Introducción a la Topología combinatoria El teorema de los cuatro colores

Luís Román Boulais luisboulais@hotmail.com

Trabajo de Grado para Optar por el Título de Matemático

Director: Oscar Eduardo Gómez Rojas Matemático Fundación Universitaria Konrad Lorenz

Fundación Universitaria Konrad Lorenz Facultad de Matemáticas

10 de diciembre de 2008

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AGRADECIMIENTOS Deseo manifestar mi agradecimiento al profesor Oscar Gómez por todo el seguimiento y ayuda prestada. A mi esposa Andrea Sotomonte por toda la paciencia mostrada hacia mí mientras me dedicaba a hacer la investigación para este proyecto y por todo como nos amamos. De igual forma a la universidad Konrad Lorenz por toda la ayuda que me prestó.

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ABSTRACT

This work is an exploration of combinatorial topology, especially in the four color theorem which so far exists only shows the essence of which lies in the verification of the full potential through a computer program.

RESUMEN Este trabajo consiste en una exploración de la topología combinatoria, en especial en el teorema de los cuatro colores del cual hasta el momento solo existen demostraciones cuya esencia radica en la verificación de la totalidad de posibilidades mediante un programa de computador.

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ÍNDICE 1. Introducción -------------------------------------------- 5 2. Planteamiento ------------------------------------------- 6 2.1. La proyección ---------------------------------- 7 3. Historia ---------------------------------------------------- 8 3.1. Fechas destacables ----------------------------- 8 3.2. Personas importantes en esta tesis ----------- 9 4. Inicio de la Topología Combinatoria ------------------ 15 4.1. Mapeando Grafos ------------------------------- 19 4.2. Grafos de incidencia ---------------------------- 22 4.3. Consecuencias de esta fórmula ---------------- 26 4.4. Teorema de Kuratowski ------------------------ 27 4.5. Minimales Criminales --------------------------- 27 4.6. Construcción de conjuntos inevitables -------- 29 5. Demostración Fallida de Kempe ------------------------- 30 5.1 Aquí esta el fallo ---------------------------------- 34 6. El teorema de los 5 colores ------------------------------ 35 7. Cuatro colores no bastan en dimensión 3 --------------- 39 8. Otras figuras geométricas ------------------------------- 40 9. Bibliografía ----------------------------------------------- 42

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1. INTRODUCCIÓN

Según la disposición de aparición histórica se podrían ordenar las materias que se dedican al estudio del espacio así: geometría euclidiana, geometría proyectiva y el análisis situs o topología combinatoria. La primera es esencialmente métrica: se estudian todas las propiedades que implican medida o están de alguna manera relacionadas con ella. Considera equivalentes solo las figuras que coinciden al ser sobrepuestas. La segunda tiene en cuenta la idea de proyección, en ella son equivalentes figuras que son, mutuamente, una la proyección de la otra. No distingue, por ejemplo, una elipse de una parábola. Y por último la topología combinatoria que considera equivalentes aquellas figuras para las cuales se puede ir de una a otra mediante una deformación continua. En ella son equivalentes, por ejemplo, la circunferencia con cualquier curva simple cerrada. Un problema clásico de la topología combinatoria es el teorema de los cuatro colores, el cual afirma que cualquier mapa puede colorearse empleando solo cuatro colores, cumpliendo la condición de no quedar regiones vecinas con igual color. Hasta el momento solo existen demostraciones que se basan en la verificación exhaustiva de todas las posibilidades mediante un programa de computador.

Estas demostraciones emplean algunos de los resultados enunciados por Sir Alfred Bray Kempe quien logró una demostración que se tuvo por válida durante 10 años. Una vez corregido el error la demostración quedó sirviendo pero ya no para cuatro colores sino para cinco. Se incluye una discusión sobre la “demostración”, el error cometido, así como la demostración del teorema de los cinco colores. El tema es rico en ideas que por lo general son extrañas a otras áreas de la matemática, por mencionar un ejemplo: predominan sobremanera las propiedades cualitativas sobre las cuantitativas, estas ultimas acaso si aparecen.

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2. PLANTEAMIENTO

¿Bastan 4 colores para colorear un mapa geográfico plano, de modo que dos países con frontera común tengan diferente color? Antes de comenzar dicho planteamiento aclaremos unos cuantos conceptos básicos:

Figura 1

Un conjunto de puntos es conexo cuando dos puntos cualesquiera del conjunto se pueden unir por un arco de curva simple verificando que todos los puntos de dicha curva pertenecerán al conjunto. En nuestra discusión se entenderá que los mapas, y las regiones que los conforman, son conjuntos conexos, es decir, no se admite la figura 1: una región (un país) no puede estar “partido en dos” como en este caso el país E.

Figura 2 De igual forma no se consideran adyacentes dos regiones que se tocan sólo en un punto (figura 2).

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Es un problema topológico: no importa la forma de las regiones, sino como están colocadas unas respecto a otras.

Figura 3

Aunque vivimos en una “esfera” esta se puede proyectar estereográficamente en un mapa de dos dimensiones, como observamos en la figura 3.

La proyección estereográfica es considerar que el foco de luz que esté en el polo norte y esta luz se proyecte sobre un plano. El rasgo más característico es que la escala aumenta a medida que nos alejamos del centro.

2.1. La Proyección Paso de poliedros a mapas: se infla el poliedro sobre una esfera, se proyecta estereográficamente y se tiene el poliedro proyectado sobre el plano.

Cubo Cubo esférico Proyección del cubo Mapa

Figura 4

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3. HISTORIA:

3.1 Fechas Destacables:

AÑO AUTOR HECHO 1852 Francis Guthrie Plantea el problema a su hermano

Frederick y éste a Augustus de Morgan. 1878 Arthur Cayley Publica el enunciado de la conjetura 1879 Sir Alfred Bray

KempePublica su “demostración”.

1890 Percy Heawood Descubre un error insalvable en la demostración de Kempe.

1913 George Birkhoff Formula la noción de configuración reducible.

1960 Heinrich Heesch Método de descarga. 1969 Heinrich Heesch Avanza en reducibilidad y obtención de

conjuntos inevitables de configuraciones. 1976 Ken Appel y

Wolfgang Haken Prueban con ayuda de un ordenador que sus 1.482 configuraciones son reducibles (50 días de cálculo).

1996 N. Robertson, D.P. Sanders, P. Seymour y R. Thomas

Mejoran la demostración con ayuda de ordenador (sólo 633 configuraciones) y automatizan la prueba de la inevitabilidad.

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3.2. Personas Importantes En Esta Tesis:

Francis Guthrie (1839-1899) abogado y botánico, observa que puede colorear un mapa complejo de los cantones (provincias) de Inglaterra con 4 colores. En 1852, enuncia el problema a su hermano Frederick (University College London) y éste a Augustus de Morgan.

Francis Guthrie Él es quien observa que 3 colores no son suficientes, con el diagrama crítico (véase la figura 5)

Figura 5

rederick Guthrie (1833 – 1886),

F fue un científico británico, escritor y profesor. Ayudó a fundar la Sociedad de Física de Londres (actualmente el Instituto de Física) en 1874 y fue presidente de la sociedad a partir de 1876. Creía que la ciencia debe basarse en la experimentación, más que en el debate. Fue el primero en observar que el problema de los cuatro colores no se puede generalizar a dimensión 3.

Frederick Guthrie

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Peter Guthrie Tait (Dalkeith, 1831-Edimburgo, 1901), profesor de Filosofía Natural, físicomatemático de la Universidad de Edimburgo, da una prueba alternativa en 1880, también con un error. Uno de los ingleses victorianos que se divirtió con el teorema de los 4 colores fue Charles Lutwidge Dodgson “Lewis Carroll” (1832-1898). A Carroll le encantaba inventar puzzles y juegos. Augustus de Morgan (1806-1871) estaba muy interesado en la conjetura de los 4 colores y difundió entre sus colegas su importancia. Una de las primeras personas con las que habló fue con el matemático y físico irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), quien no compartía el interés de De Morgan por el problema. Le escribe una carta el 23 de octubre de 1852: Un estudiante de minas [de Guthrie] me pidió darle una razón sobre un problema que yo no supe resolver. Él dice que solo hacen falta cuatro colores para poder dibujar un mapa de tal forma que cada país fronterizo use colores diferentes… Decepcionado por el desinterés de Hamilton, De Morgan se puso en contacto con otros matemáticos. En 1853, escribe al conocido filósofo William Whewell (1794-1866, Cambridge), describiendo su observación como un axioma matemático.

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Charles Sanders Peirce (1839-1914), matemático, filósofo y lógico que da un seminario sobre el teorema de los cuatro colores aunque nunca la escribió.

Charles Sanders Peirce

Pero, el problema no está del todo olvidado gracias a: Arthur Cayley (1821-1895) de la Universidad de Cambridge. Cayley ejerció de abogado, y continúo durante esa época con sus investigaciones matemáticas, en particular es uno de los padres fundadores del álgebra de matrices. En junio de 1878 acude a un Encuentro de la London Mathematical Society, donde realiza la siguiente exposición: “Una solución ha sido dada afirmativamente: La coloración en un mapa de un país, dividido en municipios requiere de tan sólo cuatro colores, de modo que no haya dos municipios adyacentes que estén pintados del mismo color.” En 1879 publica una nota donde explica las dificultades del tema. Entre otras, observa que cuando se intenta probar el teorema de los 4 colores, pueden imponerse condiciones más restrictivas sobre los mapas a colorear; en particular, basta con limitarse a mapas cúbicos, es decir, aquellos en los que hay exactamente 3 regiones en cada punto de encuentro: en efecto, supongamos un mapa en el que hay más de 3 regiones en alguno de los puntos de encuentro. Sobre este punto puede pegarse un pequeño parche, que produce un mapa cúbico. Si se puede colorear este mapa con cuatro colores, se obtiene un 4-coloreado del mapa original, simplemente reduciendo el parche a un punto.

Original Parcheado Coloreamos Quitamos el

parche

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Alfred Bray Kempe (1849-1922) era un soberbio cantante. Aprendió matemáticas de Cayley y se graduó con distinción en 1872. A pesar de su pasión por las matemáticas y la música, eligió la profesión de abogado (especializado en ley eclesiástica), dejando las matemáticas y la música como pasatiempos. En 1872 escribió su primer trabajo matemático sobre la solución de ecuaciones por medios mecánicos. Cinco años más tarde, estimulado por un descubrimiento del ingeniero Charles Nicholas Peaucellier (1832–1913) sobre un mecanismo para trazar líneas rectas, publicó su famosa memoria sobre mecanismos titulada Como trazar una línea recta.

Alfred Bray Kempe

Kempe se interesa por el problema de los 4 colores tras la pregunta de Cayley en la London Mathematical Society. En junio de 1879 obtiene su solución del teorema de los 4 colores y lo publica en el Amer. Journal of Maths. En 1880, publica unas versiones simplificadas de su prueba, donde corrige algunas erratas de su prueba original, pero deja intacto el error fatal... Percy John Heawood (nació el 8 de septiembre de 1861 en Newport Inglaterra y muere el 24 enero de 1955 en Durham, Inglaterra) Perci es el autor de la publicación “Map Colour Theorem” en el J. Pure Appl. Maths en 1890. Encuentra, muy a su pesar, un caso para el que la prueba de Kempe no funciona.

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Kempe admite su error en las páginas de los Procedings of the London Math. Soc. y el 9 de abril de 1891 dice lo siguiente en un encuentro de la London Mathematical Society: "Mi prueba consistió en un método por el cual cualquier mapa puede ser coloreado con cuatro colores. Sr Heawood da un caso en que el método falla, y, por tanto, la prueba demuestra ser errónea. No he logrado en la reparación del defecto, aunque se puede demostrar que el mapa que da Sr Heawood puede ser coloreado con cuatro colores, y, por tanto, su crítica se aplica a mi prueba y no sólo a sí mismo el teorema”

Hermann Minkowski (22 de junio de 1864 - 12 de enero de 1909) fue un matemático alemán de origen judío que desarrolló la teoría geométrica de los números. Sus trabajos más destacados fueron realizados en las áreas de la teoría de números, la física matemática y la teoría de la relatividad.

Minkowski impartió clases en las universidades de Bonn, Göttingen, Königsberg y Zúrich. En Zúrich fue uno de los profesores de Einstein.

Dijo en cierta ocasión a sus alumnos que él no había resuelto el problema de los 4 colores, porque se trataba de un problema que sólo habían atacado matemáticos de tercera fila… “Si quiero, puedo probarlo”… algún tiempo más tarde reconoció de manera sumisa: “El cielo se ha enfadado por mi arrogancia: mi prueba es también errónea”. Heinrich Heesch (1906- 1995), graduado en matemáticas y Música, este matemático resolvió en 1932 uno de los 23 problemas de Hilbert de 1900, el “regular parquet problem” (construcción de un tipo particular de embaldosamiento del plano), que es parte del problema número 18 de Hilbert. En 1969, Heinrich Heesch sistematiza la prueba de la reducibilidad, desarrollando un

13Heinrich Heesch

algoritmo que intenta implementar con ordenador: 1. Realiza diversos tests con el programa Algol 60 en un CDC1604A (en

contacto ya en América con su alumno Wolfgang Haken). 2. Afirma que la conjetura puede resolverse considerando tan sólo 8.900

configuraciones; 3. Da una manera de construir conjuntos inevitables (obstrucciones locales), a través de su algoritmo de descarga. Martín Gardner (Tulsa, Oklahoma, 21 de octubre de 1914) es un divulgador científico y filósofo de la ciencia estadounidense, muy popular por sus libros de matemática recreativa. Publicó el 1 de abril de 1975 un artículo, pretendiendo que se había encontrado un mapa de 110 regiones, figura 2 (el mapa de William McGregor, especialista

en teoría de grafos según Gardner), que

requería necesariamente 5 colores, dando así un contraejemplo, que invalidaba la aún por entonces conjetura de los 4 colores. Pero esto solo fue una bonita broma.

Martín Gardner

Figura 2

La prueba de Haken y Appel El progreso era lento, hasta que en 1976 Ken Appel y Wolfgang Haken dieron una prueba cuyos principales ingredientes eran los conceptos de descarga y reducibilidad (además de cadenas de Kempe, etc.): una vez obtenida la larga lista de configuraciones inevitables, demostraron que eran reducibles, obteniendo una prueba inductiva del teorema.

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4. INICIOS DE LA TOPOLOGÍA COMBINATORIA

Históricamente se asocia el nacimiento de la Topología Combinatoria con la solución dada por Euler en 1736 al problema de los puentes de Königsberg. El problema es el siguiente: a la altura de la ciudad de Königsberg (actual Kaliningrado) hay dos islas dentro del río Pregel. Estas islas están unidas con tierra firme y entre sí por siete puentes como aparece en la figura 1.

Figura 1

Los habitantes de Königsberg se preguntaban si era posible idear un recorrido que, comenzando en tierra firme o en alguna de las islas, permitiera al caminante pasar por todos los puentes, pero empleando cada puente solo una vez. El modelo matemático empleado por Euler para resolver el problema corresponde a lo que hoy se conoce como Teoría de Grafos. Definición 1. Un grafo G se puede definir como el par de conjuntos V(G) y E(G) donde V(G) es un conjunto finito, no vacío, de elementos denominados vértices (o nodos, o puntos), y E(G) es un conjunto finito de elementos asociados con pares no ordenados de elementos de V(G) llamados aristas (o arcos).

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Esta es obviamente una definición puramente matemática. Realmente la noción de grafo es sumamente intuitiva. La relación entre la definición formal y la intuición se ve en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1. La figura 2 representa un grafo simple G.

Figura 2

Para este grafo se tiene V(G) = {a, b, c, d} y E(G) = {u, v w, z}. Existe una clara relación entre vértices y aristas, por ejemplo la arista u está relacionada con los vértices a y b ya que u es la arista que une a con b. ¿De que manera podemos emplear los grafos para resolver el problema de los puentes de Königsberg? Si nombramos las regiones como aparece en la figura 3 notamos que en realidad la única información importante es: dada una región ¿a cuales otras está conectada mediante puentes?

Figura 3

Por ejemplo la región A está conectada con las regiones B y C. Con B mediante dos puentes y con C mediante uno solo. Podemos consignar esta información importante mediante el empleo de un grafo, figura 4.

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Figura 4 Figura 5 La figura 5 representa el famoso juego escolar en el que se pide repetir el dibujo con dos condiciones: no se puede levantar el lápiz y no se debe repasar ninguna línea. Si imponemos estas condiciones al grafo de la figura 4 notamos que el dibujo así obtenido constituirá una solución para el problema de los puentes. Esta se basa en la idea de grado de un vértice. Definición 2. El grado de un vértice v de G es igual al número de aristas que inciden en v. Se representa como g(v). Por ejemplo en la figura 4 se tiene g(A) = 3 y g(B) = 5. Para resolver el problema es importante considerar únicamente la paridad del grado de un vértice y no el grado en sí.

Figura 6

Por ejemplo en la figura 6 aparecen dos vértices de grados 2 y 4 (grados pares) respectivamente. Si comienzo el recorrido en el nodo de la izquierda: salgo empleando un vértice. Luego, cuando vuelva a entrar, lo haré empleando el vértice restante y por lo tanto no podré moverme más

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del nodo. Si comienzo el recorrido en el nodo de la derecha: salgo y entro: estoy dentro del nodo y aún dispongo de dos vértices, por lo tanto estoy en el caso de la izquierda y ya sé que debo terminar el recorrido en el mismo nodo en que comencé. Es fácil generalizar este resultado a nodos de grado par cualquiera: si comienzo el recorrido dentro del nodo necesariamente debo terminarlo en él. Por el contrario si comienzo el recorrido por fuera del nodo de la izquierda: en algún momento entro empleando uno de los vértices, al salir agoto el vértice restante y por lo tanto no podré retornar a este nodo. Si comienzo por fuera del nodo de la derecha en algún momento entro y salgo: quedo fuera del nodo y solo dispongo de los dos vértices restantes: por lo tanto sé que debo terminar por fuera de este. En resumen: si comienzo el recorrido por fuera de un nodo de grado par necesariamente debo terminarlo también por fuera de dicho nodo.

Figura 7

En el caso de nodos de grado impar (figura 7) se tiene lo siguiente: en el caso a comienzo dentro del nodo, salgo y debo necesariamente terminar por fuera. En el caso b salgo y entro y la situación se reduce al caso a. Por lo tanto si comienzo dentro termino fuera. En el caso c comienzo afuera y necesariamente termino dentro. En el caso d entro y salgo y quedo en el caso c y por tanto termino dentro. Resumiendo: si comienzo afuera termino dentro y si comienzo dentro termino fuera.

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La tabla 1 resume estos resultados. Dependiendo del tipo de nodo (par o impar) y de donde comienzo el recorrido (dentro o fuera) me indica donde termino.

Tipo de Nodo

Donde comienzo Par Impar Dentro Dentro Fuera Fuera Fuera Dentro

Tabla 1 De esta información deducimos un resultado interesante: un gráfico con tres o más vértices de grado impar es imposible de recorrer ya que, necesariamente, el recorrido comenzará por fuera de al menos dos de tales nodos y por lo tanto debería terminar, simultáneamente, dentro de cada uno de ellos, lo cual es, obviamente, imposible. Por lo tanto el grafo de la figura 4 no puede ser recorrido y así se concluye que el problema de los siete puentes de Königsberg no tiene solución. En la solución del problema de los puentes hemos abstraído lo esencial de la distribución de las regiones y hemos consignado esta información en un grafo, este proceso corresponde a lo que se conoce como el mapeo de grafos, veámoslo más a fondo:

4.1. MAPEANDO GRAFOS

Entre los tipos de grafos que existen podemos centrarnos en dos clases importantes: los completos y los bipartidos. Grafo completo de n vértices: es aquel que contiene una, y solo una, arista en cada par de vértices distintos. Notamos por K n a un grafo completo de n vértices. Grafo bipartito: es aquel grafo simple en el cual podemos hacer una partición del conjunto de vértices en dos conjuntos disjuntos, de manera que cada vértice de un conjunto de la partición es adyacente exactamente con todos los vértices del otro conjunto de la partición. Si p y q son el número de vértices de cada uno de los conjuntos de la partición denotamos a este grafo por K p, q. Grafo plano: decimos que un grafo es plano cuando puede ser dibujado en el plano de forma que las aristas no presenten intersecciones salvo en sus vértices. Podemos observar que K1, K2, K3 y K4 (como veremos más adelante) son grafos planos dando una representación de ellos sin

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intersecciones, sin embargo esto no es posible para K5, con lo cuál K5, no es un grafo plano.

K 5

K 3, 3 Por otro lado los grafos bipartitos que son del tipo K p, q. con p o q menor estrictamente que 3 son claramente planos mientras que K 3 ,3 no lo es. Un mapa divide el plano en componentes conexas a las que denominamos regiones. Decimos que dos regiones son adyacentes si tienen una frontera común (es importante observar que no son adyacentes si solo tienen un punto en común). Podemos asociar a cada mapa su grafo dual que resulta ser siempre un grafo plano. A cada región del mapa se asocia un vértice y siempre que dos regiones tengan una arista en común entenderemos que estas dos regiones son vecinas. Para grafos planos se verifica la fórmula de Euler para poliedros.

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Teorema: sean V, A y C respectivamente el número de vértices, aristas y caras de cualquier poliedro simple (esto es que no tenga perforaciones). Entonces siempre se tiene que

V + C – A = 2

Demostración: Imaginemos que el poliedro simple dado es hueco, con una superficie hecha de caucho delgado (como en la figura 8). Entonces, si quitamos una de las caras del poliedro hueco, podemos deformar la superficie que queda hasta que se extienda en un plano (como se realiza en la figura 9). Figura 8

Con este proceso tendremos que el polígono sigue con el mismo número de aristas y vértices, lo único que habrá cambiado es el número de caras que será una menos: C = C’ + 1 donde C’ es el nuevo número de caras V − A + C = 2 → V − A + C’ + 1 = 2 → V − A + C’ = 1

Primero “triangulamos” la red plana de la siguiente manera: en algún polígono de la red que no sea ya un triangulo trazamos una diagonal. (Como se puede observar en la figura 10), la idea es aumentar en A y en C permaneciendo invariante la fórmula de Euler, vamos a denotar como nueva arista A’’ y como nueva cara C’’, quedando de la siguiente forma: A = A’’− 1 y C’ = C’’− 1

Figura 9

V − A + C’ = 1→ V − (A’’− 1) + (C’’− 1) = 1→ V − A’’ + C’’ = 1

Figura 10

Así seguiremos hasta que el polígono quede absolutamente triangulado. Ahora procedemos a eliminar triángulos: Tomamos cualquier triangulo con exactamente una arista en la frontera y le quitamos esta arista, que claramente no le pertenece a ningún otro triangulo. Por ejemplo de la figura 10, del triangulo ABC le quitamos la arista AC, dejando las otra aristas sin quitar.

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Una vez más realizando está táctica la fórmula de Euler permanece invariable: Quitando este tipo de aristas hemos conseguido reducir en una unidad las aristas y por otro lado también hemos reducido una cara (el propio triangulo que desapareció) Quedando de la siguiente forma A’’ = A’’’ + 1 y C’’ = C’’’ + 1

V − A’’ + C’’ = 1→ V − (A’’’+1) + (C’’’+1) = 1→ V − A’’’ + C’’’ = 1 Ahora eliminamos triángulos que tienen dos aristas en la frontera, por ejemplo en la figura 11 del triangulo DEF quitamos las aristas EF y DF. En este caso observamos que sigue invariante la fórmula de Euler, pero porque V disminuye en 1, A disminuye en 2 y C disminuye en 1, quedando de la siguiente forma: V = V IV) + 1 , A’’’ = AIV) + 2 y C’’’ = C IV) + 1 Figura 11

V − A’’’ + C’’’ = 1→ (V IV) + 1) − (AIV) + 2) + (C IV) + 1) = 1→ V IV) − AIV) + C IV) = 1

Figura 12

Mediante una sucesión de estas operaciones, escogidas adecuadamente, podemos quitar triángulos con aristas en la frontera (la cual cambia con cada supresión), hasta que finalmente quede un único triángulo, con sus tres aristas, tres vértices y una cara (véase la figura 13) Para esta red sencilla se obtiene:

V n) − An) + C n) = 3 – 3 + 1 = 1

Figura 13

Ahora volviendo al estado inicial observamos que en ningún momento alteramos la fórmula de Euler salvo cuando le quitamos una cara al poliedro inicial. Con esto damos por finalizada la demostración.

4.2. GRAFOS DE INCIDENCIA Un k-coloreado de un mapa consiste en asociar a cada región del mapa un color de forma que las regiones adyacentes no reciban el mismo color y utilizando exactamente k colores. Cuando existe un k-coloreado de un mapa decimos que es k-coloreable.

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Un k-coloreado de un grafo consiste en, utilizando exactamente k colores asociar a cada vértice del grafo un color de forma que vértices adyacentes no reciban el mismo color. Cuando existe un k-coloreado de un grafo decimos que es k-coloreable. En general pueden ser necesarios muchos colores para colorear un cierto grafo. Es claro que para colorear Kn se necesitan n colores exactamente. El proceso de k-colorear un mapa es equivalente al de k-colorear su grafo dual en sentido que uno se puede, si y solo si, se puede el otro. La restricción que da el hecho de ser siempre plano el grafo dual de un mapa es el hecho crucial para determinar el número de colores que se necesitan. La idea hasta aquí expuesta se representa de la siguiente forma, en un mapa se marcan las “capitales” y estas se unen si corresponden a países contiguos. Así se obtiene un grafo de incidencia o dual del mapa, entonces a partir de ahora colorear un mapa equivale a colorear su grafo dual:

De este mapa, marcamos las “capitales” (es decir un punto cualquiera), estas capitales son mis vértices y estos los unimos a través de aristas.

Desde este punto nos olvidamos del mapa obteniendo el grafo con el que trabajaremos a partir de ahora:

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Los grafos de incidencia son siempre planos, es decir, se puede dibujar en el plano una representación concreta del grafo, en la cual las aristas no se corten excepto en un eventual vértice común. Veamos que K4 es plano

• Un mapa es cúbico si y sólo si su grafo de incidencia es triangulado (grafo planar en el que cada cara tiene exactamente tres aristas). • El número de regiones vecinas se corresponde ahora con el grado de cada vértice (número de aristas incidentes). Para los grafos de incidencia también se puede usar la fórmula de Euler:

Vértices – Aristas + Caras = 2

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Por ejemplo: en el caso es un grafo plano porque no tiene cortes entre sí, además tiene:

11 Vértices (ciudades) 15 Aristas (carreteras) 6 Caras (Regiones incluida la exterior) Entonces verifica la fórmula de euler: 11 – 15 + 6 = 2

4.3 CONSECUENCIAS DE ESTA FÓRMULA:

Si G es un grafo simple y plano con V vértices y A aristas 1.- Si A ≥ 3, entonces

A ≤ 3V − 6C ≤ 2V − 4 Si el borde de cada región es un triángulo, como cada arista pertenece al borde de dos regiones resulta, 3C=2A. Por la fórmula de Euler 3V − 3A + 3C = 6, sustituyendo resulta A = 3V−6 Análogamente como 2V − 2A + 2C = 4, sustituyendo resulta C = 2V − 4. 2.- Si V ≥ 3 y G no tiene ciclos de longitud 3, entonces A ≤ 2V−4 Ahora el borde de cada región tiene, al menos, 4 aristas y cada arista pertenece al borde de dos regiones. Así contando el número de aristas, resulta que 4C ≤ 2A Sustituyendo en la fórmula de Euler 2V−2A+2C = 4, A ≤ 2V−4 3.- G tiene, al menos, un vértice v con grado d(v) ≤ 5 Si para cada vértice x, se tiene que d(x)≥6 entonces 2A=Σd(x) ≥ 6V, luego A ≥ 3V Propiedades: El grafo K 5 y el grafo K 3,3 No son planares y por tanto no pueden ser de incidencia. Demostración: K 5 No es plano porque 5 vértices y 10 aristas, si aplicamos la A ≤ 3V − 6C, entonces 10 ≤ 3*5 – 6 = 9 y por tanto no se verifica y concluimos que no es planar.

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En el caso de K 3, 3 tampoco es plano porque V = 6, A= 9 que observando la fórmula: A ≤ 2V − 4, entonces, 9 ≤ 2*6-4=8 y por tanto no se verifica y por ende no es planar.

4.4. TEOREMA DE KURATOWSKI Un grafo G es planar ⇔ G no contiene subgrafos homeomorfos a K5 ni a K3,3

4.5. MINIMALES CRIMINALES Un acercamiento alternativo para resolver la conjetura de los cuatro colores es: imaginar que es falsa, es decir, existen algunos mapas (grafos) que no pueden 4-colorearse. Entre estos mapas (grafos) que necesitan 5 colores o más, debe de haber alguno con el menor número posible de regiones. Estos ejemplos se llaman minimales criminales… así un minimal criminal no puede 4-colorearse, pero un mapa (grafo) con menos regiones (vértices) sí. Para probar el teorema de los 4 colores hay que demostrar que no existen minimales criminales... y eso se consigue encontrando condiciones restrictivas sobre este tipo de mapas (grafos). Lo que Kempe demuestra con su argumentación (en este nuevo lenguaje), es que un minimal criminal no puede contener digones, triángulos o cuadrados (aquí es donde usa su método de cadenas),... y falla al intentar probar que tampoco puede contener pentágonos…

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Si hubiese conseguido esto último, habría quedado establecida la conjetura, al no existir míniales criminales (pues cualquiera de ellos debe contener obligatoriamente una de las anteriores cuatro configuraciones). La demostración (bien hecha) del teorema de los 4 colores toma la de Kempe, pero para la inducción, en vez de eliminar un único vértice, se elimina un determinado trozo del grafo (una configuración). • Un conjunto inevitable K es un conjunto finito de configuraciones (una configuración es un ciclo con vértices internos triangulados) tal que todo grafo contiene una copia conforme de una k de K: por ejemplo, Kempe demuestra que para mapas cúbicos, el conjunto K = {digones, triángulos, cuadrados, pentágonos} es inevitable. • K es una configuración reducible, si se puede deducir el coloreado de cualquier grafo que contenga a k, a partir de un grafo menor. Plan de la prueba: encontrar un conjunto inevitable K (todo grafo no 4-coloreable contiene una copia conforme de alguna k en K). Si K estuviese formado sólo de configuraciones reducibles, la prueba del teorema de los 4 colores estaría terminada: en efecto, en tal caso, no podría existir un minimal criminal.

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4.6. CONSTRUCCIÓN DE CONJUNTOS INEVITABLES:

Para generar un conjunto inevitable de configuraciones, la idea de Heesch es considerar el grafo como una red eléctrica, asociando a cada vértice una “carga” inicial de 6 − d(v), donde d(v) es el grado de v (número de aristas Incidentes con este vértice). Usando la fórmula de Euler, se demuestra que la suma de las cargas en un grafo triangulado es 12. Si ahora se desplazan las cargas eléctricas sobre la red (con su algoritmo de descarga), la suma total seguirá siendo 12: los vértices cargados positivamente pueden ceder cargas, los cargados negativamente pueden recibir y los de carga nula no intercambian. Al final del proceso, se eliminan los vértices de carga negativa y se obtiene un conjunto de configuraciones, de vértices de cargas nulas o positivas: como todo grafo triangulado es de carga total 12, debe contener al menos una de las configuraciones (cuya geometría dependerá del proceso de descarga elegido) del conjunto anterior, que forma entonces un conjunto inevitable.

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5. DEMOSTRACION FALLIDA DE KEMPE Alfred Bray Kempe investigó el teorema de los cuatros colores, diciendo que lo había demostrado, el usa la fórmula de Euler para mapas cúbicos para obtener la llamada counting formula, que permite probar: “Todo mapa cúbico tiene al menos una región con cinco o menos regiones vecinas”, es decir, cada mapa contiene al menos un digon, un triángulo, un cuadrado o un pentágono:

DIGON TRIANGULO CUADRADO PETAGONO Otros resultados esenciales en la demostración de la conjetura, y que obtiene utilizando la fórmula de Euler, son: “Un mapa cúbico que no contiene digones, triángulos o cuadrados debe contener al menos doce pentágonos”. “Si todos los mapas se pueden colorear con cuatro colores, puede hacerse de manera que sólo aparezcan tres colores en el borde exterior del mapa”. DEMOSTRACIÓN: Si X es una región del mapa cúbico M, denotamos por v(X) el número de sus regiones vecinas. La propiedad probada por Kempe (que veremos en la demostración del teorema de los cinco colores) “Todo mapa cúbico M tiene al menos una región X con cinco o menos regiones vecinas” se escribe con la anterior notación del modo: “Existe una región X con v(X) ≤ 5”. La prueba se hace por inducción sobre el número de regiones. Así, la hipótesis de inducción es que M - X es 4-coloreable, y la prueba consiste en ver que M también lo es. Hay tres casos posibles: CASO 1: Supongamos que v(X) = 3 (el caso de v(X) = 2 lo consideraremos obvio a partir de observar las siguientes). Basta con colorear X con el cuarto color (en este caso,

a adjunta. el verde), como muestra la figur

30

CASO 2:

31

Supongamos que v(Y) = 4. (Cuadrado) Si Y y Z son dos regiones, Y de color rojo y Z de color verde, en un mapa 4-coloreado, se llama cadena de Kempe rojo-verde de Y a Z a un camino que va de Y a Z, alternando los colores rojo y verde.

se

componente rojo-verde cualquiera de un grafo 4-coloreado, para obtener un nuevo coloreado del mapa respetando la regla de los cuatro colores:

Carta original

ponente rojo-verde

n el caso que nos ocupa en que v(Xntorno de X es de la forma que aparece en la

Una componente rojo - verde de Y es el conjunto de todas las regiones Z del mapa, tales que existe una cadena de Kempe rojo-verde de Y a Z. El interés de estas dos definiciones es que pueden invertir los colores rojo y verde en una

Carta obtenida por inversión de la com

E ) = 4, un efigura de la derecha. Y se distinguen entonces dos posibilidades:

1) si X3 no está en la componente rojo-azul de X1, se invierten el rojo y el

X (el rojo):

ibera-os el

ojo

rojo.

1, en

azul en esta componente y se libera un color para Lmrpara poder poner x en color

2) Si X3 está en la componente rojo-azul de X tonces, X2 no está en la componente amarillo-verde de X4. Se hace un cambio en la componente amarillo -verde de X4, con lo que se libera un color (el amarillo) para X:

ambiamos

Camarillo por

erde para poder pintar

v

a x de amarillo.

CASO 3: Supongamos que v(X) = 5. Entonces, un entorno de X es de la forma que se muestra en la figura de la derecha: Y se distinguen otra vez dos cas s: o

32

1) Supongamos que X2 no pertenece a la componente amarilla-verde de X5 o que X2 no pertenece a la componente azul-verde de X4.

o

fijar ideatotalmen

s la primera de las opciones por s, el otro caso se hace de manera te análoga.

Elegim

Entonces, se invierten el amarillo y el verde en ente amarilla-verde de X5 y se libera un color (el verde) para X.

contrario, X

p

esta compon

2) En caso 2ertenece a la componente

amarilla-verde de X5 y X2 ertenece a la componente zul-verde de X4.

ntonces, se invierten las omponentes roja-azul de X1 y

pa Ecroja-amarilla de X3, para liberar el rojo para X.

... Y, así, Kempe finaliza “con éxito” la demostración de la conjetura.

33

5.1 Aquí esta el fallo

aof Pure and Applied Mathematics, en 1890. Encuentra, muy a su pesar (como él mismo afirma), un contraejemplo a la prueba deKempe. Se muestra a la derecha su configuración original: En efecto, el problema consiste en que las

Percy John Heawood (1861-1955) publica el

l

trabajo “Map Colour Theorem” en el Journ

componentes amarilla–verde de X5 y azul–verde de X4 pueden cruzarse. Y si así sucede, las componentes rojo–azul de X1 y rojo–amarillo de X3 no son

invertibles

simultáneamente...

34

6. EL TEOREMA DE LOS CINCO COLORES Con base en la fórmula de Euler vam ostrar que todo mapa sobre la esfera se puede colo n s cinco colores diferentes.

s países sean cerrados, simples y compuestos por rcos simples, a este tipo de mapas lo llamaremos regular.

os vértices múltiples están emplazados por un número de vértices triples. El nuevo mapa tendrá el

mismo número de regione

Figura 1

Este nuevo mapa r amente con cinco olores, reduciendo los círculos a puntos tendremos la iluminación deseada

Para comenza mostrar que

do mapa regular debe tener al menos un polígono con menos de 6 lados. r;

es el número total de regiones.

(A) tiene dos extremos y en cada vértice (V) concurren

xactamente tres arcos, entonces se verifica:

2A = 3V. tiene n vértices y cada vértice

osee tres regiones, entonces:

2A =

os a demrear adecuadame te utilizando a lo má

Nos restringiremos a la coloración según las condiciones expuestas al comienzo de esta tesis, es decir, que entre países vecinos no tengan el mismo color y que loa Podemos suponer que exactamente tres arcos interceptan a cada vértice, pues si hay más arcos, reemplazamos ese vértice por un pequeño círculo, obteniendo un nuevo mapa en el que lre

s que el mapa original.

Original original+círculo

egular se podrá colorear adecuadcpara el mapa original.

r dicha demostración tenemos primero que detoDenotamos C n al número de regiones de n lados en un mapa regulaentonces, si C

C = C 2 + C 3 + C 4 + …

Cada arcoe

Además, una región limitada por n arcos

3V = 2C 2 + 3C 3 + 4C 4 + …

p

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Por la fórmula de Euler se tiene que:

V – A + C = 2 o mejor dicho 6V – 6A + 6C = 12

Como sabemos que 2A = 3V o lo que es lo mismo 6V = 4A, sustituimos

bteniendo:

ntonces:

= 12

ovemos esta última ecuación y tenemos:

(6 − 2)C 2 + (6 − 3)C 3 + (6 − 4)C 4 +(6 − 5)C 5 + (6 − 6)C 6 + + (6 − 7)C 7 + … = 12

enemos que 12 es un número positivo y que únicamente los coeficientes e la derecha de C 2, C 3, C 4 y C 5 son positivos y el resto de coeficientes on negativos, es por tanto que uno de estos primeros coeficiente deben de er distinto de cero y por tanto concluimos que tenemos seguro una región on menos de seis lados.

ión de los cinco colores.

o

4A – 6A + 6C = 12 → −2A + 6C = 12

E

6(C 2 + C 3 + C 4 + …) + (2C 2 + 3C 3 + 4C 4 + …)

M

Tdssc DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LOS 5 COLORES: Con estas demostraciones iniciales ya nos podemos encaminar a la demostrac Sea M cualquier mapa regular con un número total de n regiones. Sabemos que al menos una de estas regiones tiene menos de 6 lados.

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Caso 1: M contiene una región A con 2,3 o 4 lados. Vamos a quitar una frontera entre A y una de las regiones adyacentes. (Como se muestra en la figura 1). El mapa resultante M’ será un mapa regular con n − 1 regiones. Si M’ puede colorearse adecuadamente con cinco colores, lo mismo ocurrirá para M. Pues dado que a lo más cuatro regiones de M tocan a la región de A, siempre podemos utilizar un quinto color para esta.

Figura 2

Caso 2: M contiene una región A con 5 lados. Considérese las cinco regiones adyacentes a la región A y llámese a estas regiones B, C, D, E y F. siempre podemos encontrar un par de ellas que no se toquen entre sí: ya que por ejemplo si B y D se tocan, impedirán que C toque a E o a F, pues cualquier camino que lleve de C a E o a F tendrá que pasar a través de al menos una de las regiones A, B y D. Por tanto podemos suponer, por ejemplo, que C y F no se tocan. Quitamos los lados de A adyacentes a C y a

lor para A.

F, formando un nuevo mapa M’ con n − 2 regiones, que también es regular. Si el nuevo mapa M’ puede iluminarse adecuadamente con cinco colores, lo mismo se cumple para M, Pues cuando se restauran las fronteras A estará en contacto con no más de cuatro colores diferentes ya que C y F tienen el mismo color, y por tanto podemos utilizar un quinto co

Así en cualquier caso, si M es un mapa regular con n regiones podemos onstruir un nuevo mapa regular M’ con n − 1 o n − 2 regiones, y tal que si

puede colorearse con cinco colores, lo mismo se cumple para M. Este cM’

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proceso puede aplicarse de nuevo a M’ y repetirse sucesivamente bteniéndose así a partir de M una sucesión de mapas

M, M’, M’’,…

omo el número de regiones en los mapas de esta sucesión es estrictamente ecreciente, finalmente debemos obtener un mapa con cinco o menos giones.

al mapa siempre puede colorearse a lo más con cinco colores. Por lo tanto gresando paso a paso hasta M, vemos que M mismo puede colorearse con

inco colores.

o

Cdre Trec

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7. CUATRO COLORES NO BASTAN EN DIMENSIÓN 3 El teorema de los cuatro colores nos dice que podemos dibujar un mapa con sólo con 4 colores, pero en dimensión 2. Ahora la pregunta sería ¿Este teorema se puede generalizar a dimensión 3? La respuesta claramente es que no y esta demostración la trabajó el profesor de matemáticas y botánico Francis Guthrie en 1874.

n contraejemplo posterior realizado por Heinrich Tietze, se puede Uobservar de una forma clara que este teorema no se puede generalizar:

DEMOSTRACIÓN: La propuesta consiste en tomar barras numeradas de 1 asta n. Se sitúan, ordenadas de manera horizontal como muestra la figura, sobre ellas se colocan n barras numeradas de 1 hasta n en sentido vertical. e este modo, tenemos un mapa tridimensional con 2n países, y es fácil bservar que se necesita exactamente 2n colores, por tanto, tomando más e 4 barras se puede observar que necesitamos 4 o más colores.

hyDod

39

8. OTRAS FORMAS GEOMÉTRICAS Para comenzar este tema veamos que es el género:

liedros de género g > 0 se debe a Simon ntoine Jean Lhuilier (1750-1840) y dice que:

ientable 2g

o orientable

En 1968, Gerhard Ringel y Ted Youngs prueban que para toda superficie sin borde orientable de género g > 0 o toda superficie sin borde no orientable distinta de la botella de Klein, N no es el máximo sino el número exacto. Por ejemplo para colorear un:

ORO: ara colorear mapas sobre el toro son necesarios 7

olores [½(7+(48g+1) ½)]=7

La fórmula de Euler para poA• Caso or

Caras – Aristas + Vértices = 2-• Caso n

Caras – Aristas + Vértices = 2-g

T Pc

40

DOBLE TORO:

[½(7+(48g+1)½)]=8

Para la BOTELLA DE KLEIN se necesitan 6 colores (uno menos número =7), J.L. Saaty, 1986.

que su N

Para la BANDA DE MÖBIUS

, que es con borde, se necesitan

también 6 colores (aquí la fórmula de

una superficie

Heawood no se puede aplicar).

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9. BIBLIOGRAFÍA [DIRECCIÓNES http://math.ucalgary.ca/~laf/colorful/enseignm.htmlDE INTERNET] [DIRECCIÓNES http://les.racailles.du.net.free.fr/DE INTERNET] [DIRECCIÓNES http://dept-info.labri.frDE INTERNET]

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