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Introducao a Algebra Vetorial
Francisco Edson da Silva
Simone Batista
Conteudo
1 As Grandezas Vetoriais 1
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Grandezas Escalares versus Grandezas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Sistema de Coordenadas Cartesianas 18
2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Localizando pontos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Divisao do plano em quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 Distancia entre dois pontos do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Localizando pontos no espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Divisao do espaco em octantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 Distancia entre Dois Pontos do Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Vetores no Plano e no Espaco 51
3.1 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Vetores no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Determinando as Coordenadas de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Determinando as coordenadas de um vetor no plano . . . . . . . . . 58
3.3.2 Determinando as coordenadas de um vetor no espaco . . . . . . . . 60
3.4 Vetor Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Igualdade de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Norma de Vetor: Versao Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
ii
3.7 Coplanariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Multiplicacao de Numero Real por Vetor 75
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Definicao e Interpretacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Propriedades da Multiplicacao de Numero Real por Vetor . . . . . . . . . . 78
4.4 Versao Algebrica da Multiplicacao de Numero Real por Vetor . . . . . . . 79
4.5 Paralelismo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Adicao de Vetores 92
5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2 Adicao de Vetores: Versao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.1 Regra do Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.2 Regra do Polıgono ou Regra do “Fim de um no comeco do outro” . 95
5.3 Propriedades da Adicao de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4 Adicao de Vetores: Versao Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5 Aplicacoes da Adicao de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6 Resumo das Propriedades da Multiplicacao de Numero Real por Vetor e
da Adicao de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Adicao de Ponto com Vetor 112
6.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2 Propriedades da Adicao de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3 Versao Algebrica de Adicao de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Coordenadas do Ponto Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7 Produto Escalar 122
7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2 Produto Escalar: versao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4 Produto Escalar e Angulo entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.5 Produto Escalar: Versao Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6 Trabalho de uma Forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.7 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.8 Decompondo Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
iii
7.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8 Produto Vetorial 148
8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2 Produto Vetorial: Versao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.3 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.4 Produto Vetorial e Area de Polıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.5 Produto Vetorial: Versao Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.6 Torque de uma Forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9 Retas e Planos 167
9.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.2 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.2.2 Retas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.2.3 Retas no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.3 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.3.2 Equacoes do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.3.3 Justificativa da Equacao Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10 Posicao Relativa: Disposicao, Angulos e Distancias 189
10.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.2 Distancia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.3 Distancia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.4 Distancia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.5 Posicao Relativa entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.5.1 Posicao Relativa entre Retas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.5.2 Posicao Relativa entre Retas no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.6 Posicao Relativa entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.6.1 Disposicao entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.6.2 Angulo entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.6.3 Distancia entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.7 Posicao Relativa entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.7.1 Disposicao entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.7.2 Angulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
iv
10.7.3 Distancia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
v
Capıtulo 1
As Grandezas Vetoriais
1.1 Introducao
Ao estudarmos a Algebra Vetorial queremos entender, definir e aprender o que sao
segmentos orientados, pontos e vetores e como representa-los geometrica e algebricamente,
bem como queremos aprender a trabalhar e realizar as diversas operacoes matematicas
com estes elementos matematicos e estudar as principais aplicacoes destas operacoes.
Em nosso livro, a comecar por este capıtulo, vamos estudar, definir e discutir as
grandezas vetoriais, entender as diferencas entre elas e as grandezas escalares e aprender
a realizar as principais operacoes aritmeticas com essas grandezas vetoriais. Assim, neste
capıtulo inicial, aprenderemos a classificar e deferenciar dois tipos de grandezas vetoriais,
os segmentos orientados e os vetores, e, nos capıtulos seguintes, aprendermos a trabalhar
e operar com os vetores.
1.2 Grandezas Escalares versus Grandezas Vetoriais
Antes de comecarmos a classificar os tipos de grandezas vetorias, representa-las e a
operar com elas, precisamos saber o que sao essas grandezas vetoriais e perceber a diferenca
entre grandezas vetoriais e grandezas escalares.
Algumas grandezas podem ser totalmente caracterizadas por sua intensidade ou mag-
nitude associada a uma unidade. Estas grandezas sao chamadas grandezas escalares.
1
Como exemplos deste tipo de grandeza podemos citar:
1. o comprimento de um terreno. 20m;
2. a temperatura da sala: 21oC;
3. a duracao de uma aula: 50min;
4. a altura de uma pessoa;
5. a massa de um objeto;
6. a diferenca de potencial eletrico.
Assim temos que, por definicao, as grandezas que podem ser completamente definidas
por sua magnitude sao chamadas de grandezas escalares.
As grandezas escalares, como vimos pelos exemplos, sao onipresentes em nosso dia-
a-dia. Trabalhar com grandezas escalares e simples e ja estamos bastante acostumados
a trabalhar com elas. Realizar operacoes aritmeticas envolvendo este tipo de grandeza e
realizar operacoes aritmeticas envolvendo numeros reais.
Exemplo:
1. Joao comprou um terreno retangular para contruir a casa de seu sonhos. Sabendo
que o comprimento do terreno e de 20,0 m e que a largura do terreno e de 18,0 m,
calcule a area do terrreno.
Resolucao: Sabemos que a area de um retangulo e o produto de sua largura por
seu comprimento:
A = h · l
Portanto:
A = h · l = 20, 0× 18, 0 = 360m2
Portanto, a area do terreno comprado por Joao para fazer a casa de seus sonhos e
de 360 m2.
2
2. O recorde mundial da maratona e de 2 horas 3 minutos e 28 segundos obtido por
Patrick Makau na maratona de Berlin em 2011. Sabendo que o percurso total da
maratorna e de 42.195 metros, determine a velocidade media de Patrick na prova
em que ele obteve este recorde.
Resolucao: Sabemos que a velocidade media de um movel e dada por:
vm =∆s
∆t
onde ∆s e a distancia percorrida e ∆t e o tempo gasto para percorrer essa distancia.
Assim, como ∆s = 42195 m e ∆t = 7408 s, temos que a velocidade media de Patrick
na maratona em bateu o recorde mundial foi de:
vm =∆s
∆t=
42195
7408∼= 5, 70 m/s
Portanto, a velocidade media de Patrick na prova em que conseguiu o recorde
mundial da maratona foi vm ∼= 5, 70 m/s
Diversos outros problemas e exemplos envolvendo apenas grandezas escalares aparecem
em nosso cotidiano e ja estamos acostumados a trabalhar com esse tipo de grandeza
matematica.
Por outro lado, na maioria dos problemas de Fısica, Matematica e Engenharia, alem
das grandezas escalares, temos que trabalhar com as grandezas vetoriais. Por isto pre-
cisamos entender o que sao esse tipo de grandeza matematica e aprender a trabalhar com
elas.
Diferente das grandezas escalares, ha grandezas que precisam de mais que uma inten-
sidade ou magnitude para serem descritas. Estas precisam de uma intensidade (associada
a uma unidade), de uma direcao e de um sentido para serem totalmente caracterizadas.
Estas grandezas sao chamadas grandezas vetoriais.
Para comecarmos a entender estas grandezas, vamos a um exemplo.
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Exemplo:
Os irmaos Pedro e Paulo estavam passeando de carro quando este enguicou. Os
irmaos combinaram de empurrar o carro, cada um, com uma forca de 200N para
leva-lo ate o acostamento e, ao descerem do carro, empurraram-no conforme figura
abaixo.
O problema dos irmaos nao foi resolvido!
Pois forca e uma grandeza vetorial, precisamos especificar: intensidade, direcao e
sentido. Especicificar somente a intensidade, como fizeram os irmaos, nao e sufi-
ciente.
A seguir, os irmaos combinaram de cada um aplicar a forca de 200N na direcao hori-
zontal no sentido da esquerda para direita. Assim seus esforcos ficaram organizados
como mostra a figura abaixo:
O problema foi resolvido!
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Como pudemos perceber pelo exemplo acima, para especificar completamente uma
grandeza vetorial precisamos explicitar:
⋄ a intensidade ou o tamanho ou o comprimento ou a magnitude ou a norma;
⋄ a direcao; e
⋄ o sentido.
Neste livro usamos, indiferentemente, as palavras intensidade, tamanho, comprimento,
magnitude e norma para nos referirmos a mesma grandeza: o tamanho de um vetor.
Podemos citar varias grandezas vetorias presentes em nosso dia-a-dia. Vejamos alguns
exemplos simples.
Exemplos:
1. A forca exercida sobre um corpo e uma grandeza vetorial.
Sobre uma bola pendurada no teto atua uma forca de 2N , na direcao vertical, de
baixo para cima.
2. O deslocamento de um corpo e uma grandeza vetorial.
O livro da figura foi deslocado 75 cm sobre a mesa, na direcao horizontal e no sentido
da esquerda para direita.
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3. A velocidade de um carro e uma grandeza vetorial.
O carro da figura esta a 50 quilometros por hora, na direcao que forma 30◦ com a
horizontal no sentido de baixo para cima.
Apos entendermos, nesta secao, o que sao grandezas vetoriais e observarmos a sua
onipresenca em nosso cotidiano, precisamos classificar e estudar os tipos de grandezas
vetoriais. Na verdade, vamos estudar e trabalhar com dois tipos de grandezas vetoriais:
segmentos orientados; e vetores.
Nosso objetivo principal neste livro e aprender a trabalhar com os vetores, mas nao
vemos sentido em atingir este objetivo sem entendermos, tambem, o que sao segmentos
orientados e quais as diferencas entre vetores e segmentos orientados.
Assim, nas proximas secoes deste capıtulos vamos estudar os conceitos de segmentos
orientados e de vetores. Explicitamente, vamos definir segmento orientado para, a partir
deste conceito, definir vetor.
1.3 Segmentos Orientados
Segmento orientado e um segmento de reta ou um pedaco de reta com um sentido
fixado. Um segmento de reta liga dois pontos do plano ou do espaco tridimensional.
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Um segmento orientado pode ser definido e define dois pontos: o ponto de inıcio
do segmento que chameremos de ponto inicial e o ponto de termino do segmento que
chamaremos de ponto final.
O segmento orientado que tem o ponto A como ponto inicial e o ponto B como ponto
final sera denotado por:−→AB.
Um segmento orientado tem direcao, sentido e magnitude, mas ele nao e totalmente
determinado por estas suas caracteristıcas pois dois segmentos orientados com mesma
direcao, mesmo sentido e mesmo comprimento que tem, por exemplo, pontos iniciais
diferentes sao segmentos orientados diferentes.
Um segmento orientado e totalmente determinado por seu ponto inicial e seu ponto
final. Dois segmentos orientados com mesmo ponto inicial e ponto final sao o mesmo
segmento orientado.
O ponto inicial e o ponto final de um segmento orientado determinam a direcao,
o sentido e o comprimento deste segmento orientado. Tome por exemplo o segmento
orientado−→AB mostrado na figura abaixo.
Este segmento orientado tem:
⋄ Direcao: a direcao da reta que passa pelos pontos A e B;
⋄ Sentido: do ponto A para o ponto B;
⋄ Norma: o comprimento do segmento de reta AB (medido em cm, mm, m ou outra
unidade qualquer de comprimento).
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Observacoes:
1. O segmento orientado−→AB e diferente do segmento orientado
−→BA. Eles tem a
mesma direcao, e o mesmo comprimento, mas tem sentidos diferentes. Dizemos que−→AB e
−→BA tem sentidos opostos ou que sao vetores opostos.
2. Sera util considerarmos segmentos que tem ponto inicial igual ao ponto final. Dize-
mos que estes segmentos orientados sao ‘degenerados’, pois, na verdade eles nao
sao segmentos orientados. Os segmentos orientados que tem ponto inicial igual
ao ponto final serao denominados de segmentos orientados nulos. Exemplos:−→AA,
−→OO,
−−→BB.
No conjunto dos segmentos orientados vamos definir uma relacao. Dizemos que dois
segmentos orientados se relacionam se eles tem a mesma direcao, o mesmo sentido e o
mesmo comprimento. Se o segmento orientado−→AB se relaciona com o segmento orientado
−−→GH escrevemos
−→AB ∼
−−→GH.
Esta relacao tem propriedades bastante interessantes.
Dados os segmentos orientados−→AB,
−−→CD e
−→EF , temos as seguintes propriedades:
1.−→AB ∼
−→AB.
Propriedade Reflexiva.
2. Se−→AB ∼
−−→CD entao
−−→CD ∼
−→AB
Propriedade Simetrica.
3. Se−→AB ∼
−−→CD e
−−→CD ∼
−→EF , entao
−→AB ∼
−→EF .
Propriedade Transitiva.
Quando uma relacao tem as propriedades reflexiva, simetrica e transitiva dizemos
que esta relacao e uma relacao de equivalencia. A relacao entre segmentos orientados,
definida acima e uma relacao de equivalencia. Esta relacao de equivalencia ‘divide’ ou par-
ticiona o conjunto dos segmentos orientados em subconjuntos que sao chamados classes
de equivalencia ou classes de equipolencia. Esta ‘divisao’ e uma ‘boa’ divisao pois,
cada segmento orientado pertence a uma, e somente uma, classe de equivalencia.
As relacoes de equivalencia foram apresentadas aqui apenas como uma curiosidade
para maiores detalhes voce pode consultar um livro de mais avancado de Algebra.
8
1.4 Vetores
Um vetor e o conjunto de todos os segmentos orientados do espaco que tem mesma
direcao, mesmo sentido e mesmo comprimento. Neste caso, cada segmento orientado e
chamado de representante do vetor.
Chamamos de espaco vetorial e denotamos por V o conjunto de todos os vetores no
plano ou no espaco tridimensional.
Em geral, usaremos letras minusculas, do nosso alfabeto, com uma seta em cima para
designar um vetor.
Por exemplo, as grandezas a seguir sao vetores: −→v , −→u e −→w .
Alguns autores usam letras minusculas, do nosso alfabeto, em negrito para designar
vetores. Nesse caso terıamos como exemplo de representacao de vetores v, u e w.
Em nosso livro, nao vamos usar notacao de vetores em negrito por entendermos que
causa causa confusao e problemas ao estudante tentar representar vetores usando essa
notacao ao escrever ‘a mao’ em cadernos de anotacoes, testes e provas.
O conceito de vetor e, em algum sentido, parecido e algumas vezes ate confundido com
o conceito de segmento orientado. Mas, existem diferencas.
As principais diferencas entre segmentos orientados e vetores estao listadas a seguir:
i. Um segmento orientado tem lugar fixo no plano ou no espaco. Enquanto um vetor
nao tem lugar fixo no plano ou no espaco.
ii. Um segmento orientado nao e totalmente caracterizado por sua direcao, seu sentido
e seu comprimento. Ja um vetor e totalmente caracterizado por sua direcao, seu
sentido e seu comprimento.
iii. Um segmento orientado esta totalmente caracterizado por seu ponto inicial e por
seu ponto final. E um vetor nao tem ponto inicial fixo ou ponto final fixo no espaco.
iv. Um segmento orientado nao ‘anda’ no espaco, o segmento orientado esta fixado no
espaco, tem um ponto inicial A e um ponto final B fixos no plano ou no espaco. E
um vetor ‘anda’ no espaco, ou seja, fixado um vetor e dado um ponto A existe um
representante deste vetor que tem ponto inicial em A, e dado um ponto B existe
um representante deste vetor que tem ponto inicial em B .
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Exemplos
1. Um segmento orientado com:
• Direcao: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1 cm,
• Pontos inicial e final: inıcio no ponto A e termino no ponto B.
NAO E IGUAL
A um segmento orientado com:
• Direcao: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1 cm,
• Pontos inicial e final: inıcio no ponto C e termino no ponto D (A = C e
B = D).
Assim:
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2. Um segmento orientado com:
• Direcao: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1cm,
• Pontos inicial e final: inıcio no ponto A e termino no ponto B.
REPRESENTA O MESMO VETOR
Que um segmento orientado com:
• Direcao: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1cm,
• Pontos inicial e final: inıcio no ponto C e termino no ponto D (A = C e
B = D).
Assim:
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Do exposto ate o momento, podemos apresentar o seguinte conceito para vetor.
Vetor: e o conjunto de todos segmentos orientados de mesma direcao, mesmo sentido
e mesmo comprimento.
E com a relacao de equivalencia que definimos no conjunto dos segmentos orientados,
na secao anterior, podemos completar a definicao de vetor definindo um vetor como uma
classe de equivalencia ou classe de equipolencia.
Esta e uma definicao, matematicamente, mais precisa. Com esta definicao, vetor,
por ser uma classe de equivalencia, ja tem varias propriedades. Mas, para um primeiro
curso de graduacao podemos ficar com a definicao de vetor como conjunto de segmentos
orientados com mesma direcao, mesmo sentido e mesmo comprimento.
Exemplos
1. Na figura abaixo contida no plano (IR2) temos 30 segmentos orientados. Quantos
vetores temos na figura?
Resposta: Destacando com cores diferentes os diferentes vetores (ver figura a
seguir) vemos que ha 5 vetores na figura.
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2. Na figura abaixo contida no espaco tridimensional (IR3) temos 20 segmentos orienta-
dos. Quantos vetores temos na figura? (Obs.: Apesar de ser uma figura no espaco,
para facilitar a visualizacao, os vetores nao foram desenhados em profundidade.)
Resposta: Novamente, marcamos os vetores diferentes com cores diferentes (ver
figura a seguir). Desta forma percebemos que ha 4 vetores na figura.
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3. Na figura abaixo temos um cubo, onde marcamos 12 segmentos orientados. Quantos
vetores temos?
Resposta: Marcando os vetores diferentes com cores diferentes (ver figura a seguir),
percebemos que ha 7 vetores na figura.
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Vamos querer fazer operacoes com vetores, assim vamos estudar e estruturar melhor
o conjunto V de todos os vetores no espaco.
1. Se −→v e um vetor, ou seja, −→v ∈ V entao −→v e um conjunto de segmentos orientados.
Cada elemento de V e um conjunto. V e um conjunto de conjuntos.
2. Se−→v e um vetor, entao−→v e um conjunto de segmentos orientados, todos com mesma
direcao, mesmo sentido e mesmo tamanho. Cada elemento de −→v e denominado
representante de −→v .
Muitas vezes, inclusive nas operacoes entre vetores, usaremos representantes dos ve-
tores.
Dado um vetor −→v e fixado um ponto A no espaco, existe um representante de −→v que
tem inıcio em A. Fixado outro ponto B, temos outro representante de −→v que tem inıcio
em B. Por isso, algumas vezes dizemos que vetor ‘anda’ no espaco.
Dado um vetor, −→v ∈ V definimos:
⋄ Direcao: A direcao do vetor−→v e a direcao de um, ou seja, de qualquer representante
deste vetor.
⋄ Sentido: O sentido do vetor −→v e o sentido de um dos representantes deste vetor.
⋄ Norma: A norma ou modulo de −→v e o comprimento ou tamanho de um dos
representantes deste vetor. A notacao que vamos usar para norma do vetor −→v e
|−→v |.
Exemplo: Considere o cubo da figura abaixo com vertices ABCDEFGH.
i) Os segmentos orientados−→AB,
−−→DC,
−→EF,
−−→HG sao alguns dos representantes de um
vetor que denotaremos por −→u .
ii) Os segmentos orientados−→BA,
−−→CD,
−→FE,
−−→GH sao alguns dos representantes de um
vetor que denotaremos por −→w .
iii) Os segmentos orientados−→AE,
−→CG,
−−→DH,
−−→BF sao alguns dos representantes de um
vetor que denotaremos por−→t .
iv) Os segmentos orientados−−→EC,
−→GA nao sao representantes de um unico vetor, eles
representam vetores distintos. Tambem nao confundir os segmentos orientados−−→HB
e−−→FD.
Estes vetores sao destacados nos cubos da figura abaixo.
15
1.5 Exercıcios
1. Com sua palavras, diga quais as principais diferencas entre:
a) grandezas escalares e grandezas vetoriais;
b) segmentos orientados e vetores.
16
2. Considere o segmento orientado−→AB. Como voce definiria sua:
a) magnitude;
b) direcao;
c) sentido.
3. Considere o cubo da figura a seguir.
a) Se−−→GH representa o vetor −→v , que outros segmentos orientados podem ser
marcados no cubo e representam o vetor −→v ?
b) Se−−→DA representa o vetor −→w , que outros segmentos orientados podem ser mar-
cados no cubo e representam o vetor −→w ?
c) Se−−→EG representa o vetor −→u , que outros segmentos orientados podem ser mar-
cados no cubo e representam o vetor −→u ?
d) Se−−→ED representa o vetor −→r , que outros segmentos orientados podem ser mar-
cados no cubo e representam o vetor −→r ?
e) Se−−→BH representa o vetor −→s , que outros segmentos orientados podem ser
marcados no cubo e representam o vetor −→s ?
∗ ∗ ∗
17
Capıtulo 2
Sistema de Coordenadas Cartesianas
No capıtulo anterior comecamos a estudar os vetores e a entender sua definicao
matematica, bem como aprendemos as diferencas entre vetores e segmentos orientados
e o que e espaco vetorial. Porem, para que nos proximos capıtulos possamos realizar
operacoes aritmeticas envolvendo vetores, precisamos aprender a localizar e representar
os vetores e outros elementos da Algebra Vetorial no plano e no espaco. Por isto, neste
capıtulo, vamos apresentar aos estudantes a nocao de sistemas de coordenadas cartesianas
no plano e no espaco e veremos como localizar pontos e a calcular a distancia entre eles,
tanto no plano quanto no espaco.
Devemos lembrar que existem varios outros sistemas de coordenadas, mas o sistema
cartesiano e o mais usado e neste livro vamos nos ater exclusivamente a este tipo de
sistema de coordenadas.
2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano
Para localizar pontos, vetores, retas e outros elementos no plano usaremos a nocao
de Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano. Este sistema de coordenadas
tambem e chamado de Sistema de Coordenadas Retangulares, pois os eixos formam
angulos de 90◦ entre si.
18
2.1.1 Definicao
Para definir o sistema de coordenadas cartesianas no plano:
1. Fixamos um ponto no plano que sera chamado de origem e sera denotado por O.
2. Escolhemos duas retas do plano (que denotaremos por x e y) perpendiculares, que
passem pela origem O. Chamaremos estas retas de eixos: eixo x e eixo y. Em geral,
escolhemos uma reta horizontal, que chamamos de eixo x e uma reta vertical que
chamamos de eixo y.
3. Para cada um dos eixos fixamos um sentido que sera considerado positivo. Em geral,
da esquerda para a direita para o eixo x e de baixo para cima, para o eixo y.
4. Para cada um dos eixos definimos uma escala, associando assim cada ponto do eixo
a um numero real. Associamos a origem O ao numero zero 0. A partir da origem, no
sentido positivo do eixo associamos, de forma crescente, os numeros reais positivos.
E a partir da origem no sentido negativo (sentido oposto ao positivo) associamos,
de forma decrescente, os numeros reais negativos.
Os procedimentos descritos acima nos dao o sistema de eixos coordenados onde a
origem e a interseccao dos eixos. Este sistema de coordenadas esta esquematizado na
figura a seguir.
Neste texto escolhemos sempre escalas iguais para o eixo x e y. As escalas dos eixos
podem ser diferentes. Quando escolhemos escalas diferentes para os eixos muitas das
formulas usadas tambem serao diferentes.
19
2.1.2 Localizando pontos no plano
Definido o sistema de coordenadas que vamos utilizar precisamos aprender a localizar
objetos e elementos da Algebra Vetorial neste sistema de coordenadas e definir o que serao
as coordenadas desses elementos.
Vamos considerar, inicialmente, um ponto e aprender a localiza-lo e a determinar suas
coordenadas em nosso sistemas de coordenadas cartesianas no plano.
Fixado um ponto A do plano, chamaremos de:
⋄ y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A,
⋄ Ax o ponto de interseccao entre esta reta e o eixo x.
A coordenada xA (componente do ponto A em relacao ao eixo x) e o numero associado
ao ponto Ax. Ela e chamada de abscissa do ponto A.
Analogamente, fixado um ponto A do plano, chamaremos de:
⋄ x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A,
⋄ Ay o ponto de interseccao entre esta reta e o eixo y.
20
A coordenada yA (componente do ponto A em relacao ao eixo y) e o numero associado
ao ponto Ay. Ela e chamada de ordenada do ponto A.
Assim, cada ponto A do plano sera associado a um par de numeros reais xA e yA.
Chamamos (xA, yA) ∈ IR2 de coordenadas ou componentes cartesianas do ponto A no
plano. Chamamos xA ∈ IR de abscissa do ponto A. E yA ∈ IR de ordenada do ponto
A.
O ponto A sera representado por A = (xA, yA).
Alguns autores representam o ponto A e suas coordenadas com a notacao A(xA, yA).
Notacao que nao sera usada nesse livro, mas que citamos para que os estudantes esteja
cientes se, por ventura, depararem-se com ela em outros textos.
Apos apresentadas estas nocoes sobre sistemas de coordenadas cartesianas no plano
vamos aprender, com os exemplos a seguir, a localizar pontos e regioes de pontos no plano
cartesiano.
21
Exemplos:
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, representemos os pontos:
a) A = (0, 3);
b) B = (−2,−4);
c) C = (0, 2);
d) D = (3,−5);
e) E = (1, 6);
f) F = (−4, 0);
g) G = (−1, 1);
h) O = (0, 0);
i) H =(0,−1
3
).
Na figura a seguir e mostrada a localizacao destes pontos no sistema de coordenadas
cartesianas no plano.
22
2. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano IR2, represente as estruturas
geometricas descritas algebricamente abaixo:
a) Todos os pontos do plano com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0.
Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo y, destacado na figura a seguir.
b) Todos os pontos do plano com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0.
Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo x, destacado na figura a seguir.
c) Todos os pontos do plano com abcissa igual a um, ou seja, x = 1.
Resposta: Estes pontos correspondem a reta paralela ao eixo y e destacada
na figura a seguir.
23
d) Todos os pontos do plano com abcissa igual a ordenada, ou seja, x = y.
Resposta: Estes pontos correspondem a reta destacada na figura a seguir.
e) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1).
Resposta: Estes pontos correspondem a circunferencia de raio 1 e centrada
no ponto P = (−2, 1).
f) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1) e distam
3u.c. do ponto Q = (−1,−2).
Resposta: Estes pontos obedecem, simultaneamente, a equacao das duas cir-
cunferencias especificadas. Portanto, sao as interseccoes entre as duas circun-
ferencias que sao os dois pontos marcados na figura a seguir.
24
g) Todos os pontos do plano que satisfazem as inequacoes x ≤ −3, y ≥ 0 e distam
no maximo 4u.c. da origem O = (0, 0).
Resposta: A regiao explicitada esta marcada na figura a seguir.
Note que os pontos da fronteira da regiao fazem parte da area marcada. Se
tivessemos no enunciado pontos x < −3, y > 0 e que distam menos de 4u.c.
da origem, a fronteira da regiao estaria tracejada na figura e nao faria parte da
regiao marcada.
2.1.3 Divisao do plano em quadrantes
Quando fixamos um sistema de coordenadas no plano IR2 dividimos o plano em quatro
quadrantes, cujos limites podem ser definidos, matematicamente, da seguinte maneira.
⋄ Primeiro Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y > 0}.
⋄ Segundo Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y > 0}.
⋄ Terceiro Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y < 0}.
⋄ Quarto Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y < 0}.
Estes quadrantes estao destacados e nomeados na figura a seguir.
25
2.1.4 Distancia entre dois pontos do plano
Tendo aprendido a localizar pontos no plano cartesiano, faz-se necessario aprendermos
a calcular a distancia entre dois pontos quaisquer deste plano.
Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano IR2, vamos deduzir a
formula matematica para a distancia entre dois pontos.
Sejam A = (xA, yA) e B = (xB, yb) dois pontos do plano.
26
Sejam:
⋄ s a reta que passa pelos pontos A e B;
⋄ r a reta que passa por B e e paralela ao eixo y;
⋄ t a reta que passa por A e e paralela ao eixo x;
⋄ C = (xC , yC) o ponto de interseccao entre as retas r e t.
As retas r, s e t e o ponto C estao marcados na figura a seguir.
Assim, podemos aplicar o Teorema de Pitagoras no triangulo retangulo ABC para
determinar a distancia entre A e B.
Usando d(A,B) para indicar a distancia entre os pontos A e B temos:
[ d(A,B) ]2 = |xB − xA|2 + |yB − yA|2
Ou seja,
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 (2.1)
27
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, determine a
distancia entre os pontos A e B:
a) A = (0, 0) e B = (1, 1).
Resolucao: Usando que:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
obtemos, imediatamente que:
d(A,B) =√
(1− 0)2 + (1− 0)2 =√
1 + 1
d(A,B) =√2 u.c.
b) A = (0, 0) e B = (−1,−1).
Resolucao: Analogamente ao item (a), temos que
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(A,B) =√
(−1− 0)2 + (−1− 0)2 =√
1 + 1
d(A,B) =√
2 u.c.
c) A = (1, 0) e B = (3,−1).
Resolucao: Para os pontos A e B deste item temos:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(A,B) =√
(3− 1)2 + (−1− 0)2 =√
4 + 1
d(A,B) =√5 u.c.
d) A = (1,−1) e B = (−3,−1).
Resolucao:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(A,B) =√
(−3− 1)2 + (−1− (−1))2 =√
(−4)2 + 02
d(A,B) =√16 = 4 u.c.
28
e) A = (1,−3) e B = (−3,−1).
Resolucao:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(A,B) =√
(−3− 1)2 + (−1− (−3))2 =√
(−4)2 + (−1 + 3)2
d(A,B) =√
16 + 4 =√
20
d(A,B) = 2√
5 u.c.
2. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, para cada afirmacao
abaixo, esboce uma figura e apresente uma equacao para representa-la.
a) A distancia entre o ponto (x, y) e o ponto (2, 1) e de 3u.c..
Resolucao: O ponto (x, y) corresponde a todos os pontos do plano que distam
3 u.c. do ponto (1, 2). Sao os pontos da circunferencia representada na figura.
Como
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
3 =√
(1− x)2 + (2− y)2
Assim, vemos que todos os pontos da circunferencia obedecem a equacao:
(1− x)2 + (2− y)2 = 9
ou
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 9
29
b) A distancia entre o ponto (x, y) e o ponto (10,−5) e de 15u.c..
Resolucao: O ponto (x, y) corresponde a todos os pontos do plano que distam
15 u.c. do ponto (10,−5). Sao os pontos da circunferencia representada na
figura.
Como
d(AB) = 15 =√
(10− x)2 + (−5− y)2
Mas (−5− y)2 = (5 + y)2
Assim, os pontos da circunferencia obedecem a equacao:
(10− x)2 + (5 + y)2 = 225
ou
(x− 10)2 + (y + 5)2 = 225
c) A distancia entre o ponto (x, y) e o ponto (xc, yc) e de R unidades de compri-
mento.
Resolucao: Esta circunferencia geral esta esquematizada na figura abaixo.
30
Para os pontos desta circunferencia, temos que:
(xc − x)2 + (yc − y)2 = R2
ou
(x− xc)2 + (y − yc)
2 = R2
que e a equacao geral de uma circunferencia de raior R centrada no ponto
Pc = (xc, yc).
3. Dadas as equacoes de circunferencia abaixo, determine as coordenadas do centro da
circunferencia e o seu raio.
a) (x− 3)2 + (y + 2)2 = 16
Resolucao: Comparando a equacao acima com a equacao geral da circun-
ferencia temos que o centro da circunferencia e o ponto Pc = (3,−2) e raio
R = 4u.c..
b) (x+ 1)2 + (3− y)2 = 25
Resolucao: A equacao acima pode ser reescrita na forma:
(x+ 1)2 + (y − 3)2 = 25
Neste caso, temos que o centro da circunferencia e o ponto Pc = (−1, 3) e raio
R = 5u.c..
31
c) x2 + 4x+ y2 = 0
Resolucao: Os termos na variavel x da equacao acima podem ser reescritos,
a partir da operacao completar quadrados, como sendo:
x2 + 4x = x2 + 4x+ 4− 4 = (x+ 2)2 − 4
Portanto, a equacao da circunferencia acima, pode ser escrita como:
(x+ 2)2 − 4 + y2 = 0 ⇒ (x+ 2)2 + y2 = 4
Assim, o centro da circunferencia e o ponto Pc = (−2, 0) e o raio da circun-
ferencia e R = 2u.c..
4. Calcule o perımetro do triangulo com vertices nos pontos A = (1, 1), B = (2, 0) e
C = (0, 2).
Resolucao: Podemos usar a distancia entre pontos para calcular o perımetro de
polıgonos que tenham vertices em pontos conhecidos.
Assim, o perımetro do triangulo com vertices A, B e C sera dado por:
p = d(AB) + d(BC) + d(CA)
Calculando as distancias em separado:
d(AB) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 =√
(2− 1)2 + (0− 1)2 =√2
d(BC) =√
(xC − xB)2 + (yC − yB)2 =√
(0− 2)2 + (2− 0)2 = 2√2
d(CA) =√
(xA − xC)2 + (yA − yC)2 =√
(1− 0)2 + (1− 2)2 =√2
O que nos fornece para o perımetro do triangulo:
p = d(AB) + d(BC) + d(CA) =√2 + 2
√2 +
√2
p = 4√2 u.c.
O perımetro de outros polıgonos com vertices em pontos conhecidos pode ser cal-
culado pelo mesmo procedimento.
32
2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Espaco
2.2.1 Definicao
Para localizar pontos no espaco IR3 vamos estender a nocao de sistema de coordenadas
cartesianas do plano, discutida e apresentada na secao anterior, para o espaco.
O procedimento para definicao do sistema de coordenadas no espaco e analogo ao
procedimento para definir o sistema de coordenadas cartesianas no plano. Assim, vamos:
1. Fixar um ponto no plano que sera a origem O.
2. Escolher tres retas do espaco, perpendiculares duas a duas, que passem por O, que
serao os eixos x, y e z.
3. Para cada um dos eixos x, y e z fixamos um sentido que sera considerado positivo.
4. Para cada um dos eixos x, y e z definimos uma escala.
33
O sistema de coordenadas cartesiana no espaco IR3 definido pelo procedimento descrito
acima esta esquematizado na figura a seguir.
2.2.2 Localizando pontos no espaco
Definido o sistema de coordenadas que vamos utilizar para representar o espaco, pre-
cisamos aprender a localizar objetos e elementos da Algebra Vetorial neste sistema de
coordenadas e definir o que serao as coordenadas desses elementos.
Vamos considerar, inicialmente, um ponto e aprender a localiza-lo e a determinar
suas coordenadas em nosso sistemas de coordenadas cartesianas no espaco. Como todos
os outros elementos sao formados e/ou definidos por pontos, poderemos localizar outros
elementos a partir da localizacao de seus pontos.
Fixado um ponto A do espaco, chamaremos de:
⋄ x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A,
⋄ y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A,
⋄ z′ a reta paralela ao eixo z que passa por A,
⋄ Ax o ponto de interseccao entre a reta x′ e o plano yz
34
⋄ Ay o ponto de interseccao entre a reta y′ e o plano xz
⋄ Az o ponto de interseccao entre a reta z′ e o plano xy
As coordenadas do ponto A no espaco tridimensional serao os numeros xA, yA e zA.
O ponto A e suas coordenadas, as retas x′, y′ e z′ e os pontos Ax, Ay e Az estao
marcados na figura abaixo.
Para o ponto A = (xA, yA, zA) ∈ IR3, temos que:
• xA e chamada abscissa do ponto A,
• yA e chamada ordenada do ponto A,
• zA e chamada cota do ponto A.
Exemplos
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional, represen-
tamos os pontos:
a) A = (0, 3, 1),
b) B = (−2,−4,−1),
c) C = (0, 2, 0),
35
d) D = (3,−5, 4),
e) E = (1, 6,−1),
f) F = (−4, 0, 2),
g) G = (−1,−1, 1),
h) O = (0, 0, 0).
Resposta: Estes pontos estao marcados nos graficos da figura a seguir.
36
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional
IR3 represente as estruturas geometricas descritas algebricamente abaixo:
a) Todos os pontos com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0.
Resposta: A regiao destada na figura a seguir representa todos os pontos que
obedecem a esta condicao, ou seja, os pontos do plano yz sao os pontos do
espaco com abcissa nula.
b) Todos os pontos com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0.
Resposta: Os pontos com y = 0 sao os pontos do plano xy. Este plano esta
destacado na figura abaixo.
37
c) Todos os pontos com abcissa igual a zero e com ordenada igual a zero, ou seja,{x = 0
y = 0.
Resposta: Sao os pontos que estao sobre o eixo z, que esta destacado na
figura a seguir.
d) Todos os pontos com abcissa igual a ordenada, ou seja, x = y.
Resposta: Sao os pontos que pertencem ao plano que e paralelo ao eixo z e
que faz um angulo de 45o com o eixo x e tambem com o eixo y. Este plano
esta esquematizado na figura a seguir.
38
e) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3).
Resposta: Estes pontos estao na superfıcie esferica de raio R = 4 u.c. e
centrada no ponto P = (−3, 6, 3). Esta esfera e mostrada na figura a seguir.
f) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3) e tem cota igual a
zero z = 0.
Resposta: Sao os pontos da interseccao entre a superfıcie esferica de raio
R = 4 u.c. e centrada no ponto P = (−3, 6, 3) e o plano xy, ou seja,sao os
pontos da circunferencia destacada na figura a seguir.
39
g) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3) e tem cota igual a
menos um (z = −1).
Resposta: Ha um unico ponto que pertence a superficie esferica de raio R =
4 u.c. e tem z = −1, que e o ponto S = (−3, 6,−1) destacado na figura abaixo.
3. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, apresente uma equacao, ou
um conjunto de equacoes que caracterizem as estruturas geometricas:
a) Os pontos do eixo x.
Resposta: y = 0 e z = 0, ou seja,
{y = 0
z = 0.
b) Os pontos do eixo y.
Resposta: x = 0 e z = 0, ou seja,
{x = 0
z = 0.
c) Os pontos do eixo z.
Resposta: x = 0 e y = 0, ou seja,
{x = 0
y = 0.
d) Os pontos do plano xy (ou plano Oxy).
Resposta: z = 0.
e) Os pontos do plano xz.
Resposta: y = 0.
f) Os pontos do plano yz.
Resposta: x = 0.
g) Os pontos do plano perpendicular ao eixo x no ponto x = 2.
Resposta: x = 2.
40
2.2.3 Divisao do espaco em octantes
Quando fixamos um sistema de coordenadas no espaco IR3, estamos dividindo o espaco
tridimensional em oito octantes. Esses octantes estao matematicamente caracterizados
de acordo com a divisao a seguir.
⋄ Primeiro Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y > 0 e z > 0}
⋄ Segundo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y < 0 e z > 0}
⋄ Terceiro Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y < 0 e z > 0}
⋄ Quarto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y > 0 e z > 0}
⋄ Quinto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y > 0 e z < 0}
⋄ Sexto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y < 0 e z < 0}
⋄ Setimo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y < 0 e z < 0}
⋄ Oitavo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y > 0 e z < 0}
Na figura abaixo temos esquematizada uma representacao grafica destes octantes.
41
2.2.4 Distancia entre Dois Pontos do Espaco
Agora que sabemos localizar pontos no espaco, precisamos aprender a calcular a
distancia entre dois pontos quaisquer presentes neste espaco e com coordenadas expressas
em termos de coordendas cartesianas.
A expressao matematica para a distancia entre dois pontos no espaco e uma extensao
natural da expressao para a distancia entre dois pontos no plano.
Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional IR3 e
dados os pontos A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yb, zB), a distancia entre A e B e dada por:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 (2.2)
Dadas as coordenadas de dois pontos quaisquer no espaco podemos usar a expressao
dada pela equacao (2.2) para calcular a distancia entre esses pontos.
Vamos treinar um pouco fazendo os exemplos a seguir.
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, determine a
distancia entre os pontos A e B:
a) A = (0, 0, 0) e B = (1, 1, 1).
Resolucao: Usando a expressao para a distancia entre pontos no espaco
(equacao (2.2)), temos que:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =√
(1− 0)2 + (1− 0)2 + (1− 0)2 =√
3 u.c.
b) A = (0, 0, 0) e B = (−1,−1,−1).
Resolucao: Pela equacao (2.2) temos que:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =√
(−1− 0)2 + (−1− 0)2 + (−1− 0)2 =√
1 + 1 + 1
d(A,B) =√3 u.c.
c) A = (1, 0,−2) e B = (3,−1,−3).
Resolucao:Pela equacao (2.2) temos que:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =√
(3− 1)2 + (−1− 0)2 + (−3− (−2))2
d(A,B) =√
4 + 1 + 1 =√
6 u.c.
42
d) A = (1, 0, 0) e B = (−3, 0, 0).
Resolucao: Da equacao (2.2) temos que:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =√
(−3− 1)2 + (0− 0)2 + (0− 0)2 =√16 + 0 + 0
d(A,B) = 4 u.c.
e) A = (1,−3,−2) e B = (3,−1, 2).
Resolucao: Da equacao (2.2) temos que:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =√
(3− 1)2 + (−1− (−3))2 + (2− (−2))2
d(A,B) =√4 + 4 + 16 =
√24 = 2
√6 u.c.
d(A,B) = d(A,B) = 2√
6 u.c.
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, apresente uma
equacao que represente a afirmacao:
a) A distancia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (1, 2, 3) e de 10u.c..
Resolucao: O ponto P = (x, y, z) e um ponto qualquer do espaco, assim
fixando em 10 u.c. a distancia de um ponto qualquer do espaco ate o ponto de
coordenadas Q = (1, 2, 3), estamos fazendo de Q o centro de uma esfera de raio
R = 10 u.c. e escrevendo a espressao para a distancia entre P e Q podemos
escrever a equacao de todos os pontos que estao sobre a superfıcie da esfera, ou
seja, estamos escrevendo a equacao da superfıcie esferica de raio R = 10 u.c.
centrada em Q = (1, 2, 3). Vejamos:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
10 =√
(1− x)2 + (2− y)2 + (3− z)2
(1− x)2 + (2− y)2 + (3− z)2 = 100
ou
(x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 100
43
b) A distancia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (−1, 2,−3) e de 5u.c..
Resolucao: Analogamente ao item (a) temos que:
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
5 =√
(−1− x)2 + (2− y)2 + (−3− z)2
(x+ 1)2 + (2− y)2 + (z + 3)2 = 25
ou
(x+ 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 25
que e a equacao dos pontos da superfıcie esferica de raio R = 5 u.c. e centrada
em Q = (−1, 2− 3).
c) A distancia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (xc, yc, zc) e de Ru.c..
Resolucao: Neste caso podemos obter a equacao de uma superfıcie esferica
geral de raio R e centrada no ponto Q = (xc, yc, zc).
d(A,B) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
R =√
(xc − x)2 + (yc − y)2 + (zc − z)2
(xc − x)2 + (yc − y)2 + (zc − z)2 = R2
ou
(x− xc)2 + (y − yc)
2 + (z − zc)2 = R2
A equacao acima e a equacao geral de uma esfera de raio R centrada no ponto
Pc = (xc, yc, zc).
3. Dadas as equacoes de esferas abaixo, diga quais sao o raio e o centro de cada esfera.
a) (2− x)2 + y2 + (z + 1)2 = 3
Resolucao: Comparando a equacao acima com a equacao geral de uma esfera,
temos que o centro da esfera e o ponto Pc = (2, 0,−1) e o raio da esfera vale
R =√3u.c..
b) x2 + y2 + z2 − 4x+ 2y = 0
Resolucao: Usando a operacao completar quadrados, podemos escrever:
x2 − 4x = x2 − 4x+ 4− 4 = (x− 2)2 − 4
e tambem:
y2 + 2x = x2 + 2x+ 1− 1 = (y + 1)2 − 1
44
Portanto, a equacao da esfera toma a forma:
x2 + y2 + z2 − 4x+ 2y = 0 ⇒ (x− 2)2 − 4 + (y + 1)2 − 1 + z2 = 0
(x− 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 5
O que nos da para o centro da esfera o ponto Pc = (2,−1, 0) e para o raio
R =√5u.c..
4. Determine o perımetro do triangulo de vertices A = (1, 0, 1), B = (2, 3, 1) e C =
(−1, 3, 0);
Resolucao: O perımetro do triangulo com vertices A, B e C e dado por:
p = d(AB) + d(BC) + d(CA)
Calculando as distancias em separado:
d(AB) =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 ++(zB − zA)2
=√
(2− 1)2 + (3− 0)2 + (1− 1)2 =√10
d(BC) =√
(xC − xB)2 + (yC − yB)2 + (zC − zB)2
=√
(−1− 2)2 + (3− 3)2 + (0− 1)2 =√10
d(CA) =√
(xA − xC)2 + (yA − yC)2 + (zA − zC)2
=√
(1− (−1))2 + (0− 3)2 + (1− (−1))2 =√17
O que nos fornece para o perımetro do triangulo:
p = d(AB) + d(BC) + d(CA) =√10 +
√10 +
√14
p =(2√10 +
√17)
u.c.
45
2.3 Exercıcios
1. Dados os pontos A = (1, 0), B = (−1, 2), C = (3, 3), D = (−2,−3), E = (1, 1) e
F = (−2, 1). Localize-os em um plano cartesiano.
2. Considere o plano cartesiano da figura a seguir onde estao marcados os pontos A,
B, C, D, E, F e G. E escreva as coordenadas desse pontos.
3. Forneca uma descricao geometrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes equacoes:
a) x = 2 ;
b) x = 2 e y = −3 ;
c) y = −3 ;
d) x2 + y2 = 3 ;
e) 3x2 + 3y2 + 6x = 9 ;
4. Forneca uma descricao geometrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes inequacoes e/ou conjunto de inequacoes ou equacoes:
a) x ≤ 2 ;
b) x ≤ 2 e y ≥ −3 ;
c) x ≤ 4 e y = −3 ;
d) x2 + y2 = 16, x ≤ 3 e y ≥ 4 ;
e) (x− 1)2 + (y + 2)2 ≥ 4 e (x− 1)2 + (y − 1)2 ≤ 9 ;
46
f) x2 + y2 − 2x+ 4y − 11 ≤ 0 e x ≥ 1 .
5. Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (−2, 1, 2), C = (1, 2, 3), D = (3, 2, 1), E =
(−2,−1, 0) e F = (0,−2, 1), localize-os em um sistema de coordenadas cartesinas
no espaco.[Dica: Para facilitar a visualizacao voce pode localizar dois ou tres pontos
em cada sitema cartesiano.]
6. Forneca uma descricao geometrica dos conjuntos de pontos no espaco cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes igualdades:
a) x = 2 ;
b) x = 4 e y = −3 ;
c) x = 4, y = 0 e z = −2 ;
d) x2 + (y + 3)2 = 16 ;
e) (x− 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 36 e x = −2 ;
f) z2 + x2 + y2 + 8x− 6y + 21 = 0 ;
g) x2 + y2 − 2x+ 2y − 14 = 0 e z = 2 ;
h) x2 + y2 − 6x+ 9 = 0 .
7. Forneca uma descricao geometrica dos conjuntos de pontos no espaco cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes conjuntos de inequacoes e equacoes:
a) x ≤ 2 ;
b) x ≤ 4 e y = −3 ;
c) x2 + y2 = 16, x ≤ 3 e y ≥ 4 ;
d) x = 2y ;
e) x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 3 ;
f) x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 10 e z = 1 ;
g) x2 + y2 ≤ 4 e z = 2 ;
h) x2 + (y + 1)2 = 4 e 0 ≤ x ≤ 3 ;
i) x2 + y2 + z2 < 25, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 1 .
8. Descreva o conjunto de pontos do plano atraves de equacoes:
a) A reta perpendicular ao eixo y em (0, 2) ;
47
b) A reta paralela ao eixo y que passa pelo ponto (1,−3) ;
c) A circunferencia de raio 4 centrado em (−1,+3) ;
d) Os pontos do plano equidistantes do ponto (2,−1) e do ponto (1, 1) que per-
tencem a reta y = x .
9. Descreva o conjunto de pontos do espaco atraves de equacoes:
a) O plano perpendicular ao eixo x em (0, 1, 2) ;
b) O plano pelo ponto (1, 0, 0) paralelo ao plano xy ;
c) O plano pelo ponto (−1, 2, 4) paralelo ao plano yz ;
d) O cırculo de raio 1 centrado em (−1, 1, 2) pertencente a um plano paralelo ao
plano xz ;
e) A reta pelo ponto 1 (1, 2,−5) paralela ao eixo z ;
f) O conjunto de pontos no espaco equidistantes da origem e do ponto (0, 2, 0) ;
g) O cırculo no qual o plano que passa pelo ponto (1, 1, 3) perpendicular ao eixo
z encontra a esfera de raio 5 centrada na origem.
10. Descreva o conjunto de pontos do espaco atraves de equacoes e/ou inequacoes:
a) A fatia do plano limitada pelas retas x = −2 e x = 1 ;
b) A fatia limitada pelas retas y = −2 e y = 1 ;
c) Os pontos do plano pertencente ao exterior da circunferencia de raio 16 cen-
trada em (-1,2) e ao exterior da circunferencia de raio 4 centrada em (2,-1)
acima da reta y = 2x ;
d) Os pontos do plano pertencente ao interior da circunferencia de raio 16 centrada
em (-1,2) e ao interior da circunferencia de raio 4 centrada em (2,-1) e acima
da reta y = −x .
11. Descreva o conjunto de pontos do espaco atraves de equacoes e/ou inequacoes:
a) A fatia do espaco limitada pelos planos z = 0 e z = 2 (inclusive z = 2);
b) O semi-espaco formado pelos pontos sobre o plano xy e abaixo dele;
c) O interior da esfera de raio 5 centrada em (1, 3,−1) (inclusive);
12. Encontre a distancia entre os pontos A e B:
a) A = (1, 2) e B = (0, 1) ;
48
b) A = (3, 5) e B = (0, 0) ;
c) A = (1, 2, 0) e B = (0, 1, 0) ;
d) A = (3, 5,−8) e B = (0, 0, 0) ;
e) A = (3, 5,−8) e B = (x, y, z) .
13. Encontre o centro e o raio das circunferencias:
a) (x+ 2)2 + (y + 3)2 = 5 ;
b)(x+
√2)2
+
(z +
3
2
)2
= 17 ;
c) x2 + y2 + 6x− 5y − 2 = 0 ;
d) 9x2 + 6x+ 9y2 − 36y + 1 = 0 .
14. Encontre o centro e o raio das esferas:
a) (x− 3)2 + (y + 2)2 + z2 = 25 ;
b)(x+
√3)2
+
(y − 1
4
)2
+
(z −
√2
2
)2
= 7 ;
c) x2 + y2 + z2 − 6y + 8z = 0 ;
a) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 2y − 2z = 9 .
15. Encontre o perımetro do triangulo com vertices nos pontos A, B e C:
a) A = (−2, 1), B = (2, 2) e C = (0, 1) ;
b) A = (−2, 1, 0), B = (2, 2,−3) e C = (0, 1, 0) ;
c) A = (−2, 1, 0), B = (2, 2,−3) e C pertence ao eixo z e ao plano 2x+3y+z = 4 ;
16. Mostre que o ponto M = (3, 1) e equidistante dos pontos P1 = (2,−1) e P2 = (4, 3) .
17. Mostre que o ponto M = (3, 1, 2) e equidistante dos pontos P1 = (2,−1, 3) e P2 =
(4, 3, 1) .
18. Encontre a formula da distancia do ponto P = (x, y, z) ao eixo y
19. Determine o perımetro do quadrilatero com vertices nos pontos
a) A = (1, 0, 1), B = (−2, 1, 2), C = (1, 2, 3) e D = (3, 2, 1);
b) A = (1, 1, 1), B = (−1,−1,−3), C = (3, 2, 1) e D = (4, 0,−1).
49
∗ ∗ ∗
50
Capıtulo 3
Vetores no Plano e no Espaco
Dando seguimento aos nossos estudos sobre vetores, vamos aprender neste capıtulo a
localizar vetores no plano e no espaco descritos por um sistema de coordenadas cartesianas,
a escrever as coordenadas de um vetor a partir das coordenadas dos pontos inicial e final
de um segmento orientado que representa este vetor e vamos tambem apresentar, nas
forma geometrica e algebrica, as nocoes de vetor nulo, igualdade entre vetores, norma de
vetor e coplanariedade..
A nocao de vetores paralelos, que tambem e extremamente importante e necessaria
aos nossos estudos de vetores, sera apresentada no proximo capıtulo que e sobre a multi-
plicacao de numero real por vetor, pois assim poderemos apresentar uma definicao matem-
aticamente completa.
Antes de comecarmos, efetivamente, o conteudo deste capıtulo, cabe uma importante
observacao que devera ser considerada em todo o restante do livro.
Quando nao houver nenhum comentario em contrario, vamos sempre con-
siderar que esta fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano ou no
espaco.
3.1 Vetores no Plano
Ao fixarmos um sistema de coordenadas no plano ou no espaco nossas estruturas
geometricas ‘ganham’ representacoes algebricas. Por exemplo, um ponto no plano agora
e representado por uma dupla de numeros reais, uma reta sera representada por uma
equacao, um cırculo por uma inequacao. Dentro deste esquema, queremos saber como
ficam nossos vetores quando fixamos um sistema de coordenadas no plano.
Um vetor −→v , sera representado por uma dupla de numeros reais, que chamaremos
51
de coordenadas. As coordenadas do vetor −→v serao as coordenadas do ponto final do
representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O = (0, 0) do sistema de
coordenadas.
Na figura a seguir e mostrado o vetor −→v que tem como coordenadas as coordenadas
do ponto P = (xP , yP )
Ou seja, fixado um sistema de coordenadas no plano IR2, um vetor sera representado,
algebricamente, pelas coordenadas do ponto final de seu representante que tem ponto
inicial na origem O = (0, 0).
Exemplos
1. Consideremos um vetor −→v que tenha:
i) Direcao: horizontal,
ii) Sentido: da esquerda para direita,
iii) Norma: 3 u.c.
Este vetor tem um representante com ponto inicial na origem O = (0, 0) e ponto
final em C = (3, 0), como mostrado na figura abaixo.
52
Assim, as coordenadas deste vetor −→v serao: −→v = (3, 0).
2. Sejam A, B, C e D pontos do plano com coordenadas: A = (1, 1), B = (3, 4),
C = (4, 3), D = (2, 0). ABCD e o paralelogramo representado na figura abaixo.
i) Como podemos observar no primeiro plano cartesiano da figura seguinte, o segmento
orientado−→AB e o segmento orientado
−−→DC representam o mesmo vetor −→v . Desen-
hando o representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O, observamos
que as coordenadas do vetor −→v sao as coordenadas do ponto P = (2, 3). Este
representante do vetor −→v esta desenhado no segundo plano cartesiano da figura a
seguir.
53
Pela figura, vemos que P = (2, 3) e, consequentemente, temos −→v = (2, 3).
ii) O segmento orientado−−→BC e o segmento orientado
−−→DA representam vetores (−→u e −→w ),
que tem a mesma direcao e a mesma magnitude, mas sentidos opostos (neste caso
sao chamados vetores opostos). Podemos observar isto no primeiro plano cartesiano
mostrado na figura a seguir.
Desenhando, no segundo plano cartesiano da figura, os representantes destes vetores,
que tem ponto inicial na origem e observamos que as coordenadas do vetor −→u sao
(1,−1) e do vetor −→w sao (−1, 1), ou seja, −→u = (1,−1) e −→w = (−1, 1).
54
Queremos fazer uma importante observacao nesse momento do texto.
Ao trabalharmos com vetores no plano, em alguns livros, principalmente nos de Fısica,
usa-se para representar um vetor, por exemplo, −→v = (2,−3), a notacao −→v = 2−→i − 3
−→j ,
onde−→i e o vetor unitario (ou vetor com norma igual a um) com a direcao e o sentido do
eixo coordenado x, ou seja,−→i = (1, 0); e o
−→j e o vetor unitario com direcao e sentido
do eixo y positivo, isto e,−→j = (0, 1). As duas notacoes para vetores −→v = (2,−3) e
−→v = 2−→i − 3
−→j sao completamente equivalentes e, mesmo dando preferencia a primeira
em nosso livro, voltaremos a trabalhar com a segunda em alguns dos proximos capıtulos,
principalmente apos estudarmos a soma de vetores quando a segunda notacao ganhara
um significado mais completo.
3.2 Vetores no Espaco
A extensao direta do estudo de vetores no plano e o estudo de vetores no espaco
tridimensional. Assim, precisamos estudar a representacao algebrica dos vetores no espaco
tridimensioal. Ou seja, queremos saber como ficam nossos vetores quando fixamos um
sistema de coordenadas no espaco tridimensional.
Um vetor −→v , sera representado por uma tripla de numeros reais, que chamaremos de
coordenadas.
As coordenadas do vetor −→v serao as coordenadas do ponto final do representante do
vetor −→v que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) do sistema de coordenadas. Ou seja,
fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco IR3, um vetor sera representado,
algebricamente, pelas coordenadas do ponto final de seu representante que tem ponto
inicial na origem O = (0, 0, 0). Na figura a seguir temos a representacao grafica de um
exemplo generico de um vetor −→v = (xP , yP , zP )
55
Exemplo:
1) Considere um vetor −→v com:
⋄ Direcao: paralelo ao eixo z,
⋄ Sentido: da baixo para cima,
⋄ Norma: 4 u.c.
Esse vetor tem um representante com ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) e ponto
final em C = (0, 0, 4), como podemos observar na figura seguinte. Assim, o vetor −→vsera representado por −→v = (0, 0, 4).
2. Sejam A, B, C, D, E, F , G e H pontos do plano com coordenadas: A = (1, 1, 0),
B = (3, 4, 0), C = (4, 3, 0), D = (2, 0, 0), E = (1, 1, 1), F = (3, 4, 1), G = (4, 3, 1) e
H = (2, 0, 1).
Estes pontos definem o paralelepıpedo mostrado na figura seguinte. Ou seja,
ABCDEFGH e um paralelepıpedo.
56
Pela figura, vemos que o segmento orientado−→AB e o segmento orientado
−−→DC rep-
resentam o mesmo vetor −→v .
a) Desenhe o representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O e
observe que as coordenadas do vetor −→v sao as coordenadas do ponto P =
(2, 3, 0).
Resposta: Tomando o representante de −→v que tem como ponto inicial a
origem do sistema de coordenadas, obtemos o vetor representado na figura
abaixo.
b) O segmento orientado−−→EG e o segmento orientado
−→CA representam vetores (
−→u e −→w ), que tem a mesma direcao, sentidos opostos e mesma norma (neste
caso sao chamados vetores opostos).
57
Desenhe o representante destes vetores, que tem ponto inicial na origem e
observe que as coordenadas do vetor −→u sao −→u = (3, 2, 0) e do vetor −→w sao−→w = (−3,−2, 0).
Resposta: Tomando os representantes de −→u e −→w que tem como pontos inici-
ais a origem do sistema de coordenadas, obtemos os vetores representados no
segundo plano cartesiano da figura abaixo, onde no primeiro plano cartesiano
temos a reapresentacao do paralelepıpedo ADCDEFGH.
Devemos observar que, do mesmo jeito que para vetores no plano, pode-se usar que,
por exemplo, −→v = (2,−1, 3) = 2−→i − −→
j + 3−→k , onde
−→i = (1, 0, 0),
−→j = (0, 1, 0) e
−→k = (0, 0, 1). Essa notacao ganha sentido apos definirmos a adicao de vetores em sua
forma algebrica, por isto vamos mante-la em suspenso ate o capıtulo de adicao de vetores.
3.3 Determinando as Coordenadas de um Vetor
Dados os pontos inicial e final de um segmento orientado (no plano ou no espaco)
devemos saber determinar as coordenadas do vetor que tem neste segmento orientado um
de seus representantes.
As coordenadas deste vetor sao obtidas a partir das coordenadas dos pontos inicial e
final do seguimento orientado. Vejamos como.
3.3.1 Determinando as coordenadas de um vetor no plano
Fixado um sistema de coordenadas no plano ou no espaco poderemos calcular as coor-
denads de um vetor subtraindo as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto
58
final.
59
Ou seja, no plano: dado o vetor −→v = (v1, v2) se−→AB e um representante deste vetor,
com A = (xA, yA) e B = (xB, yB), temos:
−→v = (v1, v2) = (xB − xA, yB − yA).
Como pode ser observado na figura a seguir:
Vamos a um exemplo para fixar melhor.
Exemplo: Sejam A = (2, 3), B = (5,−2) dois pontos do plano, quais as coorde-
nadas do vetor −→v que tem−→AB como um de seus representantes?
Resolucao: As coordenadas de −→v sao determinadas por:
−→v = B − A = (5,−2)− (2, 3) = (5− 2,−2− 3) = (3,−5).
3.3.2 Determinando as coordenadas de um vetor no espaco
Por extensao, para vetores no espaco podemos definir as coordenadas do vetor da
mesma forma. Assim, dado o vetor −→v = (v1, v2, v3) se−→AB e um representante deste
vetor, com A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), temos:
−→v = (v1, v2, v3) = (xB − xA, yB − yA, zB − zA).
Muitas vezes, por abuso de linguagem, escrevemos “O vetor−→AB” ou escrevemos que
=−→AB. Pode-se tambem usar a notacao de Grassmann para vetores: −→v = B − A.
Vamos a um exemplo.
60
Exemplo: Sejam A = (2, 3,−1), B = (5,−2,−5) dois pontos do espaco, quais as
coordenadas do vetor −→v que tem−→AB como um de seus representantes?
Resolucao:
−→v = B − A = (5,−2,−5)− (2, 3,−1) =(5− 2,−2− 3,−1− (−5)
)−→v = (3,−5, 4).
3.4 Vetor Nulo
A partir do proximo capıtulo estudaremos as operacoes envolvendo vetores. Queremos
que estas operacoes sejam fechadas. Ou seja, queremos, por exemplo, que: a soma de dois
vetores sempre resulte em um vetor; a multiplicacao de um numero real por um vetor
sempre resulte em um vetor.
Para isto, precisamos definir o vetor nulo ou vetor zero. Pois, queremos que a
multiplicacao entre o numero real 0 pelo vetor −→v , resulte em um vetor.
Chamamos de vetor nulo e indicamos por−→0 , o vetor que tem as seguintes carac-
terısticas:
◃ Direcao: O vetor que tem todas as direcoes.
Obs: Sera interessante e importante definir a direcao do vetor nulo como todas as
direcoes para podermos dizer que o vetor nulo e paralelo a todos os vetores.
◃ Sentido: O vetor nulo tem todos os sentidos.
◃ Norma: O vetor nulo tem norma nula, ou seja, o vetor nulo tem norma igual a
zero, ou ainda, |−→0 | = 0.
Os segmentos orientados que representam o vetor nulo tem comprimento nulo. Por-
tanto, sao os segmentos orientados que tem ponto inicial igual ao ponto final. Por exemplo,
o segmento orientado−→AA e um representante do vetor nulo.
Fixado um sistema de coordenadas no plano, por definicao as coordenadas do vetor
nulo sao as coordenadas do ponto final de um representante do vetor nulo que tem ponto
inicial na origem O = (0, 0) do sistema de coordendas.
As coordenadas do vetor nulo sao as coordenadas do ponto final do segmento orientado−→OO. Ou seja, sao as coordenadas do ponto O = (0, 0).
Assim, temos que o vetor nulo no plano e dada por−→O = (0, 0)
61
Analogamente temos que, para o caso de um sistema de coordenadas cartesiana no
espaco, por definicao as coordenadas do vetor nulo sao as coordenadas do ponto final de
um representante do vetor nulo que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) do sistema
de coordendas. Ou seja, o vetor nulo no espaco e dado por:−→O = (0, 0, 0)
Devemos sempre lembrar que NAO podemos escrever−→0 = 0. Podemos e devemos
escrever que, para o plano−→0 = (0, 0) e para o espaco
−→0 = (0, 0, 0).
3.5 Igualdade de Vetores
Outro conceito importante e necessario que precisamos ter em mente antes de
comecarmos a estudar as operacoes envolvendo vetores e a igualdade entre vetores.
Vamos apresentar esta importante definicao em suas versoes geometrica e algebrica.
a) Versao geometrica da igualdade entre vetores.
Dois vetores −→v e −→w sao iguais se, e somente se, eles tem:
1. A mesma direcao,
2. O mesmo sentido,
3. A mesma norma.
b) Versao algebrica da igualdade entre vetores.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, temos:
◃ No plano: Os vetores −→v = (v1, v2) e −→w = (w1, w2) sao iguais se, e somente se,
v1 = w1 e v2 = w2.
◃ No espaco tridimensional: Os vetores −→v = (v1, v2, v3) e −→w = (w1, w2, w3) sao
iguais se, e somente se, v1 = w1, v2 = w2 e v3 = w3.
62
Observacoes:
1. Dados dois vetores paralelos (−→v ,−→w ∈ V tal que −→v ∥ −→w ):
◃ Se o vetor −→v tem sentido diferente do sentido do vetor −→w , dizemos que −→v e−→w tem sentidos opostos.
◃ Se o vetor −→v tem sentido igual que o vetor −→w , dizemos que −→v e −→w temmesmo
sentido.
2. Dados dois vetores paralelos e com mesma norma: (−→v ,−→w ∈ V tal que −→v ∥ −→w e
|−→v | = |−→w |),
◃ Se o vetor −→v , tem sentido diferente ao sentido do vetor −→w , dizemos que −→v e−→w sao vetores opostos.
◃ Se o vetor −→v , tem mesmo sentido de −→w , dizemos que −→v e −→w sao o mesmo
vetor.
3.6 Norma de Vetor: Versao Algebrica
Dado um vetor qualquer sua norma, por definicao, e o comprimento de qualquer
representante deste vetor. Ou seja, e a distancia entre o ponto final e o ponto inicial de
um representante qualquer deste vetor. Desta forma, podemos determinar a norma de
um vetor a partir de suas coordenadas ou das coordenadas de seus pontos inicial e final.
a) No plano.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, temos que se, −→v = (a, b)
entao a norma do vetor −→v no plano e dada por:
| −→v | = | (a, b) | =√a2 + b2
Se o vetor −→v tem o segmento orientado−→AB como representante, a norma do vetor
−→v no plano e calculada a partir da distancia entre os pontos A e B, ou seja, e dada por:
| −→v | = |−→AB | = | (xB − xA, yB − yA ) |
| −→v | =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
63
b) No espaco.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, temos que se o vetor −→v =
(a, b, c) entao a norma do vetor −→v no espaco e dada por:
| −→v | = | (a, b, c) | =√
a2 + b2 + c2
Se o vetor −→v tem o segmento orientado−→AB como representante, com A = (xA, yA, zA)
e B = (xB, yB, zB), a norma do vetor −→v no espaco e a distancia entre os pontos A e
B e, portanto, dada por:
| −→v | = |−→AB | = | (xB − xA, yB − yA, zB − zA ) |
| −→v | =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 .
Uma importante definicao relacionada a norma de um vetor e o conceito de versor. Se−→v tem norma 1 (|−→v | = 1), entao chamamos −→v de versor. Ou seja, versor e um vetor
com norma igual a um ou vetor unitario.
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, sendo −→v =
(1,−1),−→w =(12,−1
2
),−→u =
(1√2, 1√
2
)e−→t =
(−4
5, 35
)calcule:
a) |−→v |Resposta: |−→v | = |(1,−1)| =
√(1)2 + (−1)2 =
√2
b) |−→w |Resposta: |−→w | =
∣∣(12,−1
2
)∣∣ =√(12
)2+(−1
2
)2=√
12= 1√
2u.c.
c) |−→u |
Resposta: |−→u | =∣∣∣( 1√
2, 1√
2
)∣∣∣ =√( 1√2
)2+(
1√2
)2= 1 u.c.
−→u =(
1√2, 1√
2
)e um versor.
d)∣∣∣−→t ∣∣∣Resposta:
∣∣∣−→t ∣∣∣ = ∣∣(−45, 35
)∣∣ =√(−45
)2+(35
)2=√
1625
+ 925
= 1−→t =
(−4
5, 35
)e um versor.
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional,
sendo −→v = (1,−1, 1),−→w =(13,−1
3, 13
),−→u =
(1√3, 1√
3, 1√
3
), calcule:
a) |−→v |Resposta: |−→v | = |(1,−1, 1)| =
√(1)2 + (−1)2 + (1)2 =
√3
64
b) |−→w |Resposta: |−→w | =
∣∣(13,−1
3, 13
)∣∣ =√(
13
)2+(−1
3
)2+(13
)2=√
19+ 1
9+ 1
9=√
13= 1√
3u.c.
c) |−→u |
Resposta: |−→u | =∣∣∣( 1√
3, 1√
3, 1√
3
)∣∣∣ =√( 1√3
)2+(
1√3
)2+(
1√3
)2= 1
−→u =(
1√3, 1√
3, 1√
3
)e um versor.
3.7 Coplanariedade
Ao estudarmos conjuntos com varios vetores precisaremos, em alguns casos, deter-
minar se estes vetores sao coplanares entre si. Por isto, nesta secao, vamos definir a
coplanariedade de vetores e estuda-la em sua forma geometrica e algebrica.
Dados n vetores: −→v1 ,−→v2 , . . . ,−→vn , dizemos que estes vetores sao coplanares se existe um
plano no espaco que contem representantes de todos estes vetores.
Da definicao, podemos concluir que quando estudamos vetores representados no plano
IR2, todos os vetores representados sao coplanares. Este fato e descrito pelo seguinte lema.
Lema 3.1: Dois vetores sao sempre coplanares.
Demonstracao:
Dados dois vetores −→v1 e −→v2 , seja A um ponto no espaco, tomemos um representante
do vetor −→v1 que tem ponto inicial A e seja B o ponto final do segmento orientado
que representa o vetor −→v1 .
Tomemos agora um representante do vetor −→v2 que com ponto inicial em B e deno-
taremos por C o ponto final do representante do vetor −→v2 .
• Se os pontos A, B e C sao nao colineares (nao alinhados) entao estes pontos
determinam um plano α. Este plano contem os representantes−→AB e
−−→BC dos
vetores −→v1 e −→v2 , respectivamente.
• Se os pontos A, B e C sao colineares (alinhados) entao existem varios (in-
finitos) planos que contem os representantes−→AB e
−−→BC dos vetores −→v1 e −→v2 ,
respectivamente.
Assim, concluımos que existe (pelo menos) um plano que contem representantes dos
vetores −→v1 e −→v2 .
65
Exemplo: Verifique se os vetores em destaque na figura sao coplanares ou nao.
a)
Resposta: SIM, pois dois vetores sao sempre coplanares. Os vetores deste
exemplo estao no plano da folha do livro.
b)
Resposta: SIM, pois dois vetores sao sempre coplanares. Os vetores deste
exemplo estao no plano da folha do livro.
66
Para termos a nocao de vetores nao coplanares precisamos estar em tres dimensoes.
Dados tres vetores no espaco, −→v , −→w e −→u , para verificarmos, geometricamente, se estes
vetores sao coplanares devemos proceder da seguinte forma:
1. Colocamos um representante de −→v e de −→w que tenham origem em um mesmo ponto.
2. Verificamos qual e o plano que contem estes vetores.
3. Colocamos o representante de −→u que tem o mesmo ponto inicial dos representantes
de −→v e de −→w e verificamos a disposicao de −→u em relacao ao plano que contem −→v e−→w .
4. Se o representante de −→u tambem estiver contido no plano, os tres vetores sao
coplanares. Se o representante de −→u nao estiver contido no plano, os vetores nao
sao coplanares.
A verificacao descrita pelo procedimento acima advem diretamente da definicao de
coplanariedade.
Exemplo: Verifique se os vetores em destaque na figura sao coplanares ou nao.
a)
Resposta: SIM, pois o vetor que tem como representante o segmento orien-
tado−→AB tambem tem como representante o segmento orietado
−→EF que esta
no plano definido pelos segmentos−−→EC e
−−→DF .
67
b)
Resposta: NAO. Pois, como podemos observar, o vetor que tem−→CG como
representante e o mesmo que tem−→AE como representante. Este vetor, junto
com o vetor que tem−→AB estao contidos num plano que nao contem nenhum
representante de−−→FD.
Dizemos que o vetor representado pelo segmento orientado−−→FD ‘fura’ o plano
definido por−→AE e
−→AB
Como observamos no exemplo acima, a nocao de coplanariedade precisa ser estudada
no espaco tridimensional.
Para definirmos a versao algebrica de coplanariedade vamos considerar dados os ve-
tores, com suas coordenadas em um sistema de coordenadas cartesianas no espaco IR3,−→v = (v1, v2, v3),
−→w = (w1, w2, w3) e−→u = (u1, u2, u3), temos que:
• Se −→v ,−→w e −→u sao coplanares, entao∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
• Se −→v ,−→w e −→u sao nao coplanares, entao∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
68
Assim, para determinarmos se tres vetores sao coplanares devemos calcular o deter-
minante 3× 3 de suas coordenadas.
Ha diversas maneiras praticas de se calcular um determinante 3× 3. Apresentaremos,
a seguir, uma destas formas possıveis de fazer a conta dada por:∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ =1. Acrescentamos duas coluna a direita, repetindo a segunda e terceira coluna:
∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣v1 v2
w1 w2
u1 u2
2. Multiplicamos os numeros de cada uma das tres diagonais (indicadas pelas flechas)
e somamos os resultados, obtendo S1.
3. Multiplicamos os numeros de cada uma das tres diagonais inversas (indicadas pelas
flechas) e somamos os resultados, obtendo S2.
4. O resultado da conta e
∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ = S1 − S2
69
Exemplos
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, determine se os vetores sao
coplanares:
a) −→v = (1,−2, 3) e −→w = (−4, 3, 9)
Resposta: Dois vetores sao sempre coplanares, portanto os vetores −→v =
(1,−2, 3) e −→w = (−4, 3, 9) sao coplanares.
b) −→v = (1,−2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (1, 0,−2)
Resposta: Como:
Os vetores −→v = (1,−2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (1, 0,−2) nao sao coplanares.
c) −→v = (1, 2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (−1, 0, 23)
Resposta: Calculando o determinante:
Vemos que os vetores −→v = (1, 2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (−1, 0, 23) sao
coplanares.
Para o caso de termos mais de tres vetores, por exemplo quatro, devemos verificar
algebricamente se os tres primeiros sao coplanares e: (i) em caso negativo concluimos que
o grupo de vetores nao e coplanar; (ii) em caso positivo, verificamos se o quarto vetor e
coplanar aos outros tres fazendo a conta para este vetor e para dois dos outros vetores.
70
Pelo estudo de vetores no espaco e lembrando da coplanariedade entre vetores, pode-
mos ver que:
i) Dado um vetor, sempre existe um plano que contem este vetor.
ii) Dado dois vetores, sempre existe um plano que contem estes vetores.
iii) Dados tres vetores, nem sempre existe um plano que contem estes vetores.
Exemplo:
1. Fixado um sistema de coordenadas, nao existe um plano que contem os vetores:−→i = (1, 0, 0),
−→j = (0, 1, 0) e
−→k = (0, 0, 1).
“Pense no plano que contem dois destes vetores, observe que o terceiro vetor ‘fura’
este plano.”
Dada a justificativa geometrica, podemos fazer a verificacao algebrica calculando o
determinante com as coordenadas do vetores−→i ,
−→j e
−→k . Assim:
Assim ∣∣∣∣∣∣∣1 0 0
0 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 1 + 0 + 0− (0 + 0 + 0) = 1 = 0
Portanto, os vetores−→i ,
−→j e
−→k nao sao coplanares.
71
3.8 Exercıcios
1. Considere os pontos A = (1, 1), B = (2, 3), C = (−2,−1) e D = (−1, 0). Determine
as coordenadas dos vetores:
a)−→AB;
b)−→AC;
c)−−→AD;
d)−−→BC;
e)−−→CD;
f)−−→DA;
g)−−→BD;
h)−−→DC.
2. Considere os pontos A = (1,−1, 1), B = (1, 2, 3), C = (3, 2, 1) e D = (0, 1, 0).
Determine as coordenadas dos vetores:
a)−→AB;
b)−→AC;
c)−−→AD;
d)−−→BC;
e)−−→CD;
f)−−→DA;
g)−→BA;
h)−−→DB.
3. Encontre as componentes de:
a) os vetores−→PQ e
−→QP onde P = (1, 4, 2) e Q = (1,−2, 0) ;
b) o vetor a partir do ponto A = (2, 3, 1) ate a origem.
4. Determine a norma dos vetores encontrados como respotas nos exercıcios 1, 2 e 3.
5. Em cada item abaixo, verifique se os vetores destacados nas figuras sao coplanares
ou nao sao coplanares.
72
a)
b)
c)
d)
6. Verifique se os vetores a seguir sao coplanares.
73
a) −→v = (1, 2) e −→w = (3, 4);
b) −→v = (1, 2, 3) e −→w = (1, 1, 1);
c) −→v = (1, 2, 3, ), −→w = (3, 2, 1) e −→u = (1, 1, 1);
d) −→v = (0, 1, 0), −→w = (1, 1, 1) e −→u = (1, 1,−1);
e) −→v = (3, 2, 1), −→w = (1, 0,−1) e −→u = (2, 0, 2).
74
Capıtulo 4
Multiplicacao de Numero Real por
Vetor
4.1 Introducao
Neste e nos proximos capıtulos de nosso livro estudaremos as principais operacoes
envolvendo vetores e numeros. Sao elas:
• produto de numero real por vetor,
• soma de vetores,
• soma de ponto por vetor,
• produto escalar (entre dois vetores),
• produto vetorial (entre dois vetores),
Estudaremos cada uma destas operacoes e suas propriedades em versao geometrica e
algebrica, porem e necessario ter sempre muito cuidado: vetor e vetor; numero e numero;
ponto e ponto.
Vetor = Numero. Vetor = Ponto. Ponto = Numero.
A primeira das operacoes envolvendo vetores, a multiplicacao de numero real por
vetor, sera definida e estudada neste capıtulo. A partir dela iremos, tambem, aprender a
determinar se dois ou mais vetores sao paralelos entre si.
75
4.2 Definicao e Interpretacao Geometrica
Dados um vetor (−→v ∈ V) e um numero real (a ∈ IR), a operacao de multiplicacao de
numero real por vetor e definida como:
IR× V → V( a,−→v ) → a−→v
O resultado e um vetor (a−→v ∈ V), definido por:
⋄ Direcao:
{Se a = 0 entao a−→v tem a mesma direcao que −→v ,
Se a = 0 entao a−→v tem todas as direcoes, pois a−→v =−→0 .
⋄ Sentido:
Se a > 0 entao a−→v tem o mesmo sentido que −→v ,
Se a < 0 entao o vetor a−→v tem o sentido oposto a −→v ,
Se a = 0 entao o vetor a−→v tem todos os sentidos, pois −→v =−→0 .
.
⋄ Norma: A norma do vetor a−→v e igual a norma do vetor −→v multiplicada pelo
numero real positivo |a|, ou seja, | a−→v | = |a| | −→v |.
Exemplo: Dado o vetor −→v da figura:
Represente os vetores:
a) 2−→v ,
b) −2−→v ,
c) 0−→v ,
d)1
2−→v ,
e)3
10−→v .
76
Resposta: Os vetores que sao os resultados das multiplicacoes pedidas nos
itens acima estao esquematizados nas figuras abaixo.
77
4.3 Propriedades da Multiplicacao de Numero Real
por Vetor
A operacao multiplicacao de numero real por vetor tem algumas propriedades muito
importantes e que podemos enunciar a partir de sua definicao. Sao elas as propriedades
listadas abaixo:
M1. 1−→v = −→v para todo −→v ∈ V.
M2. a(b−→v ) = ab(−→v ), para todos a, b ∈ IR e −→v ∈ V .
3. −1−→v = −−→v e o vetor oposto a −→v , para todo −→v ∈ V.
4. −a−→v e o vetor oposto a a−→v , para todos a ∈ IR e −→v ∈ V .
5. |a−→v | = | a | |−→v |, para todos a ∈ IR e −→v ∈ V.
5.1. Se a > 0 entao | a−→v | = a | −→v |, para todo −→v ∈ V .
5.2. Se a < 0 entao | a−→v | = −a | −→v |, para todo −→v ∈ V.
6. Temos |a−→v | = |−→v |, para todos a = 1 ∈ IR e −→v ∈ V .
6.1. Se |a| > 1 entao | a−→v | > | −→v |, para todo −→v ∈ V .
6.2. Se 0 ≤ |a| < 1 entao | a−→v | < | −→v |, para todo −→v ∈ V .
Antes de darmos seguimento ao nosso estudo da multiplicacao de numero real por
vetor, queremos ressaltar um simples e muito necessario cuidado que os estudantes devem
ter ao trabalhar com vetores: nao existe divisao de vetores.
Podemos dividir um vetor por um numero real nao nulo. Pois, isto e igual a multiplicar
o inverso deste numero real pelo vetor, ou seja, dado a ∈ IR com a = 0 e seja −→v ∈ V ,temos:
−→va
=1
a−→v
Mas, nao existe divisao por vetor.−→v−→w
\
78
4.4 Versao Algebrica da Multiplicacao de Numero
Real por Vetor
Fixado um sistema de coordenadas no plano ou no espaco e dados um vetor (−→v ∈ V)e um numero real (a ∈ IR), vamos definir a operacao multiplicacao de numero real por
vetor, em sua forma algebrica, como a operacao:
IR× V → V( a,−→v ) → a−→v
O resultado e um vetor (a−→v ∈ V), definido por:
◃ No plano: a−→v = a(v1, v2) = (av1, av2)
◃ No espaco: a−→v = a(v1, v2, v3) = (av1, av2, av3)
Exemplos
1. Dados −→v = (−1, 2) ∈ V e a = 2 ∈ IR
Temos a−→v = 2(−1, 2) = (−2, 4) ∈ V .
2. Dados −→v =(−1
3, 56
)∈ V e a = 3 ∈ IR,
Temos a−→v = 3(−1
3, 56
)=(−1, 5
2
)∈ V .
3. Dados −→v = (−√2,−
√3) ∈ V e a =
√3 ∈ IR
Temos a−→v =√3(−
√2,−
√3) = (−
√6,−3) ∈ V .
4. Dados −→v = (1, 0,−4) ∈ V e a = −√3 ∈ IR
Temos a−→v = −√3(1, 0,−4) = (−
√3, 0, 4
√3) ∈ V.
5. Dados −→v = (1,−8,−4) ∈ V e a = 0 ∈ IR
Temos a−→v = 0(1,−8,−4) = (0, 0, 0) ∈ V (vetor nulo).
6. Dados −→v = (15,−7
3,−2) ∈ V e a = −15 ∈ IR
Temos a−→v = −15(15,−7
3,−2) = (−3, 35, 30) ∈ V .
79
Usando a definicao algebrica da multiplicacao de um numero real por um vetor podemo
obter, a partir de um dado vetor −→v , o versor ou vetor de norma igual a um que tem a
mesma direcao e sentido do vetor. Ou seja:
Lema 4.1: Se −→v e nao nulo, entao o vetor1
| −→v |−→v e um versor com mesma direcao
e mesmo sentido que −→v .
Demonstracao:
1
| −→v |e um numero real positivo.
Assim, os vetores1
| −→v |−→v e −→v tem a mesma direcao e o mesmo sentido.
E a norma de1
| −→v |e dada por:∣∣∣∣ 1
| −→v |−→v∣∣∣∣ = 1
| −→v || −→v | = 1
Assim, o vetor:1
| −→v |−→v e um versor.
Portanto, esta provado que o vetor 1| −→v |
−→v e um versor com mesma direcao e mesmo
sentido que −→v .
Observacao: Dado um vetor nao nulo −→v , alguns autores chamam de direcao de−→v , o versor que e paralelo a −→v e que tem o mesmo sentido de −→v .
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, sendo P = (−1, 0)
e Q = (2, 1), calcule:
a) As coordenadas do vetor−→PQ;
Resposta:−→PQ = Q− P = (2, 1)− (−1, 0) = (3, 1)
b) A norma do vetor−→PQ.
Resposta: |−→PQ| = |(3, 1)| =
√(3)2 + (1)2 =
√10
80
c) A direcao do vetor−→PQ.
Resposta: A direcao do vetor ou o versor com mesma direcao e sentido e
obtido dividindo-se o vetor por sua norma. Assim:1
|−→PQ|
−→PQ =
1√10
(3, 1)
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, sendo P =
(−1, 0, 3) e Q = (2, 1, 4), calcule:
a) As coordenadas do vetor−→PQ.
Resposta:−→PQ = Q− P = (2, 1, 4)− (−1, 0, 3) = (3, 1, 1)
b) A norma do vetor−→PQ.
Resposta: |−→PQ| = |(3, 1, 1)| =
√(3)2 + (1)2 + (1)2 =
√11
c) O versor com mesma direcao e sentido do vetor−→PQ.
Resposta: 1
|−−→PQ|
−→PQ = 1√
11(3, 1, 1)
3. Dado o vetor −→v = (1,−2, 3), determine um versor com a mesma direcao e sentido
oposto ao de −→v .
Resolucao: Dividindo o vetor −→v por sua norma esataremos obtendo um vetor com
norma igual a um e que tem a mesma direcao e sentido que −→v . Se multiplicarmos
este versor obtido por -1 estaremos invertendo o seu sentido. Ou seja, para obtermos
um versor com mesma direcao e sentido oposto ao de −→v , precisamos multiplicar o
vetor −→v por − 1
|−→v |.
Calculando a norma de −→v :
|−→v | =√12 + (−2)2 + 32 =
√14
Assim, o versor pedido e:
−−→v|−→v |
= −(1,−2, 3)√14
=
(− 1√
14,
2√14
,− 3√14
)
81
4.5 Paralelismo entre vetores
Tendo definido a multiplicacao de numero real por vetor, podemos definir o paralelismo
entre vetores em termos dessa operacao que envolve um numero real e um vetor. Mas, o
que estamos chamando de vetores paralelos?
Dois vetores sao ditos paralelos se possuem a mesma direcao.
Lema 4.2: Se −→v1 e −→v2 sao paralelos entao existe a ∈ IR tal que −→v1 = a−→v2 ou b ∈ IR
tal que −→v2 = b−→v1 ou ambos.
Demonstracao:
Um vetor e determinado por sua direcao, seu sentido e sua norma.
Sabemos que, por hipotese, −→v1 e −→v2 sao paralelos, assim sabemos que os dois vetores
tem a mesma direcao.
Primeiro vamos considerar o caso em que −→v1 = −→0 e −→v2 = −→
0 .
Podemos pensar nos versores destes dois vetores, −→w1 =1
|−→v1 |−→v1 e −→w2 =
1
|−→v2 |−→v2 .
Os versores tem a mesma direcao, e ambos sao unitarios.
Agora quanto ao sentido podemos ter duas opcoes:
• Os versores tem o mesmo sentido. Neste caso −→w1 =−→w2.
• Os versores tem sentido oposto. Neste caso −→w1 = −−→w2.
No primeiro caso temos: −→w1 = −→w2 ⇒ 1
|−→v1 |−→v1 =
1
|−→v2 |−→v2 ⇒ −→v1 =
|−→v1 ||−→v2 |
−→v2 ou
−→v2 =|−→v2 ||−→v1 |
−→v1 . Basta entao escolhermos a = |−→v1||−→v2| ou b = |−→v2|
|−→v1| e teremos −→v1 = a−→v2 e
−→v2 = b−→v1 .
Agora vamos considerar o segundo caso, onde temos: −→w1 = −−→w2 ⇒ 1
|−→v1 |−→v1 =
− 1
|−→v2 |−→v2 ⇒ −→v1 = −|−→v1 |
|−→v2 |−→v2 ou −→v2 = −|−→v2 |
|−→v1 |−→v1 . Basta entao escolhermos a = − |−→v1|
|−→v2|
ou b = − |−→v2||−→v1| e teremos −→v1 = a−→v2 e −→v2 = b−→v1 .
Falta estudarmos o caso onde temos vetores nulos.
Se −→v1 =−→0 podemos escrever −→v1 = 0−→v2 . Observe que neste caso, se −→v2 = −→
0 entao
nao existe a ∈ IR tal que −→v2 = a−→v1 .
82
Se −→v2 =−→0 podemos escrever −→v2 = 0−→v1 . Observe que neste caso, se −→v1 = −→
0 entao
nao existe a ∈ IR tal que −→v1 = a−→v2 .
Assim, concluimos a demonstracao.
Observacoes:
1. Como para qualquer vetor, −→v ∈ V , temos que−→0 = 0−→v , faz sentido dizer que o
vetor nulo e paralelo a todos os vetores no espaco, e portanto o vetor nulo tem todas
as direcoes.
2. Alguns livros-texto da area de Fısica referem-se a vetores paralelos como sendo aque-
les que possuem mesma direcao e sentido. Nestes casos, usa-se o termo antiparalelo
para os vetores que possuem mesma direcao e sentidos opostos. Nao usaremos, em
nosso livro, esta definicao para vetores paralelos e, provavelmente, nao usaremos
novamente o termo antiparalelo.
Explicados estes pontos e definida a versao algebrica do paralelismo entre vetores,
vamos a alguns exemplos para podermos fixar melhor estas ideias e conceitos.
Exemplos
1. Considere o hexagono regular abaixo e, para cada item, determine a ∈ IR, se possıvel,
tal que −→v1 = a−→v2 .
83
a) Para −→v 1 =−→AB e −→v 2 =
−→CF .
Resposta: O vetor −→v 1 e paralelo ao vetor −→v 2, tendo mesma direcao e sentido
contrario, como poderemos observar marcando os segmentos orientados que
os representam no hexagono regular ABCDEF .Como mostrado na figura a
seguir.
Alem disso, por construcao, o lado de um hexagono regular e igual a duas vezes
a sua diagonal. Por isto, o tamanho do vetor −→v 2 e duas vezes o tamanho do
vetor −→v 1, de forma que: −→v 1 = −1
2−→v 2.
b) Para −→v 1 =−→AF e −→v 2 =
−−→BC.
Resposta: O vetor −→v 1 NAO e paralelo ao vetor −→v 2. Veja vetores marcados
na figura.
Portanto temos que @ a ∈ IR ⇒ −→v1 = a−→v2 .
84
2. Considere o cubo abaixo e, para cada item, determine a ∈ IR, se possıvel, tal que−→v1 = a−→v2 .
a) Para −→v 1 =−→EF e −→v 2 =
−−→DC.
Resposta: Observe os vetores marcados na figura.
Como podemos observar, o vetor −→v 1 e paralelo ao vetor −→v 2, tendo mesma
direcao e mesmo sentido e, alem disso, tendo o mesmo modulo. Portanto,
temos que: −→v 1 = 1 · −→v 2, ou seja, a = 1.
85
b) Para −→v 1 =−−→ED e −→v 2 =
−→CF .
Resposta: Observe a figura onde os vetores −→v 1 e −→v 2 estao marcados.
O vetor −→v 1 e paralelo ao vetor −→v 2, tendo mesma direcao, sentido contrario e
o mesmo modulo. Portanto, temos que: −→v 1 = −−→v 2, ou seja, a = −1.
c) Para −→v 1 =−−→AH e −→v 2 =
−→CF .
Resposta: Pela figura a seguir:
Vemos que o vetor −→v 1 nao e paralelo ao vetor −→v 2, portanto @a ∈ IR ⇒ −→v 1 =
a−→v 2.
86
Apos definirmos a versao geometrica do paralelismo entre vetores, o passo seguinte,
que sera dado agora, e apresentarmos a sua versao algebrica.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano temos que, se −→v e −→w sao
vetores nao nulos paralelos, entao existe um numero real a tal que −→v = a−→w ou −→w = a−→v .
Vamos supor, sem perda de generalidade que, −→v = a−→w . Assim −→v = (v1, v2) = a−→w =
a(w1, w2) ⇒ (v1, v2) = (aw1, aw2). Portanto,{v1 = aw1
v2 = aw2
Ou seja, a =
v1w1
se w1 = 0
a =v2w2
se w2 = 0
Podemos concluir que, se −→v = (v1, v2) ∥ −→w = (w1, w2), entaov1w1
=v2w2
se w1 = 0 e
w2 = 0.
Analogamente, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimen-
sional temos que se −→v e −→w sao vetores nao nulos paralelos, entao existe um numero real
a tal que −→v = a−→w ou −→w = a−→v .
Vamos supor, sem perda de generalidade que, −→v = a−→w .
Assim −→v = (v1, v2, v3) = a−→w = a(w1, w2, w3) ⇒ (v1, v2, v3) = (aw1, aw2, aw3)
Portanto,
v1 = aw1
v2 = aw2
v3 = aw3
Ou seja, a =v1w1
=v2w2
=v3w3
se w1 = 0, w2 = 0 e w3 = 0
Podemos concluir que:
Se −→v = (v1, v2, v3) ∥ −→w = (w1, w2, w3)
Entaov1w1
=v2w2
=v3w3
se w1 = 0, w2 = 0 e w3 = 0
Exemplo: Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas1, verifique se os
vetores −→v e −→w sao paralelos:
a) −→v = (−2, 3) e −→w = (2, 5)
Resposta: Como−2
2= 3
5, os vetores −→v = (−2, 3) e −→w = (2, 5) nao sao
paralelos.
1Nao precisa ser cartesianas.
87
b) −→v = (−2, 3) e −→w = (6,−9)
Resposta: Como−2
6=
3
−9, os vetores −→v = (−2, 3) e −→w = (3,−9) sao
paralelos.
c) −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6,−8)
Resposta: Temos que−2
−4=
3
6, mas
3
6= 0
−8, portanto os vetores −→v =
(−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6,−8) nao sao paralelos.
d) −→v = (−2, 3, 1) e −→w = (6,−9,−3)
Resposta: Como−2
6=
3
−9=
1
−3, os vetores −→v = (−2, 3, 1) e −→w =
(2, 5,−3) sao paralelos.
e) −→v = (−2, 3, 1) e −→w = (−4, 0,−8)
Resposta: Como−4
−2= 0
3, os vetores −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6,−8) nao
sao paralelos.
f) −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6, 0)
Resposta: Como−2
−4=
3
6, os vetores −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6, 0) sao
paralelos.
Podemos usar o paralelismo entre vetores para uma simples, porem importante, veri-
ficacao geometrica: determinarmos se tres pontos quaisquer formam um triangulo. Vamos
a um exemplo para ilustrar esta aplicacao.
Exemplo: Considere os pontos A, B e C dados a seguir e determine se eles formam
um triangulo.
a) A = (1, 1, 1), B = (3, 2, 3) e C = (2, 2,−2).
Resolucao: Para fazermos esta verificacao devemos, primeiro, escolher um dos
pontos como vertice primario de nosso possıvel triangulo. Neste caso vamos
tomar o ponto A (poderia ser qualquer dos outros).
A seguir devemos construir os vetores−→AB e
−→AC que, neste exemplo, sao:
−→AB = B − A = (2, 2,−2)− (1, 1, 1) = (1, 1,−3)−→AC = C − A = (3, 2, 3)− (1, 1, 1) = (2, 1, 2)
Se os pontos A, B e C sao os vertices de um triangulo, os vetores−→AB e
−→AC
NAO serao paralelos. E se eles nao determinarem um triangulo os vetores−→AB
e−→AC serao paralelos pois os pontos A, B e C estarao sobre a mesma reta (serao
colineares).
88
Verificando, atraves da razao entre as componentes dos vetores, temos que:
1
2= 1
1= −3
2
Portanto os vetores−→AB e
−→AC nao sao paralelos e, por conseguinte, os pontos
A, B e C sao os vertices de um triangulo.
b) A = (1, 1, 0), B = (2, 0, 2) e C = (3,−1, 2).
Resolucao: Construindo os vetores−→AB e
−→AC:
−→AB = B − A = (2, 0, 2)− (1, 1, 0) = (1,−1, 2)−→AC = C − A = (3,−1, 4)− (1, 1, 0) = (2,−2, 4)
Verificando se−→AB e
−→AC sao paralelos:
1
2=
−1
−2=
2
4
Portanto, os vetores−→AB e
−→AC sao paralelos e, consequentemente, os pontos A,
B e C nao formam um triangulo.
4.6 Exercıcios
1. Considere −→v o vetor de norma 3, de direcao vertical e sentido para cima. E seja
a = −√2. Determine a norma, direcao e sentido do vetor dado por:
a) −→w = a−→v
b) −→u = a2−→v
c) −→r = −3a−→v
2. Considere os vetores −→v = (1, 2, 4), −→w = (−2, 3,−1) e −→u = (0, 2,−3). Determine as
coordenadas dos vetores dados por:
a) 2−→v
b) 3−→w
c) −−→u
d) −3−→v
e) 5−→w
f) 7−→u
89
g) −5−→v
h) −2−→w
i) −2−→u
3. Dados os pontos A = (0, 1, 2), B = (1,−2, 1), C = (3,−2,−3) e D = (2,−2, 2).
Calcule as coordenadas e norma dos vetores a seguir. E tambem determine as
coordenadas do versor com mesma direcao e sentido que os referidos vetores.
a)−→AB
b)−−→DA
c)−−→CB
d)−−→BD
e)−→CA
f)−−→DC
4. Encontre um versor no plano, na mesma direcao e mesmo sentido que o vetor −→v :
a) −→v = (2,−1)
b) −→v =
(2√3,−2
√2√3
)
5. Encontre um versor no espaco, na mesma direcao e mesmo sentido que o vetor −→v
a) −→v = (2,−1,−3)
b) −→v =
(2
3,−1
2,−2
)c) −→v = (2,−4, 7)
d) −→v =
(2√3,− 2√
3,2√3
)6. Considere o vetor −→v = (0,−4, 3) e determine as coordenadas do versor que tem a
mesma direcao e sentido contrario ao vetor −→v .
7. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, verifique se os vetores −→v e−→w especificados a seguir sao paralelos.
a) −→v = (−2, 7) e −→w = (2, 3);
b) −→v = (−2, 3) e −→w = (8,−12);
90
c) −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6,−8);
d) −→v = (−2, 3, 1) e −→w = (6,−9,−3);
e) −→v = (−2, 3, 1) e −→w = (−4, 0,−8);
f) −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6, 0);
g) −→v = (−0, 3, 5) e −→w = (−0, 5, 3);
8. Verifique se os pontos enunciados a seguir formam um triangulo. Em caso afirmativo,
determine o perımetro do triangulo formado.
a) A = (0, 4), B =
(5
2,−2
)e C = (0,−2);
b) A = (0, 4), B =
(5
2,−2
)e C = (5,−8);
c) A = (0, 4, 1), B =
(5
2,−2, 1
)e C =
(1,
12
5, 1
);
d) A = (0, 0, 1), B = (0,−2, 1) e C = (0, 5, 1).
9. Considere os pontos A, B e C no espaco. Sabendo-se que A = (1,−3, 2); B =
(2, 6, 4); e que C esta no plano xy e obedece as equacoes x+y = 1 e 3x2+3y2+6x = 9
com y > 0, prove, algebricamente, que estes pontos formam um triangulo.
∗ ∗ ∗
91
Capıtulo 5
Adicao de Vetores
5.1 Introducao
Apos estudarmos, no capıtulo anterior, a multiplicacao de numero real por vetor,
vamos dar seguimento aos nossos estudos das operacoes aritmeticas envolvendo vetores
estudando, neste capıtulo de nosso livro, a adicao de vetores.
Assim com no caso da multiplicacao de um numero real por um vetor queremos que
a operacao adicao de vetores seja uma operacao fechada, ou seja, queremos que o
resultado da soma de dois vetores seja sempre um vetor. Desta forma, a adicao de vetores
e uma operacao:
V × V → V(−→v ,−→w ) → −→v +−→w
Vamos estudar e aprender a efetuar esta operacao aritmetica envolvendo vetores em
suas versoes geometrica e algebrica.
5.2 Adicao de Vetores: Versao Geometrica
Ha duas regras simples e equivalentes para fazermos, geometricamente, a adicao de
vetores.
A primeira, a regra do paralelogramo, e usada de forma direta apenas para se
somar dois vetores, mas podemos usa-la para somar mais de dois vetores fazendo-se a
soma deles dois-a-dois. A segunda, regra do “fim de um no comeco do outro” ou
regra do polıgono, e equivalente a regra do paralelogramo e pode ser usada diretamente
para se somar um numero qualquer de vetores.
Vamos descrever estas regras a seguir.
92
5.2.1 Regra do Paralelogramo
O procedimento para se somar geometricamente dois vetores usando a regra do para-
lelogramo pode ser descrito pelos passos a seguir:
1. Escolhe-se um ponto A no espaco.
2. Toma-se o representante do vetor −→v que inicia-se em A.
3. Chama-se de B o ponto final do representante do vetor −→v que inicia-se em A.
4. Toma-se o representante do vetor −→w que inicia-se em A.
5. Chama-se de C o ponto final do representante do vetor −→w que inicia-se em A.
6. Constroi-se segmentos paralelos ao representantes dos vetores −→v e −→w . Formando o
paralelogramo ABCD.
7. O resultado da soma −→v +−→w e o vetor −→u que tem o segmento orientado−−→AD como
representante.
Este procedimento esta esquematizado na figura abaixo onde sao mostrados os vetores−→v e −→w e sua soma com os referidos pontos que sao os vertices do paralelogramo.
93
Exemplo: Considere os vetores −→v e −→w marcados nas figuras a seguir e obtenha,
geometricamente, a soma dos vetores usando a regra do paralelogramo. [Observe que
nas figuras representadas em cada temos, na primeira, os vetores a serem somados
e, na segunda, a soma destes vetores feita atraves da regra do paralelogramo.]
a) Os segmentos orientados−→AB e
−→AF do hexagono regular ABCDEF .
b) Os segmentos orientados−→AB e
−−→AH do cubo.
94
5.2.2 Regra do Polıgono ou Regra do “Fim de um no comeco
do outro”
O procedimento para se obter, geometricamente, a soma de dois vetores usando a regra
do polıgono e descrito pelos seguintes passos:
1. Escolhe-se um ponto A no espaco.
2. Toma-se o representante do vetor −→v que inicia-se em A.
3. Chama-se de B o ponto final do representante do vetor −→v .
4. Toma-se o representante do vetor −→w que inicia-se em B.
5. Chama-se de C o ponto final do representante do vetor −→w .
6. O resultado da soma −→v +−→w e o vetor −→u que tem como representante o segmento−→AC.
Este procedimento esta esquematizado na figura abaixo onde sao mostrados os vetores−→v e −→w e sua soma com os referidos pontos de inıcio e fim de cada vetor.
Exemplo
1. Considere os vetores marcados nas figuras a seguir e obtenha, geometricamente, a
soma dos vetores usando a regra de colocar o inıcio do segundo vetor no final do
95
primeiro. [Observe que nas figuras representadas a seguir temos: na primeira figura
de cada item, os vetores a serem somados; e, na segunda, a soma destes vetores feita
atraves da regra do polıgono.]
a) Os segmentos orientados−→AB e
−→AF do hexagono regular ABCDEF .
b) Os segmentos orientados−→AB e
−−→AH do cubo abaixo.
c) Os vetores −→v 1,−→v 2,
−→v 3 e −→v 4 marcados no plano abaixo.
96
d) Os vetores −→v 1,−→v 2,
−→v 3 e −→v 4 marcados no cubo abaixo.
Desta segunda regra geometrica para a soma de vetores, advem uma importante regra
algebrica para a soma de vetores escrita em termos dos segmentos orientados que os
representam.
Considere que queremos somar dois vetores−→v e −→w . Se −→v tem−→AB como representante,
e −→w tem−−→BC como representante, entao o vetor soma tem como representante o segmento
orientado−→AC.
Em termos algebricos, temos:
−→v +−→w =−→AB +
−−→BC =
−→AC = −→u
Assim, temos a regra:−→AB\+
−−→BC\ =
−→AC
Exemplo: Dados os segmentos orientados−→AB e
−−→BC, a soma dos vetores de que
eles sao representados e dada por−→AB +
−−→BC =
−→AC, como pode ser verificar, geo-
metricamente, pela figura a seguir.
97
5.3 Propriedades da Adicao de Vetores
A adicao de vetores tem algumas importantes propriedades que podem ser enunciadas
e mostradas a partir de sua versao geometrica.
Dados −→v ,−→w ,−→u ∈ V e a ∈ IR, temos as seguintes propriedades para a soma de vetores:
S1 −→v +−→w = −→w +−→vPropriedade comutativa.
S2 −→v + (−→w +−→u ) = (−→v +−→w ) +−→uPropriedade associativa.
Portanto, podemos escrever −→v +−→w +−→u .
S3−→0 ∈ V e tal que
−→0 +−→v = −→v
Propriedade do elemento neutro.
S4 Dado −→v ∈ V existe −−→v ∈ V tal que −→v + (−−→v ) =−→0
Propriedade do elemento oposto.
D1 a(−→v +−→w ) = a−→v + a−→wPropriedade distributiva 1.
D2 (a+ b)−→v = a−→v + b−→vPropriedade distributiva 2.
As propriedades distributivas, D1 e D2, relacionam a operacao multiplicacao de
numero real por vetor e soma de vetores.
A soma do vetor −→v com o vetor oposto a −→w , ou seja, −→v + (−−→w ), por abuso de
linguagem, pode ter a notacao: −→v −−→w . Assim, temos que:
−→v + (−−→w ) = −→v −−→w
98
Alem das propriedades acima enumeradas, a soma de vetores ainda tem as pro-
priedades de cancelamento e as propriedades da regra de sinais, abaixo enu-
meradas.
Dados −→v ,−→w ,−→u ,−→x ,−→y ∈ V e a, b ∈ IR, temos:
1. −→v +−→w = −→v +−→u ⇒ −→w = −→u .
2. −→x +−→v = −→y +−→v ⇒ −→x = −→y .
3. Se a−→v = a−→w , com a = 0 entao −→v = −→w .
4. Se a−→v =−→0 , com a = 0 entao −→v =
−→0 .
5. (−a)−→v = −( a−→v ) = a(−−→v ).
6. (−a)(−−→v ) = a−→v .
Exemplo: Resolva as equacoes a seguir onde a incognita e o vetor −→x .
a) 2−→x − 5−→w =−→t
Resolucao:2−→x − 5−→w =
−→t ⇒ 2−→x = 5−→w +
−→t ⇒ −→x =
5
2−→w +
1
2
−→t
b) 2−→x − 5−→w = 7(−→t + 3−→x )
Resolucao:2−→x − 5−→w = 7(
−→t + 3−→x ) ⇒ 2−→x − 5−→w = 7
−→t + 21−→x ⇒
⇒ 2−→x − 21−→x = 7−→t + 5−→w ⇒ −19−→x = 7
−→t + 5−→w ⇒
⇒ 19−→x = −7−→t − 5−→w ⇒ −→x = − 7
19
−→t − 5
19−→w
5.4 Adicao de Vetores: Versao Algebrica
Considerando, novamente, a adicao de vetores, a operacao definida como:
V × V → V(−→v ,−→w ) → −→v +−→w
Vamos apresentar a sua versao algebrica. Ou seja, vamos aprender a fazer algebrica-
mente a soma de vetores.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano ou no espaco, temos:
99
• No plano: os vetores −→v = (v1, v2) ,−→w = (w1, w2) ∈ V , assim sua soma, na forma
algebrica, vale:
−→v +−→w = (v1 + w1, v2 + w2)
• No espaco: os vetores −→v = (v1, v2, v3) ,−→w = (w1, w2, w3) ∈ V , desta forma sua
soma e:
−→v +−→w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sendo −→v =
(−1, 3,−6), −→w = (−2, 4, 0), −→u = (1, 0,−1),−→t = (5, 8, 7). Calcule:
a) −→v +−→wResposta:
−→v +−→w = (−1, 3,−6) + (−2, 4, 0) = (−3, 7,−6)
b) −→v −−→wResposta:
−→v −−→w = (−1, 3,−6)− (−2, 4, 0) = (1,−1,−6)
c) −→v +−→w +−→uResposta:
−→v +−→w +−→u = (−1, 3,−6) + (−2, 4, 0) + (1, 0,−1) = (−2, 7,−7)
d) −3−→v +3
2−→w −−→u + 5
−→t
Resposta:
−3−→v +3
2−→w −−→u + 5
−→t = −3(−1, 3,−6) +
3
2(−2, 4, 0)− (1, 0,−1) + 5(9, 8, 7)
= (3,−9, 18) + (−3, 6, 0) + (−1, 0, 1) + (45, 40, 35)
= (44, 37, 54)
e)
∣∣∣∣− 5
4−→v∣∣∣∣
Resposta:
100
∣∣∣∣− 5
4−→v∣∣∣∣ =
∣∣∣∣− 5
4(−1, 3,−6)
∣∣∣∣=
∣∣∣∣ ( 5
4,− 15
4,30
4
) ∣∣∣∣=
√(5
4
)2
+
(−15
4
)2
+
(30
4
)2
=
√25
16+
225
16+
900
16
=
√1150
16=
5√46
4u.c.
Ou ainda, poderıamos resolver este item levando em conta que:∣∣∣∣− 5
4−→v∣∣∣∣ = ∣∣∣∣− 5
4
∣∣∣∣ | −→v | = 5
4
√(−1)2 + 32 + (−6)2 =
4√46
4.
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, e sendo −→v =
(−1, 2) e −→w = (3,−2), calcule:
a) | −→v |Resposta:
| −→v | = | (−1, 2) | =√
(−1)2 + (2)2 =√5
b) | −→w |Resposta:
| −→w | = | (3,−2) | =√
(3)2 + (−2)2 =√13
c) | −→v +−→w |Resposta:
| −→v +−→w | = | (−1, 2) + (3,−2) | = | (2, 0) | =√
(2)2 + (0)2 =√4 = 2
Note que: | −→v +−→w | = | −→v |+| −→w |, pois | −→v +−→w | = 2 e | −→v |+| −→w | =√5+
√13.
d)
∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣
Resposta:∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 12(−1, 2)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ (−1
2, 1
) ∣∣∣∣ =√(
−1
2
)2
+ (1)2 =
√1
4+ 1 =
√5
4∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ =
√5
2
Note que poderıamos ter feito este item considerando:
∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ = 1
2| −→v |.
101
e)
∣∣∣∣−1
2−→w∣∣∣∣
Resposta:
∣∣∣∣−1
2−→w∣∣∣∣ =
∣∣∣∣−1
2(3,−2)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ (−3
2, 1
) ∣∣∣∣ =√(
3
4
)2
+ (1)2 =
√9
4+ 1 =
√13
4∣∣∣∣−1
2−→w∣∣∣∣ =
√13
2
Note que poderıamos ter feito este item considerando:
∣∣∣∣−1
2−→v∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−1
2
∣∣∣∣ | −→v |.
102
3. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, e sendo −→v =
(−1, 2, 1) e −→w = (3, 0,−2), calcule:
a) | −→v |Resposta:
| −→v | = | (−1, 2, 1) | =√
(−1)2 + (2)2 + (1)2 =√6
b) | −→w |Resposta:
| −→w | = | (3, 0,−2) | =√
(3)2 + (0)2 + (−2)2 =√13
c) | −→v +−→w |Resposta:
| −→v +−→w | = | (−1, 2, 1) + (3, 0,−2) | = | (2, 2,−2) | =√
(2)2 + (2)2 + (−2)2
| −→v +−→w | =√12 = 2
√3
Note que: | −→v +−→w | = | −→v |+ | −→w |.
d)
∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣
Resposta:
∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 12(−1, 2, 1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ (−1
2, 1,
1
2
) ∣∣∣∣ =√(
−1
2
)2
+ (1)2 +
(1
2
)2
∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ =
√1
4+ 1 +
1
4=
√3
2=
√6
2
Note que poderıamos ter feito direto por:
∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ = 1
2| −→v |.
e)
∣∣∣∣−1
2−→w∣∣∣∣
Resposta:
∣∣∣∣−1
2−→w∣∣∣∣ =
∣∣∣∣−1
2(3, 0,−2)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ (−3
2, 0, 1
) ∣∣∣∣ =√(
3
4
)2
+ (0)2 + (1)2 =
√9
4+ 1∣∣∣∣−1
2−→w∣∣∣∣ =
√13
4=
√13
2
Note que poderıamos ter feito direto por:
∣∣∣∣−1
2−→v∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−1
2
∣∣∣∣ | −→v |.
103
5.5 Aplicacoes da Adicao de Vetores
Os vetores sao grandezas onipresentes em nosso cotidiano e, em muitos casos, pre-
cisamos somar diversos vetores para resolver problemas ou situacoes em Matematica,
Fısica ou Engenharia. Ou seja, ha inumeras aplicacoes das operacoes envolvendo vetores
e, em especıfico, da adicao de vetores.
Para nao nos estendermos muito, nesta secao vamos apenas definir, a partir da adicao
de vetores, a notacao de vetores que e, em geral, usada nos textos e livros de Fısica e
tambem vamos apresentar dois exemplos do cotidiano onde precisamos obter a resposta
a um problema a partir da adicao de vetores.
1. ♢ Notacao de vetores em termos de versores
Como ja foi mencionado em nosso livro, a maioria dos autores de livros de Fısica, ao
trabalhar com vetores, denotam o vetor −→v = (a, b, c) como sendo −→v = a−→i + b
−→j + c
−→k .
Onde−→i = (1, 0, 0),
−→j = (0, 1, 0) e
−→k = (0, 0, 1)
Nesta notacao, que e completamente equivalente a usada em nosso livro, esta implıcito
que o vetor −→v e igual a:
−→v = (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)
Os autores de textos de Fısica dao preferencia a esta notacao, pois, em varios, tra-
balham em muitos problemas e situacoes com o sistema de coordenadas cartesianas ao
mesmo tempo que trabalham com o sistema de coordenadas cilındricas ou com o sistema
de coordenadas esfericas. Assim, ao escrever o vetor na notacao −→v = a−→i + b
−→j + c
−→k
estao explicitando o sistema de coordenadas em que o vetor foi escrito.
Como, em nosso livro, so estamos trabalhando com o sistema de coordenadas carte-
sianas, demos preferencia a manter a notacao de vetores como −→v = (a, b, c). No entanto,
em alguns problemas e exemplos aparecera a notacao do tipo −→v = a−→i + b
−→j + c
−→k , pois
consideramos que e completamente equivalente a nossa e, tambem, para que o estudante
se acostume a trabalhar, indiferentemente, com as duas notacoes.
1. ♢ Exemplos de aplicacoes da adicao de vetores
1. Um garoto quer atravessar um rio a nado. Sabendo que ele nada, em piscina, com
uma velocidade de 1 m/s e que as aguas do rio tem uma velocidade de 2 m/s em
relacao a margem, determine a velocidade do garoto, em relacao a margem do rio,
quando ele estiver atravessando rio.
104
Resolucao: A velocidade do garoto, ao atravessar o rio, sera a soma veorial da sua
velocidade com a velocidade da correnteza do rio.
Considerando que a velocidade total do garoto ao atravessar o rio pode ser escrita
como:
−→v = −→v p +−→v r
onde −→v p e a velocidade com que o garoto nada em piscina; e −→v r e a velocidade da
correnteza do rio.
No problema dado temos que:
−→v p = 1(m/s)−→j
e
−→v r = 2(m/s)−→i
Portanto, a velocidade total do garoto, em relacao a margem, enquanto esta atrav-
essando o rio vale:
−→v = −→v p +−→v r = 2
−→i + 1
−→j em m/s
ou, na nossa notacao usual:
−→v = (2, 1) em m/s
2. Uma partıcula esta sujeita as seguintes forcas1: F1 = 2−→i , F2 = 3
−→i +
−→k , F3 =
−4vecj − 2−→k , F4 = −2
−→i +
−→j −
−→k e F5 = 7
−→k , onde todas as forcas estao dadas
em newtons. Determine a forca resultante sobre a partıcula.
Resolucao: A forca resultante sobre a partıcula e dada por:
−→F R =
−→F 1 +
−→F 2 +
−→F 3 +
−→F 4 +
−→F 5
Desta forma, temos que:
−→F R =
−→F 1 +
−→F 2 +
−→F 3 +
−→F 4 +
−→F 5
−→F R = 2
−→i + 3
−→i +
−→k − 4
−→j − 2
−→k − 2
−→i +
−→j −
−→k + 7
−→k
−→F R = 3
−→i − 3
−→j + 5
−→k (em N)
Ou, em nossa notacao usual:
−→F R = (3,−3, 5) em N
1Forca e um vetor que, em Fısica, costuma ser representado por letras maiusculas
105
5.6 Resumo das Propriedades da Multiplicacao de
Numero Real por Vetor e da Adicao de Vetores
No conjunto dos vetores V , no capıtulo anterior e neste, foram definidas as operacoes
multiplicacao de numero real por vetor e adicao de vetores. Estas operacoes possuem as
seguintes propriedades aqui resumidas:
M1 1−→v = −→v para todo −→v ∈ V.
M2 a(b−→v ) = ab(−→v ), para todos a, b ∈ IR e −→v ∈ V .
S1 −→v +−→w = −→w +−→v ,
S2 −→v + (−→w +−→u ) = (−→v +−→w ) +−→u ,
S3−→0 ∈ V e tal que
−→0 +−→v = −→v ,
S4 Dado −→v ∈ V existe −−→v ∈ V tal que −→v + (−−→v ) =−→0 ,
D1 a(−→v +−→w ) = a−→v + a−→w ,
D2 (a+ b)−→v = a−→v + b−→v ,
Isto confere a V , o que chamamos de, estrutura de ‘Espaco Vetorial’. O conjunto
dos numeros reais e chamado de ‘Corpo de Escalares do Espaco Vetorial V ’.Qualquer conjunto nao vazio munido de duas operacoes com as oito propriedades
anteriores e chamado de Espaco Vetorial. O nome Espaco Vetorial foi inspirado nos
vetores. Um Espaco Vetorial podera ser entendido como um espaco cujo comportamento
e algebricamente identico ao espaco V .Os Espacos Vetoriais serao estudados em Algebra Linear e, ao faze-lo, lembre dos
vetores (espaco dos vetores) como exemplo basico de espaco vetorial.
106
5.7 Exercıcios
1. Considerando o hexagono ABCDEF , classifique em verdadeiro (V) ou falso (F)
cada assertiva abaixo. Para o caso de uma asssertiva falsa, escreva a sentenca
verdadeira.
a)−→AB =
−−→DE ;
b)−→AB = 1
2
−→FC ;
c)−→AB +
−→FE =
−−→FD ;
d)−→AB +
−→EF =
1
2
−−→BE ;
e)−→AC +
−→CF +
−−→DC =
−→0 ;
f)−−→AD +
−−→EB +
1
2
−→CF =
−→0 .
2. Considerando o cubo unitario ABCDEFGH, classifique em verdadeiro (V) ou falso
(F) cada assertiva abaixo. Para o caso de uma asssertiva falsa, escreva a sentenca
verdadeira.
107
a)−→AE =
−→GC ;
b)−−→DG =
−−→EB ;
c)−→AB +
−−→AD =
−−→BD ;
d)−→AB +
−→FE =
1
2
(−−→BE +
−−→HC
);
e)−→AC +
−→FC +
−−→DC =
−→0 .
3. Considerando o hexagono regular ABCDEF de lado 4u.c. abaixo, expresse a soma
como um unico vetor usando as letras A,B,C e D e calcule sua norma:
a) −→v = 2−→AB +
−→AA ;
b) −→v = 2−→AB +
−→AF ;
c) −→v =−−→BC + 2
−−→DE ;
d) −→v = −2−→FE +
−→CF +
−−→EB ;
e) −→v = 2−−→DE −
−−→DC +
−→AB + 1
2
(−−→BE)+−−→DE ;
f) −→v = −−→AB + 2
−−→BC +
−→CF + 2
−→FA .
108
4. Ache a soma dos vetores indicados na figura em cada caso. Preste atencao que os
vetores dos itens (a), (b) e (c) estao no plano e que os vetores do item (d) estao no
espaco.
a)
b)
c)
109
d)
5. Dados os vetores −→v = (2,−3) e −→w = (−2, 4) no plano, encontre as coordenadas e a
norma dos seguintes vetores:
a) 2−→v ;
b) 3−→v + 4−→w ;
c) −−→v − 1
2−→w ;
d)6
11−→v − 2−→w .
6. Dados os vetores −→v = (1, 0,−3) e −→w = (−2, 2, 4) no espaco, encontre as coompo-
nentes e a norma dos seguintes vetores:
a) 3−→v ;
b) 3−→v + 4−→w ;
c)5
3−→v − 2
3−→w .
7. Determine a soma e a subtracao dos vetores−→AB e
−→CA onde A = (1,−1, 0), B =
(−1, 0, 4) e C = (1, 2, 3) .
8. Sendo P1 = (1,−5) e P2 = (1,−1), expresse os vetores a seguir em termos dos
versores−→i = (1, 0) e
−→j = (0, 1)
a) 2−−→P1P2
b) 13
−−→P2P1
110
9. Sejam −→u = (2, 1), −→v = (−1, 4) e −→w = (1,−3). Encontre, se possıvel, a, b ∈−→R tais
que −→u = a−→v + b−→w .
10. Resolva a equacao na incognita −→x : 2−→x − 3−→v = 5(−→x − 3−→v
).
11. Resolva o sistema nas incognitas −→x e −→y :
{ −→x + 2−→y = −→v3−→x −−→y = 2−→v +−→w
∗ ∗ ∗
111
Capıtulo 6
Adicao de Ponto com Vetor
6.1 Definicao
Vamos estudar agora, uma outra operacao basica envolvendo vetores: a adicao entre
ponto e vetor ou adicao de ponto com vetor.
Vamos denotar por E o conjunto dos pontos, ou seja:{No plano: E = IR2,
No espaco: E = IR3.
Assim, a operacao soma de ponto com vetor, e uma operacao definida em:
E × V → E
(P , −→v ) → Q
Ou seja, esta operacao e fechada no conjunto dos pontos.
Seja P um ponto (no plano ou no espaco). Considere o representante do vetor −→vcom ponto inicial P , denotamos por
−→PQ. O resultado da soma P +−→v e o ponto final do
representante de −→v que tem ponto inicial em P , ou seja, o ponto Q.
Esquematicamente, temos:
P +−→v = P +−→PQ = Q
Podemos, tambem, pensar a adicao de ponto com vetor em termos da Notacao de
Grassmann:
P +−→v = P +−→PQ = P + (Q− P ) = Q
112
Esta operacao esta esquematizada na figura abaixo.
Exemplos
1. Considerando o hexagono regular ABCDEF (mostrado na figura abaixo), sendo−→AB,
−−→BC e
−−→CD representantes dos vetores −→v ,−→w e −→u , respectivamente, calcule:
a) A+−→vResposta: Temos, diretamente que:
A+−→v = A+−→AB = B
b) A+ 2−→wResposta: Como: 2−→w = 2
−−→BC =
−−→AD, temos que:
A+ 2−→w = A+−−→AD = D .
c) A+−→uResposta: Em termos de vetores:
−−→CD =
−→AF pois sao representantes do vetor
−→u . Desta forma:
A+−→u = A+−−→CD = A+
−→AF = F .
113
2. Considerando o cubo ABCDEFGH (mostrado na figura a seguir), sendo−→AB,
−−→BC
e−→CG representantes dos vetores −→v ,−→w e −→u respectivamente, calcule:
a) A+−→vResposta: Neste caso, obtemos diretamente que:
A+−→v = A+−→AB = B .
b) A+−→wResposta: O calculo e direto e nos da:
A+−→w = A+−−→BC = A+
−−→AD = D .
c) A+−→uResposta: Temos que:
A+−→u = A+−→CG = A+
−→AE = E .
114
6.2 Propriedades da Adicao de Ponto com Vetor
Se P e Q sao pontos (do plano ou do espaco), ou seja, P,Q ∈ E e −→v ,−→w sao vetores,
portanto −→v ,−→w ∈ V . As propriedades da adicao de ponto com vetor sao:
1. P +−→0 = P
Propriedade do elemento neutro.
2. (P +−→v ) +−→w = P + (−→v +−→w )
Propriedade associativa.
Podemos escrever P +−→v +−→w .
3. P +−→v = P +−→w ⇒ −→v = −→wLei de cancelamento.
4. P +−→v = Q+−→v ⇒ P = Q
Lei de cancelamento.
6.3 Versao Algebrica de Adicao de Ponto com Vetor
Vamos apresentar, nesta seccao, a versao algebrica da adicao de ponto com vetor, tanto
no plano quanto no espaco.
♢ No plano
Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, sendo P = (xP , yP )
e −→v = (v1, v2). Assim, temos que a adicao de ponto com vetor e uma operacao definida
em:
IR2 × V → E
(P , −→v ) → Q
E dada, em sua forma algebrica, por:
P +−→v = (xP , yP ) + (v1, v2) = (xP + v1, yp + v2)
115
♢ No espaco
Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, sendo P =
(xP , yP , zP ) e −→v = (v1, v2, v3). A adicao de ponto com vetor e uma operacao definida
em:
IR3 × V → E
(P , −→v ) → Q
E dada, em sua forma algebrica, por:
P +−→v = (xP , yP , zP ) + (v1, v2, v3) = (xP + v1, yp + v2, zP + v3)
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, e sendo P = (1, 2)
e −→v = (3,−2), calcule:
a) P +−→vResposta: P +−→v = (1, 2) + (3,−2) = (4, 0)
b) P + 3−→vResposta: P + 3−→v = (1, 2) + 3(3,−2) = (1, 2) + (9,−6) = (10,−4)
c) P − 2−→vResposta: P − 2−→v = (1, 2)− 2(3,−2) = (1, 2) + (−6, 4) = (−5, 6)
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, e sendo P =
(1, 2,−2) e −→v = (3,−2, 2), calcule:
a) P +−→vResposta: P +−→v = (1, 2,−2) + (3,−2, 2) = (4, 0, 0)
b) P + 3−→vResposta: P + 3−→v = (1, 2,−2) + 3(3,−2, 2) = (1, 2,−2) + (9,−6, 6) =
(10,−4, 4)
c) P − 2−→vResposta: P − 2−→v = (1, 2,−2) − 2(3,−2, 2) = (1, 2,−2) + (−6, 4,−4) =
(−5, 6,−6)
116
6.4 Coordenadas do Ponto Medio
Uma aplicacao simples e direta da soma de ponto com vetor e a obtencao das coor-
denadas do ponto medio de um segmento orientado, as quais chamamos simplesmente de
coordenadas do ponto medio.
A definicao das coordenadas do ponto medio sao mostradas no seguinte lema.
Lema 6.1: Supondo fixado um sistema de coordenadas (No plano ou no espaco).
Se P e Q sao pontos de E1, entao as coordenadas do ponto medio do segmento PQ
sao:
M =1
2(P +Q )
Ou seja:
⋄ No plano
Se P = (xP , yP ) e Q = (xQ, yQ) entao
M =
(xP + xQ
2,yP + yQ
2
)⋄ No espaco
Se P = (xP , yP , zP ) e Q = (xQ, yQ, zQ) entao
M =
(xP + xQ
2,yP + yQ
2,zP + zQ
2
)
Demonstracao do Lema 6.1
Sabemos que Q = P +−→PQ. Assim:
M = P +1
2
−→PQ = P +
1
2(Q− P ) = P +
1
2Q− 1
2P
M =1
2Q+
(P − 1
2P
)=
1
2Q+
(1− 1
2
)P
M =1
2Q+
1
2P =
1
2(P +Q )
Portanto:
M =1
2(P +Q )
1E = IR2 ou E = IR3.
117
Exemplos
1. Na figura, M , N e P sao pontos medios dos segmentos AB, BC e CA, respectiva-
mente.
a) Exprima−−→BP em funcao de
−→AB e
−→AC.
Resolucao: Sabemos que−−→BP =
−→BA+
−→AP .
Como P e ponto medio de AC, sabemos que−→AP = 1
2
−→AC.
Note que−→AP = 1
2
−→CA. Portanto:
−−→BP =
−→BA+
−→AP =
−→BA+
1
2
−→AC
Como−→BA = −
−→AB
−−→BP = −
−→AB +
1
2
−→AC
b) Exprima−−→AN em funcao de
−→AB e
−→AC.
Resolucao: Sabemos que−−→AN =
−→AB +
−−→BN .
Como N e ponto medio de BC, sabemos que−−→BN = 1
2
−−→BC. Vale lembrar para
sempre se ter cuidado com o sentido do vetor.
Portanto:
−−→AN =
−→AB +
−−→BN =
−→AB +
1
2
−−→BC
Como−−→BC =
−→BA+
−→AC, temos:
−−→AN =
−→AB +
1
2
(−→BA+
−→AC)=
−→AB +
1
2
−→BA+
1
2
−→AC
−−→BC =
−→AB − 1
2
−→AB +
1
2
−→AC =
(1− 1
2
)−→AB +
1
2
−→AC
−−→AN =
1
2
−→AB +
1
2
−→AC
118
Portanto:
−−→AN =
1
2
(−→AB +
−→AC)
2. Suponha que A,B e C sejam os vertices de um triangulo e que a, b e c sejam,
respectivamente, os pontos medios dos lados opostos. Mostre que−→Aa+
−→Bb+
−→Cc =
−→0 .
Resolucao: Sabemos que−→Aa =
−→AC +
−→Ca;
−→Bb =
−−→BC +
−→Cb e
−→Cc =
−→CA+
−→Ac
Portanto:
−→Aa+
−→Bb+
−→Cc = (
−→AC +
−→Ca) + (
−−→BC +
−→Cb) + (
−→CA+
−→Ac)
Sabemos tambem que:−→Ca = 1
2
−−→CB;
−→Cb = 1
2
−→CA e
−→Ac = 1
2
−→AB
Portanto:
−→Aa+
−→Bb+
−→Cc =
−→AC + (
1
2
−−→CB) +
−−→BC + (
1
2
−→CA) +
−→CA+ (
1
2
−→AB)
Assim:
−→Aa+
−→Bb+
−→Cc =
−→AC\+1
2
−−→CB+
−−→BC+
1
2
−→CA+
−→CA\+1
2
−→AB =
1
2
−−→CB+
−−→BC+
1
2
−→CA+
1
2
−→AB
Ou ainda:
−→Aa+
−→Bb+
−→Cc = −1
2
−−→BC +
−−→BC︸ ︷︷ ︸
12
−−→BC
+1
2
−→CA+
1
2
−→AB︸ ︷︷ ︸
12
−−→CB
=1
2
−−→BC +
1
2
−−→CB
Mas, os vetores:−−→BC e
−−→CB sao opostos, sua soma e nula. Concluımos, portanto,
nossa prova:
−→Aa+
−→Bb+
−→Cc =
1
2
−−→BC +
1
2
−−→CB =
−→0
119
6.5 Exercıcios
1. Considere o hexagono regular mostrado na figura abaixo.
Determine:
a) F +−→w ;
b) F +−→v +−→w ;
c) A+−→w +−→u ;
d) B +−→v + 2−→u ;
e) C +−→w −−→v −−→u .
2. Suponha fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco e sendo P =
(1, 2, 1), −→v = (2,−1, 0) e−−−−→3, 2,−2. Calcule as coordenadas do ponto Q dado por:
a) Q = P +−→v ;
b) Q = P +−→w ;
c) Q = P +−→v +−→w ;
d) Q = P + 2−→v − 3−→w ;
e) Q = P − 5−→v ;
f) Q = P −−→v + 2−→w .
3. Encontre as coordenadas do ponto medio do segmento AB, sendo:
a) A = (1, 2) e B = (0, 1) ;
b) A = (−1, 3) e B = (1, 0) ;
120
c) A = (−1, 3, 2) e B = (1, 0, 3) ;
d) A = (3, 5,−8) e B = (0, 0,−8) .
4. Suponha A, B e C sejam os vertices de um triangulo e que MA, MB e MC sejam,
respectivamente, os pontos medios dos lados opostos. Mostre que−−−→AMA +
−−−→BMB +
−−−→CMC =
−→0 .
5. Prove que o segmento que une os pontos medios dos lados nao - paralelos de um
trapezio e paralelo as bases do trapezio e sua medida e a semi-soma das medidas
das bases.
6. Prove que o segmento que une os pontos medios das diagonais de um trapezio e
paralelo as bases e sua medida e a semidiferenca das medidas das bases.
7. Sendo ABCDEF um hexagono regular de centro O, prove que−→AB +
−→AC +
−−→AD +
−→AE +
−→AF = 6
−→AO .
8. Sejam A,B e C tres pontos distintos e quaisquer. Prove que: X e um ponto da reta
AB se, e somente se,−−→CX = a
−→CA+ b
−−→CB com a+ b = 1 .
9. Sejam B e C dois pontos distintos e M o ponto medio de BC. Prove que, se A e um
ponto qualquer, entao−→AB +
−→AC = 2
−−→AM .
10. Seja A = (4, 2, 0), B = (1, 3, 0) e C = (−1, 2,−1):
a) Verifique se os pontos A,B e C formam um triangulo.
b) Encontre o vetor com ponto inicial em C e ponto final em M , onde M e o
ponto medio do lado AB. (CM e denominada mediana do triangulo ABC).
c) Encontre o vetor com ponto inicial em C e ponto final na mediana CM , local-
izado a 23de C para M .
11. Dados os pontos A,B,C e X tais que−−→AX = m
−−→XB com m ∈
−→R . Expresse
−−→CX em
funcao de−→CA e
−−→CB (e m).
12. Dado um triangulo ABC e os pontos X,Y, Z tais que
−−→AX = m
−−→XB
−−→BY = n
−−→Y C
−→CZ = p
−→ZA
. Exprima
−−→CX,
−→AY ,
−→BZ em funcao de
−→CA e
−−→CB. (e m,n e p).
∗ ∗ ∗
121
Capıtulo 7
Produto Escalar
7.1 Introducao
Neste capıtulo vamos estudar um produto entre dois vetores chamado produto
escalar.
O nome deste produto vem do fato do resultado do produto estar no corpo de escalares,
o que, no nosso caso, significa que o resultado deste produto ‘escalar’ entre dois vetores e
um numero real.
Veremos que o resultado do produto escalar entre dois vetores tem ‘relacao ıntima’
com o angulo entre estes vetores.
Vamos, entao, comecar definindo o angulo entre dois vetores e lembrar alguns nomes
e notacoes.
Dados dois vetores (−→v ,−→w ∈ V), fixamos um ponto A e consideramos os representantes
destes vetores que tem ponto inicial em A. Conforme figura abaixo:
Estes vetores formam dois angulos entre si, que estao marcados na figura acima como
θ e ϕ. Desta figura vemos, imediatamente, que a soma dos angulos θ e ϕ e 360o, ou seja,
θ + ϕ = 360o
Chamamos de angulo entre os vetores −→v e −→w ao menor dos angulos formados entre−→v e −→w . E usamos como notacao para este angulo:
ang(−→v , −→w ) = θ .
122
Assim, so vamos considerar, ao falarmos de angulo entre vetores, o menor angulo. Na
figura abaixo temos a situacao considerada ao fazermos calculos relacionados ao produto
escalar.
Quando o angulo entre dois vetores −→v e −→w e de 90◦, dizemos que os vetores sao
ortogonais. Nao falamos em vetores perpendiculares, pois vetores ‘andam’ no plano ou
no espaco. Por exemplo, se duas retas formam angulo de 90◦ e se interceptam dizemos que
as retas sao perpendiculares. Se duas retas formam angulo de 90◦ e nao se interceptam
dizemos que as retas sao ortogonais.
Quando o angulo entre dois vetores −→v e −→w e menor que 90◦, dizemos que os vetores
formam angulo agudo. Quando o angulo entre dois vetores −→v e −→w e maior que 90◦,
dizemos que os vetores formam angulo obtuso.
Agora, apos termos definido o angulo entre vetores e relembrado o significado de al-
guns termos e definicoes, podemos apresentar e definir o produto escalar em suas formas
geometrica e algebrica e tambem apresentar suas propriedades e algumas aplicacoes sim-
ples.
7.2 Produto Escalar: versao geometrica
O produto escalar e uma operacao entre vetores definida e fechada no espaco dos
vetores. Assim:
V × V → IR
(−→v ,−→w ) → −→v · −→w
O produto escalar entre os vetores −→v e −→w e dado por:
−→v · −→w = |−→v | |−→w | cos θ
onde θ e o (menor) angulo entre −→v e −→w .
123
Aqui cabem algumas observacoes sobre o produto escalar:
1. |−→v | ∈ IR, |−→w | ∈ IR, cos θ ∈ IR. Portanto: |−→v | |−→w | cos θ ∈ IR, ou seja, −→v · −→w =
|−→v | |−→w | cos θ ∈ IR.
2. O nome do produto escalar e, como ja foi dito, devido ao resultado deste produto
(entre dois vetores) ser um escalar, que no nosso contexto significa dizer que e um
numero real.
3. O angulo θ pode ser medido em graus, em radianos, ou outra medida qualquer de
angulos. Neste llivro, por comodidade, usaremos angulos apenas em graus.
4. Existem outras notacoes para produto escalar, como por exemplo: −→v ⊙−→w . Mas no
decorrer de nesse livro iremos utilizar, basicamente, a notacao −→v · −→w .
Antes de darmos seguimento aos nossos estudos de produto escalar, vamos abrir um
breve parentesis para relembrar algumas nocoes importantes sobre angulos e medidas de
angulos.
Como o estudante ja deve saber, existem algumas funcoes, que chamamos de funcoes
trigonometricas, definidas no conjunto de numeros reais, que usamos para ‘avaliar’
angulos. Em particular, nessa parte de nosso livro, o estudante precisara saber somente o
resultado de algumas destas funcoes para alguns angulos notaveis. A tabela abaixo sera
de grande utilidade neste e nos proximos capıtulos de nosso livro.
0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
seno 0 12
√22
√32
1
cosseno 1√32
√22
12
0
tangente 0 1√3
1√3 ∃�
124
Exemplos
1. Dados os vetores representados pelos segmentos−→AB,
−→AC e
−−→BC do triangulo
retangulo da figura abaixo.
Calcule:
a)−→AB ·
−→AC.
Resolucao:−→AB ·
−→AC =
∣∣−→AB ∣∣∣∣−→AC ∣∣ cos( 90◦) = (5)(5√3)(0) = 0
b)−→AC ·
−→AB.
Resolucao:−→AC ·
−→AB =
∣∣−→AC ∣∣∣∣−→AB ∣∣ cos( 90◦) = (5√3)(5)(0) = 0
Da resolucao dos itens (a) e (b) vemos, explicitamente, que nao importa a
ordem dos vetores no produto escalar, o resultado e sempre o mesmo.
c)−→AB ·
−−→BC.
Resolucao:
−→AB ·
−−→BC =
∣∣−→AB ∣∣∣∣−−→BC∣∣ cos( 120◦) = (5)(10)
(−1
2
)= −25
d)−−→BC ·
−→AB.
Resolucao:
−−→BC ·
−→AB =
∣∣−−→BC∣∣∣∣−→AB ∣∣ cos( 120◦) = (10)(5)
(−1
2
)= −25
Da resolucao dos item (c) e (d) vemos, novamente, que nao importa a ordem
dos vetores no produto escalar, o resultado e o mesmo.
125
e)−→AB ·
−→AB.
Resolucao:−→AB ·
−→AB =
∣∣−→AB ∣∣∣∣−→AB ∣∣ cos( 0◦) = (5)(5)(1) = 52 = 25
f)−→BA ·
−−→BC.
Resolucao:
−→BA ·
−−→BC =
∣∣−→BA∣∣∣∣−−→BC
∣∣ cos( 60◦) = (5)(10)
(1
2
)= 25
7.3 Propriedades do Produto Escalar
As propriedades do produto escalar sao de grande importancia ao utilizarmos esta
operacao entre vetores em suas aplicacoes. Assim, vamos enuncia-las.
Dados os vetores −→v ,−→w ,−→u ∈ V e a, b ∈ IR, podemos enunciar as seguintes propriedades
para o produto escalar:
1. −→v · −→w = −→w · −→vPropriedade Comutativa
2. −→v ·(a−→w
)=(a−→v
)· −→w = a
(−→v · −→w)
3. −→v · (−→w +−→u ) = −→v · −→w +−→v · −→uPropriedade Distributiva
4. −→v · −→v ≥ 0
5. −→v · −→v = 0 se, e somente se, −→v =−→0
6. Se −→v = −→0 e −→w = −→
0
Entao
cos θ =−→v · −→w∣∣−→u ∣∣∣∣−→w ∣∣
7. Como −→v · −→v =∣∣−→v ∣∣∣∣−→v ∣∣ 1︷ ︸︸ ︷
cos 0◦ ⇒ −→v · −→v =∣∣−→v ∣∣2
Assim temos que ∣∣−→v ∣∣ = √−→v · −→v
126
As cinco primeiras propriedades sao mais naturais e intuitivas que as duas ultimas
e sao usadas sem sequer notarmos sua utilizacao. As propriedades 6 e 7, por sua vez,
serao utilizadas explicitamente em nossas aplicacoes do produto escalar e nos serao muito
importantes ao fazermos algumas deducoes e calculos.
7.4 Produto Escalar e Angulo entre Vetores
Neste momento de nosso livro cabe uma observacao muito importante sobre o produto
escalar. Pelo que ja vimos ate aqui, a ligacao entre angulo entre vetores e produto escalar
e notavel. Falou em angulo entre vetores pense em produto escalar.
O sinal do produto escalar ja e suficiente para nos fornecer importantes informacoes
sobre o angulo entre os vetores do produto escalar. Pois:
1. Se −→v · −→w = 0, entao:
ou −→v =
−→0
ou −→w =−→0
ou −→v ⊥ −→w.
2. Se −→v · −→w > 0, entao ang(−→v ,−→w ) e agudo.
3. Se −→v · −→w < 0, entao ang(−→v ,−→w ) e obtuso.
4. Se os vetores −→v e −→w sao nao nulos, entao cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣∣∣−→w ∣∣ , onde θ = ang (−→v , −→w ).
Ao trabalharmos com produto escalar devemos ter bastante cuidado. Nao vale a ‘lei
de cancelamento’ para produto escalar, ou seja, se o resultado do produto escalar de dois
vetores −→w e −→u por um terceiro −→v e igual nao significa que os vetores −→w e −→u sao iguais.
−→v · −→w = −→v · −→u ⇒\ −→w = −→u
No lema a seguir, apresentamos qual conclusao podemos chegar quando o resultado do
produto escalar de dois vetores −→w e −→u por um terceiro −→v apresenta o mesmo resultado.
Lema 7.1: Dados os vetores −→v ,−→w e −→u nao nulos, com −→w = −→u , temos:
−→v · −→w = −→v · −→u ⇒ −→v ⊥ (−→w −−→u )
127
A demonstracao deste lema e simples e direta. Vamos a ela.
Demonstracao do Lema 7.1: Considere os vetores −→v ,−→w e −→u nao nulos, de forma
que:
−→v · −→w = −→v · −→u
Neste caso podemos escrever que:
−→v · −→w −−→v · −→u = 0 ⇒ −→v · (−→w −−→u ) = 0
O que nos da:
−→v ⊥ (−→w −−→u )
7.5 Produto Escalar: Versao Algebrica
Apresentado o produto escalar em sua forma geometrica e tambem suas propriedades,
precisamos definir sua versao algebrica e comecar a usar e combinar as duas versoes do
produto escalar para resolver os problemas e situacoes que nos forem apresentados.
Para apresentarmos a versao algebrica do produto escalar, vamos considerar, nova-
mente, que o produto escalar e uma operacao definida em:
V × V → IR
(−→v ,−→w ) → −→v · −→w
Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas (no plano ou no espaco), temos:
⋄ No plano: Se −→v = (v1, v2) e−→w = (w1, w2), entao:
−→v · −→w = v1w1 + v2w2
⋄ No espaco: Se −→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3), entao
−→v · −→w = v1w1 + v2w2 + v3w3
128
Exemplos
1. Fixado um sistema cartesiano de coordenadas (no plano ou no espaco), calcule.−→v · −→w , para:
a) −→v = (−1, 2) e −→w = (2, 5).
Resolucao: Para estes vetores temos que:
−→v · −→w = (−1, 2) · (2, 5) = −2 + 10 = 8
b) −→v = (−1, 2) e −→w = (2, 5).
Resolucao:
−→w · −→v = (2, 5) · (−1, 2) = −2 + 10 = 8
c) −→v = (−1, 2) e −→w = (2, 1).
Resolucao:
−→w · −→v = (−1, 2) · (2, 1) = −2 + 2 = 0
d) −→v = (−1, 2) e −→w = (0, 0).
Resolucao:
−→w · −→v = (2, 5) · (0, 0) = 0 + 0 = 0
e) −→v = (−1, 0, 2) e −→w = (2, 5, 0).
Resolucao:
−→v · −→w = (−1, 0, 2) · (2, 5, 0) = −2 + 0 + 0 = −2
f) −→v = (−1, 2, 3) e −→w = (2, 5, 1).
Resolucao:
−→w · −→v = (2, 5, 3) · (−1, 2, 1) = −2 + 10 + 3 = 11
g) −→v = (−1, 2,−4) e −→w = (2, 1, 1).
Resolucao:
−→w · −→v = (−1, 2,−4) · (2, 1, 1) = −2 + 2− 4 = −4
h) −→v = (−1, 2, 3) e −→w = (0, 1, 5).
Resolucao:
−→w · −→v = (−1, 2, 3) · (0, 1, 5) = 2 + 15 = 17
129
2. Fixado um sistema de coordenadas no plano ou no espaco, determine o cosseno do
angulo entre os vetores −→v e −→w , para:
a) −→v = (−1, 2) e −→w = (2, 1).
Resolucao: ∣∣ (−1, 2)∣∣ =√(−1)2 + (2)2 =
√5∣∣ (2, 1) ∣∣ =√(2)2 + (1)2 =
√5
−→v · −→w = (−1, 2) · (2, 1) = −2 + 2 = 0
Portanto:
cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣∣∣−→w ∣∣ = 0√
5√5= 0
Assim, cos θ = 0 =⇒ θ = 90o. Portanto, os vetores −→v = (−1, 2) e −→w = (2, 1)
sao ortogonais. Ou seja, −→v ⊥ −→w .
b) −→v = (−3, 1) e −→w = (1,−1).
Resolucao: ∣∣−→v ∣∣ = ∣∣ (−3, 1)∣∣ =√(−3)2 + (1)2 =
√10∣∣−→w ∣∣ = ∣∣ (1,−1)
∣∣ =√(1)2 + (−1)2 =√2
−→v · −→w = (−3, 1) · (1,−1) = −3− 1 = −4
Portanto:
cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣∣∣−→w ∣∣ = −4√
10√2= − 4
2√5= − 2√
5
cos θ = − 2√5
Assim, dizemos que θ e ‘o angulo cujo cosseno da’ − 2√5, ou θ = ‘o arco cujo
cosseno da’ − 2√5. Matematicamente:
θ = arccos
(− 2√
5
)c) −→v = (1,−1, 4) e −→w = (2,−2,−1).
Resolucao: ∣∣−→v ∣∣ = ∣∣ (1,−1, 4)∣∣ =√ (1)2 + (−1)2 + (4)2 =
√18∣∣−→w ∣∣ = ∣∣ (2,−2,−1)
∣∣ =√ (2)2 + (−2)2 + (−1)2 =√9 = 3
130
−→v · −→w = (1,−1, 4) · (2,−2,−1) = 2 + 2− 4 = 0
cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣∣∣−→w ∣∣ = 0
3√18
= 0
Como cos θ = 0 =⇒ θ = 90o. Dizemos que os vetores sao ortogonais: −→v ⊥ −→w .
d) −→v = (−2, 6, 3) e (1,−2, 5).
Resolucao:∣∣−→v ∣∣ = ∣∣ (−2, 6, 3)∣∣ =√ (−2)2 + (6)2 + (3)2 =
√49 = 7∣∣−→w ∣∣ = ∣∣ (1,−2, 5)
∣∣ =√ (1)2 + (−2)2 + (5)2 =√30
−→v · −→w = (−2, 6, 3) · (1,−2, 5) = −2− 12 + 15 = 1
cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣∣∣−→w ∣∣ = 1
7√30
cos θ =1
7√30
θ = arccos
(1
7√30
)e) −→v = (−3, 0, 1) e −→w = (3, 1, 0).
Resolucao: ∣∣−→w ∣∣ = ∣∣ (3, 1, 0) ∣∣ =√ (3)2 + (1)2 + (0)2 =√10∣∣−→v ∣∣ = ∣∣ (−3, 0, 1)
∣∣ =√ (−3)2 + (0)2 + (1)2 =√10
−→v · −→w = (−3, 0, 1) · (3, 1, 0) = −6
cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣ ∣∣−→w ∣∣ =
−9√10√10
cos θ = − 9
10
Assim,
θ = arccos
(− 9
10
)
131
3. Fixado um sistema de coordenadas no espaco e sendo A = (1, 0, 2), B = (1, 1, 1) e
C = (2, 0, 0), calcule:
a)−→AB ·
−→AC.
Resolucao: Cuidado: Nao podemos fazer produto escalar com as coorde-
nadas dos pontos! Primeiramente, vamos encontrar as coordenadas dos ve-
tores:−→AB = B − A = (1, 1, 1)− (1, 0, 2) = (0, 1,−1)
−→AC = C − A = (2, 0, 0)− (1, 0, 2) = (1, 0,−2)
Agora, podemos calcular o produto escalar:−→AB ·
−→AC = (0, 1,−1) · (1, 0,−2) = 0 + 0 + 2 = 2
−→AB ·
−→AC = 2
b) O cosseno do angulo entre−→AB e
−→AC.
Resolucao: Determinando as coordenadas dos vetores (calculo ja feito no item
anterior), temos:−→AB = (0, 1,−1)
−→AC = (1, 0,−2)
Calculando os modulos destes vetores:
|−→AB| = |(0, 1,−1)| =
√2
|−→AC| = |(1, 0,−2)| =
√5
e pelo produto escalar entre eles (tambem ja calculado no item anterior):−→AB ·
−→AC = 2
Podemos calcular o cosseno do angulo entre os vetores como sendo:
cos θ =
−→AB ·
−→AC
|−→AB| |
−→AC|
=2√2√5=
2√10
cos θ =2√10
Ou, se quisermos racionalizar a fracao:
cos θ =
√10
5.
132
4. Supondo fixado um sistema de coordenadas no espaco, determine se o angulo entre
os vetores e agudo, obtuso ou reto.
a) −→v = (1,−2,−3) e −→w = (1, 1, 0).
Resolucao: Para determinarmos se o angulo entre os vetores e agudo, ob-
tuso ou reto, devemos calcular o valor do produto escalar entre os vetores e
verificarmos se ele e positivo, negativo ou nulo, respectivamente.
Assim:
−→v · −→w = v1w1 + v2w2 + v3w3 = 1 · 1 + (−2) · 1 + (−3) · 0 = −1
Como, −→v · −→w = −1 < 0, o angulo entre os vetores −→v e −→w e obtuso.
b) −→v = (1,−2,−3) e −→w = (−2, 4,−6).
Resolucao: Neste caso, temos que:
−→v · −→w = v1w1 + v2w2 + v3w3 = 1 · (−2) + (−2) · 4 + (−3)(− 6) = 8
Desta forma, −→v · −→w = 8 > 0, portanto o angulo entre os vetores −→v e −→w e
agudo.
c) −→v = (5,−3, 1) e −→w = (2, 1,−7).
Resolucao: Neste caso, temos que:
−→v · −→w = v1w1 + v2w2 + v3w3 = 5 · 2 + (−3) · 1 + 1 · (−7) = 0
Como, −→v · −→w = 0, portanto o angulo entre os vetores −→v e −→w e reto.
5. Prove que as diagonais de um quadrado sao perpendiculares.
Resolucao: Vamos considerar o quadrado ABCD,−−→DC = −→v e
−−→CB = −→w , conforme
a figura a seguir:
133
Neste caso, podemos escrever que: diagonal−−→DB = −→v +−→w ; e diagonal
−→AC = −→v −−→w .
Queremos provar que as diagonais sao perpendiculares, portanto basta provar que:
(−→v +−→w ) · (−→v −−→w ) = 0.
(−→v +−→w ) · (−→v −−→w ) = −→v · −→v −−→v · −→w +−→w · −→v −−→w · −→w = |−→v |2 − |−→w |2
Como |−→v | = |−→w |, temos que:
(−→v +−→w ) · (−→v −−→w ) = 0
E esta provado o que querıamos demonstrar: que as diagonais de um quadrado sao
perpendiculares.
6. Mostre que o vetor −→v =−→BA
|−→BA|+
−−→BC
|−−→BC|e paralelo a bissetriz do angulo ABC, qualquer
que seja o angulo ABC.
Resolucao: Observe que:
⋄−→BA
|−→BA|e um versor na direcao do vetor
−→BA.
⋄−−→BC
|−−→BC|
e um versor na direcao do vetor−−→BC.
Vamos considerar os representantes destes versores com ponto inicial B:
⋄−→BA
|−→BA|
=−−→BM
⋄−−→BC
|−−→BC|=
−−→BN
Vamos considerar um representante de−−→BM com ponto inicial em N ,
−−→BM =
−−→NP .
O triangulo BNP , e um triangulo isosceles, pois |−−→BN | = |−−→NP | = 1 e, portanto, os
angulos PBN e BPN sao iguais.
Vamos considerar um representante de−−→BN com ponto inicial em M ,
−−→BN =
−−→MP .
O triangulo BMP , e um triangulo isosceles, pois |−−→BM | = |
−−→MP | = 1 e, portanto, os
angulos MBP e MPN sao iguais.
Observarmos que os triangulos BNP e BMP sao identicos.
Concluimos que os angulos MBP e PBN sao iguais.
134
Assim, provamos que:
−−→BP =
−−→BM +
−−→MP =
−→BA
|−→BA|
+
−−→BC
|−−→BC|
e paralelo a bissetriz do angulo MBN .
7. Considerando fixado um sistema de coordenadas cartesianas, ache −→u de norma√3,
ortogonal a −→v = (4,−1, 5) e a −→w = (1,−2, 3).
Resolucao: Sendo −→u = (a, b, c), temos:
⋄ A norma de −→u e√3, ou seja, |−→u | =
√3 ⇒ |(a, b, c)| =
√3 ⇒√
a2 + b2 + c2 =√3 ⇒ a2 + b2 + c2 = 3.
⋄ −→u ortogonal a −→v , ou seja −→u · −→v = 0 ⇒ (a, b, c) · (4,−1, 5) = 0 ⇒4a− b+ 5c = 0.
⋄ −→u ortogonal a −→w , ou seja −→u · −→v = 0 ⇒ (a, b, c) · (1,−2, 3) = 0 ⇒a− 2b+ 3c = 0.
Assim, ficamos com o sistema:
a2 + b2 + c2 = 3
4a− b+ 5c = 0
a− 2b+ 3c = 0
Multiplicando a segunda equacao por −2, temos:
a2 + b2 + c2 = 3
−8a+ 2b− 10c = 0
a− 2b+ 3c = 0
Somando a segunda com a terceira equacao obtemos a equacao: −7a− 7c = 0 ⇒a = −c
Voltando e substituindo a = −c na terceira equacao, temos: −c− 2b + 3c = 0 ⇒b = c
Substituindo b = c e a = −c na primeira equacao, temos;
(−c)2 + (c)2 + c2 = 3 ⇒ 3c2 = 3 ⇒ c = 1 ou c = −1.
Conclusao: temos dois vetores que satisfazem as condicoes do enunciado.
Para:
135
⋄ c = 1 ⇒ a = −1 e b = 1, ⇒ −→u = (−1, 1, 1)
⋄ c = −1 ⇒ a = 1 e b = −1, ⇒ −→u = (1,−1,−1)
E, portanto: −→u = (−1, 1, 1) ou −→u = (1,−1,−1).
7.6 Trabalho de uma Forca
Uma importante aplicacao do produto escalar esta na Fısica e e o calculo de uma das
grandezas mais importantes da Fısica: o trabalho realizado por uma forca sobre
um corpo ou partıcula.
No primeiro componente curricular da area de Fısica que os estudantes universitarios
da area de exatas fazem na graduacao, eles aprendem a calcular o trabalho, qual seu
significado e como isto influencia e determina a energia total e a variacao de energia da
partıcula e do sistema a sua volta. Por enquanto, basta-nos apenas saber que o trabalho
de uma forca e definido em termos de um produto escalar e aprender a calcula-lo.
Considere uma partıcula ou corpo que estejamos estudando. Esta partıcula realiza um
deslocamento ∆−→r ao longo de uma reta enquanto esta sob a acao de uma forca constante−→F 1. Veja que tanto o deslocamento quanto a forca sao vetores e, por isto, estao definidos
por modulo, direcao e sentido.
O trabalho realizado pela forca−→F sobre a partıcula durante o movimento e definido,
matematicamente, por:
W =−→F ·∆−→r
Por ser o resultado de um produto escalar, o trabalho e uma grandeza escalar, nao
tendo nenhuma direcao ou sentido associados a ele. Pela definicao de trabalho, vemos
que uma forca aplicada sobre um corpo so realiza trabalho se houver um deslocamento
do corpo e, mais ainda, se este deslocamento nao for perpendicular a direcao da forca.
Vemos tambem que o trabalho pode ser uma grandeza positiva ou negativa ou mesmo
nula, mesmo com os modulos da forca e do deslocamento diferentes de zero.
No Sistema Internacional de Unidades (SI), que e o sistema de unidades mais utilizado
na Fısica, a unidade de distancia e o metro (m) e a de forca e o newton (N) e a unidade
de trabalho e o joule (J).
Vamos a alguns exemplos para compreendermos melhor o conceito e o calculo do
trabalho de uma forca.
1A forca e um dos vetores que na Fısica sao representados por uma letra maiuscula.
136
Exemplos
1. Um bloco de pedra esta sendo deslocado com velocidade constante sobre o piso
de uma fabrica por um operario que faz, sobre o bloco, uma forca de magnitude
igual a 50 N com um angulo de 30o com o sentido do movimento do bloco. Qual
o trabalho realizado pelo operario enquanto desloca o bloco por 10 metros sobre o
piso da fabrica?
137
Resolucao: O trabalho realizado pelo operario sobre o bloco e dado por:
W =−→F ·∆−→r =
∣∣−→F ∣∣ ∣∣∆−→r∣∣ cos θ
Como o angulo entre a forca e o deslocamento vale
θ = 30o ⇒ cos θ = cos 30=√3
2
Temos que o trabalho sera:
W = 50 · 10 ·√3
2∼= 433, 0127 J ∼= 430 J
2. Um homem, no alto de uma ladeira e por meio de uma corda, segura uma cacamba
de ferro que desce lentamente ladeira abaixo. Sabendo que o homem faz uma forca
de 1000 N sobre a cacamba e que esta desce 80 m pela ladeira, determine o trabalho
realizado pelo homem sobre a cacamba.
Resolucao:A forca que o homem faz sobre a cacamba enquanto ela se desloca tem
sentido contrario ao movimento, portanto:
θ = 180o ⇒ cos θ = −1
Assim, o trabalho realizado sobre a cacamba e dado por:
W =−→F ·∆−→r =
∣∣−→F ∣∣ ∣∣∆−→r∣∣ cos θ
W = 1000 · 80 · (−1) = −80000 J = −8, 0× 104 J
3. Sobre uma partıcula puntiforme e aplicada uma forca dada por−→F = (3, 5,−4),
em newtons, equanto ela se desloca, em linha reta, do ponto P1 = (2,−3, 5) ate
a posicao P2 = (7,−10, 5), onde as coordenadas das duas posicoes sao dadas em
metros. Determine o trabalho realizado pela forca−→F sobre a partıcula.
Resolucao: Neste caso, precisamos usar a forma algebrica do produto escalar para
calcular o trabalho.
Para obtermos o vetor deslocamento da partıcula precisamos usar as coordenadas
dos pontos inicial e final. Assim:
∆−→r = P2 − P1 = (7,−10, 5)− (2,−3, 5) = (5,−7, 0)
Desta forma, o trabalho realizado pela forca−→F sobre a partıcula vale:
W =−→F ·∆−→r = F1∆r1 + F2∆r2 + F3∆r3
W = 3 · 5 + 5 · (−7) + (−4) · 0 = −20 J
138
Ao estudar a dinamica de um corpo, o estudante aprendera que o trabalho e a quan-
tidade de energia transferida dos arredores para a partıcula ou da partıcula para os
arredores. Assim, percebera que um trabalho positivo significa que ha transferencia de
energia dos arredores para o corpo; que um trabalho negativo e a transferencia de energia
do corpo para os arredores; e que se o trabalho total realizado pela forca for nulo nao
houve transferencia de energia entre o corpo e os arredores durante o deslocamento.
O estudante tambem aprendera a usar o calculo do trabalho para prever o movimento
e/ou a posicao de um corpo em dado instante de tempo. Mas, por enquanto, basta que
o estudante saiba calcular o trabalho de uma forca sobre um corpo e que esta e uma
importante aplicacao do produto escalar.
7.7 Projecao Ortogonal
Usando o produto escalar entre dois vetores podemos definir a projecao de um vetor
na direcao de outro. Esta projecao e chamada de projecao ortogonal e e definida e
estudada nesta seccao.
Dados dois vetores, nao nulos, −→v e −→w , o vetor:
proj−→v−→w =
[ −→w · −→v−→v · −→v
]−→v
e a projecao do vetor −→w na direcao do vetor −→v , ou seja, e a projecao ortogonal de −→wsobre −→v . Esta projecao esta mostrada esquematicamente na figura abaixo.
Referente a projecao de vetores podemos fazer as seguintes observacoes:
1. Temos que −→w · −→v ∈ IR e −→v · −→v ∈ IR, portanto,
[ −→w · −→v−→v · −→v
]∈ IR. Assim o vetor[ −→w · −→v
−→v · −→v
]−→v e paralelo ao vetor −→v .
2. Ja o vetor
[ −→v · −→w−→w · −→w
]−→w e paralelo ao vetor −→w . Portanto, se −→v = −→w entao
proj−→w−→v = proj−→v
−→w .
139
3. Em geral, escrevemos:
proj−→w−→v =
−→v · −→w−→w · −→w
−→w ou proj−→w−→v =
−→v · −→w|−→w |2
−→w
4. Se |−→w | = 1, ou seja, −→w e um versor, temos que proj−→w−→v = (−→v · −→w )−→w
Exemplos: Para cada par de vetores −→v e −→w dados a seguir, determine proj−→v−→w e
proj−→v−→w .
a) −→w = (1,−2) e −→v = (−2,−3)
i)
proj−→v−→w =
−→w · −→v−→v · −→v
−→v =(1,−2) · (−2,−3)
(−2,−3) · (−2,−3)(−2,−3)
proj−→v−→w =
−→w · −→v−→v · −→v
−→v =4
13(−2,−3) =
(−8
13,−12
13
)ii)
proj−→w−→v =
−→v · −→w−→w · −→w
−→w =(−2,−3) · (1,−2)
(1,−2) · (1,−2)(1,−2)
proj−→w−→v =
−→v · −→w−→w · −→w
−→w =4
5(1,−2) =
(4
5,−2
5
)b) −→w = (1,−2,−3) e −→v = (1, 1, 1)
i)
proj−→v−→w =
−→w · −→v−→v · −→v
−→v =(1,−2,−3) · (1, 1, 1)(1, 1, 1) · (1, 1, 1)
(1, 1, 1)
proj−→v−→w =
−→w · −→v−→v · −→v
−→v = −4
3(1, 1, 1) =
(−4
3,−4
3,−4
3
)ii)
proj−→w−→v =
−→v · −→w−→w · −→w
−→w =(1, 1, 1) · (1,−2,−3)
(1,−2,−3) · (1,−2,−3)(1,−2,−3)
proj−→w−→v =
−→v · −→w−→w · −→w
−→w = − 4
14(1,−2,−3) =
(−2
7,4
7,6
7
)
140
7.8 Decompondo Vetores
A decomposicao de vetores e uma aplicacao direta da projecao ortogonal e, por isto,
uma aplicacao do produto escalar.
Quando falamos em decomposicao de um vetor −→v , por exemplo, estamos falando em
escrever este vetor em termos de um vetor −→w e de um outro vetor que seja perpendicular
a −→w . Ou seja, dado um vetor −→v , queremos escrever este vetor como soma de um vetor
paralelo a −→w e um vetor ortogonal a −→w , sendo −→w vetor nao nulo.
Sempre que decompomos um vetor −→v estamos escrevendo este vetor em termos de
dois vetores: um vetor paralelo ao vetor −→w e outro ortogonal a −→w , sendo −→w = −→0 . Ou,
em outras palavras, queremos −→v = −→a +−→b , com −→a ∥ −→w e
−→b ⊥ −→w com −→w = −→
0 .
Como −→a e paralelo a −→w podemos pensar em tomar −→a = proj−→w−→v . Neste caso, como:
proj−→w−→v =
[−→v · −→w−→w · −→w
]−→w , teremos:
−→v = −→a +−→b = proj−→w
−→v +−→b =
[−→v · −→w−→w · −→w
]−→w +
−→b ⇒
−→b = −→v −
[−→v · −→w−→w · −→w
]−→w
Portanto:
−→v =
[−→v · −→w−→w · −→w
]−→w︸ ︷︷ ︸
Paralelo a −→w
+
(−→v −
[−→v · −→w−→w · −→w
]−→w)
︸ ︷︷ ︸Ortogonal a −→w
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, escreva o vetor −→v como
soma de um vetor paralelo a −→w e um vetor ortogonal a −→w .
a) −→v = (1,−2) e −→w = (3, 2).
Resolucao: A projecao ortogonal de −→v na direcao de −→w e dada por:
proj−→w−→v =
−→v · −→w−→w · −→w
−→w =(1,−2) · (3, 2)(3, 2) · (3, 2)
(3, 2) =−1
13(3, 2)
proj−→w−→v =
(− 3
13,− 2
13
)Assim, temos que:
−→v − proj−→w−→v = −→v −
−→v · −→w−→w · −→w
−→w = (1,−2)−(− 3
13,− 2
13
)=
(16
13,−24
13
)
141
Portanto:
−→v =
(− 3
13,− 2
13
)︸ ︷︷ ︸Paralelo a (3,2)
+
(16
13,−24
13
)︸ ︷︷ ︸Ortogonal a (3,2)
b) −→v = (−1, 2, 3) e −→w = (2, 0, 1).
Resolucao: A projecao ortogonal de −→v na direcao de −→w e dada por:
proj−→w−→v =
−→v · −→w−→w · −→w
−→w =(−1, 2, 3) · (2, 0, 1)(2, 0, 1) · (2, 0, 1)
(2, 0, 1)
textrmproj−→w−→v =
1
5(2, 0, 1) =
(2
5, 0,
1
5
)Assim, temos que:
−→v − proj−→w−→v = −→v −
−→v · −→w−→w · −→w
−→w = (−1, 2, 3)−(2
5, 0,
1
5
)−→v − proj−→w
−→v =
(−7
5, 2,
14
5
)Desta forma:
−→v =
(2
5, 0,
1
5
)︸ ︷︷ ︸
Paralelo a (2,0,1)
+
(−7
5, 2,
14
5
)︸ ︷︷ ︸Ortogonal a (2,0,1)
c) Uma forca−→F = 2
−→i +
−→j − 3
−→k e aplicada a uma espaconave com velocidade
vetorial −→v = 3−→i − −→
j . Expresse−→F como uma soma de um vetor paralelo a
−→v e um vetor ortogonal a −→v .
Observacao:
Neste problema, os vetores estao escritos em termos dos versores−→i ,
−→j e
−→k .
Assim, temos:
⋄−→F = 2
−→i +
−→j − 3
−→k = (2, 1,−3)
⋄ −→v = 3−→i −−→
j = (3,−1, 0)
Portanto:
proj−→v−→F =
−→F · −→v−→v · −→v
−→F =
(2, 1,−3) · (3,−1, 0)
(3,−1, 0) · (3,−1, 0)(3,−1, 0)
proj−→v−→F =
5
10(3,−1, 0) =
1
2(3,−1, 0) =
(3
2,−1
2, 0
)142
E, desta forma, temos que:
−→F − proj−→v
−→F = (2, 1,−3)−
(3
2,−1
2, 0
)=
(1
2,3
2,−3
)Assim, ficamos com:
−→F =
(3
2,−1
2, 0
)︸ ︷︷ ︸Paralelo a −→v
+
(1
2,3
2,−3
)︸ ︷︷ ︸Ortogonal a −→v
Ou seja:
−→F =
(3
2,−1
2, 0
)︸ ︷︷ ︸Paralelo a −→v
+
(1
2,3
2,−6
2
)︸ ︷︷ ︸Ortogonal a −→v
Ou seja, temos que:
−→F =
(3
2
−→i − 1
2
−→j
)︸ ︷︷ ︸
Paralelo a −→v
+
(1
2
−→i +
3
2
−→j − 3
−→k
)︸ ︷︷ ︸
Ortogonal a −→v
Ou podemos escrever que:
−→F =
−→F ∥−→v +
−→F ⊥−→v
onde
−→F ∥−→v =
3
2
−→i − 1
2
−→j e
−→F ⊥−→v =
1
2
−→i +
3
2
−→j − 3
−→k
143
7.9 Exercıcios
1. Dado o hexagono de lado l mostrado na figura abaixo, calcule os produtos escalares
indicados:
a)−→BA ·
−−→BC ;
b)−→BA ·
−−→BD ;
c)−→BA ·
−−→BE ;
d)−→BA ·
−−→BF ;
e)−→BA · −→AF ;
2. Ache o cosseno do angulo entre os vetores −→v e −→w :
a) −→v = (2, 0) e −→w = (−20, 100) ;
b) −→v = (3, 3) e −→w = (−2, 1) ;
c) −→v =
(√3
2,1
2
)e −→w =
(√32, 12
);
d) −→v = (2, 0, 2) e −→w = (−20, 100, 20) ;
e) −→v = (3, 3, 0) e −→w = (−2,−1, 2) ;
f) −→v =
(√3
2,1
2, 0
)e −→w =
(√32, 12.√3).
144
3. Determine −→u ·−→v , |−→u |, |−→v |, o cosseno entre −→u e −→v e as projecoes proj−→v−→u e proj−→u
−→vpara os seguintes conjuntos de −→u e −→v .
(a) −→u = (1, 2,−1) e −→v = (2, 1,−3);
(b) −→u = (4, 0,−7) e −→v = (0,−3,−8) ;
(c) −→u = (3,−1,−1) e −→v = (2,−4, 7) ;
(d) −→u =
(3
2,1√5, 0
)e −→v =
(2,−
√45,
√3).
4. Ache x de modo que −→v ⊥ −→w :
a) −→v = (x, 3) e −→w = (1,−x) ;
b) −→v = (x, x) e −→w = (4, x) ;
c) −→v = (x, 3) e −→w = (x,−x) ;
d) −→v = (x, 0, 3) e −→w = (1, x, 3) ;
e) −→v = (x+ 1, 1, 2) e −→w = (x− 1,−1,−2) ;
f) −→v = (x,−1, 4) e −→w = (x,−3, 1) ;
5. Decomponha o vetor −→u em um vetor paralelo a −→v e outro vetor perpendicular a−→v :
a) −→u = (4,−3,−2) e −→v = (1,−1, 0) ;
b) −→u = (1,−2, 5) e −→v =
(2
3,1
2,−1
5
).
6. Encontre as medidas dos angulos do triangulo cujo os vertices sao A = (2, 0), B =
(−2, 0) e C =
(0,
2√3
3
).
7. Encontre a medida dos angulos entre as diagonais do retangulo cujo os vertices sao
A = (1, 0), B = (0, 3), C = (3, 4) e D = (4, 1).
8. Se −→u 1 e −→u 2 forem vetores unitarios ortogonais e −→v = a−→u 1 + b−→u 2 encontre −→v · −→u 1
e −→v · −→u 2.
9. Obtenha um vetor −→u ortogonal a −→v = (4,−1, 5) e a −→w = (1,−2, 3) tal que −→u ·(1, 1, 1) = −1.
10. Obtenha um vetor −→u ortogonal a −→v = (1, 1, 0) tal que |−→u | =√2 e a medida angular
entre −→u e −→w = (1,−1, 0) seja π4.
145
11. Ache −→v de norma 3√3, sabendo que −→v e ortogonal a −→u = (2,−4). E calcule o
angulo que o vetor encontrado forma com o vetor (1, 0).
12. Ache −→v ortogonal a −→w = (4,−1) que satisfaz −→v · (1, 1) = −1.
13. Ache −→v de norma 3√3, sabendo que −→v e ortogonal a −→w = (2, 3,−1) e a −→u =
(2,−4, 6). Dos vetores −→v encontrados, qual o que forma angulo agudo com o vetor
(1, 0, 0)?
14. Ache −→v ortogonal a −→w = (4,−1, 5) e a −→u = (1,−2, 3) que satisfaz −→v ·(1, 1, 1) = −1.
15. Calcule | 2−→v + 4−→w |2, sabendo que | −→v | = 1, | −→w | = 2 e que o angulo entre −→v e −→we 120◦.
16. Se −→v +−→w +−→u =−→0 , | −→v | = 3
2, | −→w | = 1
2e | −→u | = 2, calcule −→v · w+−→w ·−→u +−→u ·−→v .
17. Sabendo que ang(−→v ,−→w
)= 45◦ e que | −→v | =
√2 e tambem que | −→w | = 1 ache o
angulo entre os vetores −→v +−→w e −→v −−→w .
18. Dado −→v = (0, 1). Decomponha −→w = (−1, 3) como soma de dois vetores −→w 1 e −→w 2
com −→v 1 ⊥ −→v e w2 ∥ −→v .
19. Dado −→v = (0, 1, 3). Decomponha −→w = (−1,−3, 2) como soma de dois vetores −→w 1
e −→w 2 com −→w 1 ⊥ −→v e w2 ∥ −→v .
20. Uma locomotiva foi feita para puxar trens de 6000 toneladas com uma forca de
tracao de 600000 N. Neste nıvel de forca, quanto trabalho, aproximadamente, a
locomotiva realiza na jornada de 600 Km (aproximadamente em linha reta) de Sao
Paulo ao Rio de Janeiro?
21. Quanto trabalho e necessario para deslizar um engradado 20 m ao longo de um cais
puxando-o com uma forca de 200 N em um angulo de 30◦ com a horizontal?
22. Joao esta puxando uma mala com uma forca |−→F | = 10N cujo o angulo com a
horizontal e 30◦. Determine:
a) as componentes perperdicular e paralela ao movimento da forca;
b) o trabalho realizado por Joao para arrastar a mala por 250 metros.
23. Um foguete de 2000 toneladas no campo gravitacional da Terra sobe com uma
aceleracao de 30 m/s2. Supondo que forca da gravidade e constante dada por
P = mg (g = 10 m/s2), calcule o trabalho realizado pelos motores desde a superfıcie
da Terra ate uma altura de 30 Km.
146
24. Uma arma com velocidade de saıda de 400 m/s e disparada a um angulo de 15◦
acima do horizonte. Encontre as componentes horizontal e vertical da velocidade.
25. Suponha que AB seja o diametro de um cırculo com centro O e que C seja um ponto
sobre um dos dois arcos que ligam A e B. Mostre que−→CA e
−−→CB sao ortogonais.
26. Mostre que as diagonais de um losango (paralelogramo com lados de comprimento
iguais) sao perpendiculares.
27. Mostre que os quadrados sao os unicos retangulos com diagonais perpendiculares.
28. Prove que um paralelogramo e um retangulo se e somente se suas diagonais tiverem
comprimentos iguais.
∗ ∗ ∗
147
Capıtulo 8
Produto Vetorial
8.1 Introducao
Neste capıtulo vamos estudar um produto entre dois vetores chamado produto veto-
rial e aprender algumas aplicacoes simples desta multiplicacao entre vetores.
O nome deste produto vemdo resultado do produto estar no conjunto dos vetores V .Veremos, ainda neste capıtulo, que o resultado do produto vetorial entre dois vetores
tem ‘relacao ıntima’ com a area do triangulo e do paralelogramo formado por estes
vetores.
O resultado do produto vetorial de dois vetores nao paralelos e um vetor ortogonal e
estes dois vetores, portanto para esta operacao produto vetorial precisamos que os vetores
estejam no espaco tridimensional
Nao existe produto vetorial no plano. Ou seja, nao existe produto vetorial entre
vetores dados por duplas (duas coordenadas).
8.2 Produto Vetorial: Versao Geometrica
O produto vetorial e uma operacao definida por:
V × V → V(−→v ,−→w ) → −→v ×−→w
−→v ×−→w =
{O vetor:
−→0 se −→v ∥ −→w
O vetor: −→u se −→v ∦ −→w
148
Onde o vetor −→u dado por:
⋄ Direcao: Ortogonal aos vetores −→v e −→w .
⋄ Sentido: dado pela regra da mao direita (veremos logo a seguir).
⋄ Norma: | −→v ×−→w | = | −→v | | −→w | senθ.
Na figura a seguir temos representados os vetores −→v e −→w e tambem o vetor −→u que e
o produto vetorial −→v ×−→w .
Dissemos acima que o sentido do vetor resultado do produto vetorial e dado pela regra
da mao direita. Por isto, precisamos enteder esta importante regra associada ao produto
vetorial.
Na verdade, vamos definir a regra da mao direita de duas formas equivalentes. Cabe
ao estudante escolher a forma que lhe for mais conveniente.
Regra da Mao Direita: Primeira Forma
Dizemos que os vetores do conjunto B =(−→v ,−→w ,−→u
), nesta ordem, obedecem
a regra da mao direita se:
1. Posicionamos o indicador da mao direita na direcao e sentido do primeiro vetor.
2. Posicionamos o dedo medio da mao direita na direcao e sentido do segundo
vetor.
3. E possıvel posicionar o polegar na direcao e sentido do terceiro vetor do con-
junto B.
Na figura a seguir temos, esquematizada a regra da mao direita nessa forma.
149
Regra da Mao Direita: Segunda Forma
⋄ Posicionando os quatro dedos da mao direita aberta na direcao do primeiro vetor
(vetor −→v ), fechamos a mao na direcao do segundo vetor (vetor −→w ) e, com a mao
fechada, o polegar da a direcao e o sentido do terceiro vetor (vetor −→u ).
Voltando a tratar do produto vetorial, devemos lembrar que quando apresentamos o
resultado de um produto vetorial, por ser um vetor, precisa ser explicitado com norma,
direcao e sentido.
A ‘formula’ do produto vetorial, | −→v ×−→w | = | −→v | | −→w | sen θ, so explicita a norma do
vetor resultado da conta −→v ×−→w . Devemos verificar a direcao e sentido do vetor usando
a regra da mao direita.
O angulo θ pode ser medido em graus, em radianos, ou outra medida de angulos
qualquer. Neste capıtulo de nosso livro, por comodidade, continuaremos usando angulos
em graus.
Existem outras notacoes para produto vetorial. Duas bastante usadas sao: −→v ∧−→w ou−→v ⊗−→w .
150
Exemplos
1. Dado o cubo ABCDEFGH de lado l = 1, calcule os produtos pedidos:
a)−→AB ×
−−→AD
Resposta: Como−→AB ∦
−−→AD:
−→AB ×
−−→AD e um vetor dado por:
• Direcao: a direcao do vetor−→AE.
• Sentido: o mesmo sentido do vetor−→AE.
• Norma: |−→AB ×
−−→AD | = |
−→AB | |
−−→AD |sen90◦ = (1)(1)(1) = 1.
Portanto,−→AB ×
−−→AD e um vetor
−→AE.
b)−→AC ×
−→AB
Resposta: Como−→AC ∦
−→AB:
−→AB ×
−−→AD e o vetor dado por:
• Direcao: a direcao do vetor−→AE.
• Sentido: o sentido oposto ao do vetor−→AE.
• Norma: |−→AC ×
−→AB | = |
−→AB | |
−−→AD |sen45◦ = (
√2)(1)
(√22
)= 1.
Portanto,−→AC ×
−→AB e o vetor
−→EA.
151
c)−−→AD ×
−→GF
Resposta: Como−−→AD ∥
−→GF , temos:
Temos que−−→AD ×
−→GF =
−→0 .
d) 12
−−→BC ×
−−→GB
Resposta: Como 12
−−→BC ∦
−−→GB, temos:
12
−−→BC ×
−−→GB e o vetor dado por:
• Direcao: a direcao do vetor−→AB.
• Sentido: o sentido do vetor−→BA (oposto ao sentido de
−→AB).
• Norma:∣∣∣ 12−→AB ×
−−→GB
∣∣∣ = ∣∣∣ 12−→AB ∣∣∣ | −−→GB |sen45◦ =(12
√2)(1)(√
22
)= 1
2.
Portanto,−→AC ×
−→AB e o vetor 1
2
−→BA.
8.3 Propriedades do Produto Vetorial
Dados os vetores −→v ,−→w ,−→u ∈ V e a, b ∈ IR, podemos enunciar as seguintes propriedades
para o produto vetorial:
1. −→v ×−→w = −−→w ×−→v
2. −→v ×(a−→w
)=(a−→v
)×−→w = a
(−→v ×−→w)
3. −→v × (−→w +−→u ) = −→v ×−→w +−→v ×−→uPropriedade Distributiva.
4. (−→w +−→u )×−→v = −→w ×−→v +−→u ×−→vPropriedade Distributiva.
5.−→0 ×−→v =
−→0 e −→v ×−→v =
−→0
6. −→v ×−→w =−→0 se, e somente se,
(−→v ,−→w)e LD.
Para o produto vetorial, nao vale a propriedade associativa, ou seja, −→v ×(−→w ×−→u
)=(−→v ×−→w
)×−→u
Podemos observar isto fazendo o produto vetorial entre os versores−→i ,
−→j e
−→k , que
sao os versores das direcoes dos eixos do sistema de coordenadas cartesianas. Assim
−→i ×
(−→i ×−→
j)=
−→i ×
−→k = −−→
j
152
e (−→i ×−→
i)×−→
j =−→0 ×−→
i =−→0
De onde percebemos, diretamente, que:
−→i ×
(−→i ×−→
j)=(−→i ×−→
i)×−→
j
Para o produto vetorial, tambem nao vale a ‘lei de cancelamento’, ou seja:
−→v ×−→w = −→v ×−→u ⇒\ −→w = −→u
A relacao entre tres vetores cujos produtos vetoriais, dois a dois, sao iguais e dada
pelo seguinte lema.
Lema 8.1: Dados os vetores −→v ,−→w e −→u , com −→w = −→u , temos:
−→v ×−→w = −→v ×−→u ⇒ −→v ∥ (−→w −−→u )
Demonstracao
−→v ×−→w = −→v ×−→u ⇒ −→v ×−→w −−→v ×−→u =−→0 ⇒ −→v × (−→w −−→u ) =
−→0 ⇒
⇒ −→v ∥ (−→w −−→u )
Ha mais duas importantes propriedades do produto vetorial. Estas relacionam o pro-
duto vetorial entre dois vetores com a area do triangulo e do paralelogramo definidos por
estes vetores. Tais propriedades estao enunciadas logo a seguir.
8.4 Produto Vetorial e Area de Polıgonos
O produto vetorial esta diretamente relacionado a area do triangulo e do paralelogramo
definidos pelos vetores do produto vetorial. Vamos estudar e entender esta relacao. Mas,
antes, devemos entender como podemos definir um triangulo e um paralelogramo em
termos de dois vetores nao paralelos.
153
Triangulo
Se o conjunto −→v e −→w sao vetores nao-paralelos, podemos dizer que estes vetores
formam um triangulo.
O triangulo, definido pelos vetores −→v e −→w e construıdo a partir do seguinte proced-
imento:
1. Escolha um ponto A do espaco.
2. Escolha o representante−→AB do vetor −→v .
3. Escolha o representante−→AC do vetor −→w .
O triangulo definido pelos vetores −→v e −→w esta mostrado na figura abaixo.
Paralelogramo
Se os vetores −→v e −→w sao vetores nao-paralelos, podemos dizer que os vetores −→v e−→w formam um paralelogramo.
O paralelogramo, definido pelos vetores −→v e −→w e construıdo a partir do seguinte
procedimento:
1. Escolha um ponto A do espaco.
2. Escolha o representante−→AB do vetor −→v .
3. Escolha o representante−→AC do vetor −→v .
4. Escolha o representante−−→BD do vetor −→w .
5. Escolha o representante−−→CD do vetor −→v .
O paralelogramo definido pelos vetores −→v e −→w esta mostrado na figura abaixo.
154
Apos definirmos o triangulo e o paralelogramo a partir dos vetores−→v e−→w , vamos enun-
ciar a relacao entre o produto vetorial de −→v e −→w e a area destes polıgonos. Estas relacoes
sao as propriedades 6 e 7 do produto vetorial que completam a lista de propriedades
comecadas na secao anterior e estao explicitadas abaixo.
Para enuncia-las precisamos lembrar que −→v e −→w sao vetores nao-paralelos do espaco.
Assim, as propriedades 7 e 8 do produto vetorial sao:
7. A area do paralelogramo formado pelos vetores −→v e −→w e:
A♢ = | −→v ×−→w |
8. A area do triangulo formado pelos vetores −→v e −→w e:
A△ =1
2| −→v ×−→w |
A ligacao entre area de polıgonos e a norma de produto vetorial e notavel. Falou em
area de polıgonos pense em norma de produto vetorial.
Dados os os vetores (na verdade representantes de vetores)−→AB e
−→AC, temos:
1. Area do paralelogramo: AABCD = |−→AB ×
−→AC |
2. Area do triangulo: AABC =1
2
∣∣−→AB ×−→AC
∣∣
155
Exemplos
1. Dado o hexagono regular ABCDEF de lado l = 1 u.c., calcule:
a) A area do retangulo ABDE.
Resolucao: Podemos calcular a area do retangulo ABDE em termos do pro-
duto vetorial entre os vetores−→AB e
−→AE. Assim:
AABDE =∣∣−→AB ×
−→AE∣∣ = ∣∣−→AB∣∣ ∣∣−→AE∣∣ senθ
O modulo de−→AB e igual ao lado do hexagono, ou seja:
−→AB = l = 1 u.c.
Para calcularmos−→AE, podemos ver que
−→AE serve de cateto para o triangulo
retangulo ABE, que tem hipotenusa igual a 2l e o outro cateto igual igual a l.
Assim: ∣∣−→AE∣∣2 + l2 = (2l)2 =⇒∣∣−→AE∣∣2 + 1 = 4∣∣−→AE∣∣ = √3
Como θ = 90o =⇒ senθ = sen90o = 1.
Desta forma, temos que:
AABDE = 1 ·√3 · 1 =
√3 u.a.
b) A area do triangulo ABE.
Resolucao: Para o triangulo ABE temos que:
AABE =1
2
∣∣−→AB ×−→AE∣∣ = 1
2
√3
AABE =
√3
2u.a.
156
c) A area do hexagono ABCDEF
.Resolucao: A area do hexagono pode ser calculada em termos da area do
retangulo ABDE e das areas dos triangulos AFE e BCD. Assim:
Ahex = AABDE + AAFE + ABCD
A area do retangulo ABDE foi calculada no item (a) deste exemplo e vale
AABDE =√3.
A area do triangulo BCD e, por simetria, igual a area do triangulo AFE, que
pode ser calculada em termos do produto vetorial−→FA×
−→FE como sendo:
AAFE =1
2
∣∣−→FA×−→FE∣∣ = 1
2
∣∣−→FA∣∣ ∣∣−→FE
∣∣ senθMas temos que
∣∣−→FA∣∣ = ∣∣−→FE
∣∣ = l = 1 e θ = 120o =⇒ sen(120o) =
√3
2. Desta
forma:
AAFE =1
2· 1 · 1 ·
√3
2=
√3
4u.a.
Substituindo estes valores, temos que a area do hexagono vale:
Ahex =√3 +
√3
4+
√3
4=
4√3 +
√3 +
√3
4=
6√3
4
Ahex =3√3
2u.a.
2. Dado o cubo ABCDEFGH de lado l = 1, calcule:
a) A area do triangulo AHB.
Resolucao: A area do triangulo AHB pode ser calculada como:
AAHB =1
2
∣∣−→AB ×−−→AH
∣∣ = 1
2
∣∣−→AB∣∣ ∣∣−−→AH∣∣ senθ157
Neste caso, temos que: ∣∣−→AB∣∣ = l = 1 u.c.∣∣−−→AH∣∣ = l√2 =
√2 u.c.
senθ = sen(90o) = 1 (8.1)
Assim:
AAHB = 1 ·√2 · 1 =
√2 u.a.
Observacao: Esta area tambem poderia ter sido calculada usando-se o pro-
duto vetorial entre os vetores−−→HA e
−−→HE e a resposta seria exatamente a mesma.
3. Considerando os versores−→i ,
−→j e
−→k que formam a base do sistema de coordenadas
cartesianas, calcule:
a)−→i ×−→
j ;
Resolucao: Usando a a definicao geometrica do produto vetorial e a regra da
mao direita podemos calcular facilmente este produto vetorial.
O modulo: ∣∣−→i ×−→j∣∣ = ∣∣−→i ∣∣ ∣∣−→j ∣∣ senθ = 1 · 1 · sen90o = 1 .
Tomando a regra da mao direita para determinarmos a direcao e sentido do
vetor−→i ×−→
j , temos que se o indicador representar o versor−→i e o dedo medio
representar o versor−→j , o polegar determinara a direcao e sentido do produto
vetorial que sera exatamente a direcao e sentido do versor−→k .
Portanto, o produto vetorial−→i × −→
j tem modulo igual a 1 (e tambem um
versor) e tem o sentido de−→k . Ou seja:
−→i ×−→
j =−→k
b)−→j ×
−→k ;
Resposta: Usando o mesmo procedimento e raciocınio do item (a) deste exem-
plo, temos que:−→j ×
−→k =
−→i
c)−→k ×−→
i .
Resposta: Usando o mesmo procedimento e raciocınio do item (a) deste exem-
plo, temos que:−→k ×−→
i =−→j
158
8.5 Produto Vetorial: Versao Algebrica
Considerando o produto vetorial entre vetores como a operacao definida por:
V × V → V(−→v ,−→w ) → −→v ×−→w
Vamos, agora, apresentar sua versao algebrica.
Dados dois vetores quaisquer do espaco, −→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3), escritos
em coordenadas cartesianas, o produto vetorial entre esses dois vetores pode ser calculado
pelo determinante simbolico1:
−→v ×−→w =
∣∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣Ou seja:
−→v ×−→w = (v2w3 − v3w2)−→i + (v3w1 − v1w3)
−→j + (v1w2 − v2w1)
−→k
Exemplos
1. Dados −→v = (1, 2, 3),−→w = (−1, 0, 1) e −→u = (0,−3, 4), calcule:
a) −→v ×−→w .
Resolucao:
−→v ×−→w =
∣∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
1 2 3
−1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ ⇒ 2−→i − 4
−→j + 2
−→k = (2,−4, 2)
b) −→v ×−→w .
Resolucao:
−→w ×−→u =
∣∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
−1 0 1
0 −3 4
∣∣∣∣∣∣∣ ⇒ −3−→i + 4
−→j + 3
−→k = (−3, 4, 3)
1Simbolico pois ‘seria’ um determinante envolvendo numeros e vetores!
159
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, sendo A =
(1, 2, 3), B = (4,−2, 1) e C = (0, 0, 1), calcule:
a)−→AB ×
−→AC.
Resolucao: Cuidado: Nao podemos usar as coordenadas de pontos para
fazer produto vetorial!
Primeiramente, vamos calcular as coordenadas dos vetores:−→AB = B − A = (4,−2, 1)− (1, 2, 3) = (3,−4,−2)−→AC = C − A = (0, 0, 1)− (1, 2, 3) = (−1,−2,−2)
Agora, podemos calcular:
−→AB ×
−→AC =
∣∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
3 −4 −2
−1 −2 −2
∣∣∣∣∣∣∣ = 4−→i + 8
−→j − 10
−→k = (4, 8,−10)
b) A area do triangulo ABC
Resolucao: Denotando a area do triangulo por AABC , usando o resultado do
item (a) e sabendo que:
AABC =1
2
∣∣−→AB ×−→AC∣∣
temos que:
AABC =1
2
∣∣−→AB ×−→AC∣∣ = 1
2
∣∣(4, 8,−10)∣∣
AABC =1
2
√42 + 82 + (−10)2 =
1
2
√180 =
6√5
2
AABC = 3√5 u.a.
Portanto, area do triangulo ABC vale AABC = 3√5 u.a..
c) A altura hA do triangulo ABC relativa ao vertice A.
Resolucao: Sabemos que a area do triangulo ABC e 3√5.
Sabemos tambem que a area do triangulo ABC e metade do produto da base
pela altura do triangulo, ou seja:
AABC =1
2base× altura
Como queremos a altura em relacao ao vertice A, ou seja hA, a base e BC, isto
e, a base vale |−−→BC|.
160
Primeiramente, vamos calcular as coordenadas do vetor−−→BC
−−→BC = C −B = (0, 0, 1)− (4,−2, 1) = (−4, 2, 0)
|−−→BC| = |(−4, 2, 0)| =√20 = 2
√5
Ficamos com:
AABC =|−−→BC| · hA
2=⇒ 3
√5 =
2√5hA
2=⇒ hA = 3 u.c.
A altura do triangulo ABC, relativa ao vertice A e hA = 3u.c.
8.6 Torque de uma Forca
Ao fazer o primeiro componente curricular da area de Fısica na graduacao, os estu-
dantes aprenderao que ao aplicarmos uma forca em um corpo causamos, no geral, uma
alteracao em seu estado de movimento. Para corpos que nao tenham pontos fixos esta
alteracao no estado de movimento e bem simples de se estudar e corresponde a uma
aceleracao translacional na direcao e sentido da forca aplicada.
No entanto, quando o corpo esta fixo por um ponto ou conjunto de pontos (como
uma porta fixa numa das laterais pelas dobradicas) ou a forca e aplicada fora da linha
do centro de massa do corpo2, a forca aplicada tende a mudar o estado de movimento do
corpo alterando sua velocidade translacional e tambem fazendo-o girar.
A medida da variacao desta quantidade de movimento rotacional, ou melhor dizendo,
a causa das variacoes no movimento rotacional de um corpo e o torque produzido pela
forca aplicada sobre o corpo.
Para entendermos como o torque e definido matematicamente, consideremos a figura
a seguir, onde e aplicada uma forca−→F sobre a chave de boca fazendo-a girar ao redor do
eixo que passa pelo ponto O.
2O conceito de centro de massa tambem sera estudado na Fısica. Em uma primeira e grosseira
aproximacao, pense no centro do objeto ou no cruzamento entre as linhas de simetria do objeto.
161
A forca−→F e aplicada, em geral, fazendo um angulo θ em relacao ao vetor posicao −→r
que da a posicao do ponto de aplicacao da forca em relacao ao ponto O. Assim, o torque
produzido pela forca−→F na chave em relacao ao eixo que passa por O e dado por:
−→τ = −→r ×−→F
Devemos ter em mente que o torque so e definido e calculado quando especificamos
um eixo de referencia em torno do qual o objeto tende a girar e em relacao ao qual e
medido o vetor distancia, −→r , deste eixo ao ponto de aplicacao da forca−→F .
Pela definicao matematica do torque e observando a figura acima, vemos que a com-
ponente da forca−→F que e paralela a −→r , que e F cos θ, nao causa rotacao ao redor do eixo
que passa no ponto O, pois sua linha de acao passa exatamente pelo ponto O. Isto pode
ser percebido, por exemplo, ao tentarmos fechar uma porta empurrando-a ou puxando-a
pela extremidade na direcao das dobradicas.
Devemos frisar que o torque esta para o movimento rotacional como a forca esta para
o movimento translacional e, portanto, para determinarmos a aceleracao angular de um
corpo devido ao torque de certa forca precisamos medir a quantidade de inercia rotacional
deste corpo, uma grandeza fısica que e chamada de momento de inercia e, no geral,
representada pelo sımbolo I. Assim, como os estudantes verao ao esturdar movimentos
rotacionais na Fısica, o torque produzido por uma forca em um corpo em relacao a um
dado eixo esta relacionado a aceleracao angular do corpo, α, pela expressao:
−→τ = I−→α
Combinando as duas equacoes acima para o torque temos que:
−→τ = −→r ×−→F = I−→α
162
Exemplo
1. Para abrir uma porta que possui momento de inercia de 250 kg·m2 em relacao as
suas dobradicas, e aplicada uma forca de 50 N perpendicular a area da porta e a uma
distancia de de 50 cm das dobradicas. Determine a aceleracao angular produzida
pelo torque desta forca sobre a porta.
Resolucao: Neste caso temos que a forca e perpendicular a area da porta e, por-
tanto, perpendicular ao vetor −→r , de forma que o torque produzido sobre a porta
sera:
−→τ = −→r ×−→F = rF senθ = 0, 5 (m) · 250 (N) · sen(90o) = 125 N ·m
Relacionando o torque a aceleracao angular, temos, em modulo, que:
τ = I · α =⇒ α =τ
I
Assim:
α =τ
I=
125 (N ·m)
250 (kg ·m2)= 0, 5 rad/s
onde expressamos todas as unidades das grandezas fısicas em unidades do Sistema
Internacional de Unidades ou SI.
8.7 Exercıcios
1. Considere o hexagono regular da figura:
Calcule o modulo de cada produto vetorial a seguir e indique o sentido do vetor
resultante (entrando na pagina ou saind da pagina) usando a regra da mao direita:
163
a)−→AB ×
−→AF ;
b)−→AB ×
−−→BE ;
c)−→FC ×
−−→AD ;
d)−−→CE ×
−→AC .
2. Calcule −→v ×−→w e −→w ×−→v :
a) −→v = (6,−2,−4) e −→w = (−2,−4, 2) ;
b) −→v = (7, 0,−3) e −→w = (1,−2, 3) ;
c) −→v = (1,−3, 1) e −→w = (1, 1, 2) ;
d) −→v = (2, 1, 2) e −→w = (−4,−2,−4) ;
e) −→u =
(1
2,5
3,3
2
)e −→v =
(−2
7,4
3, 2
);
f) −→u =
(3
2,1√5, 0
)e −→v =
(2,−
√45,
√3).
3. Esboce os eixos das coordenadas e inclua os vetores −→u , −→v e −→u ×−→v com inıcio na
origem.
(a) −→u = (2, 0, 0) e −→v = (0, 1, 0);
(b) −→u = (1, 0,−1) e −→v = (0,−1, 0);
(c) −→u = (1, 0,−1) e −→v = (0, 1, 2).
4. Se ang(−→v · −→w
)= 30◦, | −→v | = 1 e | −→w | = 7, calcule:
a) | −→v ×−→w | ;
b)
∣∣∣∣ 13−→v × 2
3−→w∣∣∣∣ .
5. Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitario, calcule |−→AB ×
−→AC | .
6. Encontre a area do triangulo determinado pelos pontos P , Q e R, e o versor per-
pendicular a este triangulo.
(a) P = (1, 2, 0), Q = (1, 3, 0) e R = (−1, 2,−1) ;
(b) P = (−4,−2, 1), Q = (1, 3, 1) e R = (−1, 2,−2) .
164
7. Encontre as areas dos triangulos cujos vertices sao dados a seguir:
(a) A = (0, 0), B = (−2, 3) e C = (3, 1) ;
(b) A = (−6, 0), B = (10,−5) e C = (−2, 4) .
8. Encontre as areas dos paralelogramos cujos vertices sao dados a seguir:
(a) A = (1, 0), B = (0, 1), C = (−1, 0) e D = (0,−1) ;
(b) A = (−6, 0), B = (3, 1), C = (1,−4), e D = (−4, 5) .
9. Encontre uma formula para a area de um triangulo com vertices (a1, a2), (b1, b2) e
(c1, c2).
10. Se A = (1,−2, 3), B = (1,−1, 1) e C = (0, 0, 3):
a) Verifique se ABC e um triangulo.
b) Sendo D = C +−→AB. Calcule a area do paralelogramo ABCD.
c) Calcule a altura do paralelogramo relativa a base AB.
d) Calcule a altura do paralelogramo relativa a base AC.
e) Calcule a area do triangulo ABC.
f) Calcule a altura do triangulo ABC relativa ao vertice A.
11. Calcule a area e a altura relativa ao vertice B do triangulo ABC sendo−→AC =
(−1, 1, 0) e−→AB = (0, 1, 3).
12. Calcule a area e a altura relativa ao lado AB do paralelogramo ABCD sendo−→AB =
(−1,−1, 1) e−−→AD = (−2,−1,−4).
13. Ache um vetor unitario ortogonal a −→v = (1,−3, 1) e a w = (−5, 5, 5).
14. Dados A = (1, 2, 3), B = (1, 1, 0) e C = (−1, 0, 2), determine:
a) um vetor na direcao da altura hA , altura relativa ao vertice A do triangulo
ABC;
b) um vetor na direcao da bissetriz bC , bissetriz relativa ao vertice C;
c) um vetor na direcao da mediana mA, mediana relativa ao vertice A.
15. Prove que | −→v ×−→w |2 +(−→v · −→w
)2= | −→v |2| −→w |2.
165
16. Usando a definicao dos vetores da base canonica, ou seja,−→i = (1, 0, 0),
−→j = (0, 1, 0)
e−→k = (0, 0, 1), prove que∣∣∣−→v ×−→
i∣∣∣2 + ∣∣∣−→v ×−→
j∣∣∣2 + ∣∣∣−→v ×
−→k∣∣∣2 = 2 |−→v |2 .
17. Prove que:
a) | −→v ×−→w |2 ≤ |−→v |2| −→w |2
b) | −→v ×−→w | = | −→v | | −→w | se, e somente se, −→v ⊥ −→w .
18. ABC e um triangulo, e P e Q sao pontos tais que 3−→AP =
−→AC e 3
−−→BQ = 2
−−→BC.
Calcule a razao entre as areas dos triangulos BPQ e ABC.
19. Sejam −→u = (1, 2,−1), −→v = (−1, 1, 1), −→w = (1, 1, 0) e −→r =(−π
2,−π,
π
2
). Deter-
mine quais vetores sao paralelos e quais sao perpendiculares entre si.
20. Resolva os sistemas para −→v = (v1, v2, v3):
(a)
{ −→v × (1, 1, 0) = −(1, 1, 0)−→v · (1, 1, 0) = 2
(b)
{ −→v × (1, 1,−1) = (1,−2,−1)−→v · (1, 3,−2) = 7
21. Mostre que o sistema
{(1, 1,−1)×−→v = −(−1, 2)
(1, 1,−2) · −→v = 4nao tem solucao. Explique
geometricamente porque isto ocorre.
∗ ∗ ∗
166
Capıtulo 9
Retas e Planos
9.1 Introducao
Em nosso livro, ate o momento, estudamos um pouco de Algebra Vetorial, focada na
representacao e uso de vetores e nas principais operacoes envolvendo os vetores.
Neste e no proximo capıtulo, vamos usar nosso estudo de vetores para descrever
matematicamente as retas e planos e tambem para determinar a posicao relativa (dis-
posicao, distancia e/ou angulo) entre pontos, retas e planos tomados dois a dois. Estes
estudos nos ajudarao a entender melhor as aplicacoes da Algebra Vetorial na Geometria
Analıtica.
9.2 Retas
9.2.1 Introducao
Uma reta e um segmento infinito (no plano ou no espaco) que tem direcao constante.
Podemos definir uma reta a partir de pois pontos ou de um vetor e de um ponto e, desta
forma, escrever sua representacao matematica.
Vamos comecar nosso estudo de retas por sua representacao no plano e, logo a seguir,
estudaremos as retas no espaco.
Considerando uma reta qualquer (no plano ou no espaco) usamos, em geral, uma letra
minuscula para designa-la e usamos uma equacao (ou algumas equacoes) para descreve-la.
167
Temos tres tipos de equacoes para descrever uma reta, cada um dos tipos usado em
situacoes diferentes. As equacoes usadas para descrever uma reta sao classificadas nos
seguintes tipos:
• Equacao Vetorial.
• Equacoes Parametricas.
• Equacoes Simetricas.
Para escrever cada uma das equacoes de uma reta precisaremos ter: um vetor com
mesma direcao que a reta, que e chamado de vetor diretor da reta; e um ponto qualquer
da reta, ou seja, precisamos saber as coordenadas de pelo menos um ponto da reta que e
um ponto de referencia da reta.
Tambem costuma-se dizer que uma reta e definida pelas coordenadas de dois pontos
pertencentes a ela. Esta afirmacao e completamente equivalente a descricao acima que diz
que uma reta e definida por um vetor diretor e por um ponto de referencia pertencente
a reta, pois com dois pontos no espaco sempre podemos encontrar um vetor que seja
representado, por exemplo, pelo segmento orientado que liga os dois pontos. Ou seja,
tambem neste caso o que vamos utilizar para escrever as equacoes da reta e um ponto da
reta e um vetor com a mesma direcao que a reta.
Feitas estas observacoes iniciais, vamos comecar nosso estudo com retas no plano e,
depois, estudaremos as retas no espaco.
9.2.2 Retas no Plano
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sejam:
• Pr = (xP , yP ) as coordenadas de um ponto da reta r; e
• −→v r = (v1, v2) um vetor com mesma direcao que a reta r, ou seja, um vetor diretor
da reta.
Podemos escrever a equacao vetorial da reta r que passa em Pr e tem a direcao de−→v r como:
r : (x, y) = (xP , yP ) + λ(v1, v2), λ ∈ IR (9.1)
Todos os pontos que obedecem a equacao (9.1), ou seja, os pontos com coordenadas
(x, y) que satisfazem esta equacao pertencem a reta r.
168
A equacao vetorial de uma reta no plano pode ser separada em duas ao ser “escrita
na vertical”, ou seja, escrevendo-se uma equacao para cada coordenada. Assim, podemos
separar a equacao vetorial da reta r nas equacoes parametricas da reta r que sao:
r :
{x = xP + λv1
y = yP + λv2, λ ∈ IR (9.2)
A partir das equacoes parametricas da reta no plano e supondo v1 = 0 e v2 = 0,
podemos isolar o parametro λ em cada uma das equacoes em (9.2). Desta forma, temos
que:
x = xP + λv1 ⇒ x− xP = λv1 ⇒ x− xP
v1= λ
e
y = yP + λv2 ⇒ y − yP = λv2 ⇒ y − yPv2
= λ
Igualando os λ’s, temos:
x− xP
v1=
y − ypv2
(9.3)
Ou, trabalhando algebricamente a equacao acima:
v2x− v2xP = v1y − v1yP ⇒ v2x− v1y = v2xp − v1yP
Chamando v2 = a, −v1 = b e v2xp − v1yP = c, temos:
r : ax+ by = c (9.4)
Na forma da equacao (9.3) ou da equacao (9.4), a equacao da reta r e chamada
equacao simetrica da reta r.
Se b = 0 na equacao simetrica da reta r, entao temos que:
ax+ by = c ⇒ by = −ax+ c ⇒ y = −a
bx+
c
b
Chamando −a
b= m e
c
b= b, temos:
y = mx+ b (9.5)
que e chamada de equacao simetrica reduzida de r. O numerom e chamado coeficiente
angular da reta e b e o coeficiente linear da reta. O coeficiente angular nos da a direcao da
reta. Na verdade, m = tgθ, onde θ e angulo que a reta forma com o eixo x. O coeficiente
linear nos da a ordenada de um ponto P = (0, b), que e o ponto onde a reta intercepta o
eixo y.
169
Resumindo
Seja: Pr = (xP , yP ) ponto (qualquer) da reta r e −→v = (v1, v2) vetor diretor da reta r,
temos que as equacoes que podem ser utilizadas para definir matematicamente a reta r
sao:
i) Equacao Vetorial da reta r:
r : (x, y) = (xP , yP ) + λ(v1, v2), λ ∈ IR
ii) Equacoes Parametricas da reta r:
r :
{x = xP + λv1
y = yP + λv2, λ ∈ IR
iii) Equacao Simetrica da reta r:
r :x− xP
v1=
y − ypv2
ou r : ax+ by = c
iv) Equacao Simetrica Reduzida da reta r:
r : y = mx+ b
Exemplos
1. Determine as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta que passa pelos
pontos A = (1,−2) e B = (0, 2).
Resolucao: Para encontrarmos a equacao vetorial da reta r precisamos de um
ponto da reta (temos dois) e de um vetor com a mesma direcao que a reta r.
Como vetor diretor podemos usar o vetor−→AB, ou qualquer outro vetor paralelo a
ele, como−→BA, ou ainda 1
2
−→AB, ou qualquer outro paralelo a
−→AB.
−→v r =−→AB = B − A = (0, 2)− (1,−2) = (−1, 4)
Como ponto de referencia da reta podemos usar o ponto Pr = A = (1,−2), ou
qualquer outro ponto da reta, por exemplo o ponto B = (0, 2) que tambem foi dado
no enunciado.
Temos que Pr = (1,−2) e −→v r = (−1, 4), portanto a equacao vetorial da reta r e:
(x, y) = (1,−2) + λ(−1, 4), λ ∈ IR
170
Escrevendo esta equacao “na vertical” temos as equacoes parametricas de r que sao:{x = 1− λ
y = −2 + 4λ, λ ∈ IR
Isolando o parametro λ nas equacoes acima e igualando as duas expressoes para
esteaprametro, temos a equacao simetrica de r na forma:
x− 1
−1=
y − (−2)
4⇒ 1− x =
y + 2
4ou
y + 4x = 2
Isolando o y no primeiro membro da equacao acima encontramos a equacao simetrica
reduzida de r:
y = 2− 4x
2. Determine as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta no plano que passa
pelo ponto P = (7,−5) e tem coeficiente angular m = −3.
Resolucao: Lembrando que precisamos de um ponto e um vetor diretor da reta,
devido aos dados fornecidos no enunciado do exemplo ha duas maneiras distintas
mas equivalentes de resolver este exemplo. Vamos resolve-lo das duas formas para
deixar como ilustracao.
i) Primeira forma de resolver:
Usaremos o ponto Pr = (7,−5) como ponto de referencia da reta.
Para determinar o vetor diretor −→v r = (v1, v2), usaremos o coeficiente angular.
Sabendo, como pode ser inferido da deducao da equacao simetrica reduzida da
reta, que:
m =v2v1
Assim:
−5 =v2v1
⇒ −5v1 = v2 ⇒ −→v r = (v1,−5v1)
ou
−→v r = v1(1,−5)
Como podemos usar qualquer vetor nao nulo paralelo a reta, fazemos v1 = 1 e
usaremos:
171
−→v = (1,−5)
Assim, podemos escrever diretamente a equacao vetorial da reta r como:
(x, y) = (7,−5) + λ(1,−5), λ ∈ IR
E para as equacoes parametricas temos:{x = 7 + λ
y = −5− 5λλ ∈ IR
Ja a equacao simetrica, obtida das equacoes parametricas, e dada por:
x− 7
1=
y + 5
−5ou y + 5x = 30
E, finalmente, a equacao simetrica reduzida tem a forma:
y = 30− 5x
ii) Segunda forma de resolver:
Neste caso, usaremos o coeficiente angular da reta e o ponto P para determinar,
primeiramente, a equacao simetrica reduzida da reta r. Sabendo que esta
equacao tem a forma:
y = mx+ b
vamos substituir o valor de m, de forma que:
y = −5x+ b
Como a reta r passa no ponto P = (7,−5), este ponto deve obedecer a equacao
da reta, assim, substituindo estas coordenada de P na equacao da reta podemos
descobrir o valor do coeficiente linear b, de forma que:
−5 = −5 · 7 + b ⇒ b = 30
assim:
y = −5x+ 30
que e a equacao simetrica reduzida da reta r.
Desta equacao podemos escrever a equacao simetrica da reta como
y + 5x = 30
172
No entanto, nao podemos partir diretamente da equacao simetrica ou simetrica
reduzida para a equacao vetorial da reta.
Lembrando que, neste caso, ja sabemos de dois pontos que estao na reta, o
ponto P = (7,−5) e o ponto Q = (0, 30), pois o coefiente linear, por definicao,
da a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y. Vamos usar estes
pontos para descobrir um vetor diretor para a reta. Este vetor e dado, por
exemplo, por:
−→v =−→PQ = Q− P = (0, 30)− (7,−5) = (−7, 35)
Usando este vetor e o ponto P podemos escrever a equacao vetorial da reta r
como:
(x, y) = (7,−5) + λ(−7, 35) , λ ∈ IR
E para as equacoes parametricas:{x = 7− 7λ
y = −5 + 35λλ ∈ IR
Observacao: As equacoes vetoriais (e tambem parametricas) obtidas para a reta
r pelas duas formas que usamos para resolver o exemplo podem, a primeira vista,
parecer diferentes, mas sao completamente equivalentes. E, como podemos observar,
as equacoes simetricas que encontramos (pelos dois procedimentos) sao exatamente
iguais.
3. Dada a reta (x, y) = (1, 2) + λ(−3, 1), λ ∈ IR, determine 3 pontos da reta.
Resolucao: Para determinarmos pontos da reta com sua equacao dada na forma
vetorial, basta atribuirmos diferentes valores reais para o parametro λ. Assim,
podemos, por exemplo, fazer:
i) λ = 0 que nos da P1 = (1, 2);
ii) λ = 1 que nos fornece P2 = (1, 2) + (−3, 1) ⇒ P2 = (−2, 3); e
iii) λ = −1 temos P3 = (1, 2)− (−3, 1) ⇒ P3 = (4, 1).
Assim, os pontos P1 = (1, 2), P2 = (−2, 3) e P3 = (4, 1) sao pontos que pertencem
a reta dada.
173
4. Dada a reta r :x+ 2
3= −y
2, determine dois pontos de r.
Resolucao: Neste caso, para descobrirmos pares ordenados que satisfazem a
equacao simetrica da reta basta escolhermos valores para x e calcularmos o y cor-
respondente ou escolhermos valores para y e calcularmos o x correspondente.
Por exemplo:
i) fazendo x = 0 temos0 + 2
3= −y
2⇒ y = −4
3o que nos da o ponto P1 =
(0,−4
3); e
ii) fazendo x = 1 temos1 + 2
3= −y
2⇒ y = −2 o que nos fornece o ponto
P2 = (1,−2).
5. Determine as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta s que passa pelo
ponto O = (0, 0) e e paralela a reta r : y = −2x+ 5.
Resolucao: Precisamos de um vetor diretor e um ponto da reta s.
Temos um ponto da reta s, o ponto O = (0, 0).
Sabemos que a reta s e paralela a reta r, ou seja as duas retas tem o mesmo
coeficiente angular m = −2. Assim, a equacao simetrica reduzida da reta s e
y = −2x+ b
O ponto O = (0, 0) pertence a reta s, portanto: 0 = −2(0) + b ⇒ b = 0, ou seja, a
equacao simetrica reduzida da reta s e:
y = −2x
e a equacao simetrica pode ser escrita como:
y + 2x = 0
Pela equacao simetrica da reta s podemos decobrir um segundo ponto da reta para
calcularmos um vetor diretor para ela. Fazendo, por exemplo, x = 1 obtemos que
y = −2, desta forma, o ponto B = (1,−2) pertence a reta s.
Podemos considerar como vetor diretor para a reta:
−→v r =−−→OB = B −O = (1,−2)− (0, 0) = (1,−2)
Portanto, a equacao vetorial de s pode ser escrita como:
s : (x, y) = (0, 0) + λ(1,−2), λ ∈ IR
174
E as equacoes parametricas de s sao:
s :
{x = 0 + 1λ
y = 0− 2λ, λ ∈ IR
ou seja:
s :
{x = λ
y = −2λ, λ ∈ IR
9.2.3 Retas no Espaco
A partir de nosso estudo de retas no plano, vamos estudar, como extensao natural, as
retas no espaco tridimensional.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco IR3, sejam Pr = (xP , yP , zP )
um ponto qualquer da reta r e −→v = (v1, v2, v3) um vetor diretor da reta. Temos as
seguintes equacoes que podem ser utilizadas para descrever os pontos pertencentes a reta
r:
⋄ Equacao Vetorial:
r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + λ(v1, v2, v3), λ ∈ IR (9.6)
⋄ Equacoes Parametricas: x = xP + λv1
y = yP + λv2
z = zP + λv3
, λ ∈ IR (9.7)
⋄ Equacoes Simetricas:
x− xP
v1=
y − yPv2
=z − zPv3
(9.8)
onde supomos que v1 = 0, v2 = 0 e v3 = 0.
Para retas no IR3 nao ha equacao simetrica reduzida.
175
Exemplos
1. Encontre as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta que passa pelos
pontos A e B, sendo A = (1, 0, 1) e B = (−2,−3, 0).
Resolucao: Precisamos de um ponto qualquer da reta e de seu vetor diretor.
Podemos usar o ponto A = (1, 0, 1) e o vetor
−→v r =−→AB = B − A = (−2,−3, 0)− (1, 0, 1) = (−3,−3,−1)
Assim, temos como equacao vetorial de r:
(x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(−3,−3,−1), λ ∈ IR
E, como equacoes parametrica, temos:x = 1− 3λ
y = −3λ
z = 1− λ
, λ ∈ IR
E, finalmente, como equacoes simetricas:
x− 1
3= − y
3= z − 1
2. Dada a reta r :
x = 2− 3λ
y = −3 + 5λ
z = −2− λ
, λ ∈ IR, deteminar se os pontos A = (−1, 2,−7) e
B = (−1, 2,−3) pertencem a r.
Resolucao: Para verificar se o ponto A = (−1, 2,−7) pertence a reta, fazemos:−1 = 2− 3λ
2 = −3 + 5λ
−7 = −2− λ
o que nos da:−1 = 2− 3λ ⇒ 3λ = 3 ⇒ λ = 1 ⇒ λ = 1
2 = −3 + 5λ ⇒ −5λ = −5 ⇒ λ = 1 ⇒ λ = 1
−7 = −2− λ ⇒ λ = 5 ⇒ λ = 5
Diferentes
Como os valores do parametro λ encontrado para as diferentes coordenadas do ponto
A = (−1, 2,−7) foram diferentes entre si, o ponto A nao pertence a reta r.
Para o ponto B = (−1, 2,−3), fazemos o mesmo. Ou seja, substituimos as suas
coordenadas nas equacoes parametricas da reta. Assim:
176
−1 = 2− 3λ
2 = −3 + 5λ
−3 = −2− λ
De forma que:−1 = 2− 3λ ⇒ 3λ = 3 ⇒ λ = 1 λ = 1
2 = −3 + 5λ ⇒ −5λ = −5 ⇒ λ = 1 λ = 1
−3 = −2− λ ⇒ λ = 1 λ = 1
Iguais
Comoo os valores encontrados para o parametro λ para as diferentes coordenadas
do ponto B foram iguais, o ponto B = (−1, 2,−3) pertence a reta r.
3. Dada a reta s :x− 1
3=
3− y
2= z, determine equacoes vetoriais e parametricas
de s.
Resolucao: Ha duas maneiras simples e equivalentes de ser resolver este exemplo.
Vamos fazer as duas maneiras para ilustrar os dois procedimentos.
i) Para resolver pelo primeiro procedimento devemos lembrar que precisamos de
um ponto e um vetor diretor para escrevermos a equacao vetorial de uma reta.
Usando a equacao simetrica da reta, vamos encontrar dois pontos, o que pode
ser feito igualando os termos da equacao simetrica, para cada ponto, ao mesmo
valor numerico.
Assim, igualando as equacoes simetricas a zero:
x− 1
3=
3− y
2= z = 0
temos que: x−13
= 0 ⇒ x− 1 = 0 ⇒ x = 13−y2
= 0 ⇒ 3− y = 0 ⇒ 3 = y
z = 0
Portanto, o ponto A = (1, 3, 0) ∈ s.
Por outro lado, igualando as equacoes simetricas a um temos que:
s : x−13
= 3−y2
= z = 1
temos que:
177
x−13
= 1 ⇒ x− 1 = 3 ⇒ x = 43−y2
= 1 ⇒ 3− y = 2 ⇒ 1 = y
z = 1
Assim, o ponto B = (4, 1, 1) ∈ s.
Usando os pontos obtidos acima, podemos determinar um vetor diretor da reta
s como sendo:
−→v s =−→AB = B − A = (4, 1, 1)− (1, 3, 0) = (3,−2, 1)
Assim, a equacao vetorial da reta s pode ser escrita como:
(x, y, z) = (1, 3, 0) + λ(3,−2, 1), λ ∈ IR
E as equacoes parametricas sao:x = 1 + 3λ
y = 3− 2λ
z = λ
, λ ∈ IR
ii) Para resolver o problema da segunda maneira devemos lembrar que as equacoes
simetricas costumam ser obtidas isolando-se o parametro livre das equacoes
parametricas e igualando os valores obtidos.
Assim, partindo da equacao:
x− 1
3=
3− y
2= z
podemos escrever que:
λ =x− 1
3; λ =
3− y
2e λ = z
Isolando as variaveis x, y e z nas equacoes acima podemos escrever as equacoes
parametricas da reta s como:x = 1 + 3λ
y = 3− 2λ
z = λ
, λ ∈ IR
que, neste caso, tem exatamente a mesma forma encontrada pelo procedimento
anterior.
Das equacoes parametricas da reta s podemos escrever, imediatamente, a
equacao vetorial da reta s como:
(x, y, z) = (1, 3, 0) + λ(3,−2, 1), λ ∈ IR
178
4. Determine as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta que passa pelos
pontos A = (1,−2, 3), B = (1, 2, 1).
Resolucao: Precisamos de um ponto e um vetor diretor.
Temos, por exemplo, o ponto A = (1,−2, 3) e o vetor−→AB = (0, 4,−2). Assim
podemos escrever a equacao vetorial da reta pedida como:
(x, y, z) = (1,−2, 3) + λ(0, 4,−2), λ ∈ IR
As equacoes parametricas, desta forma, sao:x = 1
y = −2 + 4λ
z = 3− 2λ
E as equacoes simetricas sao:
y + 2
4=
z − 3
−2e x = 1
Observe que, como a equacao parametrica referente a abcissa, nao tem o parametro
λ, pois o vetor diretor tem abcissa nula (todos os vetores diretores terao abcissa
nula!), as equacoes simetricas ficam um pouco diferentes.
5. Determine as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta que passa pelos
pontos A = (1,−2, 3) e B = (1,−2, 1).
Resolucao: Precisamos de um ponto e um vetor diretor.
Temos o ponto A = (1,−2, 3) e o vetor−→AB = (0, 0,−2). Assim a equacao vetorial
da reta pedida e:
(x, y, z) = (1,−2, 3) + λ(0, 0,−2), λ ∈ IR
As equacoes parametricas sao: x = 1
y = −2
z = 3− 2λ
E as equacoes simetricas sao:
x = 1 e y = −2
Observe que as equacoes parametricas referente a abcissa e a ordenada, nao tem o
parametro λ, pois o vetor diretor da reta tem componentes x e y iguais a zero e,
179
assim, todos os vetores diretores paralelos a reta tambem tem abcissa e ordenada
nulas. Neste caso, as equacoes simetricas ficam diferentes, elas praticamente se
confundem com as equacoes parametricas. Mais ainda, neste caso especıfico, a reta
e uma reta paralela ao eixo z.
Vale ressaltar, ainda sobre o estudo das retas, que para decrever retas no plano usamos,
em geral, a equacao simetrica da reta. Ja para descrever retas no espaco, as tres formas
(equacao vetorial, parametricas e simetricas) sao igualmente usadas.
9.3 Planos
9.3.1 Introducao
A nocao de plano nos e bastante familiar. No entanto, precisamos definir, matemati-
camente, um plano e aprender a descreve-lo em termos de equacoes simples.
Assim, podemos dizer que um plano e uma regiao infinita do espaco, definida de tal
modo que quaisquer dois pontos desta regiao podem ser ligados por um segmento de reta
ou por um segmento orientado inteiramente contido nesta regiao.
Esta regiao do espaco que definimos como plano pode ser representada, matematica-
mente, em termos de uma equacao vetorial, de equacoes parametricas ou de uma equacao
chamada de equacao geral do plano. Vamos estudar estes tres tipos de equacoes para o
plano e aprender a escreve-las.
9.3.2 Equacoes do Plano
Para definirmos ou representarmos um plano podemos faze-lo por duas maneiras dis-
tintas.
1. Usando um ponto qualquer do plano e dois vetores nao paralelos entre si e que sejam
paralelos ao plano e que chamaremos vetores diretores do plano.
Neste caso, para definir o plano, podemos escrever diretamente a equacao vetorial e
as equacoes parametricas do plano. Ou seja, dado o ponto P = (xP , yP , zP ) um ponto
qualquer do plano π, e −→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3) vetores paralelos a π com −→v e
−→w nao paralelos entre si, temos que a equacao vetorial do plano π e dada por:
π : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + λ(v1, v2, v3) + t(w1, w2, w3) λ, t ∈ IR (9.9)
180
E as equacoes parametricas do plano π, que sao a equacao vetorial do plano escrita
“na vertical”, podem ser escritas como:
π :
x = xp + λv1 + tw1
y = yP + λv2 + tw2
z = zP + λv3 + tw3
, λ, t ∈ IR (9.10)
Como veremos nos exemplos, este procedimento para se obter a equacao vetorial e
equacoes parametricas do plano tambem pode ser realizado utilizando-se, no lugar do
ponto e dos dois vetores paralelos ao plano, tres pontos nao colineares do plano ou mesmo
uma reta do plano e um ponto que nao pertenca a reta mas que tambem esteja no plano.
2. Usando um ponto do plano e um vetor normal ao plano.
Usando um ponto do plano e um vetor normal ao plano, podemos escrever a chamada
equacao geral do plano. Para compreendermos esta equacao vamos, primeiro, definir
o que e um vetor normal a um plano.
Dado um plano π, um vetor −→n e denominado normal a π se −→n e ortogonal a todos os
vetores paralelos a π, ou seja, se o angulo entre o vetor −→n e o plano π e de 90o.
Na figura a seguir esta representado o plano π e um vetor −→n normal a este plano.
Desta forma, a equacao geral do plano π que contem o ponto P = (xp, yP , zP ) e e
normal ao vetor −→n = (a, b, c), e escrita como:
π : ax+ by + cz + d = 0 (9.11)
onde o coeficiente d e determinado usando-se as coordenadas do ponto P e vale:
d = −(axP + byP + czP )
Devemos, ainda, lembrar que para descrever planos a equacao geral do plano e, nor-
malmente, mais usada que as equacoes vetorial e parametricas.
181
Exemplos
1. Determine as equacoes vetorial, parametricas e geral do plano que contem os pontos
A = (1,−3, 0), B = (1, 1, 1) e C = (0,−1, 2).
Resolucao: Para escrevermos a equacao vetorial e as equacoes parametricas do
plano precisamos de um ponto e dois vetores diretores.
Podemos usar, por exemplo, o ponto A = (1,−3, 0) e os vetores
−→v =−→AB = B − A = (1, 1, 1)− (1,−3, 0) = (0, 4, 1)
e
−→w =−→AC = C − A = (0,−1, 2)− (1,−3, 0) = (−1, 2, 2)
Assim, temos que a equacao vetorial do plano e:
π : (x, y, z) = (1,−3, 0) + λ(0, 4, 1) + t(−1, 2, 2) λ, t ∈ IR
E as equacoes parametricas do plano π sao:
π :
x = 1 +0λ −1t
y = −3 +4λ +2t
z = 0 +1λ +2t
, λ, t ∈ IR
Para encontrarmos a equacao geral, precisamos de um vetor (qualquer) que seja
normal ao plano. E temos que um vetor dado pelo produto vetorial entre os vetores
diretores do plano, −→n = −→v ×−→w , e normal ao plano.
Assim, temos que
−→n = −→v ×−→w =
∣∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
0 4 1
−1 2 2
∣∣∣∣∣∣∣ = 6−→i − 1
−→j + 4
−→k = (6,−1, 4)
Desta forma, temos que:
π : 6x− 1y + 4z + d = 0
Podemos determinar o valor do coeficiente d usando qualquer um dos pontos perte-
centes ao plano e dados no enucnciado. Usando o ponto A = (1,−3, 0), temos
que:
π : 6x− 1y + 4z + d = 0 ⇒ 6(1)− 1(−3) + 4(0) + d = 0 ⇒ d = −9
182
Assim, obtemos a equacao geral do plano π que e:
6x− y + 4z − 9 = 0
2. Dado o plano π : 2x−y+3z−4 = 0, determine as equacoes vetorial e parametricas
deste plano.
Resolucao: Precisamos de um ponto e dois vetores diretores do plano que sejam
linearmente independentes.
Lembrando que um ponto P = (xP , yP , zP ) pertence ao plano se suas coordenadas
obedecem a equacao geral do plano, podemos encontrar pontos pertencentes ao
plano π atribuindo valores a duas das coordenadas na equacao geral e determinando
o valor da terceira coordenada.
Por exemplo, dizemos que o ponto A = (1, 1, zA) ∈ π, se existe valor de zA ∈ IR de
modo que a equacao geral do plano seja satisfeita. Ou seja:
2(1)− (1) + 3zA − 4 = 0 ⇒ zA = 1
assim o ponto A = (1, 1, 1) ∈ π.
O ponto B = (0, yB, 0) ∈ π e yB vale:
2(0)− (yB) + 3(0)− 4 = 0 ⇒ yB = −4
o que nos da o ponto B = (0,−4, 0).
O ponto C = (xC , 0, 0) ∈ π e xC vale:
2x− (0) + 3(0)− 4 = 0 ⇒ xC = 2
e o ponto C tem coordenadas C = (2, 0, 0).
Assim, temos A,B,C ∈ π, o que nos permite calcular os vetores paralelos ao plano:
−→v =−→AB = B − A = (0,−4, 0)− (1, 1, 1) = (−1,−5,−1)
−→w =−→AC = C − A = (2, 0, 0)− (1, 1, 1) = (1,−1,−1)
Como:−1
1= −5
−1= −1
−1, temos que −→v e −→w nao sao paralelos entre si e, portanto
podem ser usados como vetores diretores do plano.
Se tivessemos encontrado vetores diretores paralelos entre si so poderıamos usar
um deles e precisarıamos que nao fosse paralelo a eles antes de dar seguimento aos
calculos.
183
A equacao vetorial de π pode, entao, ser escrita, a partir do ponto A e dos vetores−→v e −→w como:
(x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(−1,−5,−1) + t(1,−1,−1), λ, t ∈ IR
E as equacoes parametricas serao:x = 1 −1λ +1t
y = 1 −5λ −1t
z = 1 −1λ −1t
9.3.3 Justificativa da Equacao Geral do Plano
A partir dos vetores diretores do plano π e de seu ponto de referencia, vamos justificar
a equacao geral do plano π.
Primeiramente, dados −→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3), vetores diretores do plano
π, vamos calcular o produto vetorial −→v ×−→w :∣∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣ = (v2w3 − v3w2)−→i + (v3w1 − v1w3)
−→j + (v1w2 − v2w1)
−→k
Entao, um vetor normal ao plano π e
−→n = (v2w3 − v3w2)−→i + (v3w1 − v1w3)
−→j + (v1w2 − v2w1)
−→k
Fazendo:
−→n = (v2w3 − v3w2)︸ ︷︷ ︸a
−→i + (v3w1 − v1w3)︸ ︷︷ ︸
b
−→j + (v1w2 − v2w1)︸ ︷︷ ︸
c
−→k
Temos:
−→n = (a, b, c)
Agora, se P = (xP , yP , zP ) e um ponto (qualquer) fixo do plano, vamos observar que
o ponto X = (x, y, z) pertence ao plano π, se e somente se, os vetores−−→PX, −→v e −→w sao
coplanares (observe que se X ∈ π todos os vetores sao paralelos ao plano π).
Lembrando que:
−−→PX = X − P = (x− xP , y − yP , z − zP )
e
−→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3)
184
Temos: ∣∣∣∣∣∣∣x− xp y − yP z − zP
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
O que nos leva a:
(x− xP )(v2w3 − v3w2) + (y − yP )(v3w1 − v1w3) + (z − zP )(v1w2 − v2w1) = 0
Usando o resultado obtido a partir do produto vetorial −→v ×−→w , ou seja:
(v2w3 − v3w2) = a, (v3w1 − v1w3) = b, (v1w2 − v2w1) = c .
A equacao:
(x− xP )(v2w3 − v3w2) + (y − yP )(v3w1 − v1w3) + (z − zP )(v1w2 − v2w1) = 0
fica:
(x− xP )a+ (y − yP )b+ (z − zP )c = 0
Ou seja:
ax+ by + cz + (−axP − byP − czP ) = 0
Portanto, fazendo: (−axP − byP − czP ) = d,
Temos a equacao geral do plano π:
π : ax+ by + cz + d = 0
Onde −→n = (a, b, c) e um vetor qualquer normal ao plano π. E d e tal que axP + byP +
czP + d = 0.
Exemplos
1. Dado o plano π1 : 2x − y + 4 = 0, determine a equacao geral do plano π2 paralelo
a π1 que passa pelo ponto O = (0, 0, 0).
Resolucao:
π1 : 2x− y + 4 = 0 ⇒ 2x− y + 0z + 4 = 0
Portanto, o vetor −→n = (2,−1, 0) e normal ao plano π1.
Como π2 e paralelo a π1 o vetor −→n = (2,−1, 0) e normal a π2. Portanto, sabemos
que a equacao do plano π2 e:
185
2x− 1y + 0z + d = 0
Para encontrar a equacao do plano π2, basta encontrar d. Mas, sabemos que o ponto
O = (0, 0, 0) pertence ao plano π2, portanto satisfaz a equacao do plano π2, ou seja:
2(0)− 1(0) + 0(0) + d = 0
o que nos leva a concluir que d = 0. Portanto:
π2 : 2x− 1y + 0z + 0 = 0
ou:
π2 : 2x− y = 0
2. Dado o plano π : (x, y, z) = (1,−1, 0)+λ(1, 1, 1)+ t(1,−2−3), λ, t ∈ IR, determine
as equacoes parametricas e geral de π.
Resolucao: Para obtermos as equacoes parametricas a partir da equacao vetorial
so precisamos escreve-la na “vertical”. Assim, as equacoes parametricas do plano π
sao: x = 1 + λ+ t
y = −1 + λ− 2t
z = λ− 3t
Para a equacao geral, precisamos de um vetor normal ao plano. Este vetor pode
ser obtido pelo produto vetorial dos vetores diretores do plano −→v 1 = (1, 1, 1) e−→v 2 = (1,−2,−3). Assim:
−→n = −→v 1 ×−→v 2 =
∣∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
1 1 1
1 −2 −3
∣∣∣∣∣∣∣ = (−1, 4,−3)
O que nos permite escrever a equacao geral do plano como:
−x+ 4y − 3z + d = 0
Para determinarmos o valor de d usamos o ponto P pertencente ao plano e dado
por P = (1,−1, 0). Assim:
−1 + 4 · (−1)− 3 · 0 + d = 0 ⇒ d = 5
186
Desta forma temos, finalmente, a forma final da equacao geral do plano:
−x+ 4y − 3z + 5 = 0
ou
x− 4y + 3z − 5 = 0
9.4 Exercıcios
1. Determine as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta:
a) que passa por A = (1, 2) e B = (3,−1).
b) que passa por P = (1,−2, 3) e Q = (−1,−1, 1).
c) que passa por Q = (1, 1) e e paralela a reta y = 2x+ 2.
d) que passa por O = (0, 0, 0) e e paralela a reta
x = 2− 3t
y = 2
z = 8t
, t ∈ IR
2. Determinar a equacao de duas retas concorrentes no ponto A = (1, 2, 3) sendo uma
delas perpendicular a reta r :x− 1
2= y − 2 e z = 0 e a outra reta passa por
B = (1,−1,−1).
3. Determine as equacoes geral, vetorial e parametricas dos planos:
a) que passa por A = (1,−1, 0), B = (2,−2, 3) e C = (2, 0, 3).
b) que passa por A = (1, 2, 3), B = (0, 0, 1) e C = (2,−1,−2).
c) que passa por P = (1,−1, 0) e e paralelo ao plano π : 2x+ y − 2z − 2 = 0.
4. Dadas as retas r :x− 2
2=
y
2= z e s : x − 2 = y = z, obtenha uma equacao geral
para o plano determinado por r e s.
5. Sejam P = (4, 1,−1) e r : (x, y, z) = (2 + t, 4− t, 1 + 2t).
a) Mostre que P /∈ r;
b) Obtenha a equacao geral do plano determinado por r e P .
187
6. Dados os planos π1 : x− y + z + 1 = 0 e π2 : x + y − z − 1 = 0, determine o plano
que contem π1 ∩ π2 e e ortogonal ao vetor (−1, 1,−1).
7. Ache a equacao da reta que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e e paralela aos planos
2x+ 3y + z + 1 = 0 e x− y + z = 0.
8. Seja a reta determinada pela interseccao dos planos x+y−z = 0 e 2x−y+3z−1 = 0.
Ache a equacao do plano que passa por A = (1, 0,−1) e contem a reta r.
9. Ache a equacao do plano paralelo ao plano 2x − y + 5z − 3 = 0 que passa por
P = (1,−2, 1).
10. Encontre a equacao do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e e perpendicular
aos planos x+ 2y − 3z + 2 = 0 e 2x− y + 4z − 1 = 0.
11. Encontrar a equacao do plano que passa pelos pontos P = (1, 0, 0) e Q = (1, 0, 1) e
e perpendicular ao plano y = z.
12. Determine as equacoes vetorial, parametricas, simetrica e simetrica reduzida da reta
s que passa pelo ponto O = (1,-1) e e paralela a reta r : y = −x+ 3.
∗ ∗ ∗
188
Capıtulo 10
Posicao Relativa: Disposicao,
Angulos e Distancias
10.1 Introducao
Neste capıtulo vamos estudar a posicao relativa entre elementos da geometria: ponto
e ponto; ponto e reta; ponto e plano; reta e reta; reta e plano; e plano e plano.
Assim, dados dois pontos ou um ponto e outro objeto (reta ou plano) queremos saber
qual a distancia entre eles. E dados dois destes outros objetos (retas e/ou planos) que-
remos saber se eles sao paralelos, se eles se interceptam, qual o angulo entre eles, se eles
sao perpendiculares, se eles sao ortogonais, qual a distancia entre eles, etc.
Para responder a estas perguntas usaremos nossos conhecimentos de Algebra Vetorial
e o estudo da representacao por equacoes dos planos e das retas que foi feito no capıtulo
anterior.
10.2 Distancia de Ponto a Ponto
Determinar a posicao relativa entre dois pontos significa determinar a distancia entre
eles. Vamos a essa determinacao.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sejam P = (xP , yP , zP ) e Q =
(xQ, yQ, zQ) dois pontos do espaco, vamos considerar o vetor:−→PQ = Q − P = (xQ −
xP , yQ − yP , zQ − zP ).
A distancia entre os pontos P e Q e igual a norma do vetor que tem no segmento
orientado−→PQ um de seus representantes e, por conseguinte, tambem e igual a norma de
−→QP .
189
Portanto, dados os pontos P e Q, a distancia entre eles e dada por:
d(P,Q) =∣∣−→PQ
∣∣ = ∣∣(xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP )∣∣
portanto:
d(P,Q) =√
(xQ − xP )2 + (yQ − yP )2 + (zQ − zP )2 (10.1)
Exemplo
1. Determine a distancia entre os pontos P = (1,−2, 3) e Q = (1, 0,−1).
Resolucao:
d(P,Q) =∣∣−→PQ
∣∣ = ∣∣(1− 1,−2− 0, 3− (−1))∣∣ = ∣∣(0,−2, 4)
∣∣d(P,Q) =
√(0)2 + (−2)2 + (4)2 =
√0 + 4 + 16 =
√20
d(P,Q) = 2√5 u.c.
10.3 Distancia de Ponto a Reta
Determinar a posicao relativa entre um ponto e uma reta significa determinar a menor
distancia entre o ponto e a reta. Na verdade, sempre que falarmos em ditancia entre
dois elementos/objetos da Geometria Analıtica estamos falando da menor distancia entre
eles.
Vamos a determinacao da posicao relativa entre um ponto e uma reta.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sejam P = (xP , yP , zP ) e r :
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(v1, v2, v3), onde Q = (x0, y0, z0) e um ponto qualquer mas fixo
da reta e −→v r = (v1, v2, v3) e um vetor diretor da reta.
Para determinarmos a expressao matematica que e a menor distancia entre o ponto P
e a reta r podemos considerar o triangulo ou o paralelogramo formado pelos vetores−→QP
e −→v r.
Para obtermos a expressao para a distancia entre a reta r e o ponto P , em nosso livro,
vamos considerar o triangulo definido pelos vetores−→QP e −→v r e que esta marcado da figura
abaixo:
190
A area deste triangulo pode ser calculada, como vimos no capıtulo sobre produto
vetorial, como sendo:
A△ =1
2
∣∣−→QP ×−→v r
∣∣Por outro lado, a area de um triangulo e, sempre, igual a:
A△ =1
2base× altura
Como a base do triangulo e∣∣−→v r
∣∣ e a altura e a distancia entre o ponto P e a reta r,
temos:
1
2
∣∣−→QP ×−→v r
∣∣ = 1
2
∣∣−→v r
∣∣d(P, r)o que nos da:
d(P, r) =
∣∣−→QP ×−→v r
∣∣∣∣−→v r
∣∣ (10.2)
Sempre que precisarmos calcular a distancia entre um ponto e uma reta podemos
usar a expressao deduzida acima, para tanto precisamos das coordenadas do ponto, das
coordenadas de um ponto fixo da reta e das coordenadas de um vetor diretor desta reta.
Exemplo
1. Determine a distancia entre o ponto P = (1,−2, 3) e a reta r : (x, y, z) =
(1, 1,−4) + t(1, 0,−5).
Resolucao: Temos P = (1,−2, 3), Q = (1, 1,−4) e −→v r = (1, 0,−5), portanto
prcisamos determinar as coordenadas do vetor−→PQ. Assim:
−→PQ = P −Q = (1,−2, 3)− (1, 1,−4) = (0,−3, 7)
Portanto, temos que:
d(P, r) =
∣∣−→PQ×−→v r
∣∣∣∣−→v r
∣∣ =
∣∣(0,−3, 7)× (1, 0,−5)∣∣∣∣(1, 0,−5)
∣∣191
Como: ∣∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
0 −3 7
1 0 −5
∣∣∣∣∣∣∣ = 15−→i + 7
−→j + 3
−→k = (15, 7, 3)
Temos:
d(P, r) =
∣∣−→PQ×−→v r
∣∣∣∣−→v r
∣∣ =
∣∣(0,−3, 7)× (1, 0,−5)∣∣∣∣(1, 0,−5)
∣∣ =
∣∣(15, 7, 3)∣∣∣∣(1, 0,−5)∣∣
d(P, r) =
√152 + 72 + 32√12 + 02 + (−5)2
=
√283√26
d(P, r) =
√283
26u.c.
10.4 Distancia de Ponto a Plano
Para determinarmos a posicao relativa entre um ponto e um plano precisamos, nova-
mente, calcular a menor distancia do ponto ate o elemento considerado, no caso o plano.
Vamos obter a expressao matematica para a distancia entre um ponto e um plano.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sejam o ponto P = (xP , yP , zP ) e o
plano π : ax + by + cz + d = 0, onde −→n = (a, b, c) e um vetor normal ao plano π. Para
obtermos a distancia entre o ponto P e o plano π, vamos considerar a reta que passa pelo
ponto P = (xP , yP , zP ) e tem o vetor normal ao plano π, como vetor diretor. Ou seja,
vamos considerar a reta:
s : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) +m(a, b, c)
Esta reta intercepta o plano π em um ponto que iremos chamar de Q.
O ponto P , o plano π, o vetor −→n , o ponto Q e a reta s estao esquematizados na figura
abaixo.
192
Para acharmos as coordenadas do ponto Q, lembrando que ele e a interseccao entre a
reta s e o plano π, basta-nos resolver o sistema:xQ = xP +ma
yQ = yP +mb
zQ = zP +mc
axQ + byQ + czQ + d = 0
(10.3)
Lembrando que P = (xP , yP , zP ),−→n = (a, b, c) e d sao numeros, as variaveis do sistema
de equacoes acima (equacao (10.3)) sao m, xQ, yQ e zQ, mas estamos interessados apenas
nas coordenadas do ponto Q, ou seja, nas variaveis xQ, yQ e zQ.
Para resolver o sistema, vamos substituir as tres primeiras equacoes na quarta equacao,
e encontrar m em termos de x0, y0 e z0. Depois vamos substituir o m encontrado nas tres
primeiras equacoes e, desta forma, encontraremos os valores de xQ, yQ e zQ.
Temos, portanto:
a(xP +ma) + b(xP +mb) + c(zP +mc) + d = 0
axP +ma2 + byP +mb2 + czP +mc2 + d = 0
m(a2 + b2 + c2) + axP + byP + czP + d = 0
Como −→n = (a, b, c) e vetor normal ao plano π, ele nao e o vetor nulo, portanto
a2 + b2 + c2 = 0, podemos isolar m como:
m =−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2(10.4)
Agora, substituindo o valor de m da expressao acima nas tres primeiras equacoes do
sistema (equacao (10.3)), encontramos:
193
xQ = xP +
(−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
)a
yQ = yP +
(−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
)b
zQ = zP +
(−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
)c
(10.5)
Assim, temos que a distancia entre o ponto P e o plano π e:
d(P, π) = d(P,Q) =∣∣−→PQ
∣∣ (10.6)
Portanto:
−→PQ = Q− P = (xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP ) (10.7)
Substituindo as coordenadas do ponto Q encontradas na equacao (10.7) e fazendo as
devidas simplificacoes, ficamos com:
−→PQ = Q− P =
(−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
)(a, b, c) (10.8)
Combinando as equacoes (10.6) e (10.8), temos que:
d(P, π) =
∣∣∣∣ (−axP − byP − czP − d
a2 + b2 + c2
) ∣∣∣∣ ∣∣ (a, b, c) ∣∣d(P, π) =
(∣∣− axP − byP − czP − d∣∣
a2 + b2 + c2
)√
a2 + b2 + c2
Permitindo-nos chegar, finalmente, a expressao:
d(P, π) =
∣∣axP + byP + czP + d∣∣
√a2 + b2 + c2
(10.9)
que e a expressao matematica para a distancia entre o ponto P = (xP , yP , zP ) e o plano
π : ax+ by + cz + d = 0. Ou seja, sempre que precisarmos determinar a distancia entre
um ponto e um plano podemos utilizar a equacao (10.9) para calcular tal distancia.
194
Exemplos
1. Calcule a distancia entre o ponto P = (1,−2, 3) e os planos:
a) π1 : 2x− 3y + 4 = 0;
Resolucao: Podemos determinar a distancia entre o ponto P e o plano π1 apli-
cando diretamente a formula de distancia entre um ponto e um plano (equacao
(10.9)).
Como π : 2x − 3y + 0z + 4 = 0, temos que: a = 2, b = −3, c = 0 e d = 4.
Temos tambem que P = (1,−2, 3), ou seja, xP = 1, yp = −2 e zP = 3.
Desta forma, temos que:
d(P, π) =
∣∣axp + byP + czP + d∣∣
√a2 + b2 + c2
=
∣∣(2)(1) + (−3)(−2) + (0)(3) + (4)∣∣√
(2)2 + (−3)2 + (0)2
d(P, π) =
∣∣2 + 6 + 0 + 4∣∣
√4 + 9 + 0
=12√13
u.c.
b) π2 : 2x+ y − 3z + 9 = 0
Resolucao: Neste caso temos que 2x+ y − 3z + 9 = 0, ou seja, a = 2, b = 1,
c = −3 e d = 9. Temos ainda que P = (1,−2, 3), ou seja, xP = 1, yP = −2 e
zP = 3. Assim:
d(P, π) =
∣∣(2)(1) + (1)(−2) + (−3)(3) + 9∣∣√
(2)2 + (1)2 + (−3)2= 0
O resultado obtido nao e estranho pois, como podemos verificar, p ∈ π e,
portanto, d(P, π) = 0
195
10.5 Posicao Relativa entre Retas
Nesta secao vamos estudar a posicao relativa entre duas retas no plano e entre duas
retas no espaco tridimensional. Como cada um destes estudos tem suas peculiaridades,
assim vamos estudar separadamente estas posicoes relativas.
10.5.1 Posicao Relativa entre Retas no Plano
Dadas duas retas r e s no plano, podemos ter uma das seguintes disposicoes entre elas:
1. As retas sao coincidentes, r ≡ s.
2. As retas sao paralelas, r ∥ s.
3. As retas sao concorrentes, r ⌢| s.
Na figura a seguir mostramos, como exemplo, tres casos de retas r e s que sao, respec-
tivamente, coincidentes, paralelas e concorrentes.
Para determinarmos a posicao relativa entre duas retas, primeiro precisamos determi-
nar se elas sao coincidentes, paralelas ou concorrentes. Para isto precisamos determinar
o angulo entre estas retas, pois o angulo entre duas retas determina a disposicao de uma
reta em relacao a outra, ou seja, determina o seu posicionamento relativo.
Dadas duas retas r e s no plano, temos que:
1. Se as retas sao coincidentes (r ≡ s) ou paralelas (r ∥ s) o angulo entre elas e igual
a zero. Ou seja:
ang(r, s) = 0◦
Ou, equivalentemente, podemos dizer que em termos de suas equacoes vetoriais, es-
tas retas tem vetores diretores paralelos; e em termos de suas equacoes simetricas
reduzidas, elas tem o mesmo coeficiente angular.
196
2. Se as retas sao concorrentes, r ⌢| s, entao os vetores diretores das retas nao sao
paralelos e o ang(r, s) = 0 e e o menor angulo formado entre os vetores diretores−→v r e
−→v s. O angulo entre duas retas e sempre um angulo entre 0◦ e 90◦.
Para tomarmos ciencia deste ultimo ponto, imaginemos duas retas concorrentes como
mostradas na figura a seguir.
Podemos pensar em dois angulos entre as retas, θ e ϕ. Pela figura vemos que, neste
caso, θ e o menor angulo entre as retas, portanto quando falamos de angulo entre retas
estamos falando de θ. Vemos tambem que θ + ϕ = 180o e que temos sempre ϕ ≥ θ,
portanto o menor angulo entre as retas e sempre θ ≤ 90o.
Para determinarmos o menor angulo entre as retas r e s, ja sabendo que elas sao
concorrentes, ou seja, que seus vetores diretores NAO sao paralelos, consideramos seus
vetores diretores, −→v r e−→v s, e calculamos:
cos θ =−→v r · −→v s∣∣−→v r
∣∣ ∣∣−→v s
∣∣Entao, se:
i) cos θ > 0 entao ang(r, s) = arccos
(−→v r·−→v s∣∣−→v r
∣∣ ∣∣−→v s
∣∣ ).ii) cos θ < 0 entao ang(r, s) = 180◦ − arccos
(−→v r·−→v s∣∣−→v r
∣∣ ∣∣−→v s
∣∣ ).Conhecido o angulo e a disposicao entre as retas r e s no plano, para determinarmos
completamente sua posicao relativa precisamos determinar a distancia (menor distancia)
entre elas.
197
Dadas duas retas r e s no plano, temos:
1. Se as retas sao coincidentes, r ≡ s entao d(r, s) = 0.
2. Se as retas sao paralelas, r ∥ s entao d(r, s) > 0.
3. Se as retas sao concorrentes, r ⌢| s entao d(r, s) = 0.
Assim, nos casos de retas coincidentes ou concorrentes, a distancia entre elas e igual
a zero. Para o caso de retas paralelas precisamos determinar a distancia.
A distancia entre as retas paralelas r e s e a distancia entre um ponto (um ponto qual-
quer mas fixo) de uma das retas e a outra reta. Assim, para determinarmos a distancia
entre duas retas paralelas usamos, no geral, “a formula” da distancia entre ponto e reta
(equacao (10.2)), deduzida e explicada na secao anterior. Nos exemplos a seguir ilus-
traremos bem estes calculos.
Antes de apresentarmos os exemplos e ilustrarmos uma maneira de calcular a posicao
relativa entre duas retas, queremos lembrar que existem varias maneiras de descobrir a
posicao relativa de duas retas e que, se feita corretamente, sao completamente equiva-
lentes. Mas, para que este nao venha a se tornar o texto muito extenso apresentaremos
apenas uma maneira para cada item do exemplo a seguir (retas paralelas, concorrentes e
coincidentes).
Exemplo
1. Determine a posicao relativa (a disposicao, a distancia e o angulo) entre as seguintes
retas no plano:
a) y = 2x− 3 e y = x+ 5;
Resolucao: Neste caso foi dada a equacao simetrica reduzida de cada reta.
Para sabermos a disposicao de uma para com a outra podemos olhar, direta-
mente, seus coeficientes angulares.
Como: mr = 2 ems = 1, ou seja,mr = ms as retas sao concorrentes. Portanto,
a distancia entre elas e dada por:
d(r, s) = 0
Para descobrirmos o angulo entre as duas retas precisamos descobrir um vetor
diretor de cada reta e calcular o produto escalar entre eles. Assim, precisamos
de dois pontos de cada reta.
Para a reta r, fazendo x = 0 temos que y = −3, assim Pr = (0,−3). E fazendo
x = 1 temos y = −1, entao Qr = (1,−1). Desta forma podemos tomar como
vetor diretor da reta r:
198
−→v r =−−−→PrQr = Qr − Pr = (1,−1)− (0,−3)
−→v r = (1, 2)
cujo modulo vale:
|−→v r| = |(1, 2)| =√12 + 22
|−→v r| =√5
Para a reta s, fazendo x = 0 temos que y = 5, assim Ps = (0, 5). E fazendo
x = 1 temos y = 6, entao Qs = (1, 6). Desta forma podemos tomar como vetor
diretor da reta s:
−→v s =−−−→PsQs = Qs − Ps = (1, 6)− (0, 5)
−→v s = (1, 1)
cujo modulo vale:
|−→v s| = |(1, 1)| =√12 + 12
|−→v s| =√2
Usando que:
cos θ =−→v r · −→v s
|−→v r| |−→v s|temos que:
cos θ =(1, 2) · (1, 1)√
5√2
=1 · 1 + 2 · 1√
10
cos θ =3√10
(10.10)
Como cos θ > 0, o angulo entre as retas r e s vale:
θ = arccos
(3√10
)Podemos, tambem, encontrar o ponto de interseccao entre as retas resolvendo
o sistema:
199
{y = 2x− 3
y = x+ 5
Temos: 2x− 3 = x+ 5 ⇒ x = 8 ⇒ y = 8 + 5 ⇒ y = 13
Assim, temos:
r ∩ s = { (8, 13) }
b) 2x+ 3y − 7 = 0 e 4x+ 6y − 4 = 0;
Resolucao: Isolando o y nas equacoes de ambas as retas, r e s, temos que:
r : 2x+ 3y − 7 = 0 ⇒ y = −2
3x+
7
3
e
s : 4x+ 6y − 4 = 0 ⇒ y = −2
3x+
2
3
Como: ms = −23= mr e
73= br = bs =
23, as retas sao paralelas. Portanto, o
angulo entre elas vale:
ang(r, s) = 0◦
Para calcular d(r, s), vamos usar a equacao (10.2):
d(P, s) =
∣∣−→PQ×−→v s
∣∣∣∣−→v s
∣∣onde P e um ponto da reta s e Q um ponto da reta r e −→v s e o vetor diretor da
reta s que, como as retas sao paralelas, tambem e igual ao vetor diretor de r.
Pelas equacoes podemos verificar facilmente que (2, 1) ∈ r, (−1, 3) ∈ r, (1, 0) ∈s e (−2, 2) ∈ s.
Como so podemos fazer o produto vetorial no espaco, vamos considerar as retas
no plano xy mas que todos os seus pontos (e vetor diretor) estao escritos no
espaco. Ou seja, vamos considerar: (2, 1, 0) ∈ r, (−1, 3, 0) ∈ r, (1, 0, 0) ∈ s e
(−2, 2, 0) ∈ s e que, portanto, um de seus vetores diretores vale −→v r = (3,−2, 0)
e −→v s = (3,−2, 0).
Usando Pr = (2, 1, 0) ∈ r e Qs = (1, 0, 0) ∈ s assim:−→PQ = (−1,−1, 0)
Como:
−→PQ×−→v r =
∣∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
−1 −1 0
3 −2 0
∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 0, 5)
200
temos que:
d(r, s) = d(P, r) =
∣∣−→PQ×−→v r
∣∣∣∣−→v r
∣∣ =
∣∣(0, 0, 5)∣∣∣∣(3,−2, 0)∣∣ =
5√13
c) (x, y) = (0,−3) + λ(1, 2) e (x, y) = (1,−1) + λ(−2,−4).
Resolucao: Pela razao entre as coordenadas dos vetores diretores das retas r
e s:1
−2=
2
−4podemos ver que estes vetores sao paralelos, portanto as retas
ou sao paralelas ou coincidentes e o angulo entre elas vale:
ang(r, s) = 0◦
Para verificarmos se elas sao paralelas ou coincidentes podemos escrever a
equacao vetorial de uma das retas, reta r por exemplo, na forma parametrica e
usando um ponto da outra reta (reta s) verificar se este ponto obedece tambem
a equacao de r. Assim: {x = λ
y = −3 + 2λ
Usando o ponto PS = (1,−1) temos que:{x = λ ⇒ 1 = λ ⇒ λ = 1
y = −3 + 2 ⇒ −1 = −3 + 2λ ⇒ λ = 1
Como encontramos o mesmo valor para o parametro λ, o ponto P = (1,−1)
tambem pertence areta r. Desta forma, podemos concluir que as retas r e s
sao coincidentes e, por isto, temos que:
d(r, s) = 0
10.5.2 Posicao Relativa entre Retas no Espaco
Apos estudarmos e aprendermos a determinar a posicao relativa entre duas retas no
plano, vamos estudar a posicao relativa entre duas retas no espaco tridimensional.
E importante ressaltar que o processo que utilizaremos para encontrar a posicao re-
lativa entre retas no espaco tambem pode ser utilizado para encontrar a posicao relativa
entre retas no plano!
201
Duas retas r e s no espaco podem ser:
i) Coincidentes, r ≡ s ;
ii) Paralelas, r ∥ s ;
iii) Concorrentes, r ⌢| s ;
iv) Reversas, r rev s .
Devemos ter em mente que se duas retas sao: coincidentes, elas tem todos os pontos
em comum; concorrentes, tem um unico ponto em comum; paralelas, nao tem nenhum
ponto em comum mas sempre podemos encontrar um plano que contem as duas retas;
reversas, nao tem nenhum ponto em comum, mas nao podemos encontrar um plano que
contenha as duas retas. No caso de retas reversa, podemos pensar que sao retas que estao
em planos paralelos, ou seja, se a reta r e reversa a reta s, o plano que contem a reta r e
paralelo ao plano que contem a reta s.
Na figura a seguir, e mostrado um exemplo para cada tipo de disposicao de retas no
espaco.
Assim, dadas as equacoes de duas retas no espaco, para encontrar a posicao relativa
entre elas devemos realizar o procedimento descrito a seguir.
202
a) Determinacao da disposicao entre duas retas no espaco tridimensional
Para determinarmos a disposicao entre duas retas no espaco devemos:
1) Comparar os vetores diretores das retas. Pois:
a) se os vetores diretores das retas forem paralelos as retas serao: coincidentes ou
paralelas,
b) se os vetores diretores das retas nao forem paralelos, as retas sao concorrentes
ou reversas.
Assim, com uma conta simples (descobrir se dois vetores sao paralelos ou nao) ja
diminuiremos nosso problema pela metade!
2.1) Se os vetores diretores sao paralelos, vamos verificar se um ponto (um ponto qual-
quer, mas fixo) de uma das retas pertence a outra reta. Pois:
a) Se o ponto de uma das retas pertencer a outra, as retas sao coincidentes.
b) Se o ponto de uma das retas nao pertencer a outra, as retas sao paralelas.
2.2) Se os vetores diretores nao sao paralelos, vamos considerar os vetores diretores das
retas e o vetor−→PQ, sendo P o ponto de uma das retas e Q (um ponto da outra
reta). Pois:
a) se os vetores diretores das retas e o vetor−→PQ sao coplanares, as retas sao
concorrentes;
b) se os vetores diretores das retas e o vetor−→PQ nao sao coplanares, as retas sao
reversas.
203
Resumindo
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional e dadas r e s
com P ponto de r e Q ponto de s e −→v r vetor diretor de r e −→v s vetor diretor de s, temos:
⋄ Se −→v r ∥ −→v s e P ∈ s entao r ≡ s.
⋄ Se −→v r ∥ −→v s e P /∈ s entao r ∥ s.
⋄ Se −→v r ∦ −→v s e os vetores −→v r,−→v s e
−→PQ sao coplanares, entao r ⌢| s.
⋄ Se −→v r ∦ −→v s e os vetores −→v r,−→v s e
−→PQ nao sao coplanares, entao r rev s.
b) Determinacao do angulo entre duas retas no espaco tridimensional
Dadas duas retas r e s no espaco com vetores diretores iguais a −→v r e −→v s, respectiva-
mente, devemos verificar se seus vetores diretores sao paralelos ou nao. Entao:
1) Se os vetores diretores sao paralelos, as retas sao paralelas ou coincidentes o angulo
entre as retas e zero.
ang(r, s) = 0o
2) Se os vetores diretores nao sao paralelos, as retas sao concorrentes ou reversas o
angulo entre elas e o menor angulo formado entre seus vetores diretores. Ou seja,
se −→v r e−→v s sao os vetores diretores de r e s respectivamente, calculamos:
cos θ =−→v r · −→v s∣∣−→v r
∣∣ ∣∣−→v s
∣∣Entao se:
i) cos θ > 0 entao ang(r, s) = arccos
( −→v r · −→v s∣∣−→v r
∣∣ ∣∣−→v s
∣∣)
ii) cos θ < 0 entao ang(r, s) = 180◦ − arccos
( −→v r · −→v s∣∣−→v r
∣∣ ∣∣−→v s
∣∣)
204
c) Determinacao da distancia entre dua retas no espaco
Dadas as retas r e s no espaco e sabendo-se a disposicao entre elas, ou seja, se sao
coincidentes, concorrente, paralelas ou reversas, podemos determinar a distancia entre
elas. Assim, temos que:
1) Se as retas sao coincidentes entao a distancia entre as retas e zero.
d(r, s) = 0
2) Se as retas sao concorrentes entao a distancia entre as retas e zero.
d(r, s) = 0
3) Se as retas sao paralelas a distancia entre as retas e a distancia entre um ponto de
uma das retas e a outra reta. Ou seja, se r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)
e s : (x, y, z) = (xQ, yQ, zQ) +m(w1, w2, w3), entao:
d(r, s) = d(P, s) = d(Q, r) =
∣∣−−−→PrQs ×−→v r
∣∣∣∣−→v r
∣∣ =
∣∣−−−→PrQs ×−→w s
∣∣∣∣−→w s
∣∣4) Se as retas sao reversas, a distancia entre elas e a distancia entre o plano que
contem umas das retas (e que e definido pelos vetores diretores das retas e um
ponto de uma das retas) e um ponto da outra reta. Ou seja, se r : (x, y, z) =
(xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3) e s : (x, y, z) = (xQ, yQ, zQ) +m(w1, w2, w3), entao, ache
a equacao geral do plano que tem: −→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3) como vetores
diretores e contem o ponto Q = (xQ, yQ, zQ).
Vamos chama-lo de π : ax+ by + cz + d = 0.
Entao, achamos a distancia entre o plano π e o ponto P = (xP , yP , zP ) que e dada
por:
d(r, s) = d(P, π) =
∣∣axP + byP + czP + d∣∣√
(a)2 + (b)2 + (c)2
Vamos ilustrar o procedimento e os calculos descritos acima para determinar a posicao
relativa entre retas no espaco nos exemplos a seguir.
205
Exemplos
1. Determine a posicao relativa (a disposicao, a distancia e o angulo) entre as retas r
e s:
a) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(1, 0, 3) e s : (x, y, z) = (0,−2, 0) +m(−2, 0,−6)
Resolucao: Como: −→v r = (1, 0, 3) e paralelo a −→v s = (−2, 0,−6) as retas sao
paralelas ou coincidentes.
Vamos verificar se P = (1,−2, 3) ∈ r pertence a reta s. Para isto, vamos
considerar as equacoes parametricas de s:
s :
x = −2m
y = −2
z = −6m
Como:
1 = −2m ⇒ m = −12
−2 = −2
3 = −6m ⇒ m = −12
Como o valor encontrado para o parametro m foi o mesmo na equacao
parametrica das diferentes coordenadas, o ponto Pr = (1,−2, 3) tambem per-
tence a s, portanto as retas sao coincidentes.
Se as retas r e s sao coincidentes, o angulo entre elas e zero e a distancia
entre elas tambem e zero. Matematicamente:
ang(r, s) = 0o e d(r, s) = 0
b) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(1, 0, 3) e s : (x, y, z) = (0, 0,−3) +m(1, 1, 1).
Resolucao: Como −→v = (1, 0, 3) nao e paralelo a −→w = (1, 1, 1), as retas sao
concorrentes ou reversas.
Para determinarmos a rela disposicao entre estas retas, vamos considerar um
ponto de cada reta: P = (1,−2, 3) ∈ r e Q = (0, 0,−3) ∈ s, desta forma,
temos que:
−→u =−→PQ = (−1, 2,−6)
Vamos verificar se os vetores −→v , −→w e −→u sao coplanares calculando o determi-
nante da matriz de suas coordenadas. Assim:
206
∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣
1 0 3
1 1 1
−1 2 −6
∣∣∣∣∣∣∣ = −6 + 0 + 6− (−3 + 0 + 2) = 1 = 0
Como o determinante deu diferente de zero, os vetores −→v , −→w e −→u nao sao
coplanares e as retas r e s sao reversas.
Sabendo que as retas r e s sao reversas, precisamos descobrir o angulo e tambem
a distancia entre elas.
Para descobrirmos o angulo vamos cacular o angulo entre os seus vetores
diretores usando o produto escalar entre. Temos que −→v r = (1, 0, 3) e−→w s = (1, 1, 1), assim:
−→v r · −→w s = (1, 0, 3) · (1, 1, 1) = 4
|−→v r| =∣∣(1, 0, 3)∣∣ = √
10
|−→w s| =∣∣(1, 1, 1)∣∣ = √
3
E, portanto:
cos θ =4√
10√3> 0
O que nos da:
ang(r, s) = arccos
(4√30
)Falta a distancia entre as retas r e s.
Temos: −→v r = (1, 0, 3) , −→w s = (1, 1, 1), Pr = (1,−2, 3) e Qs = (0, 0,−3).
Mas precisamos da equacao geral do plano que contem uma das retas para
determinar a distancia deste plano a um ponto da outra reta.
Para determinarmos a equacao geral do plano que contem a reta r vamos
primeiro calcular as coordenadas do vetor normal a este plano. Calculando:
−→v r ×−→w s =
∣∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
1 0 3
1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = −3−→i + 2
−→j +
−→k = (−3, 2, 1)
Portanto, o plano determinado a partir dos vetores diretores das retas tem
equacao
207
−3x+ 2y + z + d = 0
Usando o ponto Pr = (1,−2, 3), podemos determinar o valor da constante d
e, assim, teremos a equacao geral do plano que contem a reta r e e paralelo a
reta s. A equacao deste plano e:
π : −3x+ 2y + z + 4 = 0
Calculando a distancia entre o plano π e o ponto Qs = (0, 0,−3), a partir da
equacao (10.9), temos que:
d(r, s) = d(Qs, π) =
∣∣(−3)(0) + (2)(0) + (1)(−3) + 4∣∣√
(−3)2 + (2)2 + (1)2
d(r, s) = d(Qs, π) =1√14
u.c.
Assim, para as retas r e s, temos que:
{r rev sang(r, s) = arccos
(4√30
)d(r, s) = 1√
14u.c.
Como pode ser observado por este item do exemplo, o caso das retas reversas e
o demanda um maior numero de calculos para se determinar a posicao relativa
entre as retas r e s no espaco.
c) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(1, 0, 3) e s :x− 2
3=
2 + y
4=
6− z
3.
Resolucao: Passando a equacao da reta s da forma simetrica para a forma
vetorial obtemos s : (x, y, z) = (2,−2, 6) + t(3, 4,−3).
Assim, os vetores diretores da reta r e s sao −→v r = (1, 0, 3) e −→w s = (3, 4,−3).
Como1
3= 0
4=
3
−3, os vetores −→v r e −→w s nao sao paralelos, portanto as retas
r e s sao concorrentes ou reversas.
Tomando os pontos de referencia das retas Pr = (1,−2, 3) e Qs = (2,−2, 6)
temos que o vetor −→u =−−−→PrQs = (1, 0, 3).
Verificando se os vetores −→v r,−→w s e
−→u sao coplanares pelo calculo do determi-
nante de suas coordenadas:∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 0 3
3 4 −3
1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
208
Assim vemos que os vetores −→v r,−→w s e ,
−→u =−−−→PrQs sao coplanares. E, portanto,
as retas r e s sao concorrentes.
Se tivessemos ficado um pouco mais atentos terıamos visto que os vetores−→v r
e −→u sao o mesmo vetor e, por isto, so tınhamos dois vetores que, por serem so
dois vetores, soa, por definicao, coplanares.
Como as retas sao concorrentes, elas se interceptam e a distancia entre elas e:
d(r, s) = 0
E o angulo entre elas e calculado a partir do produto escalar entre seus vetores
diretores. Assim:
cos θ =−→v r · −→v s
|−→v r| |−→v s|= − 3√
85
Como cos θ < 0, o angulo entre as retas sera:
θ′ = 180o − arccos
(− 3√
85
)
d) r : (x, y, z) = (2,−2,−3) + t(1, 0, 3) e s : 3x− 9 = z e y = −2
Resolucao: Escrevendo a equacao da reta s na forma vetorial encontramos
que
s : (x, y, z) = (3,−2, 0) + t
(1
3, 0, 1
)Portanto os vetores diretores das duas retas, −→v r = (1, 0, 3) e −→w s =
(1
3, 0, 1
)sao paralelos e as retas r e s sao paralelas ou coincidentes.
Verificando que o ponto de referencia de r, Pr = (2,−2,−3) nas equacoes
parametricas de sλ = 3x− 9 ⇒ λ = 3 · 2− 9 ⇒ λ = −3
y = −2 ⇒ −2 = −2
λ = z ⇒ λ = −3
Vemos que o ponto Pr = (2,−2,−3) tambem obedece a equacao da reta s e
concluimos que as duas retas sao coincidentes e temos que:
d(r, s) = 0 e ang(r, s) = 0o
209
10.6 Posicao Relativa entre Planos
No capıtulo anterior comecamos a estudar retas e planos, aprendendo a escrever suas
equacoes vetoriais, parametricas, simetricas e gerais. Neste capıtulo estamos aprendendo
a determinar a posicao relativa entre alguns dos elementos da Geometria Analıtica.
Nas seccoes anteriores deste capıtulo estudamos a posicao relativa entre dois pontos,
entre um ponto e uma reta, entre um ponto e um plano e entre duas retas. Assim, nesta
seccao vamos estudar a posicao relativa entre dois planos.
10.6.1 Disposicao entre Dois Planos
Dois planos π1 e π2 podem ser:
i) coincidentes, π1 ≡ π2 ;
ii) paralelos, π1 ∥ π2 ;
iii) transversos, π1 ⌢| π2 .
Na figura a seguir, sao mostrados exemplos de planos com diferentes disposicoes entre
si.
Para determinarmos a disposicao entre dois planos, vamos considerar que, fixado um
sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional, temos os planos:
α : ax+ by + cz + d = 0
β : ax+ by + cz + d = 0
Note que usamos as letras gregas α e β para designar os planos no lugar de π1 e
π2, respectivamente, para nao sobrecarregarmos a nossa notacao a partir daqui levando
ındices de ındices.
Para os planos α e β temos que os vetores normais aos planos sao, respectivamente,
os vetores −→n α = (a, b, c) e −→n β = (a, b, c). Comparando esses vetores temos que:
210
1. se −→n α = (a, b, c) e paralelo a −→n β = (a, b, c) e existe P ∈ α com P ∈ β, entao os
planos sao coincidentes;
2. Se −→n α = (a, b, c) e paralelo a −→n β = (a, b, c) e NAO existe P ∈ α com P ∈ β, entao
os planos sao paralelos;
3. Se −→n α = (a, b, c) nao e paralelo a −→n β = (a, b, c) entao os planos sao transversais (se
cortam).
10.6.2 Angulo entre Dois Planos
Apos determinarmos a disposicao entre os plano, o passo seguinte e determinar o angulo
entre eles.
Para isto vamos considerar que, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no
espaco e considerando os planos:
α : ax+ by + cz + d = 0
β : ax+ by + cz + d = 0
Temos que:
1. Se −→n α = (a, b, c) e paralelo a −→n β = (a, b, c) entao os planos sao paralelos ou coinci-
dentes e o angulo entre eles e zero, ou seja,
ang(α, β) = 0◦
2. Se −→n α = (a, b, c) nao e paralelo a −→n β = (a, b, c) entao os planos sao transversais e
o angulo entre eles e o menor angulo entre −→n α e −→n β. Ou seja, se:
i) cos θ > 0 entao ang(r, s) = arccos
( −→n α · −→n β∣∣−→n α
∣∣ ∣∣−→n β
∣∣)
ii) cos θ < 0 entao ang(r, s) = 180◦ − arccos
( −→n α · −→n β∣∣−→n α
∣∣ ∣∣−→n β
∣∣)
211
10.6.3 Distancia entre Dois Planos
Sabendo ao disposicao e o angulo entre os planos, precisamos determinar a distancia
entre eles. Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco e considerando
os planos:
α : ax+ by + cz + d = 0
β : ax+ by + cz + d = 0
Temos que:
1. Se −→n α = (a, b, c) e paralelo a −→n β = (a, b, c) e existe P ∈ α com P ∈ β entao os
planos sao coincidentes e a distancia entre eles e zero. Ou seja:
d(α, β) = 0
2. Se −→n α = (a, b, c) e paralelo a −→n β = (a, b, c) e NAO existe P ∈ α com Q ∈ β entao os
planos sao paralelos e a distancia entre eles e a distancia entre um ponto (qualquer
mas fixo) de um dos planos para o outro plano. Ou seja, usamos a equacao (10.9)
para determinar a distancia entre os planos. Assim:
d(α, β) = d(P, β) = d(Q,α)
d(α, β) =|axP + byP + czP |+ d√
a2 + b2 + c2|=
axQ + byQ + zzQ + d√a2 + b2 + c2
(10.11)
3. Se −→n α = (a, b, c) nao e paralelo a −→n β = (a, b, c) entao os planos sao transversais ou
transveros e a distancia entre eles e zero.
d(α, β) = 0
Vamos ilustrar a determinacao da posicao relativa entre dois planos a partir dos exem-
plos a seguir.
Exemplos
1. Determine a disposicao, o angulo e a distancia entre os planos.
a) α : 2x− 3y + z + 3 = 0 e β : 3x− y − z + 1 = 0.
Resolucao:
Como os vetores normais aos planos −→n α = (2,−3, 1) e −→n β = (3,−1,−1) nao
sao paralelos, os planos α e β sao transversais.
212
Assim, a distancia entre eles vale:
d(α, β) = 0
Calculando:
cos θ =−→n α · −→n β
|−→n α| |−→n β|=
4√35
vemos que o angulo entre os planos vale:
θ = arccos
(4√35
)
b) α : 2x− 3y + z + 3 = 0 e β : 2x− 3y + z + 1 = 0.
Resolucao:
Como −→n α = −→n β e dα = dβ, os planos α e β sao paralelos.
Portanto:
ang(α, β) = 0o
Considerando o ponto P = (1, 1,−2) que pertence ao plano α, podemos calcu-
lar a distancia entre os planos α e β como sendo a distancia entre o ponto P e
o plano β.
Assim:
d(α, β) = d(P, β) =
∣∣axP + byP + czP d∣∣√
a2 + b2 + c2=
2√14
u.c.
c) α : 2x− 3y + z + 3 = 0 e β : −4x+ 6y − 2z − 6 = 0.
Resolucao:
Como os vetores normais aos planos −→n α = (2,−3, 1) e −→n β = (−4, 6,−2) sao
paralelos, os planos α e β sao paralelos ou coincidentes.
Se multiplicarmos ambos os lados da equacao do plano α por −2 obtemos
α : −4x + 6y − 2z − 6 = 0, que e a equacao do plano β, portanto concluimos
que os planos α e β sao o mesmo plano. Ou seja, os planos α e β sao coincidentes
e
d(α, β) = 0 e ang(α, β) = 0o
213
10.7 Posicao Relativa entre Reta e Plano
Nesta ultima secao deste capıtulo onde estamos estudando a posicao relativa entre ele-
mentos da Geometria Analıtica (pontos, retas e planos), vamos estudar a posicao relativa
entre uma reta e um plano.
10.7.1 Disposicao entre Reta e Plano
O que primeiro precisamos determinar e a disposicao entre a reta e o plano. Para isto
vamos considerar que fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimen-
sional, sejam a reta r e o plano π dados por:
r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)
π : ax+ by + cz + d = 0
onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r; −→v = (v1, v2, v3) e o vetor diretor de r; e −→n = (a, b, c) o vetor
normal ao plano π.
Entao, temos que:
1. Se −→v · −→n = 0 e P = (xP , yP , zP ) /∈ π entao a reta r e paralela ao plano π.
2. Se −→v · −→n = 0 e P = (xP , yP , zP ) ∈ π entao a reta r esta contida no plano π, ou
seja, a reta r pertence ao plano π.
3. Se −→v · −→n = 0 entao a reta r e transversal ao plano π.
10.7.2 Angulo entre Reta e Plano
Determinada a disposicao da reta r em relacao ao plano π, precisamos calcular o angulo
entre eles.
Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco e sejam a reta r e o
plano π dados por:
r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)
π : ax+ by + cz + d = 0
onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r; −→v = (v1, v2, v3) e o vetor diretor de r; e −→n = (a, b, c) vetor
normal ao plano π, temos que:
214
1. Se a reta r e paralela ao plano π entao o angulo entre a reta e o plano e zero.
ang(r, π) = 0
2. Se a reta r pertence ao plano π entao o angulo entre a reta e o plano e zero.
ang(r, π) = 0
3. Se a reta r e transversal ao plano π entao o angulo entre a reta e o plano esta
relacionado ao menor angulo entre um vetor normal ao plano e um vetor diretor da
reta. Ou seja,
◃ Se −→v r · −→n > 0 entao
ang(r, π) = 90o − arccos
( −→v r · −→n∣∣−→v r
∣∣ ∣∣−→n ∣∣)
◃ Se −→v r · −→n < 0 entao
ang(r, π) = arccos
( −→v r · −→n∣∣−→v r
∣∣ ∣∣−→n ∣∣)
− 90◦
10.7.3 Distancia entre Reta e Plano
Conhecido a disposicao e o angulo entre a reta e o plano, precisamos determinar a
distancia entre estes elementos da Geometria Analıtica.
Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional, sejam
a reta r e o plano π dados por:
r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)
π : ax+ by + cz + d = 0
onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r; −→v = (v1, v2, v3) e o vetor diretor de r; e −→n = (a, b, c) vetor
normal ao plano π.
Desta forma, temos que:
215
1. Se a reta r e paralela ao plano π, a distancia entre a reta e o plano e a distancia
entre um ponto qualquer da reta e o plano. Ou seja, usamos a equacao (10.9):
d(r, π) = d(P, π) =
∣∣axP + byP + czP + d∣∣
√a2 + b2 + c2
onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r e π : ax+ by + cz + d = 0
2. Se a reta r pertence ao plano π entao a distancia entre a reta e o plano e zero.
d(r, π) = 0
3. Se a reta r e transversal ao plano π entao a distancia entre a reta e o plano e zero.
d(r, π) = 0
O procedimento para se determinar a posicao relativa entre uma reta e um plano sera
ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo: Determine a posicao relativa entre a reta e o plano em cada um dos
itens a seguir.
a) r : (x, y, z) = (1,−1, 0) + t(2,−1, 3) e π : 2x+ 3y − z + 4 = 0.
Resolucao:
Usando o vetor diretor da reta r, −→v r = (2,−1, 3) e o vetor norml ao plano π,−→n = (2, 3,−1), calculamos:
−→v r · −→n = (2,−1, 3) · (2, 3,−1) = 4− 3− 3 = −2 = 0
Entao, a reta r e transversal ao plano π. Assim:
d(r, π) = 0
Para determinarmos o angulo entre entre r e π calculamos:
cos θ =−→v r · −→n|−→v r| |−→n |
=−2√14
√14
= − 2
14= −1
7
Desta forma, temos que o angulo entre r e π vale:
θ′ = arccos
(−1
7
)− 90o
216
b) r : (x, y, z) = (1,−1, 0) + t(2,−1, 3) e π : 3x+ 3y − z + 4 = 0.
Resolucao:
Usando o vetor diretor da reta r, −→v r = (2,−1, 3) e o vetor normal ao plano π,−→n = (3, 3,−1), calculamos:
−→v r · −→n = 0
Entao a reta r ou e paralela ao plano π ou esta contida no plano π e, por isto,
temos que:
ang(r, π) = 0o
Verificando que o ponto de referencia da reta r nao satisfaz a equacao do plano
π, concluimos que a reta r e paralela ao plano π.
Usando o ponto de referencia da reta r, P = (1,−1, 0), podemos calcular a
distancia entre a reta r e o plano π como sendo a distancia entre o ponto P e
o plano π. Ou seja, podemos usar a equacao (10.9) que nos da:
d(r, π) = d(P, π) =
∣∣axP + byP + czP + d∣∣
√a2 + b2 + c2
d(r, π) =|3 · 1 + 3 · (−1)− 1 · 0 + 4|√
32 + 32 + (−1)2=
4√19
u.c.
c) r : (x, y, z) = (1,−1, 4) + t(2,−1, 3) e π : 3x+ 3y − z + 4 = 0.
Resolucao: Usando o vetor diretor da reta r, −→v r = (2,−1, 3), e o vetor normal
ao plano π, −→n = (3, 3,−1), calculamos:
−→v r · −→n = 0
Entao a reta r ou e paralela ao plano π ou esta contida no plano π.
Verificando que o ponto de referencia da reta r satisfaz a equacao do plano π,
concluimos que a reta r esta contida no plano π.
Assim:
d(r, π) = 0 e ang(r, π) = 0o
217
10.8 Exercıcios
1. Determine a posicao relativa (a disposicao, o angulo e a distancia) entre as retas r
e s:
a) r : y = 2x− 3 e s : x = 8. (no plano)
b) r : 2x− y + 3 = 0 e s : −x+ 2y − 8 = 0. (no plano)
c) r : (x, y, z) = (1,−1, 0) + λ(1,−1, 0), λ ∈ IR ex+ 2
2=
−y + 2
2e z = 0.
d) r :
x = 2 + 3t
y = 3t
z = 4
e s :
x = −1 + 2λ
y = 2 + 5λ
z = 4 + λ
e) r :x− 2
3=
y
2=
−z + 4
1e s :
x = −1 + 2λ
y = 2 + 5λ
z = 4− λ
2. Determine a posicao relativa (a disposicao, o angulo e a distancia) entre os planos:
a) π1 : 2x+ 3y − z + 2 = 0 e π2 : 4x+ 6y − 2z = 0.
b) π1 : 2x− 3y = 0 e π2 : y − 2z + 8 = 0.
c) π1 : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(3, 2,−1) + t(1, 2, 0) e π2 : 2x− 3y = 0.
3. Determine a posicao relativa (disposicao, angulo e distancia) entre a reta e o plano
em cada item a seguir:
a) r : (x, y, z) = (1, 2,−1) + t(1,−2, 0), t ∈ IR e π : 2x+ y − z − 2 = 0.
b) r :x+ 1
1=
y + 2
2e z = 0 e π : 2x+ y − z = 0.
c) r :
{x+ y + z − 3 = 0
2x− z = 4e π : 2x+ y − z + 2 = 0.
4. Determine a posicao relativa (disposicao, angulo e distancia) entre:
a) as retas r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 0,−1) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) +
λ(−2, 0, 2);
b) as retas r : (x, y, z) = (1, 2, 3)+λ(1, 1, 2) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3)+λ(−2, 0, 5);
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c) as retas r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(1, 3,−2) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) +
λ(−2,−6, 4);
d) as retas r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(1, 3, 1) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 3);
e) os planos π1 : 2x+ 5y − z = 0 e π2 : 2z − 4x− 10y + 3 = 0.
5. Encontrar o angulo entre o plano 2x − y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto
P = (1, 2, 3) e e perpendicular ao vetor −→v =−→i + 2
−→j +
−→k .
6. Seja π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 1, 0)
e π2 o plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (0, 0, 0) e e paralelo ao
vetor−→i +
−→j . Ache o angulo entre π1 e π2.
7. Ache uma reta que passa pelo ponto (1,−2, 3) e que forma angulos de 45o e 60o com
os eixos x e y, respectivamente.
8. Obtenha os vertices B e C do triangulo equilatero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e
sabendo que o lado BC esta contido na reta r : (x, y, z) = t(0, 1,−1). Sugestao:
Determine os pontos Pr da reta r tais que−−→PrA faz angulo de 60o (e 120o) com o
vetor diretor da reta r.
9. Determine a area do triangulo que tem como um de seus vertices a interseccao da
reta r : y =x
2+2 com a reta s : (x, y) = (2, 3)+λ(2,−2) e como os outros vertices
as interseccoes entre as retas r e s com o eixo x.
10. Seja π o plano que passa pela origem e e perpendicular a reta que une os pontos
A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distancia do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π.
11. Seja r1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0), e r2 a reta
x− 2 =y − 3
2=
z − 4
3.
a) Calcule a distancia entre r1 e r2;
b) Encontre as equacoes da reta perpendicular as retas r1 e r2.
12. Dados A = (0, 2, 1), r : (x, y, z) = (0, 2,−2) + t(1,−1, 2), ache os pontos de r que
distam√3 de A. A distancia do ponto A a reta r e maior, menor ou igual a
√3?
Por que?
13. Dada a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 0)+t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1),
ache o ponto da reta r que esta equidistante de A e de B.
219
14. Encontre a equacao do lugar geometrico dos pontos equidistantes de A = (1,−1, 2)
e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto medio de AB? Ele e perpendicular ao
segmento AB?
15. Considere as retas (x, y, z) = t(1, 2,−3) e (x, y, z) = (0, 1, 2)+ s(2, 4,−6). Encontre
a equacao geral do plano que contem estas duas retas.
16. Ache as equacoes dos planos em IR3 (espaco tridimensional) ortogonais ao vetor
(2, 2, 2), que distam√3 do ponto (1, 1, 1).
17. Obtenha uma equacao geral do plano π, que contem a reta r :
{x− 2y + 2z = 0
3x− 5y + 7z = 0
e forma com o plano π1 : x+ z = 0 um angulo de 60o.
18. Prove que o lugar geometrico dos pontos do espaco que equidistam de dois pontos
distintos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) e um plano que passa pelo ponto medio
do segmento AB e e perpendicular a ele. Este plano e chamado de plano mediador
do segmento AB.
19. Mostre que a distancia de um ponto P0 = (x0, y0, z0) a um plano π : ax+by+cz+d =
0 e d(P0, π) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2.
∗ ∗ ∗
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