação de uma delas em função da taxade variação da outra. Nestes casos a Regra da Cadeia é uma ferramenta muito útil.

Exemplo 1 : Estamos bombeando líquido para dentro de um balão esférico devolume variável. Conforme o líquido é bombeado, o raio do balão cresce a umataxa de 0,5m/min. Pede-se calcular a taxa de variação do volume do balão, noinstante em que o raio é igual a 3m.

Sabemos que e o Volume e o raio do balão estão relacionados pela expressão

𝑉 =4

3𝜋𝑟3

Pela regra da cadeia temos : 𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑𝑉

𝑑𝑟∙𝑑𝑟

𝑑𝑡

mas 𝑑𝑉

𝑑𝑟= 4π𝑟2 e a taxa de variação do raio é dada

𝑑𝑟

𝑑𝑡= 0,5 𝑚/𝑚𝑖𝑛

Quando 𝑟 = 3𝑚, temos 𝑑𝑉

𝑑𝑟= 4π32 = 36π

Assim, a taxa de variação do volume será : 𝑑𝑉

𝑑𝑡= 36𝜋. 0,5 = 18𝜋 𝑚3/𝑚𝑖𝑛

TAXAS RELACIONADAS

Exemplo 2 : Uma escada com 10m de comprimento está encostada em uma paredevertical, quando começa a escorregar. A base da escada se afasta da parede a umataxa de 1m/s. Com que velocidade a extremidade superior da escada escorrega parabaixo, no instante em que a base da escada está a 6m da parede.

𝑥

𝑦

Se denominarmos 𝑥 distância do pé da escada até a parede e 𝑦 adistância de sua extremidade superior até o chão, podemos escrevera seguinte relação

𝑥2 + 𝑦2 = 100

Se derivarmos a expressão acima, considerando que 𝑥 e 𝑦 sãofunções do tempo (𝑡) e usando a regra da cadeia, temos :

2𝑥.𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 2𝑦.

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0

Podemos assim, expressar 𝑑𝑦

𝑑𝑡em função de

𝑑𝑥

𝑑𝑡, obtendo :

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −

𝑥

𝑦∙𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡é dado e igual a 1m/s

Além disso, no instante em que 𝑥 = 6𝑚

podemos determinar 𝑦 = 100 − 36 = 8𝑚

Assim, finalmente podemos escrever :

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −

6

8∙ 1 = −0,75m/s

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

A forma mais natural de se definir uma função é expressar uma variávelexplicitamente em função da outra (𝑦 = 𝑓(𝑥)). Exemplos:

𝑦 = 𝑥3 − 1 , 𝑦 = ln(𝑥 + 1) , 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

No entanto, algumas funções são definidas implicitamente por expressões querelacionam as duas variáveis. Exemplos :

𝑥2 + 𝑦2 = 16 , 𝑦3 − 𝑥2 = 𝑥𝑦

No primeiro exemplo, 𝑥2 + 𝑦2 = 16 ⇒ 𝑦 = ± 16 − 𝑥2 . Logo a expressãodetermina duas funções, cujos gráficos são respectivamente as metades superior einferior de um circunferência, de raio 4.

𝑓(𝑥) = 16 − 𝑥2𝑦

𝑥4-4g 𝑥 = − 16 − 𝑥2

𝑦

𝑥

4-4


No segundo exemplo, no entanto, não é tão simples obter uma expressão paraexplicitar 𝑦 em função de 𝑥.

Mas mesmo assim, a expressão 𝑦3 − 𝑥2 = 𝑥𝑦 determina a curva mostrada na figuraabaixo. Isso quer dizer que todos os pontos (𝑥, 𝑦) sobre a curva satisfazem aexpressão acima.

Quando dizemos que 𝑓(𝑥) é uma funçãodefinida implicitamente pela expressão 𝑦3 −𝑥2 = 𝑥𝑦 , isso significa que a igualdade

[𝑓 𝑥 ]3−𝑥2 = 𝑥. 𝑓(𝑥)

é verdadeira para todos os valores de 𝑥 nodomínio da 𝑓 .𝑥

𝑦

Nesses casos, para encontramos a expressão da derivada 𝑦´ =𝑑𝑦

𝑑𝑥, sem precisar

explicitar 𝑦 em função de 𝑥, temos que derivar ambos os lados da equação usando,se necessário, a Regra da Cadeia.

𝑥

𝑦


No exemplo 2 a função é dada implicitamente por 𝑦3 − 𝑥2 = 𝑥𝑦

Derivando ambos os lados temos: 3𝑦2𝑦´ − 2𝑥 = 𝑦 + 𝑥𝑦´

Podemos agora explicitar 𝑦´ em função de 𝑥 e 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦´ =

𝑦 + 2𝑥

3𝑦2 − 𝑥

Essa expressão fornece a derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) definida implicitamente por𝑦3 − 𝑥2 = 𝑥𝑦 . Assim, em cada ponto 𝑥, 𝑦 do gráfico da 𝑓, a inclinação da

tangente será calculada pela expressão 𝑦´ =𝑦+2𝑥

3𝑦2−𝑥.

a. 𝑃 2,2 ⇒ 𝑦´ =2+4

12−2=

3

5•(2,2)(-4,2)

b. 𝑃 −4,2 ⇒ 𝑦´ =2−8

12+4= −

3

8

•

Exemplos :

DERIVADA E APROXIMAÇÕES LINEARES

𝑓 𝑥0+ ∆𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓´ 𝑥0 ∙ ∆𝑥 + 𝑟(𝑥0)

Pode-se utilizar o conceito de derivada para encontrar uma aproximação linear dafunção 𝑓 nas proximidades de um ponto 𝑥0 .

x

y

𝑓´(𝑥0) ∙ ∆𝑥

𝑟(𝑥0)

𝑥0

𝑓(𝑥0+ ∆𝑥)

𝑓(𝑥0)

𝑥0 + ∆𝑥

∆𝑥

onde 𝑟(𝑥0) é o erro que se comete naaproximação.

Notemos que a derivabilidade da 𝑓 noponto 𝑥0 equivale a dizer que o resto 𝑟(𝑥0)torna-se muito pequeno, quando ∆𝑥 → 0 .

𝑓 𝑥0+ ∆𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓´ 𝑥0 ∙ ∆𝑥

Observando a figura, vemos que na verdade:

A ideia é que para valores pequenos de ∆𝑥 a reta tangente se aproxima bastante da função. Assim, pode-se escrever :

𝑇(𝑥)

𝑥

APLICAÇÃO DE APROXIMAÇÕES LINEARES

A temperatura ao longo de uma barra metálica linear em função do comprimento (𝑥)

é dada pela função 𝑇 𝑥 = 900𝑥 . Usando a aproximação linear, podemos estimara temperatura nos pontos 𝑥 = 3,03 e 𝑥 = 1,95

Primeiramente temos que derivar a função

𝑇 𝑥 = (900𝑥) 1 2 ⇒ 𝑇´ 𝑥 =900

2 900𝑥=

450

900𝑥

Usando a aproximação linear teremos:

𝑇 3,03 ≈ 𝑇 3 + 𝑇´ 3 . (3,03 − 3)

mas 𝑇´ 3 =450

2700= 8,66 e 𝑇 3 = 2700 = 51,96 .

Assim𝑇 3,03 ≈ 51,96 + 8,66. 0,03 = 52.22 0𝐶

Da mesma forma : 𝑇 1,95 ≈ 𝑇 2 + 𝑇´ 2 . (1,95 − 2)

mas 𝑇´ 2 =450

1800= 10,61 e 𝑇 2 = 1800 = 42,43 . Assim

𝑇 1,95 ≈ 42,43 + 10,61. (−0,05) = 41,90 0𝐶

∆𝑥

𝑇´(𝑥0) ∙ ∆𝑥

𝑥0

•𝑇(𝑥0)

APLICAÇÕES A FÍSICA

Ou seja, para ângulos pequenos,podemos usar a aproximação

𝒔𝒆𝒏 𝜽 ≈ 𝜽

Um caso de aplicação da aproximação linear muito utilizado na Física é o da funçãoseno. Esta aproximação é utilizada tanto na descrição do movimento de umpêndulo, quando mede-se o deslocamento pelo ângulo que o pêndulo faz com avertical, quanto para o cálculos de lentes, quando estuda-se o comportamento dosraios de luz com ângulos de incidência muito pequenos.

Como a derivada da função seno é a função cosseno, para ângulos próximos a zero aaproximação linear da função seno fica :

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 0 + cos 0 ∙ (𝜃 − 0) = 0 + 1 ∙ 𝜃 = 𝜃

O gráfico ao lado mostra as funções𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 e 𝑦 = 𝜃. Como se podenotar, para valores próximos a origemas funções são quase coincidentes.

𝜃

0,2

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,4

0,6

0,8

1,0

Se 𝑓 é derivável em 𝑥0 . Define-se a diferencial da 𝑓 , neste ponto por :

𝑑𝑓 𝑥=𝑥0= 𝑓´(𝑥0) ∙ 𝑑𝑥

A DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO

Se a 𝑓 é derivável em todo seu domínio,então pode-se definir sua diferencial (𝒅𝒇) ,que em cada ponto do domínio serádefinida por

𝑑𝑓 = 𝑓´(𝑥) ∙ 𝑑𝑥

Note-se que o valor específico de 𝑑𝑓 em umdado ponto dependerá tanto do próprio 𝑥quanto de 𝑑𝑥.

Geometricamente, é fácil verificar que adiferencial de 𝑓 em um ponto 𝑥0representa a variação da aproximaçãolinear da função naquele ponto.

x

y

𝒅𝒇 = 𝒇´(𝒙𝟎) ∙ ∆𝒙

𝑥0

𝑓(𝑥0+ ∆𝑥)

𝑓(𝑥0)

𝑥0 + ∆𝑥

∆𝑥

AS FUNÇÕES DERIVADA E SEGUNDA DERIVADA

A Segunda Derivada:

Sendo 𝑓´(𝑥) uma função, ela pode ter sua própria derivada, neste caso essa novafunção é denominada segunda derivada da 𝑓, nota-se 𝒇´´(𝒙), que nada mais é do quea função derivada de 𝑓´(𝑥).

A Função Derivada:

Se tomarmos o conjunto de todos os pontos onde existe a derivada da função 𝑓, ouseja 𝐷 = 𝑥 𝑓´ 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒} , então podemos definir uma nova função que associa acada ponto 𝑥 ∈ 𝐷 o valor 𝒇´(𝒙). A função definida dessa forma é denominada afunção derivada da f.

Na notação de Leibniz, escreve-se :

𝑓´´ 𝑥 =𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑓

𝑑𝑥=𝑑2𝑓

𝑑𝑥2

AS DERIVADAS E O COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES

O que 𝒇´ nos diz sobre o comportamento da 𝒇 ?

Como já vimos, o valor da derivada em cada ponto representa a inclinação datangente ao gráfico da função naquele ponto. Logo, podemos concluir que o sinal daderivada mostra se a função é crescente ou decrescente.

• Se 𝒇´(𝒙) > 𝟎 em um intervalo, então 𝒇(𝒙) é crescente nesse intervalo

• Se 𝒇´ 𝒙 < 𝟎 em um intervalo, então 𝒇(𝒙) é decrescente nesse intervalo

Observando a figura ao lado, vemos que entre ospontos A e B temos 𝑓´(𝑥) > 0consequentemente a função 𝑓 é crescente. Jáentre B e C temos 𝑓´(𝑥) < 0 , logo 𝑓 édecrescente. Entre C e D 𝑓´(𝑥) > 0 e a funçãovolta a ser crescente.

O QUE OCORRE NOS PONTOS ONDE 𝒇´(𝒙) = 𝟎 ?

B•

•C

A

D

•

•

𝑥

𝑦

DERIVADAS E EXTREMOS DE FUNÇÕES

Observando a figura ao lado, vemos que, se temosum ponto do domínio da 𝑓 no qual a funçãoatinge um valor mínimo ou máximo local, entãonesse ponto a tangente ao gráfico é horizontal, oque significa que necessariamente 𝒇´(𝒙) = 𝟎.

Esta característica fornece um critério que permiteprocurar os pontos onde a função pode termáximos ou mínimos. Chamados pontos críticos.

Mas cuidado, pois a condição 𝑓´(𝑥0) = 0 é uma condição necessária, mas nãosuficiente para se afirmar que 𝑥0 é um ponto extremo da função. Tomemos, porexemplo, a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3.

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)

No ponto 𝑥 = 0 o valor da derivada é zero, porémeste não é um ponto de mínimo nem de máximoda função .

𝑥

𝑦

𝑦 = 𝑥3

Note que embora 𝑓´(0) = 0, o sinal da derivadanão muda em 𝑥 = 0. Ou seja, a função, que eracrescente para 𝑥 < 0 , assim permanece paravalores de 𝑥 > 0.

AS DERIVADAS E O EXTREMOS DAS FUNÇÕES

Critério para identificar pontos de mínimo (ou máximo)

1. Primeiramente identificamos os pontos críticos, ou seja, aqueles onde 𝒇´ = 𝟎;

Concluímos então que para se determinar um ponto de extremo local da função 𝑓devemos seguir o seguinte procedimento :

2. Para cada ponto crítico, digamos 𝑥 = 𝑐, devemos investigar o comportamentodo sinal da derivada. Ficamos então com três situações possíveis :

a. Se 𝑓´(𝑥) < 0 para 𝑥 < 𝑐 𝑒 𝑓´(𝑥) > 0 para 𝑥 > 𝑐 então𝑐 é um ponto de mínimo local;

b. Se 𝑓´(𝑥) > 0 para 𝑥 < 𝑐 e 𝑓´(𝑥) < 0 para 𝑥 > 𝑐 então𝑐 é um ponto de máximo local;

c. Se 𝑓´(𝑥) não mudou de sinal em 𝑥 = 𝑐, então𝑐 não é um ponto de extremo local de 𝑓.

1 𝑥

𝑦

𝑓(𝑥)

−1

3


Exemplo 1 : Determinar as coordenadas dos pontos extremos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 𝑥2− 𝑥 + 1

Para investigar os potenciais mínimos/máximos da função, vamos determinar os valores de 𝑥que tornam a derivada igual a zero.

𝑓´ 𝑥 = 3𝑥2 − 2𝑥 − 1

As raízes da derivada são : 𝑥 =2± 4+12

6=

2±4

6

Ou seja, os pontos críticos são 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1

3

Analisando o sinal da 𝑓´(𝑥), vemos que :

𝑓´(𝑥) > 0 para 𝑥 < −1

3

𝑓´ 𝑥 < 0 para −1

3< 𝑥 < 1

𝑓´(𝑥) > 0 para 𝑥 > 1

-1/3 é ponto de máximoe

1 é ponto de mínimo1

−1

3

𝑥

𝑦

𝑓´(𝑥)

+

_

+

Exemplo 2 : Em um circuito RLC de corrente alternada a expressão que fornece a

impedância (𝑍) como função da frequência do gerador é 𝑍 𝑓 = 𝑎𝑓 +𝑏

𝑓, onde 𝑎 e

𝑏 são constantes. Pede-se:

a) Determinar a expressão da frequência que fornece a impedância mínima ?

b) Se soubermos que a = 0.5 e b = 1, para que frequência temos que ajustar ogerador, se quisermos obter impedância mínima?

a) 𝑍´ 𝑓 = 𝑎 −𝑏

𝑓2= 0 ⇒ 𝑓𝑚𝑖𝑛 =

𝑏

𝑎

b) 𝑓𝑚𝑖𝑛 =𝑏

𝑎=

1

0,5= 2


CONCAVIDADE DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

x

y

•

•

•

•

•

y

x

Os gráficos acima mostram duas funções crescentes. Entretanto, a diferença entreas duas funções é que a primeira tem derivada crescente, enquanto que a segundatem derivada decrescente. Podemos notar este fato facilmente pelas inclinaçõesdas retas tangentes.

Expressa-se esse fato dizendo que o primeiro gráfico tem concavidade para cimaenquanto o segundo tem concavidade para baixo.

SEGUNDA DERIVADA E CONCAVIDADE

O que 𝒇´´ nos diz sobre o comportamento da 𝒇 ?

Como vimos anteriormente o sinal da derivada de uma função indica se a mesma écrescente ou decrescente. Logo, como 𝑓´´(𝑥) é a derivada de 𝑓´(𝑥), concluímos que:

• Se 𝒇´´ 𝒙 < 𝟎 em um intervalo, então 𝒇´(𝒙) é decrescente nesse intervalo, oque implica que o gráfico da f tem concavidade para baixo.

x

y

•

••

•

•

y

x

𝒇´´(𝒙) > 𝟎 𝒇´´ 𝒙 < 𝟎

• Se 𝒇´´(𝒙) > 𝟎 em um intervalo, então 𝒇´(𝒙) é crescente nesse intervalo, o que implica que o gráfico da f tem concavidade para cima.

SEGUNDA DERIVADA E PONTOS EXTREMOS

Podemos notar que a segunda derivada fornece também um critério para seidentificar os pontos de máximo e de mínimo de uma função.

Seja 𝑥0 um ponto crítico de uma função 𝑓. Ou seja, 𝑓´ 𝑥0 = 0 .

a. Se a segunda derivada 𝒇´´ 𝒙𝟎 > 𝟎 ,então 𝑥0 é um ponto de mínimo , pois aconcavidade do gráfico da função em 𝑥0é para cima.

Então temos duas situações possíveis:

b. Se a segunda derivada 𝒇´´ 𝒙𝟎 < 𝟎 ,então 𝑥0 é um ponto de máximo , poisa concavidade do gráfico da função em𝑥0 é para baixo.

𝒇´´ 𝒙𝟎 > 𝟎

𝒇´ 𝒙𝟎 = 𝟎

𝑥0 𝑥

𝑦 𝒇´ 𝒙𝟎 = 𝟎

𝑥0

𝒇´´ 𝒙𝟎 < 𝟎

𝑥

𝑦

LIVROS RECOMENDADOS

• Stewart, James – Cálculo Vol. 1, 7ª. Edição, Ed. Cengage, 2013.

• Guidorizzi, Hamilton L. – Cálculo Vol. 2, 5ª Edição, Ed. LTC, 2008

• Apostol, Tom M. – Calculo Vol. 1, Ed. Reverte Brasil, 2004

• Ron Larson and Bruce H. Edwards - Calculus, Ed. Brooks Cole, 2013

introducao derivadas

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