introducci on a errores experimentales 1. introducci on · laboratorios de f sica unah ejemplos...

Laboratorios de Fısica UNAH

Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Facultad de CienciasEscuela de Fısica

Introduccion a Errores Experimentales

Elaborado por: Jorge A. Perez y Roger J. Raudales

1. Introduccion

Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecision inevitable, debida a lasimperfecciones del aparato de medida, o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrarla informacion. El principal objetivo de la denominada teorıa de errores consiste en acotar el valor de dichasimprecisiones, denominadas errores experimentales. Dado que el valor de las magnitudes fısicas se obtieneexperimentalmente por la medicion (bien directa de la magnitud o indirecta, por medio de los valores medidosde otras magnitudes ligadas con el problema mediante una formula fısica), debe admitirse como postuladofısico el hecho de que resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que losmedios experimentales de comparacion con el patron correspondiente en las medidas directas viene siempreafectado de imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es imposible encontrar en la practica el valor“cierto” o “exacto” de una magnitud determinada, no hay duda de que este existe, y nuestro problema esestablecer los lımites dentro de los cuales se encuentra dicho valor.

2. Concepto de medicion y error

Medicion: Es un proceso basico de la ciencia que consiste en comparar un patron seleccionado con elobjeto o fenomeno cuya magnitud fısica se desea medir para ver cuantas veces el patron esta contenidoen esa magnitud. En fısica, podemos clasificar las mediciones como directas e indirectas.

• Medicion directa: Una medicion directa es aquella que realizamos utilizando un instrumentodisenado, construido y calibrado para cuantificar apropiadamente la cantidad que nos interesa.

• Medicion indirecta: Una medicion indirecta es aquella en la cual la magnitud a medir en realidadse calcula mediante una relacion matematica.

Error: Es la diferencia que existe entre el valor verdadero de una magnitud fısica y el valor obtenidoexperimentalmente. Estos errores los podemos clasificar como sigue:

• Errores Sistematicos:

◦ Error Instrumental:Es el error asociado al instrumento de medicion. Por ejemplo errores en la calibracion delinstrumento.

◦ Error Personal:Se asocia a limitaciones que pueda tener el experimentador al momento de realizar medicionescon los distintos instrumentos.

◦ Error de Eleccion del Metodo:Es una mala eleccion del metodo o del instrumento de medicion para registrar una magnitudfısica.

• Errores Accidentales:Estos errores son basicamente variaciones que se pueden dar en mediciones sucesivas realizadaspor un mismo experimentador. Estas variaciones son aleatorias y no estan en el control del expe-rimentador.

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Estos errores usualmente son pequenos en magnitud (comparados usualmente a errores sistemati-cos). Una gran cantidad de mediciones sucesivas, produce desviaciones mayores o menores al valorcentral.Con este tipo de errores se utilizan metodos estadısticos para poder obtener valores mas acordesal valor real de la magnitud, obteniendo conclusiones acertadas sobre el experimento.

3. Exactitud, precision y sensibilidad

Exactitud: Es el grado de concordancia entre el valor verdadero o “aceptado”. Podemos decir que unexperimento o un instrumento es exacto, si sus resultados son muy proximos al valor real.

Precision: Es la concordancia que existe entre mediciones reiteradas de la misma magnitud fısica encondiciones similares.

Sensibilidad: Es el valor mınimo que se puede medir con ese instrumento. Es habitual que la sensibi-lidad de un instrumento se indique con el valor de la medicion mas pequena de la escala.

Podemos afirmar que si un instrumento es exacto, este tambien es preciso, pero no es posible garantizar quesi un instrumento es preciso este es exacto.

En las dianas de la figura 1 se ilustran los conceptos de precision y exactitud. En 1a, los lanzamientosfueron consistentes en torno a un area especıfica de la diana, por lo cual se dice que se tuvo alta precision allanzar los dardos; sin embargo, ninguna acerto al blanco, por lo cual la exactitud es baja. En 1b, podemosobservar un caso de alta precision y alta exactitud, ya que todos los dardos acertaron en el blanco. En 1c seilustra un caso de alta exactitud (ya que todos los dardos cayeron cerca del blanco), pero baja exactitud (notodos los dardos cayeron en el blanco); y en 1d se observa un caso de baja precision y baja exactitud.De lo anterior podemos concluir que en un procedimiento experimental, lo mas deseable es lo que se ilustraen 1b y lo menos deseable es lo que sucede en 1d.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 1. Apreciacion grafica de los conceptos de precision y exactitud.

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4. Valor central y representaciones de incertidumbres

A partir de los conceptos vistos anteriormente, podemos decir que una medicion nos arroja un intervalode valores donde confiamos se encuentra el valor real de alguna cantidad fısica que se pretenda medir. Dentrode este intervalo de valores, hay uno que se puede proponer como el mas representativo de la medicion porser el que tiene mayor probabilidad de acercarse al valor real. A este valor se le conoce como el valor centralde la medicion. Si se midio una cantidad fısica x, su valor central se representa como x.

Alrededor del valor central, hay una cantidad que determina los lımites del intervalo de valores donde con-fiamos esta el valor real de la medicion. A esta cantidad se le denomina error absoluto (o incertidumbreabsoluta) de la medicion. Si se midio una cantidad fısica x, su incertidumbre absoluta se representa como∆x.

Figura 2. Representacion de una medicion de forma grafica. Al realizar una medicion, podemos estimar queel valor verdadero de la misma se encuentra acotado en un intervalo, y dicho valor tiende a ser igual al valor

central.

Es de mucha importancia resaltar que para considerar que una medicion experimental de una cantidad fısicase hizo correctamente, la incertidumbre absoluta debera ser mucho menor que el valor central, esdecir:

|∆x| << |x|

Al considerar las figuras 1 y 2, nos damos cuenta de que si la incertidumbre absoluta es demasiado elevada,el procedimiento experimental carece de precision y exactitud, y, en consecuencia, los resultados obtenidosno arrojarıan conclusiones solidas sobre un fenomeno fısico dado.Otra consideracion importante a tomar en cuenta es que la incertidumbre absoluta como valor numericosiempre sera positiva y tendra las mismas unidades del valor central, ya que representa un inter-valo de incertidumbre respecto de donde recae el valor real de una medicion.

En muchos casos, resulta de interes estudiar la relacion entre el error absoluto respecto del valor centralasociado a una medicion experimental. A dicha relacion la llamamos error relativo (o incertidumbre relativa),es adimensional y se define como sigue:

Ir =∆x

x(1)

Si multiplicamos el error relativo por 100 %, obtenemos el error porcentual (o incertidumbre porcentual) (Ip),el cual nos da una relacion porcentual entre el error absoluto y el valor central.

En general, la incertidumbre absoluta en mediciones de cantidades fısicas se relaciona con el nivel deprecision que hay en dichas mediciones. Las incertidumbres relativa o porcentual establecen de forma com-parativa dicha precision. Es ası que, cuanto mas baja es la incertidumbre porcentual de una medicion, masalta es la precision del experimento.

5. Cifras significativas

Las cifras significativas son aquellas que estan medidas con precision, segun el instrumento, o tambiensegun calculos realizados a partir de mediciones directas. Para saber cuantas cifras se pueden utilizar en unresultado, se pueden utilizar las siguientes reglas:

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Los ceros a la izquierda no son significativos, esto se debe a que los ceros a la izquierda no anadenprecision a la medicion, solo sirven para establecer la posicion del punto decimal. Para contar las cifrassignificativas, se parte del primer dıgito distinto de cero y se cuentan todos los dıgitos a partir de este.

Los ceros a la derecha sı son significativos. Se debe tener la precaucion de escribir los ceros a la derechasi y solo si estos son parte de una verdadera medicion.

En muchas ocasiones resulta mas practico utilizar la notacion exponencial para expresar resultados, utilizan-do potencias de base diez.

Ejemplos

Ejemplo 1. Determinar la cantidad de cifras significativas en:

0.000000013

130

Solucion:Para el primer valor notamos que tiene solamente dos cifras significativas.Si expresamos el valor utilizando la notacion exponencial, el resultado serıa el siguiente:

1.3× 10−8

En el segundo caso contamos tres cifras significativas y no vemos necesidad de utilizar notacion exponencial,pero si se quisiera utilizar el resultado serıa ası:

1.30× 102

Ejemplo 2. ¿Que diferencia existe entre los resultados 1kg y 1.000kg? ¿Que medicion es mas precisa?

Solucion: La diferencia es la cantidad de cifras en las que se expresa la medicion. La primera medicionnos indica que el instrumento tenıa una sensibilidad en kilogramos y la segunda medicion fue realizada conun instrumento con sensibilidad en gramos. La segunda medicion fue mas precisa, mil veces mas precisa paraser exactos.

6. Publicacion de resultados experimentales

Al indicar el resultado experimental de la medicion de una magnitud debemos indicar tanto el valor centralcomo el grado de incertidumbre de la misma, ası como las unidades de la cantidad medida. Esto se denotade la siguiente manera:

x = (x±∆x)unidades (2)

Tambien es necesario tomar en cuenta la cantidad de cifras significativas al momento de denotar una medi-cion. Esto se logra respetando las siguientes convenciones:

1. El error absoluto debera contener unicamente una cifra significativa.

2. El error absoluto predispone cuantas cifras antes o despues del punto decimal debe contener el valorcentral.

En el caso de denotar mediciones de cantidades muy grandes o muy pequenas, es conveniente escribirlassiguiendo el mismo esquema explicado anteriormente, seguido del orden de la cantidad en terminos de notacionexponencial cientıfica.

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Ejemplos

Ejemplo 1. En una medicion experimental de muy alta precision de una longitud x se obtuvo que su va-lor central es 1.234345 cm y su incertidumbre absoluta es 0.06789 cm. Denote el resultado de forma adecuada.

Solucion:Observese que la incertidumbre dada posee cuatro cifras significativas. Considerando la primera regla deredondeo, tenemos que la incertidumbre es:

∆x = 0.07 cm

Ahora, para que se cumpla la segunda regla de redondeo, tendrıamos que el valor central es:

x = 1.23 cm

Ası, la forma correcta de denotar el resultado obtenido serıa:

x = (1.23± 0.07) cm

Ejemplo 2. Considere las siguientes dos mediciones realizadas en un laboratorio de alta precision:

Cantidad medida Valor central Incertidumbre absolutaMasa (m) 1842365952 kg 528314723 kg

Longitud (x) 0.00000009237 m 0.00000000057 m

Reexpreselas de forma adecuada.

Solucion:Observemos que el valor central y la incertidumbre absoluta de la masa medida son valores bastante grandes.Al reexpresarlos en notacion cientıfica, tenemos que

m = 1.842365952× 109 kg ∆m = 5.28314723× 108 kg

Al considerar la primera regla de redondeo, tenemos que

∆m = 5× 108 kg

Sin embargo, al observar el valor central de m, podemos darnos cuenta que no hay concordancia en el orden deambas cantidades (el valor central esta en un orden mayor que la incertidumbre), por lo cual sera necesario, obien disminuir el orden de magnitud del valor central, o aumentar el orden de magnitud de la incertidumbre.Aumentando el orden de la incertidumbre, tenemos que:

∆m = 0.5× 109 kg

Ahora que concuerdan los ordenes de magnitud, podemos aplicar la segunda regla de redondeo, obteniendocomo valor central:

m = 1.8× 109 kg

Finalmente, la forma mas adecuada de expresar el resultado obtenido serıa:

m = (1.8± 0.5)× 109 kg

Observese que el orden de magnitud esta fuera de los valores encerrados en parentesis, ya que es comun tantopara el valor central como para la incertidumbre.Al tomar en cuenta las mismas consideraciones previas, para la longitud tendrıamos que una forma adecuadade expresarla serıa:

x = (924± 6)× 10−10 m

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7. Determinacion de errores en mediciones directas

Como se ha mencionado previamente, al realizar una medicion debemos indicar una estimacion del errorasociado a la misma, ya que no conocemos con certeza el valor verdadero, lo que conocemos es un rangodonde se puede ubicar ese valor. Ası, por ejemplo, para poder realizar la estimacion del error al realizar unasola medicion directa, consideraremos que el valor central (x) es el valor medido directamente, y que elerror (∆x) coincide con la sensibilidad del instrumento.Al realizar mediciones directas, se pueden suscitar situaciones en las cuales la sensibilidad del instrumentode medicion resulta ser insuficiente para poder obtener un valor central que concuerde con el valor real de lamedicion de una cantidad fısica. De ser ese el caso, lo ideal serıa hacer uso de otro instrumento de medicionde mayor sensibilidad; sin embargo, en muchas ocasiones resulta muy difıcil (o imposible) poder conseguiresa clase de instrumentos, por lo cual resulta necesario aplicar criterios para la publicacion de un resultadoexperimental.

Ejemplo

Se mide la longitud x de una varilla por medio de una cinta metrica graduada en centımetros, como seobserva en la figura 3. A partir de lo observado, escriba la medicion obtenida de forma adecuada.

Figura 3. Medicion directa de una varilla.

De lo que se observa en la figura 3, se puede decir que la varilla tiene una longitud de aproximadamente 4cm. Sin embargo, al ampliar el rango de vision, nos damos cuenta que el valor verdadero de longitud de lavarilla recae en un punto que no se puede cuantificar mediante el instrumento de medicion disponible, por locual, para obtener el valor central de la longitud de la varilla, se necesita aplicar un criterio consensuado quecontemple que hacer con la medicion en este caso (ya que no serıa correcto decir que su valor central recaeen 4.05 o 4.06 cm, debido a que el instrumento de medicion no posee la sensibilidad suficiente para podermedir centesimas de centımetro.). Un ejemplo del uso de un criterio consensuado, serıa observar que la varillatiene su extremo derecho mas cercano al valor de 4.1 cm en el instrumento de medicion, por lo que podemosafirmar que la medicion quedarıa expresada como

x = (4.1± 0.1) cm

De haber obtenido que dicho extremo es mas cercano a la escala de 4 cm, la medicion hubiese quedadoexpresada como

x = (4.0± 0.1) cm

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8. Propagacion de errores

8.1. Maxima incertidumbre posible

El fundamento basico de la teorıa de propagacion de errores establece que cualquier medida indirec-ta deberıa expresarse proporcionando el maximo intervalo de incertidumbre posible que se puede obtenercombinando las incertidumbres de las medidas originales involucradas. La incertidumbre maxima posible es-perada sera la mitad de la diferencia del valor maximo y mınimo de la medicion obtenida indirectamente.Matematicamente, para la medicion de una cantidad x esto se expresa como:

∆x =xmax − xmin

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Ejemplos

Ejemplo 1. El volumen de un cilindro hueco puede calcularse mediante la expresion:

V =π

4h(D2 − d2)

Si h, D y d se han medido de forma directa, de manera que:

h = (12.1± 0.3) cm

D = (5.3± 0.6) cm

d = (2.8± 0.1) cm

calcule el volumen del cilindro, ası como su incertidumbre absoluta.

Solucion:El valor central de V depende de los valores centrales de las cantidades medidas directamente; en este caso,de los valores centrales de h, D y d. Con esto, tenemos que:

V =π

4h(D2 − d2)

Reemplazando los valores centrales de los datos dados, tenemos que:

V =π

4(12.1)(5.32 − 2.82) = 192.442185 cm3

Los valores maximos y mınimos dependen de los valores centrales e incertidumbres de las cantidades medidasdirectamente. Con esto, tenemos que para cada medicion directa hay un valor maximo y un valor mınimo,dado de la siguiente manera:

qmax = q + ∆q qmin = q −∆q

donde q representa cualquiera de los tres valores medidos directamente de los cuales depende V .Ası, el valor maximo de V esta dado por:

Vmax =π

4hmax(D2

max − d2min) =π

4(12.1 + 0.3)[(5.3 + 0.6)2 − (2.8− 0.1)2]

Vmax = 268.0155525 cm3

Observese que para que V sea maximo en la ecuacion anterior, es necesario que d sea mınimo, mientras lasotras cantidades sean maximas. De la misma manera, para que V sea mınimo en la siguiente ecuacion, esnecesario que d sea maximo, mientras los otros valores sean mınimos. Como resultado, el valor mınimo de Vqueda:

Vmin =π

4hmin(D2

min − d2max) =π

4(12.1− 0.3)[(5.3− 0.6)2 − (2.8 + 0.1)2]

Vmin = 126.7821131 cm3

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Con los resultados obtenidos, tenemos que la incertidumbre absoluta de V esta dada por:

∆V =268.0155525− 126.7821131

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∆V = 70.6167197 cm3

Aplicando las reglas de redondeo, tenemos que:

∆V = 7× 101 cm3 V = 19× 101 cm3

Obteniendo como resultado:V = (19± 7)× 101 cm3

Ejemplo 2. La constante elastica k para un resorte helicoidal cilındrico esta dada en terminos de susdimensiones y el material del que esta hecho por:

k =Gd4

8nD3

donde d es el diametro del alambre, D es el diametro medio, n es el numero de vueltas del resorte y G es elmodulo de elasticidad del material del alambre. Calcule k a partir de los siguientes datos:

d = (0.0890± 0.0005) cm D = (1.110± 0.005) cmn = 115 vueltas G = (79± 3)× 104 N/cm2

Solucion:El valor central de k estarıa dado por:

k =Gd4

8nD3

Reemplazando los valores centrales de los datos dados, tenemos que:

k =(79× 104)(0.0890)4

8(115)(1.110)3

k = 0.039394 N/cm

El valor maximo de k esta dado por:

kmax =Gmaxd

4max

8nD3min

=(82× 104)(0.0895)4

8(115)(1.105)3

kmax = 0.04238686847 N/cm

Observese que para que k sea maxima en la ecuacion anterior, es necesario que el numerador de la expresionsea mınimo, mientras que el denominador sea maximo. Se cumple lo contrario para la k mınima:

kmin =Gmind

4min

8nD3max

=(76× 104)(0.0885)4

8(115)(1.115)3

kmax = 0.03655731118 N/cm

Con los resultados obtenidos, tenemos que la incertidumbre absoluta de k esta dada por:

∆k =0.04238686847− 0.03655731118

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∆k = 0.002914778643 N/cm


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∆k = 0.003 N/cm k = 0.039 N/cm

Obteniendo como resultado:k = (0.039± 0.003) N/cm

8.2. Errores sistematicos

Aplicando el concepto de maxima incertidumbre posible, se pueden deducir las siguientes reglas para elcalculo de errores sistematicos en casos especiales:

1. Al tener una cantidad q que depende de la suma o resta de dos cantidades medidas x y y(q = x+ y o q = x− y).El valor central queda expresado en la forma q = x+ y o q = x− y, segun sea el caso. El error sistematicode q queda expresado en la forma δq = ∆x + ∆y. independientemente de si q depende de unasuma o una resta de dos cantidades medidas.

2. Al tener una cantidad q que depende de cantidades medidas expresadas en la forma

q =kxayb

zc, con a, b, c y k constantes.

El valor central queda expresado en la forma q =k(x)a(y)b

(z)c. El error sistematico de q queda expresado

en la forma δq ≈ q[a(∆x

x

)+ b(∆y

y

)+ c(∆z

z

)].

Es importante resaltar que ambas reglas parten de una deduccion con base en calculo diferencial, lo cualimplica que su rango de aplicacion se limita a fenomenos fısicos cuantificables de forma infinitesimal.

Ejemplo:

Calcule de nuevo la incertidumbre del ejemplo 2 de la seccion 8.1 de la guıa, ahora haciendo uso de lapropagacion de errores sistematicos.

Solucion:De acuerdo con la regla 2 para el calculo de errores sistematicos, la incertidumbre absoluta de k se puedeexpresar como:

δk ≈ k[(∆G

G

)+ 4(∆d

d

)+ 3(∆D

D

)]Notara que la incertidumbre de n no aparece en la ecuacion, ya que n no tiene una incertidumbre registradaexperimentalmente.Reemplazando valores centrales e incertidumbres, tenemos que:

δk ≈ (0.039394)[( 3× 104

79× 104

)+ 4(0.0005

0.0890

)+ 3(0.005

1.110

)]δk = ∆k ≈ 0.002913584462N/cm


∆k ≈ 0.003 N/cm k = 0.039 N/cm

Obteniendo como resultado:k = (0.039± 0.003) N/cm

Notese que para este ejemplo, el error sistematico es equivalente a la incertidumbre absoluta de la medicionde k. Esto es debido a que no hay introduccion de incertidumbre dada por otros parametros asociados alexperimento (como por mediciones reiteradas).

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9. Error estadıstico

Si tenemos un conjunto de N mediciones (directas o indirectas) de una misma magnitud, podemoscalcular un valor central y su respectiva incertidumbre por medio de analisis estadıstico. El valor central paraun conjunto de mediciones reiteradas de una misma magnitud esta dado por:

x =

N∑i=1

xi

N(3)

esto es, la suma de todas las mediciones realizadas, divididas entre la cantidad de mediciones.La incertidumbre estadıstica esta dada por la magnitud absoluta de la diferencia entre cada uno de los valoresmedidos y el valor central (o promedio de todas las mediciones). Matematicamente se puede expresar como:

∆x =

N∑i=1

|xi − x|

N(4)

Ejemplo

Se tienen las siguientes mediciones directas:

Longitud (x) x1 x2 x3 x4 x5(µm) 67.6 67.8 68.2 67.2 66.7

Determine el valor de x.

Solucion:Se puede afirmar que los datos descritos anteriormente son mediciones reiteradas de una misma cantidad, yaque no presentan un orden creciente o decreciente, sino que son valores cercanos entre sı; por lo tanto, pode-mos aplicar analisis estadıstico para obtener el valor central y la incertidumbre asociadas a estas cantidadesmedidas. A partir de la teorıa, tenemos que el valor central esta dado por:

x =67.6 + 67.8 + 68.2 + 67.2 + 66.7

5

x = 67.5 µm

y el error estadıstico esta dado por:

σx =|67.6− 67.5|+ |67.8− 67.5|+ |68.2− 67.5|+ |67.2− 67.5|+ |66.7− 67.5|

5

σx =|0.1|+ |0.3|+ |0.7|+ | − 0.3|+ | − 0.8|

5

σx =0.1 + 0.3 + 0.7 + 0.3 + 0.8

5

σx = ∆x = 0.44 µm

Considerando las reglas de redondeo, el resultado final queda:

x = (67.5± 0.4) µm

Al igual que para el ejemplo sobre errores sistematicos, para este ejemplo el error estadıstico es equivalentea la incertidumbre absoluta de la medicion de x. Esto es debido a que no se considera introduccion de errorpor parte de otros factores (como las condiciones del equipo utilizado para la toma de datos).

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10. Criterio de error absoluto para mediciones reiteradas

Al analizar un conjunto de mediciones reiteradas de una misma magnitud fısica, lo ideal es considerarque pueden existir errores sistematicos y estadısticos asociados a la medicion de dicha cantidad. Para esto,se puede definir un error absoluto de la forma:

∆x =√δ2x + σ2

x (5)

Donde ∆x es el error absoluto de la medicion, δx es el termino del error sistematico y σx es el termino delerror estadıstico.Es importante resaltar que no en todas las mediciones van a existir ambos tipos de error (sistematico yestadıstico), o bien podrıan haber casos donde alguna de las incertidumbres sea despreciable, por lo cualel establecimiento del error absoluto queda a criterio del investigador y del contexto en que se realiza laexperimentacion.

Ejemplo

Determine el valor de x y la incertidumbre absoluta del ejemplo de la seccion 9 de la guıa, si se consideraque el instrumento de medicion con el que se midieron los datos tiene una sensibilidad de 0.1 µm.

Solucion:Ya se habıa obtenido que

x = 67.5 µm σx = 0.44 µm

Al ser mediciones directas, sabemos que la sensibilidad del instrumento de medicion es el error instrumentaldel conjunto de mediciones. Esto serıa equivalente al error sistematico de dicho conjunto, por lo cual

δx = 0.1 µm

Calculando la incertidumbre absoluta, tenemos que:

∆x =√

0.442 + 0.12 = 0.451 µm

Reexpresando la medicion de forma adecuada, tenemos que

x = (67.5± 0.5)µm

11. Discrepancia y comparacion con valores teoricos

11.1. Discrepancia

Se dice que hay discrepancia entre dos mediciones si estas difieren entre sı de manera sustancial. Defini-remos matematicamente a la discrepancia como la diferencia absoluta entre dos mediciones de una mismacantidad.La discrepancia puede llegar a ser significativa o no, segun sea el comportamiento de los datos experimentalesobtenidos. Al analizar la figura 4a, podemos darnos cuenta que la discrepancia es significativa, ya que losvalores medidos no son compatibles entre sı de ninguna manera. Una de las mediciones (o bien, ambas) estanerradas y es necesaria una revision de los datos y el procedimiento experimental ejecutado para ver que erro-res se pudieron haber cometido. En la figura 4b, la discrepancia no es significativa, ya que los intervalos deincertidumbre de ambas mediciones se traslapan, por lo cual ambas mediciones pueden ser correctas.

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Figura 4. Ejemplos de discrepancia entre dos mediciones.

11.2. Comparacion con valores teoricos

Es importante reconocer que concluir a partir del resultado de una sola medicion es de absolutamentepoco interes. Una conclusion relevante parte de la comparacion de dos o mas resultados: una medicion con elvalor verdadero, una medicion con un valor teorico propuesto, o muchas mediciones, para mostrar que hayconcordancia entre los resultados de dichas mediciones y una ley fısica.Matematematicamente, esta comparacion se realiza de la siguiente manera:

%ε =|qteorico − qexperimental|

qteorico× 100 %

Esta comparacion representa de manera cuantitativa el nivel de dispersion en la exactitud que tiene unresultado experimental. Ası, entre mas alta es la dispersion, se dice que el resultado tiende a ser menosexacto (es decir, menos cercano al valor verdadero o aceptado de una cantidad fısica) y viceversa.

Ejemplo

Se realizaron tres mediciones de la velocidad del sonido en el aire en un laboratorio. Una medicion A diocomo resultado (329±5) m/s, la medicion B dio como resultado (325±5) m/s, y la medicion C dio (345±2)m/s. Estime cual de las medidas es la mas exacta, si el valor teorico aceptado de la velocidad del sonido enel aire es de 331 m/s.

Solucion:Para la medicion A:

%εA =|331− 329|

331× 100 % = 0.60 %

Para la medicion B:

%εB =|331− 325|

331× 100 % = 1.81 %

Para la medicion C:

%εC =|331− 345|

331× 100 % = 4.23 %

A partir de los resultados obtenidos, se concluye que el valor mas consistente es el obtenido a partir de lamedicion A, lo cual implica que es el mas exacto (ya que se acerca mas al valor teorico aceptado).

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12. Ajuste de datos

12.1. Linealizacion de funciones

La linealizacion se refiere al proceso matematico de encontrar una aproximacion lineal a una funcion.Esto implica expresar una funcion no lineal de cualquier clase en terminos de una funcion lineal de la formay = ax+ b.

Ejemplos

Ejemplo 1. Sea la funcion

x =y − ba

Los valores x y y fueron obtenidos a partir de un procedimiento experimental. Linealice la funcion, de maneraque a sea la pendiente de la nueva funcion.

Solucion: Una forma de linealizar la funcion, es enviando a multiplicar el denominador del lado derechode la ecuacion por lo del lado izquierdo de la misma:

ax = y − b

Finalmente, al pasar b a sumar al otro lado de la ecuacion, ya tenemos nuestra funcion linealizada.

Ejemplo 2. Sea la funcionu(v) = A sen(kv − φ)

en la cual el argumento senoidal esta acotado a un conjunto de valores especıficos y 1 ≤ A ≤ u. Linealice lafuncion, de manera que k sea la pendiente de la nueva funcion, y que quede evidenciada la interdependenciaentre las variables u y v.

Solucion:Empezaremos despejando para la funcion seno (ya que en su argumento esta contenida la variable k, quesera la nueva pendiente), obteniendo como resultado

u

A= sen(kv − φ)

Podemos calcular el arcoseno a ambos lados de la ecuacion, ya que el argumento senoidal esta acotado; conesto tenemos:

sen−1( uA

)= sen−1(sen(kv − φ))

sen−1( uA

)= kv − φ

De esta manera hemos linealizado la funcion. Es relativamente sencillo notar que, en terminos de una funcion

de la forma y = ax+ b, para la funcion que acabamos de linealizar y = sen−1( uA

), x = v, a = k y b = −φ.

Ademas, queda evidenciada la interdependencia entre las variables u y v, ya que en la linealizacion se hanordenado de manera que u continua siendo dependiente de v y viceversa (de la misma manera en que ydepende de x y viceversa en una funcion lineal).

Ejemplo 3. Un capacitor es un elemento electrico capaz de “almacenar” voltaje VT a medida que transcurreel tiempo. Al desconectarlo de la alimentacion, el voltaje almacenado disminuye a medida que transcurre eltiempo mediante la funcion

V (t) = VT e−t/τ

Suponga que en un procedimiento experimental, usted midio los valores de voltaje V (t) y tiempo t, y queademas, conocıa la magnitud de VT . Linealice la funcion, de manera que la pendiente sea τ .1

1τ es la constante de carga y descarga de un capacitor. Establece el tiempo en que un capacitor se carga o descarga en un67%

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Solucion:Partiremos dejando “solo” el termino que contiene a τ . Para esto, VT pasa a dividir al lado izquierdo de laecuacion, obteniendo:

V (t)

VT= e−t/τ

Calculando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuacion, tenemos:

ln(V (t)

VT

)= ln(e−t/τ )

ln(V (t)

VT

)=−tτ

Finalmente, pasando τ al lado izquierdo de la ecuacion:

−t = τ ln(V (t)

VT

)En analogıa a la forma basica de una funcion lineal (y = ax+ b), podemos notar que y = −t, x = ln

(V (t)

VT

),

a = τ y b = 0, por lo cual vemos que la funcion ha quedado linealizada.

12.2. Regresion lineal

La regresion lineal es una tecnica numerica en la que dados un conjunto de pares ordenados (variableindependiente y variable dependiente), se intenta encontrar una funcion lineal continua que mejor se aproximeal comportamiento de los datos.Mediante la regresion lineal, buscamos construir una funcion de ajuste con la forma y= ax+b. El metodonos permite calcular los valores de los parametros a y b con sus errores absolutos. Los pares ordenados,representados por x y y, son un conjunto de mediciones obtenidas experimentalmente, sea de manera directao indirecta.Es importante hacer notar que no todo arreglo de datos se puede describir de forma lineal, por lo que previo arealizar un proceso de regresion lineal, es necesario comprobar que los pares ordenados de datos experimentalesrecopilados se comporten graficamente de forma lineal con base en un modelo matematico dado a partir deuna linealizacion.

12.2.1. Resumen de formulas

a =N∑xiyi −

∑xi∑yi

N∑x2i −

(∑xi)2 b =

∑x2i∑yi −

∑xi∑xiyi

N∑x2i −

(∑xi)2

Para calcular las incertidumbres, primero calculamos el factor Sy, definido como sigue:

Sy =

√∑[f(xi)− yi]2N − 2

donde f(xi) = axi + b, a y b obtenidos previamente.

Para calcular los errores de los parametros a y b utilizamos las siguientes ecuaciones:

∆a = Sy

√N

N∑x2i −

(∑xi)2 ∆b = Sy

√ ∑x2i

N∑x2i −

(∑xi)2

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La correlacion permite verificar de forma cuantitativa la relacion que hay entre los puntos que represen-tan datos experimentales y un modelo lineal asociado a dichos puntos. La correlacion puede tener valoresentre -1 (si la pendiente del modelo es negativa) y 1 (si la pendiente del modelo es positiva), y entre mascercana se encuentre a dichos valores, se puede decir que hay mayor correlacion entre los datos experimentalesy su respectivo modelo lineal.

r =N∑xiyi −

∑xi∑yi√

N∑x2i −

(∑xi)2√

N∑y2i −

(∑yi)2

Ejemplo

A un resorte de masa despreciable que obedece a la ley de Hooke, se le cuelgan diferentes masas, las cualesprovocan diferentes elongaciones del resorte, como se describen en la siguiente tabla:

Longitud l (m) 0.420 0.484 0.513 0.563 0.586Masa m (kg) 2 4 6 8 10

Asumiendo que la aceleracion de la gravedad es 9.8 m/s2 y que la fuerza necesaria para estirar el resorteesta dada por mg = k(l − l0):

1. Linealice la funcion.

2. Mediante regresion lineal, calcule la pendiente, el intercepto y las incertidumbres asociados a los datosmedidos experimentalmente. Ademas, calcule la correlacion entre la recta de ajuste y dichos datos.Concluya con respecto al resultado de correlacion obtenido.

3. A partir de los valores de a, b, ∆a y ∆b obtenidos en el inciso anterior, calcule la constante elastica deresorte k y la longitud del resorte sin estirar l0 y sus respectivas incertidumbres.

Figura 5. Comportamiento grafico de los datos medidos experimentalmente.

Solucion:1. Como se pretende hallar el valor de k en el inciso 2, resulta conveniente pasarla al lado izquierdo de laecuacion a dividir, para que esta forma parte de la pendiente de la funcion de ajuste, y los valores de m seanequivalentes a los valores de x en una funcion lineal. Con esto obtenemos

mg

k= l − l0

Al pasar a sumar l0, ya tendrıamos la funcion linealizada:

l =mg

k+ l0

con x = m, y = l,a = g/k y b = l0.

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2. Tras comprobar que los pares de datos se comportan de manera lineal conforme al modelo deducidoen el inciso 1 (figura 5), se realiza el proceso de regresion lineal, considerando que x = m y y = l. Para podercalcular la pendiente a y el intercepto b, se hace uso de una tabla para agrupar los calculos a realizar:

i xi yi x2i xiyi

1 2 0.420 4 0.840

2 4 0.484 16 1.936

3 6 0.513 36 3.078

4 8 0.563 64 4.504

5 10 0.586 100 5.860∑30 2.566 220 16.218

Observese que en la ultima fila de la tabla se calcularon las sumas de cada columna. Esos valores sonlos que debemos utilizar para calcular los parametros a y b. Ademas, observese que el valor de N a utilizaren las ecuaciones de regresion lineal corresponde a la cantidad de pares de datos analizados. Utilizando lasecuaciones mostradas previamente, procedemos a calcular los valores con sus respectivos errores:

a =5(16.218)− (30)(2.566)

5(220)− (30)2= 0.02055

b =(220)(2.566)− (30)(16.218)

5(220)− (30)2= 0.3899

Con estos parametros podemos construir la funcion f(x) = ax+ b, la cual queda de la forma:

f(x) = 0.021x+ 0.39

Al evaluar la funcion f(x), con los valores de xi de la tabla anterior, podemos encontrar las incertidumbresasociadas a la pendiente y al intercepto de la funcion de ajuste. Podemos agrupar dichos calculos en otra tabla:

i f(xi) f(xi)− yi [f(xi)− yi]2 y2i1 0.432 0.012 1.44× 10−4 0.17642 0.474 -0.010 1× 10−4 0.23433 0.516 0.003 0.09× 10−4 0.26324 0.558 -0.005 0.25× 10−4 0.32705 0.600 0.014 1.96× 10−4 0.3434∑

- - 4.74× 10−4 1.3443

Calculando Sy y las incertidumbres: Al realizar estos calculos obtenemos los resultados siguientes:

Sy =

√4.74× 10−4

5− 2= 0.0126

∆a = 0.0126

√5

5(220)− (30)2= 0.00199

∆b = 0.0126

√220

5(220)− (30)2= 0.013

Reexpresando de forma adecuada los resultados obtenidos:

a = 0.021± 0.002 b = 0.39± 0.01

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Finalmente, calculando la correlacion:

r =5(16.218)− (30)(2.566)√

5(220)− (30)2√

5(1.3443)− (2.566)2= 0.7848

Por la naturaleza de los modelos lineales empıricos a tratar en el estudio de la fısica, se consideran aceptablesporcentajes de correlacion de 80 % (-0.8 o 0.8, segun sea el caso) o mayores, por lo cual se concluye que elprocedimiento experimental puede ser mejorado para que los datos experimentales se ajusten mejor al modeloplanteado.

3. En el inciso 2, se hallaron los valores asociados al modelo lineal a partir de pares ordenados de datosobtenidos experimentalmente; sin embargo, aun queda pendiente encontrar los parametros fısicos requeridosdel procedimiento experimental (el valor de la constante elastica del resorte y la longitud sin estirar delresorte). Para poder encontrar dichos valores, hay que recordar que:

a =g

kb = l0

Para la primera ecuacion, a partir de la regresion lineal se determino el valor de a, ademas de que la aceleracionde la gravedad g fue suministrada como dato previamente, por lo que la unica incognita serıa la constante k,con lo cual tendrıamos que:

k =g

a=

9.8

0.021= 466.667 N/m

Para la segunda ecuacion, a partir de la regresion lineal se determino el valor de b, que en este caso resultaequivalente al valor de la longitud del resorte sin estirar, por lo que:

l0 = 0.39 m

Para la obtencion de las incertidumbres asociadas a k y l0 podemos hacer uso de la teorıa de propagacion deerrores. Podemos notar que k depende de a y g, por lo que su incertidumbre estarıa dada por

∆k ≈ k[(∆g

g

)+(∆a

a

)]Como en este caso el valor de g es una constante dada, podemos asumir que ∆g = 0, y ası tendrıamos que:

∆k ≈ k(∆a

a

)= 466.67

(0.002

0.021

)= 44.44 N/m

Como l0 = b, entonces ∆l0 = ∆b y:∆l0 = 0.01 m

Ası obtenemos finalmente:

k = (46.7± 4)× 101 N/m l0 = (0.39± 0.01) m

12.3. Lineamientos para construccion de graficas de ajustes lineales

La representacion grafica de los fenomenos fısicos a estudiar durante las practicas de laboratorio debeajustarse a los siguientes lineamientos:

De ser desarrolladas a mano, las graficas deben realizarse en papel milimetrado con los ejes bien trazados,indicando la magnitud fısica representada en las unidades en que ha sido medida. La ubicacion de dichainformacion puede ser al centro de cada eje o cerca de las flechas que indican continuacion de los mismos.El tıtulo de la grafica debe ser claro y conciso y debera ir ubicado en la parte superior de la misma.

La variable independiente del fenomeno estudiado debe ir representada en el eje de las abscisas (ejehorizontal) y la dependiente en el eje de las ordenadas (eje vertical).

Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rapida y sencilla. Estas se han de definirmediante intervalos (como 1 en 1, 5 en 5, etc.).

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Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y solo el citado intervalo.

Sobre los ejes solo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala (que hande quedar uniformemente espaciadas). Nunca se senalan los valores asociados a las medidas realizadas.

Los valores medidos se representan sobre la grafica por el punto correspondiente a sus dos coordenadas(punto experimental).

Las graficas de las funciones de ajuste han de ser lıneas rectas continuas que siguen la tendencia graficaque tienen los datos medidos experimentalmente.

Bajo ninguna circunstancia se deben graficar segmentos de recta que unan los puntos que representanlos datos experimentales.

Figura 6. Grafica en papel milimetrado que cumple con los lineamientos.

Ejemplo

Realice la grafica de los datos experimentales y la funcion de ajuste del ejemplo de la seccion 11.2, demanera que se ajuste a los lineamientos para construccion de graficas.

Solucion: Usualmente, junto con todo el proceso de regresion lineal se requiere un bosquejo grafico dedicho procedimiento. Para el caso del ejemplo de la seccion 11.2, este se representarıa como en la figura 7.

Figura 7. Representacion grafica adecuada del ejemplo de la seccion 11.2.

Referencias

[1] Suazo, M., Mediciones e Incertidumbres. UNAH.

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[2] Taylor, J. An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Phyisical Measurements,2da Edicion, University Science Books, Sausalito California.

[3] Labs for College Physics: Mechanics. 2da edicion. North Carolina State University PhysicsDepartment. http://www.webassign.net/labsgraceperiod/ncsulcpmech2/appendices/appendixB/

appendixB.html

[4] Flores, K. Informe de laboratorio: Ondas estacionarias en una cuerda tensa. UNAH, marzo de 2016.

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http://www.webassign.net/labsgraceperiod/ncsulcpmech2/appendices/appendixB/appendixB.html

http://www.webassign.net/labsgraceperiod/ncsulcpmech2/appendices/appendixB/appendixB.html

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