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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Equações diferenciais ordinárias
Alexandre Rosas
Departamento de FísicaUniversidade Federal da Paraíba
24 de Junho de 2009
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Motivação
Problemas envolvendo equações diferenciais são muitocomuns em físicaExceto pelos mais simples, que podemos resolveranaliticamente, temos que recorrer a métodos numéricosDe forma geral, não existe um "melhor método"A compreensão dos diferentes métodos, seus pontosfortes e suas deficiências é fundamental parapodermos ter confiança nos resultados
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Motivação
Problemas envolvendo equações diferenciais são muitocomuns em físicaExceto pelos mais simples, que podemos resolveranaliticamente, temos que recorrer a métodos numéricosDe forma geral, não existe um "melhor método"A compreensão dos diferentes métodos, seus pontosfortes e suas deficiências é fundamental parapodermos ter confiança nos resultados
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Motivação
Problemas envolvendo equações diferenciais são muitocomuns em físicaExceto pelos mais simples, que podemos resolveranaliticamente, temos que recorrer a métodos numéricosDe forma geral, não existe um "melhor método"A compreensão dos diferentes métodos, seus pontosfortes e suas deficiências é fundamental parapodermos ter confiança nos resultados
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Problemas de Contorno
Motivação
Problemas envolvendo equações diferenciais são muitocomuns em físicaExceto pelos mais simples, que podemos resolveranaliticamente, temos que recorrer a métodos numéricosDe forma geral, não existe um "melhor método"A compreensão dos diferentes métodos, seus pontosfortes e suas deficiências é fundamental parapodermos ter confiança nos resultados
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
O problema
Resolver uma equação do tipo
d2ydx2 + q(x)
dydx
= r(x)
Sempre podemos reescrever equações diferenciais deordem superior como um conjunto de equaçõesdiferenciais de primeira ordem
dydx
= z(x)
dzdx
= r(x)− q(x)z(x)
Portanto, o problema passa a ser estudar um conjunto deN equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
dyi
dx= fi(x , y1, y2, . . . , yN)
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Problemas de Contorno
O problema
Resolver uma equação do tipo
d2ydx2 + q(x)
dydx
= r(x)
Sempre podemos reescrever equações diferenciais deordem superior como um conjunto de equaçõesdiferenciais de primeira ordem
dydx
= z(x)
dzdx
= r(x)− q(x)z(x)
Portanto, o problema passa a ser estudar um conjunto deN equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
dyi
dx= fi(x , y1, y2, . . . , yN)
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Problemas de Contorno
O problema
Resolver uma equação do tipo
d2ydx2 + q(x)
dydx
= r(x)
Sempre podemos reescrever equações diferenciais deordem superior como um conjunto de equaçõesdiferenciais de primeira ordem
dydx
= z(x)
dzdx
= r(x)− q(x)z(x)
Portanto, o problema passa a ser estudar um conjunto deN equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
dyi
dx= fi(x , y1, y2, . . . , yN)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
O problema
Às vezes é conveniente incluir prefatores (funções davariável independente) na definição das novas variáveispara evitar problemas numéricosTentativa e erro, senso comum, experiência→ indicam ocaminho
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Problemas de Contorno
O problema
Às vezes é conveniente incluir prefatores (funções davariável independente) na definição das novas variáveispara evitar problemas numéricosTentativa e erro, senso comum, experiência→ indicam ocaminho
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Condições de contorno
O conjunto de equações diferenciais não definecompletamente o problemaO tipo das condições de contorno são determinantes paraa solução numérica a ser empregada
1 Problemas de valor inicial – todos os yi são conhecidos emum determinado ponto x0
2 Programas de valor de contorno – informação sobre ocomportamento da função na fronteira da região deintegração
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Problemas de Contorno
Condições de contorno
O conjunto de equações diferenciais não definecompletamente o problemaO tipo das condições de contorno são determinantes paraa solução numérica a ser empregada
1 Problemas de valor inicial – todos os yi são conhecidos emum determinado ponto x0
2 Programas de valor de contorno – informação sobre ocomportamento da função na fronteira da região deintegração
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Problemas de Contorno
Condições de contorno
O conjunto de equações diferenciais não definecompletamente o problemaO tipo das condições de contorno são determinantes paraa solução numérica a ser empregada
1 Problemas de valor inicial – todos os yi são conhecidos emum determinado ponto x0
2 Programas de valor de contorno – informação sobre ocomportamento da função na fronteira da região deintegração
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Problemas de Contorno
Condições de contorno
O conjunto de equações diferenciais não definecompletamente o problemaO tipo das condições de contorno são determinantes paraa solução numérica a ser empregada
1 Problemas de valor inicial – todos os yi são conhecidos emum determinado ponto x0
2 Programas de valor de contorno – informação sobre ocomportamento da função na fronteira da região deintegração
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Idéia geral
Reescrever dy e dx como diferenças finitas ∆y e ∆xMultiplicar a equação por ∆xAssim obtemos expressões para a variação das funçõesquando um passo de tamanho ∆x é dadoNo limite em que ∆x é muito pequeno, temos uma boaaproximação para a equação diferencial
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Idéia geral
Reescrever dy e dx como diferenças finitas ∆y e ∆xMultiplicar a equação por ∆xAssim obtemos expressões para a variação das funçõesquando um passo de tamanho ∆x é dadoNo limite em que ∆x é muito pequeno, temos uma boaaproximação para a equação diferencial
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Idéia geral
Reescrever dy e dx como diferenças finitas ∆y e ∆xMultiplicar a equação por ∆xAssim obtemos expressões para a variação das funçõesquando um passo de tamanho ∆x é dadoNo limite em que ∆x é muito pequeno, temos uma boaaproximação para a equação diferencial
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Idéia geral
Reescrever dy e dx como diferenças finitas ∆y e ∆xMultiplicar a equação por ∆xAssim obtemos expressões para a variação das funçõesquando um passo de tamanho ∆x é dadoNo limite em que ∆x é muito pequeno, temos uma boaaproximação para a equação diferencial
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Método de Euler
Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)
Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos
y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]
Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,
y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)
O método de Euler consiste na iteração desta equação
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Método de Euler
Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)
Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos
y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]
Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,
y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)
O método de Euler consiste na iteração desta equação
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Método de Euler
Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)
Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos
y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]
Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,
y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)
O método de Euler consiste na iteração desta equação
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Método de Euler
Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)
Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos
y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]
Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,
y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)
O método de Euler consiste na iteração desta equação
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Método de Euler
Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)
Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos
y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]
Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,
y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)
O método de Euler consiste na iteração desta equação
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Método de Euler
Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)
Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos
y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]
Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,
y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)
O método de Euler consiste na iteração desta equação
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0
N
Usamos o método de Euler
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
x1 x2 x3
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0
N
Usamos o método de Euler
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
x1 x2 x3
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0
N
Usamos o método de Euler
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
x1 x2 x3
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0
N
Usamos o método de Euler
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
x1 x2 x3
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0
N
Usamos o método de Euler
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
x1 x2 x3
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0
N
Usamos o método de Euler
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
x1 x2 x3
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0
N
Usamos o método de Euler
yn+1 = yn + hf (xn, yn)
x1 x2 x3
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Deficiências do método
O erro é de ordem hA derivada é considerada constante ao longo do intervalohSeu valor no fim do intervalo não é considerado
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Deficiências do método
O erro é de ordem hA derivada é considerada constante ao longo do intervalohSeu valor no fim do intervalo não é considerado
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Deficiências do método
O erro é de ordem hA derivada é considerada constante ao longo do intervalohSeu valor no fim do intervalo não é considerado
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordem
No caso do método de Euler, expandimos y(x) atéprimeira ordemSe expandirmos até segunda ordem, teremos
y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) + y ′′(x0)h2
2+O[h3]
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordem
No caso do método de Euler, expandimos y(x) atéprimeira ordemSe expandirmos até segunda ordem, teremos
y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) + y ′′(x0)h2
2+O[h3]
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordem
No caso do método de Euler, expandimos y(x) atéprimeira ordemSe expandirmos até segunda ordem, teremos
y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) + y ′′(x0)h2
2+O[h3]
Precisamos, portanto, determinar y ′′(x0)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordem
No caso do método de Euler, expandimos y(x) atéprimeira ordemSe expandirmos até segunda ordem, teremos
y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) + y ′′(x0)h2
2+O[h3]
Precisamos, portanto, determinar y ′′(x0)
y ′′(x0) = fx (x0, y0) + fy (x0, y0)f (x0, y0)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordem
No caso do método de Euler, expandimos y(x) atéprimeira ordemSe expandirmos até segunda ordem, teremos
y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) + y ′′(x0)h2
2+O[h3]
Logo a expansão se torna
y(x) = y(x0)+hf (x0, y0)+h2
2fx (x0, y0)+
h2
2fy (x0, y0)f (x0, y0)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordem
O método Runge-Kutta assume que a inclinação nointervalo h pode ser escrita como uma combinação linearde f (x , y) em certos pontos do intervaloNo Runge-Kutta de segunda ordem
y(x) = y(x0) + Ahf0 + Bhf1
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordem
O método Runge-Kutta assume que a inclinação nointervalo h pode ser escrita como uma combinação linearde f (x , y) em certos pontos do intervaloNo Runge-Kutta de segunda ordem
y(x) = y(x0) + Ahf0 + Bhf1
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordem
O método Runge-Kutta assume que a inclinação nointervalo h pode ser escrita como uma combinação linearde f (x , y) em certos pontos do intervaloNo Runge-Kutta de segunda ordem
y(x) = y(x0) + Ahf0 + Bhf1
onde f0 = f (x0, y0), f1 = f (x0 + a1h, y0 + a2hf0), sendoA, B, a1 e a2 constantes a determinar
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordem
O método Runge-Kutta assume que a inclinação nointervalo h pode ser escrita como uma combinação linearde f (x , y) em certos pontos do intervaloNo Runge-Kutta de segunda ordem
y(x) = y(x0) + Ahf0 + Bhf1Expandindo f1 em série de Taylor, temos
f1 = f (x0, y0) + a1hfx (x0, y0) + a2hfy (x0, y0)f (x0, y0)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordem
O método Runge-Kutta assume que a inclinação nointervalo h pode ser escrita como uma combinação linearde f (x , y) em certos pontos do intervaloNo Runge-Kutta de segunda ordem
y(x) = y(x0) + Ahf0 + Bhf1Expandindo f1 em série de Taylor, temos
f1 = f (x0, y0) + a1hfx (x0, y0) + a2hfy (x0, y0)f (x0, y0)
Portanto, temos
y(x) = y(x0)+(A+B)hf (x0, y0)+Bh2a1fx (x0, y0)+Bh2a2fy (x0, y0)f (x0, y0)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordemComparando a aproximação de Runge-Kutta
y(x) = y(x0)+(A+B)hf (x0, y0)+Bh2a1fx (x0, y0)+Bh2a2fy (x0, y0)f (x0, y0)
com a expansão em série de Taylor,
y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) +h2
2fx (x0, y0) +
h2
2fy (x0, y0)f (x0, y0)
temos
A + B = 1
Ba1 =12
Ba2 =12
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordemComparando a aproximação de Runge-Kutta
y(x) = y(x0)+(A+B)hf (x0, y0)+Bh2a1fx (x0, y0)+Bh2a2fy (x0, y0)f (x0, y0)
com a expansão em série de Taylor,
y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) +h2
2fx (x0, y0) +
h2
2fy (x0, y0)f (x0, y0)
temos
A + B = 1
Ba1 =12
Ba2 =12
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de segunda ordemComparando a aproximação de Runge-Kutta
y(x) = y(x0)+(A+B)hf (x0, y0)+Bh2a1fx (x0, y0)+Bh2a2fy (x0, y0)f (x0, y0)
com a expansão em série de Taylor,
y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) +h2
2fx (x0, y0) +
h2
2fy (x0, y0)f (x0, y0)
temos
A + B = 1
Ba1 =12
Ba2 =12
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Escolha dos parâmetros
Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamente
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Escolha dos parâmetros
Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2
Regra do ponto médio
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Escolha dos parâmetros
Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2
Regra do ponto médio
x1 x2 x3
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Escolha dos parâmetros
Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2
Regra do ponto médio
x1 x2 x3
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Escolha dos parâmetros
Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2
Regra do ponto médio
x1 x2 x3
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Escolha dos parâmetros
Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2
Regra do ponto médio
x1 x2 x3
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Escolha dos parâmetros
Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2
Regra do ponto médio
x1 x2 x3
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Escolha dos parâmetros
Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2
Regra do ponto médio
x1 x2 x3
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Escolha dos parâmetros
Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2
Regra do ponto médio
x1 x2 x3
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Escolha dos parâmetros
Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 1/3, B = 2/3, a1 = a2 = 3/4 → valores ótimos(minimiza coeficiente do erro)
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de quarta ordem
Runge-Kutta de segunda ordem é apenas didático
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de quarta ordem
Runge-Kutta de segunda ordem é apenas didáticoPara uso prático → quarta ordem
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de quarta ordem
Dedução segue a mesma linha de raciocínio:
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de quarta ordem
Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de quarta ordem
Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem2 Assumir que
y(x0 + h) = y(x0) + h [Af0 + Bf1 + Cf2 + Df3]
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de quarta ordem
Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem2 Assumir que
y(x0 + h) = y(x0) + h [Af0 + Bf1 + Cf2 + Df3]
onde f0 = f (x0, y0)
f1 = f (x0 + αh, y0 + a0f0h)
f2 = f (x0 + βh, y0 + b0f0h + b1f1h)
f3 = f (x0 + γh, y0 + c0f0h + c1f1h + c2f2h)
Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de quarta ordem
Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem2 Assumir que
y(x0 + h) = y(x0) + h [Af0 + Bf1 + Cf2 + Df3]
onde f0 = f (x0, y0)
f1 = f (x0 + αh, y0 + a0f0h)
f2 = f (x0 + βh, y0 + b0f0h + b1f1h)
f3 = f (x0 + γh, y0 + c0f0h + c1f1h + c2f2h)
3 Expandir f1, f2 e f3 em série de Taylor até terceira ordem
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de quarta ordem
Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem2 Assumir que
y(x0 + h) = y(x0) + h [Af0 + Bf1 + Cf2 + Df3]
onde f0 = f (x0, y0)
f1 = f (x0 + αh, y0 + a0f0h)
f2 = f (x0 + βh, y0 + b0f0h + b1f1h)
f3 = f (x0 + γh, y0 + c0f0h + c1f1h + c2f2h)
3 Expandir f1, f2 e f3 em série de Taylor até terceira ordem4 Equacionar os termos das duas séries
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de quarta ordem
Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem2 Assumir que
y(x0 + h) = y(x0) + h [Af0 + Bf1 + Cf2 + Df3]
onde f0 = f (x0, y0)
f1 = f (x0 + αh, y0 + a0f0h)
f2 = f (x0 + βh, y0 + b0f0h + b1f1h)
f3 = f (x0 + γh, y0 + c0f0h + c1f1h + c2f2h)
3 Expandir f1, f2 e f3 em série de Taylor até terceira ordem4 Equacionar os termos das duas séries5 Serão 10 equações e 13 icógnitas → diversas
possibilidadesAlexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta de quarta ordem
Escolha mais comum:
f0 = f (x0, y0)
f1 = f (x0 +h2, y0 +
h2
f0)
f2 = f (x0 +h2, y0 +
h2
f1)
f3 = f (x0 + h, y0 + hf2)
comy(x0 + h) = y(x0) +
h6
(f0 + 2f1 + 2f2 + f3)
Note que no caso f (x , y) = g(x), o método equivale àregra de Simpson
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Precisão
Como saber se nossa resposta é precisa?Como avaliar o erro?Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos depasso diferentes e comparar os resultadosPodemos fazer essa comparação depois de vários passosContudo, a natureza da solução pode depender da regiãoPortanto, os resultados devem ser comparadosfrequentemente
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Precisão
Como saber se nossa resposta é precisa?Como avaliar o erro?Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos depasso diferentes e comparar os resultadosPodemos fazer essa comparação depois de vários passosContudo, a natureza da solução pode depender da regiãoPortanto, os resultados devem ser comparadosfrequentemente
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Precisão
Como saber se nossa resposta é precisa?Como avaliar o erro?Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos depasso diferentes e comparar os resultadosPodemos fazer essa comparação depois de vários passosContudo, a natureza da solução pode depender da regiãoPortanto, os resultados devem ser comparadosfrequentemente
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Precisão
Como saber se nossa resposta é precisa?Como avaliar o erro?Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos depasso diferentes e comparar os resultadosPodemos fazer essa comparação depois de vários passosContudo, a natureza da solução pode depender da regiãoPortanto, os resultados devem ser comparadosfrequentemente
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Precisão
Como saber se nossa resposta é precisa?Como avaliar o erro?Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos depasso diferentes e comparar os resultadosPodemos fazer essa comparação depois de vários passosContudo, a natureza da solução pode depender da regiãoPortanto, os resultados devem ser comparadosfrequentemente
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Passos de tamanho variável
Para atingirmos uma determinada precisão ε, podemosusar o seguinte algoritmo
1 Calcular y(x0 + h) e y(x0 + h/2)2 Se |y(x0 + h)− y(x0 + h/2)|<ε
Erro é pequeno e estamos realizando um esforçocomputacional desnecessárioAceitamos o passo e diminuimos h para o próximo passo
3 Se |y(x0 + h)− y(x0 + h/2)|>εO erro é muito grandeRejeitamos o passo, diminuimos h e tentamos de novo
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta Fehlberg
Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão
O método
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta Fehlberg
Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão
O método
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta Fehlberg
Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão
O método
Para um método de Runge-Kutta de ordem n, temos
y(x0 + h) = yexato + khn+1
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta Fehlberg
Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão
O método
Para um método de Runge-Kutta de ordem n, temos
y(x0 + h) = yexato + khn+1
Portanto, a diferença entre Runge-Kutta de ordem n e n + 1 é
yn(x0 + h)− yn+1(x0 + h) = khn+1 − k̂hn+2 ≈ khn+1
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta Fehlberg
Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão
O método
Para um método de Runge-Kutta de ordem n, temos
y(x0 + h) = yexato + khn+1
Portanto, a diferença entre Runge-Kutta de ordem n e n + 1 é
yn(x0 + h)− yn+1(x0 + h) = khn+1 − k̂hn+2 ≈ khn+1
Logo k ≈ yn−yn+1hn+1
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta Fehlberg
Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão
O método
Portanto, se hnew é o tamanho do novo passo de forma a essasduas expressões concordarem (aceitando um erro ε)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta Fehlberg
Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão
O método
Portanto, se hnew é o tamanho do novo passo de forma a essasduas expressões concordarem (aceitando um erro ε)
hnewε = khn+1new =
hn+1new
hn+1 |yn − yn+1|
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta Fehlberg
Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão
O método
Portanto, se hnew é o tamanho do novo passo de forma a essasduas expressões concordarem (aceitando um erro ε)
hnewε = khn+1new =
hn+1new
hn+1 |yn − yn+1|
Dondehnew = h n
√hε
|yn(x0 + h)− yn+1(x0 + h)|
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
1 A partir de um passo de tamanho h, calculamos o erro|yn − yn+1|
2 Se o erro for maior do que o aceitável, rejeitamos o passoe repetimos o processo com um passo menor hnew
3 Se o erro for menor que o aceitável, estamos usando umpasso grande demais. Aceitamos o passo e aumentamoso passo para a próxima iteração.
Atenção
Como o custo computacional de repetir um passo é relativa-mente alto, é aconselhável ser conservador e usar um passomenor que o estimado. Digamos, 0.9hnew
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
1 A partir de um passo de tamanho h, calculamos o erro|yn − yn+1|
2 Se o erro for maior do que o aceitável, rejeitamos o passoe repetimos o processo com um passo menor hnew
3 Se o erro for menor que o aceitável, estamos usando umpasso grande demais. Aceitamos o passo e aumentamoso passo para a próxima iteração.
Atenção
Como o custo computacional de repetir um passo é relativa-mente alto, é aconselhável ser conservador e usar um passomenor que o estimado. Digamos, 0.9hnew
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
1 A partir de um passo de tamanho h, calculamos o erro|yn − yn+1|
2 Se o erro for maior do que o aceitável, rejeitamos o passoe repetimos o processo com um passo menor hnew
3 Se o erro for menor que o aceitável, estamos usando umpasso grande demais. Aceitamos o passo e aumentamoso passo para a próxima iteração.
Atenção
Como o custo computacional de repetir um passo é relativa-mente alto, é aconselhável ser conservador e usar um passomenor que o estimado. Digamos, 0.9hnew
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Implementação
1 A partir de um passo de tamanho h, calculamos o erro|yn − yn+1|
2 Se o erro for maior do que o aceitável, rejeitamos o passoe repetimos o processo com um passo menor hnew
3 Se o erro for menor que o aceitável, estamos usando umpasso grande demais. Aceitamos o passo e aumentamoso passo para a próxima iteração.
Atenção
Como o custo computacional de repetir um passo é relativa-mente alto, é aconselhável ser conservador e usar um passomenor que o estimado. Digamos, 0.9hnew
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Ganho computacional
Qual o ganho computacional do método?Em geral, nenhum.O que se ganha com a otimização do passo, se perde coma aplicação de dois Runge-Kutta para cada passo.A Sacada:Usar métodos Runge-Kutta de diferentes ordens, com asmesmas funções intermediárias!!!
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Ganho computacional
Qual o ganho computacional do método?Em geral, nenhum.O que se ganha com a otimização do passo, se perde coma aplicação de dois Runge-Kutta para cada passo.A Sacada:Usar métodos Runge-Kutta de diferentes ordens, com asmesmas funções intermediárias!!!
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Ganho computacional
Qual o ganho computacional do método?Em geral, nenhum.O que se ganha com a otimização do passo, se perde coma aplicação de dois Runge-Kutta para cada passo.A Sacada:Usar métodos Runge-Kutta de diferentes ordens, com asmesmas funções intermediárias!!!
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Ganho computacional
Qual o ganho computacional do método?Em geral, nenhum.O que se ganha com a otimização do passo, se perde coma aplicação de dois Runge-Kutta para cada passo.A Sacada:Usar métodos Runge-Kutta de diferentes ordens, com asmesmas funções intermediárias!!!
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Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta-Fehlberg de quarta/quinta ordem
Funções intermediárias
f0 = f (x0, y0)
f1 = f (x0 +h4, y0 +
h4
f0)
f2 = f (x0 +3h8, y0 +
3h32
f0 +9h32
f1)
f3 = f (x0 +12h13
, y0 +1932h2197
f0 −7200h2197
f1 +7296h2197
f2)
f4 = f (x0 + h, y0 +439h216
f0 − 8hf1 +3680h
513f2 −
845h4104
f3)
f5 = f (x0 +h2, y0 −
8h27
f0 + 2hf1 −3544h2565
f2 +1859h4104
f3 −11h40
f4)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta-Fehlberg de quarta/quinta ordem
Aproximações
y4 = y0 + h(
25216
f0 +14082565
f2 +21974104
f3 −15
f4
)y5 = y0 + h
(16
135f0 +
665612825
f2 +2856156430
f3 −9
50f4 +
255
f5
)
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg
Runge-Kutta-Fehlberg de quarta/quinta ordem
Erro
∆ = |y4−y5| = h∣∣∣∣ 1360
f0 −128
4275f2 −
219775240
f3 +1
50f4 +
255
f5
∣∣∣∣Não é necessário calcular y explicitamente para aceitar ounão o passo
hnew = 0.9h 4
√hε∆
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Problemas com condições de contorno fixas
Neste caso, queremos resolver uma EDO de ordem nsujeita a condições de contorno na superfíciePrimeiramente, reescrevemos a EDO como um conjuntode n equações de primeira ordem
Y =
yy ′
y ′′...
yn−1
Assim, teremos n1 condições de contorno no ponto inicial(t = 0) e n2 = n − n1 condições de contorno no ponto final(t = tf )
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Problemas com condições de contorno fixas
Neste caso, queremos resolver uma EDO de ordem nsujeita a condições de contorno na superfíciePrimeiramente, reescrevemos a EDO como um conjuntode n equações de primeira ordem
Y =
yy ′
y ′′...
yn−1
Assim, teremos n1 condições de contorno no ponto inicial(t = 0) e n2 = n − n1 condições de contorno no ponto final(t = tf )
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Problemas com condições de contorno fixas
Neste caso, queremos resolver uma EDO de ordem nsujeita a condições de contorno na superfíciePrimeiramente, reescrevemos a EDO como um conjuntode n equações de primeira ordem
Y =
yy ′
y ′′...
yn−1
Assim, teremos n1 condições de contorno no ponto inicial(t = 0) e n2 = n − n1 condições de contorno no ponto final(t = tf )
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Problemas com condições de contorno fixas
Neste caso, queremos resolver uma EDO de ordem nsujeita a condições de contorno na superfíciePrimeiramente, reescrevemos a EDO como um conjuntode n equações de primeira ordem
Y =
yy ′
y ′′...
yn−1
Assim, teremos n1 condições de contorno no ponto inicial(t = 0) e n2 = n − n1 condições de contorno no ponto final(t = tf )
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Método da tentativa e erro
1 Escolhemos n2 condições contorno arbitrárias (chute)complementanto as n1 condições já existentes no pontoinicial
2 Usando um método para problemas de valor inicial,deixamos o sistema evoluir até o ponto tf
3 Calculamos o erro em relação às condições de contornono ponto final
Se o erro (todas as componentes) for menor que atolerância, achamos a soluçãoSe não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Método da tentativa e erro
1 Escolhemos n2 condições contorno arbitrárias (chute)complementanto as n1 condições já existentes no pontoinicial
2 Usando um método para problemas de valor inicial,deixamos o sistema evoluir até o ponto tf
3 Calculamos o erro em relação às condições de contornono ponto final
Se o erro (todas as componentes) for menor que atolerância, achamos a soluçãoSe não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Método da tentativa e erro
1 Escolhemos n2 condições contorno arbitrárias (chute)complementanto as n1 condições já existentes no pontoinicial
2 Usando um método para problemas de valor inicial,deixamos o sistema evoluir até o ponto tf
3 Calculamos o erro em relação às condições de contornono ponto final
Se o erro (todas as componentes) for menor que atolerância, achamos a soluçãoSe não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Método da tentativa e erro
1 Escolhemos n2 condições contorno arbitrárias (chute)complementanto as n1 condições já existentes no pontoinicial
2 Usando um método para problemas de valor inicial,deixamos o sistema evoluir até o ponto tf
3 Calculamos o erro em relação às condições de contornono ponto final
Se o erro (todas as componentes) for menor que atolerância, achamos a soluçãoSe não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Método da tentativa e erro
1 Escolhemos n2 condições contorno arbitrárias (chute)complementanto as n1 condições já existentes no pontoinicial
2 Usando um método para problemas de valor inicial,deixamos o sistema evoluir até o ponto tf
3 Calculamos o erro em relação às condições de contornono ponto final
Se o erro (todas as componentes) for menor que atolerância, achamos a soluçãoSe não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Aprendendo a chutar
Queremos, a partir de um conjunto de condições decontorno α = {α1, α2, · · · , αn2}, encontrar um novoconjunto que faça o erro diminuir
α′ = α + ∆α
Para isso, escolhemos ∆α tal que
ε = J∆α J = [jij ] =
[∂εi
∂αj
]E aproximamos
∂εi
∂αj=εi(α1, · · · , αj + ∆αj , · · · , αn2)− εi(α1, · · · , αn2)
∆αj
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Aprendendo a chutar
Queremos, a partir de um conjunto de condições decontorno α = {α1, α2, · · · , αn2}, encontrar um novoconjunto que faça o erro diminuir
α′ = α + ∆α
Para isso, escolhemos ∆α tal que
ε = J∆α J = [jij ] =
[∂εi
∂αj
]E aproximamos
∂εi
∂αj=εi(α1, · · · , αj + ∆αj , · · · , αn2)− εi(α1, · · · , αn2)
∆αj
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Aprendendo a chutar
Queremos, a partir de um conjunto de condições decontorno α = {α1, α2, · · · , αn2}, encontrar um novoconjunto que faça o erro diminuir
α′ = α + ∆α
Para isso, escolhemos ∆α tal que
ε = J∆α J = [jij ] =
[∂εi
∂αj
]E aproximamos
∂εi
∂αj=εi(α1, · · · , αj + ∆αj , · · · , αn2)− εi(α1, · · · , αn2)
∆αj
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Aprendendo a chutar
Queremos, a partir de um conjunto de condições decontorno α = {α1, α2, · · · , αn2}, encontrar um novoconjunto que faça o erro diminuir
α′ = α + ∆α
Para isso, escolhemos ∆α tal que
ε = J∆α J = [jij ] =
[∂εi
∂αj
]E aproximamos
∂εi
∂αj=εi(α1, · · · , αj + ∆αj , · · · , αn2)− εi(α1, · · · , αn2)
∆αj
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Exemplo: EDO de segunda ordem
1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 1
dy1
dx= y2
dy2
dx= F (x , y , y ′)
2 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2
4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,
temos7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| se
torne menor que a tolerância
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Exemplo: EDO de segunda ordem
1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,
y1(x0) = y0 e y1(xf ) = yf
3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2
4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,
temos7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| se
torne menor que a tolerância
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Exemplo: EDO de segunda ordem
1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2
4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)
6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,temos
7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| setorne menor que a tolerância
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Exemplo: EDO de segunda ordem
1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2
4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta paraobter
y1(xf , α1) e y1(xf , α2)
5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,
temos7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| se
torne menor que a tolerância
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Exemplo: EDO de segunda ordem
1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2
4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2) e estimamos
∂ε
∂α=
ε2 − ε1
α2 − α1
6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,temos
7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| setorne menor que a tolerância
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Exemplo: EDO de segunda ordem
1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2
4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)
6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,temos
∆α = − ε2∂ε∂α
7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| setorne menor que a tolerância
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Exemplo: EDO de segunda ordem
1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2
4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta paraobter
y1(xf , α1) e y1(xf , α2)
5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,
temos7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| se
torne menor que a tolerância
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Método dos elementos finitos
Mais uma vez, queremos resolver uma EDO comcondições de contorno nas bordas y(x0) = y0 e y(xf ) = yfPara isso, dividimos o intervalo em N partes iguais detamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (yi , xi), ondeyi = y(xi)Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO desegunda ordem, poderíamos escrever)
dyi
dx=
yi+1 − yi−1
2he
d2yi
dx2 =yi+1 − 2yi + yi−1
h2
Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos umanova aproximação para yi em função dos valores de yi±1Repetimos o processo, até que a precisão desejada sejaobtida
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Método dos elementos finitos
Mais uma vez, queremos resolver uma EDO comcondições de contorno nas bordas y(x0) = y0 e y(xf ) = yfPara isso, dividimos o intervalo em N partes iguais detamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (yi , xi), ondeyi = y(xi)Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO desegunda ordem, poderíamos escrever)
dyi
dx=
yi+1 − yi−1
2he
d2yi
dx2 =yi+1 − 2yi + yi−1
h2
Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos umanova aproximação para yi em função dos valores de yi±1Repetimos o processo, até que a precisão desejada sejaobtida
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Método dos elementos finitos
Mais uma vez, queremos resolver uma EDO comcondições de contorno nas bordas y(x0) = y0 e y(xf ) = yfPara isso, dividimos o intervalo em N partes iguais detamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (yi , xi), ondeyi = y(xi)Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO desegunda ordem, poderíamos escrever)
dyi
dx=
yi+1 − yi−1
2he
d2yi
dx2 =yi+1 − 2yi + yi−1
h2
Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos umanova aproximação para yi em função dos valores de yi±1Repetimos o processo, até que a precisão desejada sejaobtida
<++>Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias
![Page 116: Introdução Problemas de Contorno - fisica.ufpb.brarosas/FisicaComputacional/aula06... · Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias. Introdução Problemas de valor inicial](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051510/5be1f9b109d3f24a208b9abd/html5/thumbnails/116.jpg)
IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Método dos elementos finitos
Mais uma vez, queremos resolver uma EDO comcondições de contorno nas bordas y(x0) = y0 e y(xf ) = yfPara isso, dividimos o intervalo em N partes iguais detamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (yi , xi), ondeyi = y(xi)Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO desegunda ordem, poderíamos escrever)
dyi
dx=
yi+1 − yi−1
2he
d2yi
dx2 =yi+1 − 2yi + yi−1
h2
Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos umanova aproximação para yi em função dos valores de yi±1Repetimos o processo, até que a precisão desejada sejaobtida
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IntroduçãoProblemas de valor inicial
Problemas de Contorno
Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos
Método dos elementos finitos
Mais uma vez, queremos resolver uma EDO comcondições de contorno nas bordas y(x0) = y0 e y(xf ) = yfPara isso, dividimos o intervalo em N partes iguais detamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (yi , xi), ondeyi = y(xi)Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO desegunda ordem, poderíamos escrever)
dyi
dx=
yi+1 − yi−1
2he
d2yi
dx2 =yi+1 − 2yi + yi−1
h2
Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos umanova aproximação para yi em função dos valores de yi±1Repetimos o processo, até que a precisão desejada sejaobtida
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