introduÇÃo - matemática – professor cássio...
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MATEMÁTICA III 1 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
INTRODUÇÃO ................................................................................................2
NOÇÕES BÁSICAS........................................................................................2
POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA .......................4
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ..........................................................6
RAZÃO DE SECÇÃO .................................................................................. 15
DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA .......................... 16
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO ...................................................... 17
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS.......................... 21
RESPOSTAS ................................................................................................ 28
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ............................................................... 30
No final das séries de exercícios podem aparecer
sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo
FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3.
CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
INTRODUÇÃO
Em 1637, o matemático e filósofo
francês Renée Descartes publicou seu grande trabalho O Discurso sobre o
Método, em que são estabelecidas as
bases filosóficas de seu método para o estudo das ciências, o chamado método
cartesiano, até hoje presente na organização do conhecimento em muitas
áreas. No apêndice, Descartes ilustra o seu método apresentando a “Géométrie”, que foi o passo inicial no estabelecimento
de relações mais estreitas entre a Álgebra e a Geometria. O trabalho
contém uma teoria para equações algébricas associadas a curvas planas – por exemplo, equações de segundo grau
associadas a parábolas.
Alguns anos mais tarde, um outro matemático francês, Pierre Fermat,
publicou um trabalho onde também
relacionou equações a retas, às curvas que chamamos cônicas e a outras curvas
até então pouco conhecidas. Tem-se registros de que as idéias iniciais de Fermat sobre a Geometria Analítica são,
na verdade, anteriores ao trabalho de Descartes, mas esses registros só foram
encontrados e publicados em 1769, após a sua morte.
A Geometria Analítica, trata, portanto, desde a sua origem, das
relações entre as equações algébricas e os objetos geométricos, buscando a simplificação técnica dos problemas
geométricos e a interpretação geométrica dos resultados obtidos nos cálculos
algébricos. Os cálculos e a descrição dos objetos geométricos ficam mais simples com os recursos algébricos da teoria das
matrizes associados aos processos de resolução de equações.
As técnicas da Geometria Analítica desempenham um papel fundamental ainda hoje, por exemplo, no
desenvolvimento da Computação Gráfica. As telas dos nossos
computadores são modelos da estrutura do plano cartesiano com um número finito de pontos, que é sempre mencionado
quando escolhemos a configuração da tela. Aumentando o número de pontos,
melhoramos a qualidade da imagem do monitor ou da impressão dessa imagem. Nas muitas utilizações de recursos de
imagens, como na tomografia ou na localização por satélite, essa
organização é fundamental para uma interpretação precisa dos resultados obtidos.
A nomenclatura da Geometria
Analítica (coordenadas, abscissas, ordenadas, etc.) foi introduzida por Leibniz, que e inspirou na terminologia
adotada pelos gregos em seus cálculos geométricos. As bases da Geometria Analítica estão, portanto, contidas nos
trabalhos desses três grandes matemáticos - Descartes, Fermat e
Leibniz - e foram posteriormente adotadas por Euler ao formalizar o
conceito de função.
NOÇÕES BÁSICAS
Consideremos dois eixos x e y
perpendiculares em O, os quais
determinam um plano .
Dado um ponto P qualquer tal que P , conduzamos por eles retas x’ e y’
tais que: x' // x e y’ // y.
MATEMÁTICA III 3 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
Denominemos P1 a intersecção de x com y’ e P2 a intersecção de y com x’.
Nestas condições, definimos: a) abscissa de P é o número real
xp = OP1.
b) ordenada de P é o número real
yp = OP2.
c) coordenadas de P são os números
reais xp e yp geralmente indicados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde
xp é o primeiro termo. d) o eixo das abscissas é o eixo Ox .
e) o eixo das ordenadas é o eixo Oy.
f) sistema de eixos cartesianos ortogonais (ou sistema ortonormal ou
sistema retangular) é o sistema xOy. g) a origem do sistema é o ponto O.
h) plano cartesiano é o plano .
Ex.: Vamos localizar no plano cartesiano os pontos A(2, 0); B(0, 3), C(2, 5),
D(-3, 4), E(-7, -3), F(4, -5), G(2
5,
2
9),
H(2
5 ,
2
9 );
Entre o conjunto de pontos do
plano e o conjunto de pares ordenados (x, y), existe uma correspondência
biunívoca, ou seja, para cada ponto do plano existe um único par ordenado e para cada par ordenado existe um único
ponto no plano. A principal consequência desta
propriedade é o fato de:
“dar um ponto” significa dar um par ordenado (xp, yp);
“pedir um ponto” significa pedir um par de coordenadas (xp, yp);
Todo ponto P procurado
representa duas incógnitas: xp e yp.
CASSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Notemos que os pares ordenados A1(3, 5) e A2(5, 3) são diferentes visto que a ordem em que os termos são
apresentados difere dois pares ordenados. Na figura abaixo você pode
ver a representação destes dois pontos no plano.
De forma geral, se a b então
(a, b) (b, a).
POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA
Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas QUADRANTES que recebem os nomes
indicados na figura:
Sendo P um ponto qualquer do plano cartesiano temos que:
00. pp yexQuadIP
00. pp yexQuadIIP
00. pp yexQuadIIIP
00. pp yexQuadIVP
Existem ainda os pontos que estão
sobre os eixos, assim:
P pertence ao eixo das abscissas se a ordenada é nula:
0 pyOxP
P pertence ao eixo das ordenadas
se a abscissa é nula: 0 pxOyP
Destas propriedades temos que os pontos que estão no eixo vertical são do
tipo (0, a) e os pontos do eixo horizontal são do tipo (a, 0).
O pontos do tipo (a, a) formam um conjunto de pontos chamado de bissetriz
dos quadrantes ímpares. Observe a figura:
Assim, temos que pp yxbP 13
MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
O pontos do tipo (a, -a) formam um
conjunto de pontos chamado de bissetriz dos quadrantes pares. Observe a figura:
Assim, temos que pp yxbP 24
Se uma reta é paralela ao eixo das abscissas, então todos os seus pontos
possuem a mesma ordenada.
Se uma reta é paralela ao eixo das ordenadas, então todos os seus pontos possuem a mesma abscissa.
Também valem as recíprocas das
duas propriedades acima.
01) Dados os pontos 5;5A , 6;6 B
, 5,2;5,2 C , 1,9;1,9D , 0;0E ,
0;2,7F , 5;0 G , 0;3H , 2;0I ,
3; J , 2;2 K e
4
18;
2
9L ,
pergunta-se: quais pontos são pertencentes: a) ao primeiro quadrante?
b) ao segundo quadrante?
c) ao terceiro quadrante?
d) ao quarto quadrante?
e) ao eixo das abscissas?
CASSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
f) ao eixo das ordenadas?
g) à bissetriz dos quadrantes ímpares?
h) à bissetriz dos quadrantes pares?
02) Localize no plano cartesiano, os 12 pontos dados na questão anterior:
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados os pontos A(x1; y1) e B(x2; y2), calculemos a distância d entre
eles: 1º caso: AB é horizontal:
12 xxdAB
2º caso: AB é vertical:
12 yydAB
3º caso: AB é oblíqua:
212
2
12 yyxxdAB
MATEMÁTICA III 7 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
Demonstração: O triângulo ABC é retângulo em C,
assim, pelo teorema de Pitágoras temos que:
222
BCACAB ddd
Como 11, yxA , 22 , yxB e
12 , yxC , então:
212
2
12
2
12
2
12
2
yyxxd
yyxxd
AB
AB
Observação: a notação de módulo em
12 xx e 12 yy foi desconsiderada
pois, ao elevar ao quadrado o resultado é
positivo ou nulo.
Ex.(1): Calcule a distância entre os
pontos A(-3, 6) e B(3, -2).
10
100
6436
86
2633
22
22
2
12
2
12
AB
AB
AB
AB
AB
AB
d
d
d
d
d
yyxxd
Observação: Convém destacar que a
ordem dos termos nas diferenças das
abscissas ou das ordenadas não influi no cálculo de d já que inverteria apenas o
sinal das diferenças e, quando elevado ao quadrado, esse sinal é desconsiderado.
CASSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex. (2): A distância entre os pontos A(a – 1, 1) e B(-1, 2) é 3. Determine a.
22
8
8
19
21113
2
2
22
2
12
2
12
a
a
a
a
a
yyxxdAB
03) Calcule a distância entre os pontos dados: a) 7,3A e 4,1B
b) 1,3 E e 5,3F
c) 5,2 H e 0,0O
d) 2,0 M e 2,5 N
e) 3,3 P e 3,3Q
MATEMÁTICA III 9 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
f) 0,4C e 3,0D
g) 3,1K e 4,1L
04) Qual a distância do ponto (10, -24) à origem?
05) Calcular a distância entre os pontos A(a-3, b+4) e B(a+2, b-8)
06) Calcular o perímetro do triângulo ABC sendo dados A(2, 1), B(-1, 3) e
C(4, -2).
CASSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
07) Mostre que o triângulo de vértices A(2, 2), B(-4, -6) e C(4, -12) é retângulo.
08) Qual vértice o triângulo ABC citado na
questão anterior determina o ângulo reto?
110) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), determine x de forma que o triângulo ABC seja retângulo em B.
MATEMÁTICA III 11 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
10) Dados A(x, 5), B(-2, 3) e C(4, 1), obter x forma que A seja equidistante de B e C.
11) Obter P pertencente ao eixo das abscissas de forma que o ponto P seja equidistante de A(1, 3) e B(-3, 5).
CASSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
12) Determinar o ponto P da bissetriz dos quadrantes pares que equidista dos pontos A(8, -8) e B(12, -2).
13) Dados os pontos A(8, 11), B(-4, -5) e C(-6, 9), obter o circuncentro do triângulo ABC. (A resolução desta questão encontra-se na secção de respostas)
MATEMÁTICA III 13 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
14) Dados os pontos M(a, 0) e N(0, a), determinar P de modo que o triângulo MNP seja equilátero.
15) Dados os pontos B(2, 3) e C(-4,1), determinar o vértice A pertencente ao eixo das ordenadas sabendo que ABC é
retângulo em A.
CASSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
16) Dados A(-2, 4) e B(3, -1) vértices de um quadrado, determinar os outros dois vértices.
17) Dados A(8, 7) e C(-2, -3), extremidades da diagonal de um quadrado, calcular as coordenadas dos
outros dois vértices.
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 38 – Exercício R.2 Pág. 39 – Exercícios 1 a 6
______________________
MATEMÁTICA III 15 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
RAZÃO DE SECÇÃO
Dados três pontos distintos e
COLINEARES A, B e C, chama-se razão de secção do segmento AB pelo ponto C
o número real r tal que:
CB
AC
d
dr
Existem duas formas de se
determinar este r. A primeira forma é através da fórmula da distância como apresentado na definição acima, assim,
sendo A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), temos:
223
2
23
2
31
2
31
yyxx
yyxxr
A segunda forma, é por meio do
Teorema de Talles. Observe agora a ilustração:
Pelo teorema de Talles, podemos
escrever:
23
31
23
31
yy
yy
xx
xxr
Devemos ficar atentos apenas
quando o segmento considerado for paralelo a um dos eixos coordenados.
Note que, caso o segmento seja vertical,
temos x1 = x2 = x3. Desta forma, 31 xx
e 23 xx são, ambos iguais a zero e a
fração 23
31
xx
xx
fica indeterminada,
assim, usamos 23
31
yy
yyr
. Situação
semelhante ocorre quando o segmento for horizontal. Pelo mesmo motivo,
faremos 23
31
xx
xxr
.
Ex.:Dados A(3, 7), B(5, 11) e C(6, 13), determine a razão entre os comprimentos dos segmentos AC e BC.
Resolução:
A partir das abscissas, temos:
31
3
56
63
23
31
xx
xxr
A partir das ordenadas, temos:
32
6
1113
137
23
31
yy
yyr
Era natural que em ambas as
situações, encontrássemos o mesmo resultado e, daí, concluímos que um segmento tem o triplo do comprimento do
outro.
Desconsiderando o módulo na expressão apresentada na página anterior, é possível, a partir do sinal de r,
determinar a posição de C em relação ao segmento AB, assim, considerando A(x1,
y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), e fazendo
23
31
23
31
yy
yy
xx
xxr
temos que:
CASSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
i) Cr 0 é interior a AB
ii) Cr 0 é exterior a AB
iii) ACr 0
iv) Cr 1 é médio de AB v) 1, rC
18) Tome três pontos quaisquer da reta abaixo e verifique, com números, a validade das afirmações acima:
DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA
Dados A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), calculemos as coordenadas
(x3, y3) do ponto C que divide o segmento AB numa razão r ( 1r ). Temos:
213
2133
3123
3123
23
31
1 xrxrx
xrxxxr
xxxrxr
xxxxr
xx
xxr
213
2133
3123
3123
23
31
1 yryry
yryyyr
yyyryr
yyyyr
yy
yyr
Ex.1: Obter as coordenadas do ponto C que divide AB na razão 2 sendo A(1, 5) e B(4, 17).
Resolução:
133
39
12
1725
1
33
9
12
421
1
213
213
r
yryy
r
xrxx
Assim, temos que C(3, 13)
121
3
r
xrxx
121
3
r
yryy
MATEMÁTICA III 17 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
Ex.2: Obter as coordenadas do ponto C que divide BA na razão 2 sendo A(1, 5) e B(4, 17).
Resolução:
93
27
12
5217
1
23
6
12
124
1
213
213
r
yryy
r
xrxx
Assim, temos que C(2, 9)
Observe que o ponto que divide o
segmento AB na razão 2 é diferente do ponto que divide o segmento BA na mesma razão 2.
19) No plano cartesiano , localize os pontos A(1, 5) e B(4, 17) dados no
exemplo anterior e a seguir interprete os pontos C1 e C2 que dividem, respectivamente, os segmentos AB e BA
na razão 2,
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
O ponto médio de um segmento é, como o próprio nome diz, o ponto que
divide um segmento em duas partes iguais, ou seja, cuja razão entre seus comprimentos seja r = 1. Substituindo na
fórmula que já temos fazendo x3 = xm, y3 = ym e r = 1, temos:
11
1
1
21
213
xxx
r
xrxx
m
221 xx
xm
11
1
1
21
213
yyy
r
yryy
m
221 yy
ym
Ex.: Obter o ponto médio do segmento
AB sendo A(7, -2) e B(-3, 14).
Resolução:
22
37
mx e 6
2
142
my
Logo, M(2, 6)
20) Sendo 3,2A , 2,1 B e
3
1,
3
4C
, determine a razão entre os segmentos
AC e BC.
CASSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
21) Determinar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes iguais sendo A = (-1, 7) e
B = (11, -8).
22) Determinar os pontos que dividem AB em quatro partes iguais quando A = (-1, -3) e B = (23, 33).
MATEMÁTICA III 19 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
23) Até que ponto o segmento de extremos A(1, -1) e B(4, 5) deve ser prolongado para que seu comprimento
triplique?
1 Mediana de um triângulo é o segmento de reta
cujas extremidades são um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto.
24) Calcular o comprimento da mediana1 AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1).
CASSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
25) De um triângulo ABC são conhecidos o vértice A = (2, 4), o ponto M(1, 2) médio do lado AB e o ponto
N(-1, 1) médio do lado BC. Determine o perímetro deste triângulo. (A resolução desta questão encontra-se na secção de respostas)
26) Sendo M(2, 1), N(3, 3) e P(6, 2) os pontos médios, respectivamente, dos lados AB, BC e CA, determine as
coordenadas dos vértices A, B e C.
MATEMÁTICA III 21 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
27) Num triângulo ABC são dados: i) A(2, 0) ii) M(-1, 4) ponto médio de AB
iii) dAC = 10
iv) dBC = 210
Obtenha o vértice C.
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 40 – Exercício R.4 Pág. 41 – Exercícios 7 a 11
______________________
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Observe a figura:
Se os três pontos A(x1, y1),
B(x2, y2) e C(x3, y3), estão alinhados,
então satisfazem à seguinte condição:
32
21
32
21
yy
yy
xx
xx
.
Note que
1 2 1 2
2 3 2 3
1 2 2 3 2 3 1 2
1 2 1 3 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2
1 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2
1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
x x y y
x x y y
x x y y x x y y
x y x y x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y 0
Por outro lado, sabemos que:
1 1
2 2
3 3
1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
x y 1
D x y 1
x y 1
x y x y x y x y x y x y
CASSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Assim, podemos dizer que os três
pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3),
estão alinhados quando:
1 1
2 2
3 3
x y 1
D x y 1 0
x y 1
Observação: Este determinante acima
fica facilmente verificado também em duas situações espeíficas:
1º Se dois dos pontos coincidirem, teremos duas linhas iguais e
consequentemente, D = 0. 2º Se a reta for vertical (ou horizontal) as
três ordenadas (ou abscissas) serão iguais. Como já temos uma coluna onde
os três termos são iguais a 1, passaremos a ter duas colunas onde uma é combinação linear da outra, e assim,
mais uma vez, D = 0.
Ex.1: Mostrar que os pontos A(-1, 1), B(1, 3) e C(7, 9) estão alinhados.
Resolução:
1 1 1
1 3 1
7 9 1
1 3 1 1 1 7 1 1 9
1 3 7 1 9 ( 1) 1 1 1
3 7 9 21 9 1
Logo, A, B e C estão alinhados.
Ex.2: Determine k pra que os pontos A(k, k), B(3, 1) e C(7, -3) estejam
alinhados.
Resolução:
k k 1
3 1 1 0
7 3 1
k 7k 9 7 3k 3k 0
8k 16 0
8k 16
k 2
Resposta: k = 2
MATEMÁTICA III 23 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
28) Os pontos A(1; 3), B(2; 5) e C(49; 100) são colineares?
29) Determinar y para que os pontos A(3; 5), B(-3, 8) e C(4, y) estejam alinhados.
30) Mostrar que A(a; 2a – 1), B(a + 1; 2a + 1) e C(a + 2; 2a + 3) são colineares para qualquer valor de a real.
CASSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
31) Para que valores de a existe o triângulo MNP onde M(0, a), N(a, -4) e
P(1, 2)?
32) Dados A(1, 1) e B(10, -2), obter o ponto da reta AB que intercepta o eixo das abscissas.
MATEMÁTICA III 25 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
33) Dados os pontos A(3, 1) e B(5, 5), determinar o ponto do eixo OY que também pertence à reta AB.
34) Dados A(2, -3) e B(8, 1) determinar o ponto em que a reta que passa por A e B intercepta a bissetriz dos quadrantes
ímpares.
35) Sendo A(7, 4) e B(-4, 2), determinar o ponto de intersecção entre a reta que passa por A e B e a bissetriz dos
quadrantes pares.
_______________________________
CASSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
36) Dados A(-3, 4), B(2, 9), C(2, 7) e D(4, 5), determinar a intersecção entre as retas AB e CD.
37) Determinar m e n de tal forma que
P(m, n) seja colinear, simultaneamente, com A(-1, -2) e B(2, 1) e com C(-2, 1) e
D(1, -4).
MATEMÁTICA III 27 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
38) Determinar o ponto P da reta AB que está à distância 5 da origem onde A(0, -25) e B(-2, -11)
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 46 – Exercícios 20 a 23 ______________________
CASSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
RESPOSTAS 01) a) A, J e L b) D c) B d) C, e K e) E, F, H f) E, G, I g) A, B, E, L h) C, D, E, K
02)
03) a) 13
b) 6
c) 29
d) 5
e) 26 f) 5 g) 5
04) 26 05) 13
06) 25132
07) demonstração
08) B
09) -3
10) 2
11) P(-3, 0)
12) P(-5, 5)
13) Resolução
O circuncentro (Centro da
circunferência circunscrita ao triângulo) é um ponto equidistante
dos três vértices.
Tomando P(x, y) e fazendo
dPA = dPB, temos
22
118 yx
2254 yx
222254118 yxyx
121226416 22 yyxx
2510168 22 yyxx
411081852216 yxyx
01443224 yx
01843 yx
MATEMÁTICA III 29 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO
Fazendo agora dPB = dPC, temos:
22
54 yx
2296 yx
22229654 yxyx
2510168 22 yyxx
81183612 22 yyxx
117181241108 yxyx
076284 yx
0197 yx
Montando um sistema com as
duas equações lineares encontradas temos:
197
1843
0197
01843
yx
yx
yx
yx
x = 2 e y = 3
Assim, temos P(2, 3)
14)
2
3,
2
3 aaaaP ou
2
3,
2
3 aaaaP
15) 1,0 ou 5,0
16) 9,34,8 DeC ou
1,76,2 DeC
17) 3,8 e 7,2
18) Questão aberta.
19) Questão aberta.
20) 2
21) C(3, 2) e D(7, -3)
22) (5, 6), (11, 15) e (17, 24)
23) (1, 17)
24) 5
25) Resolução: Se M é ponto médio de AB, então:
0
2
42
2
02
21
2
BBBA
m
BBBA
m
yyyy
y
xxxx
x
Assim, temos B = (0, 0)
Se N é ponto médio de BC, então:
2
2
01
2
22
01
2
CCCB
m
CCCB
m
yyyy
y
xxxx
x
Assim, temos c= (-2, 2)
Perímetro = dAB + dAC + dBC
52202422
2282020
52200402
22
22
22
BC
AC
AB
d
d
d
25222254
522252
BCACAB ddd
Resposta: 2522
26) A(5; 0), B(-1; 2) e C(7; 4)
27) C(10; 6) ou C(-6, -6)
28) Não
29) 9
y2
30) (Demonstração)
31) a -1 e a 4
32) (4, 0) 33) (0, -5)
34) (-13, -13)
CASSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
35) 30 30
,13 13
36) P(1, 8)
37) 1
m2
e 3
n2
38) P(-3, -4) ou P(-4, 3)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE, Luiz Roberto;
Matemática, Volume dois. São Paulo,
Atica, 2005.
IEZZI, Gelson e outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,
1977.
Links dos vídeos sugeridos nesta
apostila:
Página 07: http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/distancia-entre-dois-pontos
Página 22 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/alinhamento-de-tres-pontos