iINTRODUCCIN A LAMECNICA DE FLUIDOSJULIO GRATTON10 20 30 400.20.40.60.8x+cm/t+s/h 1.6 cm1.2 cm0.8 cm 0.4 cm10 20 30 400.20.40.60.8iiPRLOGOLaspresentesnotassoneltextodelcursoEstructuradelaMateria1.MehebasadoenbuenamedidaenlasnotasdelcursoMecnicadeFluidos,redactadashaceyaalgunosaosporelProf.RobertoGrattonyelProf.JavierDiezdelaUniversidadNacionaldelCentrodelaProvinciadeBuenosAires,sinembargoheincorporadovariostpicosnuevos,yampliadoconsiderablemente la discusin de otros.Agradezco a los colegas que han tenido paciencia conmigo y se han prestado muy amablementea discutir aspectos de los temas del curso, en particular los Prof. Fernando Minotti, Javier Diez yRoberto Gratton.Pido disculpas por las erratas que seguramente se han deslizado en esta edicin, y agradecer quese me ponga al corriente de las que se encontraran.Como bibliografa bsica del curso puedo indicar los siguientes textos:1. G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Univ. Press, 1980.2. L. D. Landau y E. M. Lifschitz, Fluid Mechanics, Pergamon Press, 1959.3.A. Sommerfeld, Mechanics of Continuous Media, Academic Press, 1950.4.E. Guyon, J-P. Hulin y L. Petit, Hydrodynamique Physique, CNRS, 1991.5.D. J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford 1990.6.D. J. Tritton, Physical Fluid Dynamics, Van Nostrand, 1977.Como bibliografa de consulta sugiero los siguientes libros7.R. H. Flowers y E. Mendoza, Propiedades de la Materia, Limusa.8.W. H. Li y S. H. Lam, Principles of Fluid Dynamics, Addison Wesley, 1964.9.L. I. Sedov, Similarity and Dimensional Methods in Mechanics, Infosearch, 1959.10.R. B. Whitham, Linear and Non Linear Waves, Springer, 1977.11.Ya.B.ZeldovichyYu.P.Raizer,PhysicsofShockWavesandHighTemperatureHydrodynamic Phenomena, Academic Press, 1967.12.H. A. Barnes, J. F. Hutton y K. Walters, An Introduction to Rheology, Elsevier, 1989.13.H. Lamb, Hydrodynamics, Dover, 1945.14.J. J. Stoker, Water Waves, Wiley-Interscience, 1957.Julio GrattonBuenos Aires, octubre de 2002.iiiINDICE1. Nociones bsicas sobre los fluidos 1Comportamiento mecnico de los fluidos 1Hiptesis del continuo 3Fuerzas de volumen y de superficie en un fluido 6Propiedades generales de las fuerzas de superficie 6El tensor de los esfuerzos 8Resultante de las fuerzas de superficie sobre un elemento de volumen 11Simetra del tensor de los esfuerzos 12Descomposicin del tensor de los esfuerzos 15Presin en un fluido en reposo 172. Hidrosttica 20Principio de Arqumedes 20Equilibrio en lquidos con estratificaciones de densidad 20Equilibrio de la atmsfera 23Estabilidad del equilibrio atmosfrico 25Condiciones de contorno en interfases 27Tensin superficial28Contorno de equilibrio entre dos fluidos en reposo 31Forma de una gota lquida 33Lnea de contacto triple y ngulo de contacto 33Caractersticas de los coeficientes de tensin superficial 34Cohesin de lquidos 363. Cinemtica 38Campo de velocidad 38Elementos materiales39Lneas de corriente y trayectorias 39Descripcin Euleriana y Lagrangiana 40Conservacin de la masa 41Derivada total de integrales materiales 42Movimiento relativo en el entorno de un punto 434. Ecuaciones bsicas de la dinmica de fluidos 48Ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento 48La hiptesis del equilibrio termodinmico local 50La ecuacin de Euler 52Relaciones constitutivas para fluidos Newtonianos 52La ecuacin de Navier-Stokes 53Ecuacin de la energa 54Propiedades termomecnicas de fluidos reales 57ivFluidos no Newtonianos 595. Flujos ideales 64Ecuaciones generales de los flujos ideales 64Formas de la ecuacin de Euler para flujos barotrpicos 65Ecuaciones de evolucin de la vorticosidad 68La ecuacin de Helmholtz 69Teorema de Kelvin 71Movimientos vorticosos 73Flujos viscosos, no barotrpicos y con fuerzas de volumen no conservativas 75Clasificacin de las diferentes clases de flujos 776. Flujos ideales incompresibles 79El potencial de velocidad 79Flujos incompresibles bidimensionales y la funcin corriente 82Unicidad del potencial de velocidad y de la funcin corriente 83Flujos potenciales incompresibles elementales 89Flujo potencial en la proximidad del vrtice de un diedro 95Flujo alrededor de un cilindro circular 96Fuerzas sobre un obstculo en un flujo potencial 102Potencial complejo 110Comentarios sobre los flujos potenciales 1217. Flujos viscosos 126Ecuacin de Navier-Stokes 126Ecuacin de la vorticosidad 126Difusin de la velocidad y la vorticosidad 127Flujos con vorticosidad inicial nula y el origen de la capa lmite 131Significado del nmero de Reynolds 133Nmero de Reynolds y semejanza dinmica 134Aplicacin del Principio de Semejanza al arrastre de cuerpos esfricos 1368. Flujos viscosos unidireccionales y capa lmite 140Flujos unidireccionales 140Flujo entre dos placas planas y paralelas 141Conducto de seccin circular: flujo de Poiseuille 143La capa lmite laminar 144Teora de Prandtl de la capa lmite 147Autosemejanza de la capa lmite cuando la velocidad exterior es uniforme 150Fuerza de arrastre viscoso 1549. Ondas superficiales de gravedad 156Ondas superficiales 156Ondas superficiales de gravedad 156Ecuaciones bsicas 156Ondas elementales monocromticas 158vOndas capilares162Ondas superficiales en capas de profundidad finita 165Efecto de la viscosidad sobre las ondas superficiales168La relacin de dispersin y la dispersin de trenes de ondas 168Patrones de ondas de superficie producidos por una fuente puntiforme instantnea 180Patrones de ondas en corrientes estacionarias 182Patrn de ondas capilares alrededor de una lnea de pesca 188Arrastre por emisin de ondas 19010. Ondas en el seno de un fluido 193Las ecuaciones de la dinmica de gases 193Perturbaciones compresivas de pequea amplitud 194La solucin general de DAlembert para pulsos sonoros planos 197Soluciones elementales de la ecuacin de ondas 202La velocidad del sonido 203El espectro de las ondas sonoras 204Propiedades de las ondas sonoras 205Las condiciones de incompresibilidad 209Ondas internas de gravedad en fluidos estratificados 214Las oscilaciones de Brunt-Visl y la estabilidad de un fluido estratificado 218Las ondas de Lamb 220Las ondas de superficie 221Ondas internas en una estratificacin exponencial 22211. Ondas de amplitud finita 229Ondas hiperblicas 229Ondas dispersivas 231La onda de creciente como ejemplo de onda hiperblica no lineal 235La ecuacin de Korteweg-de Vries para las ondas dispersivas no lineales en un canal 262Soluciones peridicas y aperidicas de la ecuacin de Korteweg-de Vries 268Conclusiones 2731. Nociones bsicas11. NOCIONES BSICAS SOBRE LOS FLUIDOSComportamiento mecnico de los fluidosLa propiedad fundamental que caracteriza a los fluidos (lquidos y gases) es que carecen de rigi-dez y en consecuencia se deforman fcilmente. Por este motivo un fluido no tiene forma y dife-rentes porciones del mismo se pueden acomodar dentro del recipiente que lo contiene. En estodifieren de los slidos, que en virtud de su rigidez tienen una forma definida, que slo vara si seaplican fuerzas de considerable intensidad.Sin embargo, la distincin entre slidos y fluidos no es ntida, pues muchos materiales que secomportan como slidos bajo ciertas circunstancias, en otras circunstancias se comportan comofluidos. Llamaremos slido simple a un medio en el cual las posiciones relativas de sus elemen-tos sufren cambios de pequea magnitud cuando las fuerzas que actan sobre l tienen cambiospequeos. Es decir: pequeas fuerzas producen deformaciones pequeas. Anlogamente, llama-remos fluido simple a un medio en el cual las posiciones relativas de sus elementos sufren cam-bios no pequeos, an cuando sean pequeos los cambios de las fuerzas que actan sobre l. Enotras palabras: fuerzas pequeas dan lugar a deformaciones de gran magnitud.Aqu conviene distinguir entre deformaciones con cambio de volumen pero sin cambio de forma(expansiones o contracciones puras) y deformaciones con cambio de forma pero sin cambio devolumen (distorsiones puras). En general, la deformacin es una combinacin de ambas.Llamaremos fluidoaunaporcindemateriaincapazdecontrarrestarelefectodefuerzasqueproducendeformacionessincambiodevolumen.Estonoquieredecirqueelfluidonooponeresistenciaatalesdeformaciones,perossignificaqueestaresistenciatiendeacerocuandotiende a cero la rapidez con la cual se produce la deformacin, independientemente de la mag-nitud de la deformacin. En consecuencia, dicha resistencia limita la rapidez con la cual ocurrela deformacin, pero no su magnitud.Resumiendo, en un slido la deformacin tiende a cero si la fuerza que la produce tiende a cero,mientras que en un fluido es la rapidez de la deformacin la que tiende a cero cuando la fuerzatiende a cero.La distincin entre lquidos y gases, en lo referente a su comportamiento dinmico, es muchomenos fundamental. Tpicamente, la densidad de una sustancia en la fase lquida suele ser mu-cho mayor (por varios rdenes de magnitud) que en la fase gaseosa1, pero esto no afecta el tipode movimiento, y slo implica que se requieren fuerzas de diferente magnitud para producir lamisma aceleracin. La diferencia ms significativa (en cuanto a sus efectos dinmicos) entre laspropiedades mecnicas de lquidos y gases est en su compresibilidad. Los gases se comprimenmsfcilmentequeloslquidos:enconsecuencia,cualquiermovimientoqueinvolucrevaria-ciones apreciables de presin est acompaado por cambios de volumen que son mucho mayoresen un gas que en un lquido. En general, podemos decir que los lquidos son poco compresibles yque los gases son bastante compresibles.Las propiedades mecnicas de slidos, lquidos y gases estn directamente relacionados con laestructuramoleculardelamateriayconlanaturalezadelasfuerzasentremolculas.Estosepuede entender cualitativamente considerando la energa potencial de interaccinVr ( ) entre dos 1Nosiempreesas,porejemplo,cercadelpuntocrticolasdensidadesdelasfaseslquidaygaseosasoncasiiguales.1. Nociones bsicas2molculas como funcin de la distancia r que separa sus centros. Para valores pequeos de r (delorden de 108 cm) la interaccin entre las molculas es de origen cuntico y puede ser atractiva orepulsiva,deacuerdoconlaposibilidaddeintercambiodeloselectronesdelosorbitalesexternosdelasmismas.Cuandodichointercambioesposible,lainteraccinesatractivaydalugar a una reaccin qumica2. Cuando el intercambio no es posible, la interaccin es repulsiva.LaformatpicadeVr ( )enesteltimocasoserepresentacualitativamenteenlaFig.1.1.Lafuerza de repulsin ( dV dr / ) se debe a la impenetrabilidad de los orbitales electrnicos de lasmolculas, y disminuye muy rpidamente a medida que r aumenta. Para distancias mayores en-tre los centros de las molculas (unos 107-108 cm) la fuerza es dbilmente atractiva. Esta fuerzade cohesin disminuye con r, primero comor7 y luego comor8 para r grande. Su origen es lapolarizacin elctrica de cada molcula debido a la influencia de la otra. Cuando la separacin esr0 (alrededor de 3-4108 cm para las molculas ms simples), la energa potencial de interac-cin es mnima y las molculas estn en equilibrio.V(r)dV/drrr02r03r0Fig. 1.1. Energa potencial (lnea llena) y fuerza de interaccin (lnea de trazos) entre dosmolculas en funcin de la distancia entre centros. Se ha supuesto que las molculas noreaccionanqumicamenteentres.Sepuedeapreciarque,enprimeraaproximacin,lasmolculas comportan como esferas rgidas de radior0/2. Observe que ya para una separa-cin 2 r0 la interaccin es prcticamente nula. El diagrama es cualitativo.Simeslamasadeunamolculay la densidad de la sustancia, el nmero de molculas porunidaddevolumenesn m = / yladistanciamediaentreellasesd n 13 /.Paraungasen 2No trataremos el caso de medios en los que estn ocurriendo reacciones qumicas.1. Nociones bsicas3condiciones normales de temperatura y presin,n 1019 3cm , luegod 5 107cm, que es delordende100r ;encambio,paraslidosylquidos,n 1022 3cm yentoncesd 5 108cm,del orden der0. En consecuencia, en un gas las molculas estn (trmino medio) tan lejos una deotra que las fuerzas repulsivas o atractivas de corto alcance que se ejercen entre ellas se puedendespreciar3, salvo durante las colisiones. En cambio en los lquidos y los slidos, las molculasestntodolocercanasentresqueselopermitesurepulsinmutua,ycadamolculaestsiempre dentro del rango de interaccin de varias otras molculas vecinas.En el caso de un slido cristalino el arreglo de las molculas es ordenado y prcticamente per-manente. Debido a su energa trmica cada molcula efecta oscilaciones alrededor de su posi-cin de equilibrio en la red cristalina. Dicha estructura se mantiene prcticamente intacta hastaque la temperatura del slido alcanza el punto de fusin. Al fundirse, la densidad de la mayorade las sustancias disminuye4 slo ligeramente (unos pocos %), pero esta pequea variacin de ladistancia media es suficiente para producir cambios muy importantes de su estructura.El conocimiento del estado lquido todava es incompleto. Sin embargo, se sabe que el arreglo delas molculas es parcialmenteordenado:lasmolculasformangruposquesemuevenencon-junto y cambian continuamente, perdiendo molculas e incorporando otras. Esta es la razn porla cual cualquier fuerza aplicada a un lquido produce una deformacin sin lmite pero sin cam-bio de volumen.Veremos ms adelante que el mecanismo microscpico por el cual un lquido opone resistencia alos cambios de forma es diferente al que se tiene en el caso de un gas. Sin embargo a nivel ma-croscpicolosefectossonanlogos.Porlotanto,enladescripcinmacroscpicadelmovi-miento de gases y lquidos se emplean las mismas ecuaciones, y se los trata conjuntamente enunadisciplinadenominadaMecnicadeFluidos. Dentro de la Mecnica de Fluidossedistin-guen ulteriormente dos ramas: la Hidrodinmica, que estudia el movimiento de fluidos con den-sidadconstante(incompresibles),ylaDinmicadeGases, que hace lo propio con fluidos dedensidadvariable(compresibles).Debequedarclaro,sinembargo,queunmismofluido(porejemploelaire)sepuedecomportarcomocompresibleocomoincompresible,segnlascir-cunstancias. Por lo tanto dicha distincin no se refiere a la naturaleza del fluido (composicinqumica, densidad, temperatura, etc.) sino al tipo de movimiento que est ocurriendo. Las condi-ciones bajo las cuales el movimiento de un fluido involucra (o no) variaciones de su densidad, osea, que pueda ser tratado como compresible (o incompresible) las aclararemos ms adelante enel Captulo 10. Mientras tanto daremos a la compresibilidad o incompresibilidad del flujobajo estudio el carcter de hiptesis a priori, sujeto a establecer despus los criterios para decidircul hiptesis se debe aplicar en cada situacin concreta. Sin embargo podemos adelantar que enla mayora de los casos de inters prctico, los lquidos se comportan como incompresibles; encambio, para los gases se pueden dar ambos tipos de movimiento.Hiptesis del continuoHemos visto en la seccin anterior que las molculas de un gas estn separadas por regiones va-cas cuyas dimensiones lineales son mucho mayores que las de las molculas mismas. Pero in-cluso en un lquido, en el cual las molculas estn estrechamente empaquetadas, la masa (que 3Esporestemotivoqueungasmuyenrarecidoycuyatemperaturaesmuyelevadasecomportacomoungasperfecto.4Un caso excepcional es el del agua, en que el hielo es menos denso que el agua lquida.1. Nociones bsicas4reside esencialmente en los ncleos atmicos) dista mucho de estar distribuida uniformementeenelespacio.Otrasmagnitudes,ademsdelamasa,tienentambindistribucionesespacialesaltamente no uniformes en la escala microscpica.Sin embargo, en muchas aplicaciones de inters prctico tan slo nos interesa el comportamientode la materia en una escala macroscpica, mucho mayor que la distancia intermolecular media d.Este es el caso de la Mecnica de Fluidos, y gracias a ello podemos ignorar la estructura mole-cular de la materia cuando describimos su movimiento.La hiptesis bsica de la Mecnica de Fluidos consiste en suponer que en escala macroscpica,un fluido se comporta como si estuviera dotado de una estructura perfectamente continua, o, sise quiere, como si no tuviera estructura alguna. De acuerdo con ello, magnitudes como la masa,la cantidad de movimiento y la energa, asociadas con la materia contenida en una pequea par-cela del fluido, se consideran uniformemente distribuidas en el volumen de la parcela (en vez deestar concentradas en una pequea fraccin de ste, como realmente ocurre).Para aclarar esta idea mediante un ejemplo, y a la vez dar una definicin operativa de las mag-nitudes que caracterizan el estado de un fluido, nos ocuparemos de la nocin de densidad.Consideremos el cociente( ) ( ) / L MV V =entre la masaMV ( ) contenida en un volumen V deuna porcin del fluido y el volumen mismo, como funcin de la dimensin lineal caractersticaL V =13 / de la porcin. Una representacin cualitativa de( ) Lse da en la Fig. 1.2.l(L)lL1-2L2-3Dominio 1 Dominio 2 Dominio 3LFig. 1.2. Comportamiento de la densidad media( ) ( ) / L MV V =como funcin de L. En laescala microscpica (dominio 1)( ) Ltiene fluctuaciones irregulares de gran magnitud, ypor lo tanto el concepto de densidad media carece de significado fsico. Sin embargo, sepuede observar que en el dominio 2 tiene sentido hablar de la densidad del medio, dadoque all( ) Les independiente del tamao L de la muestra.En la Fig. 1.2 se pueden distinguir claramente tres dominios diferentes:Dominio 1: para valores muy pequeos de L, del orden de d, la granulosidadde la materia pro-duce variaciones bruscas de( ) L ; este es el dominio microscpico.Dominio2:enunintervaloenqueelvalordeLespequeoenlaescalamacroscpica,perogrande respecto de d,( ) Lse mantiene prcticamente constante e independiente de L.1. Nociones bsicas5Dominio 3: cuando L es muy grande,( ) Lya no se mantiene constante.El lmiteL1 2 entre los dos primeros dominios depende del estado de condensacin; para un gasapresinytemperaturanormalesL1 25 610 10 cm,yparaunlquidoounslidoL1 2710 cm. El lmiteL2 3 entre los dos ltimos dominios (macroscpicos) depende de lasparticularidades del sistema sobre escalas grandes, que habitualmente suelen ser mayores que 1mm, excepto cerca de superficies especiales (por ejemplo, interfases lquido-gas), que se obser-van como discontinuidades macroscpicas. En consecuencia podemos concluir que en el inter-valoL L L1 2 2 3 < < (regin2)tienesentidodefinirunadensidaddelelementodelfluido,puesnodependenidelaformanideladimensindelvolumendemuestreo V.Demaneraanlogapodemosdefinirunadensidaddecantidaddemovimiento,deenerga,,etc.,yporconsiguiente tambin una velocidad del fluido.En base a estas definiciones podemos enunciar la Hiptesis del Continuo de la manera siguiente:En una descripcin del movimiento de un fluido, tal que concierna muestreos sobre dimen-siones mayores o iguales queL1 2 , la materia, la cantidad de movimiento y la energa sepueden suponer uniformemente distribuidas dentro de los elementos de volumen conside-rados.Matemticamente, esto equivale a considerar que =lim( )VMVV0, , etc. (1.1)aunque, en realidad, tal lmite no existe.En consecuencia, vamos a suponer que en cada punto5 r en el seno de un fluido, es posible defi-nir una densidad , una velocidad u, una aceleracin a, etc.; en general, dichas magnitudes de-pendern de la posicin r y del tiempo t.Debe quedar claro que la Hiptesis del Continuo no implica que todo rastro de la granulosidadde la materia desaparece de las ecuaciones macroscpicas del movimiento. En estas ecuacionesquedan coeficientes6 que no se pueden calcular o estimar sin recurrir a modelos microscpicos.Pero el clculo de dichos coeficientes es misin de la Mecnica Estadstica, y no nos vamos aocupar de l en este curso.No es fcil, en general, justificar la Hiptesis del Continuo y establecer su rango de validez entrminos del comportamiento de la materia real. A los fines de estas notas podemos aceptar quesu justificacin radica en el comportamiento macroscpico de los fluidos tal como resulta de laobservacin y los experimentos. En tal sentido le daremos el valor de principio fundado en laexperiencia. De esta forma aceptaremos como resultados experimentales que la densidad, la ve-locidad, la aceleracin,, etc. de un elemento de fluido suficientemente pequeo son indepen-dientes del tamao y la forma de dicho elemento, sin preocuparnos por el lmite inferior del Do-minio 2 (esto es, operando como si este lmite no existiera). Precisamente, para nosotros el sus-tento de la Hiptesis del Continuo consiste en la observacin emprica que la existencia de eselmiteseirrelevanteenloqueserefierealadescripcinmacroscpicadelmovimientodelfluido. 5En lo sucesivo indicaremos las magnitudes vectoriales y tensoriales con smbolos en negrita.6Coeficientes de viscosidad, de conductividad trmica, de tensin superficial e interfacial, etc..1. Nociones bsicas6Fuerzas de volumen y de superficie en un fluidoConsideremos un elemento de fluido de volumen V rodeado por una superficie cerrada S. Distin-guiremos dos clases de fuerzas que actan sobre el fluido contenido en dicho elemento: fuerzasde volumen y fuerzas de superficie.Fuerzas de volumenSon las fuerzas que no dependen de la interaccin del fluido en V con el fluido que lo rodea. Porlo tanto existiran tambin si V estuviera rodeado por el vaco. Ejemplos de esta clase de fuerzasson el peso y las fuerzas ficticias o inerciales7 (si estudiamos el movimiento del fluido en un re-ferencialnoinercial).Enelcasodefluidosconductoresdelaelectricidad,comolosplasmas,habr que considerar tambin a la fuerza de Lorentz. Nosotros nos limitaremos en este curso a lagravedad y a las fuerzas inerciales.Estasfuerzassellamandevolumenporquesepuedenconsiderardistribuidasuniformementedentro de V. Dado el carcter de las fuerzas de gravedad e inerciales, las podremos escribir comoF g g = =M dVV (1.2)AquMindicalamasacontenidaenV,yelltimopasoesposiblegraciasalaHiptesisdelContinuo8. Debe quedar claro que g no es solamente la aceleracin de la gravedad: en un refe-rencial no inercial general incluye tambin las aceleraciones lineal y de Coriolis.Fuerzas de superficieSon las fuerzas que dependen de la interaccin del fluido en V con el fluido adyacente y por lotanto se ejercen sobre V a travs de S. Naturalmente, por la Tercera Ley de Newton, el fluido enVejercefuerzasigualesycontrariassobreelfluidoadyacente.Delpuntodevistafsicoestasfuerzas pueden tener dos orgenes: (1) el transporte de cantidad de movimiento por migracin demolculasatravsdeS(engasesylquidos),y(2)lasfuerzasintermoleculares,quelasmolculas de un lado de S ejercen sobre las molculas del otro lado de S (en lquidos solamente).En ambos casos destacamos el carcter superficial de estas fuerzas (recordemos que las fuerzasintermoleculares son de corto alcance).Es conveniente definir las fuerzas de superficie asocindolas con elementos de superficie planosdS n = dS , identificados por su rea dS y su normal n. Ms an, se suelen expresar las fuerzas desuperficie en trminos de los esfuerzos (denominacin que indica las fuerzas por unidad de su-perficie). Debe quedar claro, sin embargo, que lo que nos interesar establecer, para cada ele-mento de volumen del fluido, es la resultante de las fuerzas de superficie, calculada sobre el reaque lo limita.Propiedades generales de las fuerzas de superficieEn la Fig. 1.3 hemos representado dos elementos de fluido separados por una superficie plana dS(paraunarepresentacinmscmoda,loshemosdibujadodesplazados).Porconvencin,lafuerzadF n r ( , , ) tes la fuerza de superficie que ejerce el fluido hacia el cual se dirige n sobre el 7Por ejemplo, la fuerza centrfuga y la fuerza de Coriolis; esta ltima es muy importante en las aplicaciones de laMecnica de Fluidos a la Meteorologa y a la Oceanografa.8Se ha supuesto tambin que g no depende de la posicin.1. Nociones bsicas7fluido desde donde proviene n. De este modo (ver la figura),dF n r ( , , ) tes la fuerza de superficieque la porcin 2 del fluido ejerce sobre la porcin 1.En trminos del esfuerzo , se tiene:dF n r n r ( , , ) ( , , ) t t dS = (1.3)Notar que, en general, dF y no son paralelos a n.ndSdF=Y(n,r,t)dSPorcin 1 Porcin 2Fig. 1.3. Fuerza de superficie que la porcin 2 del fluido ejerce sobre la regin 1. Ambasporciones son adyacentes, pero en el esquema se las ha desplazado para que la visualiza-cin sea ms cmoda.Por el Principio de Accin y Reaccin, la fuerza ejercida por 1 sobre 2 debe ser igual y contrariaa la ejercida por 2 sobre 1. Por lo tanto debe ser: ( , , ) ( , , ) = n r n r t t (1.4)Para comenzar a aclarar la relacin entre las fuerzas de superficie as definidas y su resultantesobre un elemento de volumen es til estudiar un ejemplo.nY(n,rB,t) = dFBdrnY(n,rA,t) = dFAdSB,rBA,rAFig. 1.4. Fuerzas de superficie que se ejercen sobre dos caras planas y paralelas que limitanun elemento fluido. El contorno lateral del elemento es arbitrario.1. Nociones bsicas8Sea una pequea porcin chata de fluido, limitada por dos superficies planas y paralelas AyB( n n nA B= = ) de igual rea dS, y cuyo contorno lateral es arbitrario (Fig. 1.4). En un dado ins-tante t, la fuerza de superficie ejercida sobre dicha porcin por el fluido ubicado debajo de A esdF n rA At dS = ( , , ) (1.5)La fuerza ejercida sobre esa misma porcin por el fluido ubicado encima de B esdF n rn r nn r n n rdF n n rrrB BA nA nA nt dSdr t dSt dS dr dS tdr dS tAA== += + [ ]= + [ ] ( , , )( , , )( , , ) ( ) ( , , )( ) ( , , )(1.6)Luego la resultante esdF dF dF n n rr= + = [ ]B A ndr dS tA( ) ( , , ) (1.7)Por lo tanto vemos quedF drn= O( ).En resumen, los esfuerzos ejercidos por el fluido externo sobre el fluido de la parcela que esta-mos considerando a travs de las caras planas y paralelas son iguales y opuestos a menos de tr-minos del orden dedrn. Esto es una consecuencia del principio de accin y reaccin y de la con-tinuidad que hemos supuesto para , y no tiene nada que ver con la naturaleza fsica de las fuer-zas de superficie.De resultas de esto, la fuerza resultante sobre la parcela resulta proporcional a la derivada espa-cial de a lo largo de la direccin normal a las caras y es del orden de la distancia entre las ca-ras. Ntese que la masa de la parcela esdm dr dSn= (1.8)Comparando (1.7) y (1.8) vemos que la aceleracin es independiente tanto de dS como de drn,como era de esperar si vale la Hiptesis del Continuo.El tensor de los esfuerzosEl ejemplo precedente muestra que la Hiptesis del Continuo implica que las componentes delos esfuerzos estn sometidas a ciertas restricciones. Para investigar en qu consisten esas res-tricciones, consideremos un elemento de volumen V centrado alrededor de un punto cualquieraP cuya posicin es r. Supongamos, por simplicidad, que V est limitado por superficies planas,pero por lo dems, que su forma y su tamao son arbitrarios.Claramente,laraznentrelaresultantedelasfuerzasdesuperficiequeactansobreVylamasa contenida en V debe ser la misma, en mdulo y direccin, cualquiera sea la forma y eltamao de V: de lo contrario, la hiptesis del Continuo no valdra para la aceleracin9. Este he-cho no implica nicamente relaciones entre los esfuerzos asociados con dos caras paralelas cer- 9 Cabe suponer, asimismo, que otras restricciones pueden surgir de considerar otras magnitudes.1. Nociones bsicas9canas (como las que ya vimos), sino tambin relaciones entre los esfuerzos asociados con ele-mentos de superficie apoyados sobre el mismo punto P, pero con diferentes orientaciones.xyzeyexeznbAybAxbAzbAFig. 1.5. Elemento de fluido en forma de tetraedro. La consideracin de la relacin entrelos esfuerzos sobre las diferentes caras del tetraedro, en el lmite en que el tetraedro es in-finitesimal, lleva a la definicin del tensor de los esfuerzos.En efecto, mostraremos ahora que el esfuerzo( ) nasociado con un elemento de superficie cuyanormal n es arbitraria, se puede expresar en trminos de los esfuerzos( ) ex,( ) ey,( ) ez aso-ciados con elementos de superficie mutuamente ortogonales, caracterizados por las normalesex,ey,ez. Para ver esto, consideremos las fuerzas de superficie que actan (en un instante t dado)sobre el fluido contenido en un elemento de volumen en forma de tetraedro, con tres caras orto-gonalesentres,dereasAx,Ay,Azycuyasnormaleshaciaafuerason,respectivamente,ex,ey,ez, y cuya cuarta cara tiene un reaA y normal exterior n (ver Fig. 1.5).Tenemos, por geometra, que A Ax x= e n , A Ay y= e n , A Az z= e n (1.9)Por otra parte, la resultante de las fuerzas de superficie es R n e e en e e n e e n e e n= + + + = [ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) A A A AAx x y y z zx x y y z z(1.10)donde hemos usado (1.4) y (1.9). Finalmente, la masa del elemento de volumen considerado es M V Ah = =13(1.11)siendo h la distancia desde la cara de rea A y el vrtice opuesto.Ahora bien, la aceleracin del elemento de fluido, dada por1. Nociones bsicas10aRn e e n e e n e e n = = [ ] M hx x y y z z3( ) ( ) ( ) ( ) (1.12)debe ser independiente del tamao del elemento de volumen, esto es, debe ser independiente deh.Porlotanto,lacantidadentrecorchetesen(1.12)debetenderacerocomohcuandoh 0. En ese lmite, las cuatro caras del tetraedro estn apoyadas en P, y todos los esfuerzosestn calculados en ese punto, esto es, en r. Tenemos entonces que para todo punto del fluidovale la relacin ( ) ( ) ( ) ( ) n e e n e e n e e n = + + x x y y z z(1.13)En trminos de componentes cartesianas, la (1.13) se expresa como x x x x x y y x z zy y x x y y y y z zz z x x z y y z z zn n nn n nn n n( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )n e e en e e en e e e= + += + += + +(1.14)Si llamamosij i ji j xy z = ( ) , , , , e = (1.15)las (1.14) se pueden escribir comoi ij jn ( ) n= (1.16)Ahora bien, puesto que y n son vectores fsicos (es decir, entes intrnsecos, que no dependendel sistema de coordenadas elegido para representarlos mediante componentes), las nuevas can-tidadesij deben representar en conjunto a otro ente intrnseco, que es un tensor de rango 2, quedenominaremos tensor de los esfuerzos.De acuerdo con la (1.15), la componenteij del tensor de los esfuerzos es igual a la componentei de la fuerza por unidad de superficie ejercida a travs de una superficie plana perpendicular aleje j, por el fluido situado hacia el lado positivo del eje sobre el fluido situado hacia el lado ne-gativo del mismo.Observemos que, en notacin vectorial, el flujo por unidad de superficie de un vector a a travsde un elemento de superficie plana caracterizado por una normal n se define como = a n (1.17)Naturalmente, en este caso es un escalar. Entonces, generalizando este concepto, de acuerdocon la (1.16) la magnitud se puede considerar como el flujo por unidad de superficie del tensorde los esfuerzos a travs de un elemento de superficie plano de normal n, slo que ahora esteflujo no es un escalar, sino un vector, justamente el vector (n). Esto se expresa en notacin ten-sorial compacta como = n (1.18)1. Nociones bsicas11donde eseltensordelosesfuerzos.Ademsdesersumamentecompacta,la(1.18)tienelaventaja de ser una expresin que no depende de ningn sistema de coordenadas.Resultante de las fuerzas de superficie sobre un elemento de volumenConsideremos ahora un elemento de volumen limitado por tres pares de caras perpendicularesentre s, orientadas segn los ejes de un sistema de referencia ortogonal (ver Fig. 1.6).dzdydxezeyexY(ex,x,y,z,t)Y(ex,x+dx,y,z,t)Fig. 1.6. La resultante de las fuerzas de superficie que actan sobre un elemento de fluidodepende de la variacin espacial del tensor de los esfuerzos.A partir del resultado ya obtenido para el caso del elemento limitado por caras paralelas, se ob-tiene fcilmentedF e e e = + +dx dydzx y zx y z ( ) ( ) ( ) (1.19)que usando la (1.15) se puede escribir en la formadF dVxiijj=(1.20)La resultante es entonces proporcional al volumen, cualquiera sea la forma del paraleleppedo.Estedioso,peronodifcilenprincipio,mostrarqueelresultado(1.20)valetambinparaunelemento de volumen de forma general, y que tambin vale si efectuamos rotaciones arbitrariasdel sistema de coordenadas.Es instructivo volver a la analoga del prrafo precedente. Habamos mostrado que la fuerza so-bre un elemento plano de superficie es igual al flujo del tensor de los esfuerzos a travs de eseelemento. Consistentemente con esto, la fuerza total ejercida sobre un cierto volumen es la inte-gral del flujo extendida sobre la superficie que limita dicho volumen. Extendiendo ahora la ana-loga, el vector cuyas componentes son ij jx /se puede considerar como la divergencia deltensor , slo que la divergencia de un tensor de rango 2 es un vector, y no un escalar (como esladivergenciadeunvector,otensorderango1).Deacuerdoconesto,podemosescribirla(1.20) en la forma compactadF = dV (1.21)1. Nociones bsicas12Para un volumen finito V, tendremosF dF = = V VdV (1.22)Por otra parte, de la (1.18) obtenemos queF n = dSS (1.23)donde S es la superficie que limita a V.El resultado (1.22) se podra haber obtenido a partir del teorema de la divergencia para tensoresde rango 2: la integral del flujo de un tensor de rango 2 sobre una superficie cerrada es igual a ladivergencia del tensor integrada sobre el volumen limitado por dicha superficie. Slo que ahoratanto el flujo como la divergencia de son vectores (tensores de rango 1), y no escalares, comoen el caso del teorema de la divergencia para vectores.Vemos as cmo el tema cierra: la necesidad que las magnitudes mecnicas macroscpicas cum-plan con la Hiptesis del Continuo conduce a que la resultante de las fuerzas de superficie sobreun elemento de volumen, debe ser proporcional al volumen encerrado, y no al rea de la superfi-ciequelolimita.Estaexigencia,sumadaalcarcterintrnsecodelarelacinquedebeexistirentre la fuerza ejercida a travs de un elemento plano de superficie y la normal a sta, implicaque la entidad matemtica adecuada para representar las fuerzas de superficie es el flujo de untensor de rango 2: el tensor de los esfuerzos, algunas de cuyas propiedades pasaremos a investi-gar ahora.Simetra del tensor de los esfuerzosConsideremos un elemento de volumen V de seccin cilndrica con eje paralelo al eje z y cen-trado en el punto O (ver Fig. 1.7). Calcularemos la cuplaz respecto del eje z de las fuerzas desuperficie ejercidas por el fluido externo al elemento sobre el interno. Consideraremos positivoel sentido antihorario, y al elemento de volumen lo suficientemente pequeo como para poderconsiderar uniformes en l a todas las componentes del tensor de los esfuerzos.Comencemos por calcular la fuerza ejercida por el fluido externo a travs de un elemento de su-perficie dl dz. Ser suficiente calcular las componentes x e y de dicha fuerza, puesto que la com-ponente z no contribuye a la cupla que nos interesa. Tenemos quedF dz dl n n dF dz dl n nx xx x xy y y yx x yy y= + = + ( ) , ( ) (1.24)puesto quenz = 0.Naturalmente, dF no tiene porqu ser paralelo a n (que coincide con el versor radialer), cuyascomponentes son, respectivamentenx = cosyny = sen .La cupladzrespecto del eje z debida a dF esd dr drndF n dFz r z x y y x = = ( ) ( ) e dF (1.25)Reemplazando (1.24) en (1.25) y usandodl dr d = obtenemos1. Nociones bsicas13d dr dz d n n n n n ndr dz dz x yx x yy y y xx x xy yyx yy xx xy = + += + 22 2[ ( ) ( )][ cos ( cos ] )sen sen2(1.26)expresin que debe ser integrada respecto de entre 0 y 2 para obtener la cuplaz. Al integrarde esta forma, el trmino con el productosen coses claramente nulo, y queda, entonces z yx xy yx xydr dz dV = = 2( ) ( ) (1.27)ezexeynedzdl = drdededrdFzFig. 1.7. Las fuerzas de superficie producen una cupla que tiende a producir una rotacinde un elemento cilndrico alrededor de su eje. Pero la aceleracin angular que resulta de-pende del radio del cilindro, lo cual contradice la Hiptesis del Continuo. Por lo tanto, enel lmite en que el radio tiende a cero, la cupla debe ser nula. Esto lleva a concluir que eltensor de los esfuerzos es simtrico.Por otra parte, el momento de inercia I del mismo elemento, supuesta uniforme su densidad , ypor lo tanto su masa dada pordM dV = , esI dMdr dV dr = =122 122 (1.28)De (1.27) y (1.28) resulta que la aceleracin angular ( d dt Iz / / = ) escala como12/ dr . Por lotanto depende de dr, en contradiccin con la Hiptesis del Continuo. En consecuencia, se debecumplir yx xy= (1.29)1. Nociones bsicas14Del mismo modo, considerando cilindros cuyos ejes son paralelos a los ejes x e y, se encuentraque zy yz=y xz zx= . Por lo tanto, en general, las componentes del tensor de los esfuerzosdeben cumplir las relaciones ij ji= (1.30)Un tensor de rango 2 que cumple la (1.30) se denomina simtrico. Lo que acabamos de demos-trar es que esnecesariamentesimtrico,locualreduceelnmerodecomponentesindepen-dientes de nueve a seis (al asignar seis, las tres restantes quedan determinadas por las relaciones(1.30)).exeye'ye'xmxymyx= mxyFig. 1.8. La simetra del tensor de los esfuerzosimplica que las fuerzas tangenciales sobreun elemento de seccin cuadrada se balancean de modo que tienden a producir una con-traccin en una direccin y una extensin en la direccin perpendicular a la primera. Estosugiere que con una adecuada eleccin de los ejes (ejes principales) debe ser posible redu-cir a forma diagonal la matriz formada por las componentes del tensor de los esfuerzos.Fsicamente, la condicin (1.30) implica que las fuerzas tangenciales sobre un elemento de sec-cincuadradasedebenbalancearalprimerordencomoseindicaenesquemticamenteenlaFig. 1.8. Tal combinacin de fuerzas tiende a producir la contraccin del elemento en una direc-cin y la expansin en la direccin perpendicular. Ntese que las fuerzas que intervienen en estetipo de deformacin son del mismo orden de las fuerzas de superficie, y no proporcionales a suvariacin entre dos superficies paralelas cercanas, como son las que producen el movimiento delelemento(resultantedadapor ).Lafiguramuestraintuitivamentecmo,limitndonosalplano, ser siempre posible elegir un sistema de coordenadas tal que, en el punto P, la fuerza desuperficie a travs de una superficie perpendicular a ex tenga la direccin ex, etc.; es decir, unsistemaenelquelascomponentestangencialesdelosesfuerzossonnulasenlassuperficiesperpendiculares a los ejes. Esta es una propiedad general de los tensores simtricos de rango 2:tales tensores se pueden siempre reducir a forma diagonal en el entorno de un punto.1. Nociones bsicas15Descomposicin del tensor de los esfuerzosDebido a la simetra del tensor de los esfuerzos se puede siempre determinar, en cada punto deun fluido, un sistema de ejes cartesianos( , , ) e e ex y z, denominados ejes principales, tal que en esesistema es diagonal, es decirij 0 solo sij i (1.31)Naturalmente, en general el sistema de ejes principales es diferente de punto a punto10.En el sistema de ejes principales, las tres componentes del esfuerzo sobre un elemento de super-ficie de normaln ( , , ) n n nx y z son( , , ) xx x yy y zz zn n n . El esfuerzo es paralelo a n solamenteen el caso especial xx yy zz= =, es decir cuando las componentes de tienen la forma ij ijA = (1.32)dondeij (delta de Kronecker) son las componentes cartesianas del tensor istropo unitario desegundo rango I.Es importante destacar que si tiene la particular expresin (1.32) en un cierto punto P para undado sistema de ejes cartesianos C, entonces la tendr para cualquier otro sistema C . Dejandodeladolademostracinformal,quesepuededarempleandolasfrmulasdetransformacinparalascomponentesdetensoresdesegundoorden,sepuedecomprenderdeinmediatoquedebe ser as. En efecto, si ij ijA =en C, est claro que el esfuerzo es puramente normal a tra-vs de cualquier superficie, independientemente de su orientacin, lo cual ya de por s aseguraque es tambin diagonal en todo otro sistema C . Pero, adems, el mdulo del esfuerzo debetener el mismo valor A cualquiera sea la orientacin de la superficie, ya que( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n22 2 2 2 2 2 2 2= + + = + + = xx x yy y zz z x y zn n n A n n n A (1.33)Por otra parte, las componentes de en Cno son otra cosa que los mdulos de los esfuerzos(necesariamente normales) a travs de superficies perpendiculares a los ejes de C , y por lo tantoellos tambin deben valer A. En consecuencia de lo dicho, la (1.32) implica que = AI (1.34)y por lo tanto, que el tensor de los esfuerzos es istropo.Una magnitud muy importante en la descripcin del estado de un fluido es el valormedio delesfuerzo normal en cada punto. El promedio se entiende sobre todas las posibles orientaciones (odirecciones de la normal) de un elemento de superficie (plano) apoyado en ese punto. Es bas-tante fcil comprender que este promedio se puede tambin calcular como el promedio del m-dulo del esfuerzo normal sobre la superficie de una esfera de radio que tiende a cero, centrada enP. Conviene destacar desde ahora que, si bien este promedio tiene dimensiones de esfuerzo, esdecir fuerza/superficie, no es una fuerza por unidad de superficie, sino evidentemente, una mag-nitud escalar, y como tal no se le puede atribuir direccin11. 10Porsupuesto,atravsdeunelementodesuperficiedeorientacinarbitrariaseguirnexistiendoesfuerzostangenciales.11 Justamente, se la define a travs de un promedio sobre todas las direcciones.1. Nociones bsicas16En el caso especial en que es istropo, es decir tiene la forma (1.34), el valor medio en cues-tin es obviamente A, puesto que ste es el valor del mdulo del esfuerzo normal cualquiera seala orientacin de un elemento de superficie. Por otra parte,A T = / 3, dondeTxx yy zz= + + = Tr( ) (1.35)es la traza (escalar invariante dado por la suma de los elementos diagonales) del tensor .Es posible demostrar que incluso cuando no es istropo,T / 3 representa el valor medio de laintensidad del esfuerzo normal. La demostracin rigurosa es engorrosa (pues involucra una inte-gral sobre el ngulo slido), pero podemos dar un argumento convincente mucho ms sencillo.Seaunelementodevolumencbicodeladoinfinitesimalb,centradoalrededordelpuntoP,cuyas caras son perpendiculares a los ejes de un sistema arbitrario C (cuyos ejes no necesaria-mente coinciden con los ejes principales de ). Como las componentes de se pueden conside-rar constantes en el volumen del cubo, los esfuerzos normales sobre las dos caras perpendicula-res al eje x tienen el mismo mdulo constante dado porxx. Anlogamente, los esfuerzos nor-males a travs de las caras perpendiculares a los ejes y, z, tienen mdulos constantes dados poryyyzz, respectivamente.Entonces el valor medio del mdulo del esfuerzo normal sobre lasuperficie de este particular cubo es12:2 2 26132 2 22 xx yy zzb b bbT+ += (1.36)Supongamos ahora rotar nuestro elemento, de modo que sus caras dejan de ser perpendiculares alos ejes de C; el clculo del valor medio de la intensidad del esfuerzo normal sobre la superficiedelcuborotadoaparentaserengorroso,puesaprimeravistaintervienenlascomponentesnodiagonales de y los ngulos entre las normales a las caras y los ejes. Sin embargo se llega deinmediato al resultado gracias al siguiente razonamiento: consideremos el sistema Ccuyos ejesson ortogonales a las caras del cubo en su nueva posicin; en este sistema el valor medio del es-fuerzo normal sobre la superficie es, obviamente, = T T / / 3 3, puesto que la traza de un tensoresunescalaryporlotantoesinvarianteanterotaciones.Enconsecuencia,cualquierasealaorientacin del elemento cbico en el espacio, el valor medio del esfuerzo normal sobre su su-perficie total esT / 3. Entonces, al promediar sobre todas estas orientaciones, obtenemos el valorT / 3 que se tiene para cada una de ellas, y por la simetra del cubo, este es tambin el resultadoque obtenemos si promediamos sobre todas las orientaciones de cada cara por separado.Estos resultados sugieren una descomposicin invariante de , como la suma de un tensor is-tropoI y un tensor simtrico de traza nula , es decir = + I(1.37)con I= =1313Tr Tr ( ) , ( ) I I (1.38) 12Nosellegaalmismoresultadosielelementodevolumenesunparaleleppedonocbico,puesalcalcularelpromedionoquedaasignadoelmismopesoalastresorientacionesortogonalesqueintervienen(lasquecorresponden a las caras ms grandes pesan ms en el promedio).1. Nociones bsicas17Para interpretar ms cmodamente la (1.37) podemos escribir sus componentes en el sistema deejes principales: = = +xxyyzzxxyyzzTTTTTT0 00 00 03 0 00 3 00 0 33 0 00 3 00 0 3//////(1.39)Supongamos que exista solamente la parte istropaI. Entonces la intensidad del esfuerzo nor-mal sobre la superficie de una esfera cuyo radio tiende a cero, es uniforme; es decir, por efectodel fluido que la rodea, nuestra esfera tiende a ser comprimida (siT > 0) o expandida (siT < 0)sin cambio de forma.Supongamos, en cambio, que existe slo la parte anistropa. Puesto que la traza de es nula, elfluido que rodea la esfera acta sobre algunos sectores tendiendo a comprimirla y sobre otros aexpandirla, de forma tal que en promedio la componente normal del esfuerzo es nula. Es decir, laesfera tiende a deformarse sin cambio de volumen (por esto se denomina desviador).En resumen:El efecto de las fuerzas de superficie sobre un elemento del fluido es, al primer orden, elde comprimirlo (o expandirlo) y deformarlo. La intensidad del primer efecto est dada porla tercera parte de la traza de , y la del segundo por la magnitud de las componentes de laparte anistropa , resultante de restar de el tensor de componentes( / ) Tij3 . En rde-nes ms altos, en forma proporcional a las derivadas espaciales de las componentes de ,las fuerzas superficiales dan lugar a una fuerza neta resultante capaz de desplazar el ele-mento en cuestin; esta fuerza es proporcional al volumen del elemento, y por lo tanto delmismo orden que las eventuales fuerzas de volumen que pudieran existir.Presin en un fluido en reposoEs un hecho experimental que un fluido confinado por un recipiente de paredes rgidas, tiende alreposo, es decir a una situacin donde no hay movimiento de elementos de fluido relativo a otroselementosoalasparedes,ydondetampocoocurrendeformacionesoexpansionesocom-presiones de dichos elementosEsto no implica, sin embargo, que es idnticamente nulo en un fluido en reposo: muchas ob-servacionesindicanlocontrario.Enefecto,esunaexperienciacomnquesievacuamosunacelda situada en la atmsfera en reposo, sus paredes sufren compresiones (claramente visibles silas paredes son elsticas), que incluso pueden llegar a romperlas. Anlogamente, la inmersin deun objeto hueco en el agua conduce a compresin de sus paredes y a una tendencia a flotar, queno se pueden atribuir sino al efecto de las fuerzas superficiales ejercidas sobre el objeto por elfluido que lo rodea. Tambin, extendiendo un poco el razonamiento, resulta claro que sobre todaparcela fluida de volumen V en el seno de un fluido en reposo, debe necesariamente actuar unaresultante neta no nula de las fuerzas de superficie ( = V ) que compensa a la fuerza (de vo-lumen) peso ( = Vg).Estosargumentos,ymuchosotrosquepodramosagregaryrefinar,muestranquesobrecadaelemento de volumen en el seno de un fluido en reposo actan fuerzas de superficie originadaspor el fluido que lo rodea, de modo que el valor medio de la componente normal del esfuerzosobre un elemento de volumen esfrico es diferente de cero. Adems, estas fuerzas tienen segu-1. Nociones bsicas18ramente un carcter puramente compresivo (o expansivo13). Puesto que el elemento no cambiade volumen, debe existir algo que se opone a dichos esfuerzos y que est ligado a las propieda-des termofsicas del medio (densidad, temperatura, estructura en el caso de los lquidos); se le daelnombredepresin y resulta adecuado atribuirle la magnitud14delvalormediodelesfuerzonormal ejercido por el fluido contenido en el volumen sobre el fluido que lo rodea, esto es:p T = / 3 (1.40)donde T es la traza de .Puesto que los elementos de volumen de un fluido en reposo no se deforman, se podra pensar,por analoga, que tambin debe existir algo que se opone a la deformacin. Sin embargo, nume-rosas experiencias muestran que a diferencia de los slidos, los fluidos no poseen rigidez (sinoslo resistencia a la rapidez de la deformacin, como ya dijimos al comienzo). Por lo tanto enlos fluidos en reposo la parte anistropa del tensor de los esfuerzos, que tiende a producir defor-maciones, debe ser nula.En conclusin, en los fluidos en reposo == 0 y el tensor de los esfuerzos se reduce a la parteistropa = = 13Tr( )I I p (1.41)cuyas componentes son: ij ij ijT p = = 13(1.42)Las dimensiones de la presin son fuerza/superficie, pero al igual que el esfuerzo normal medio,la presin es una magnitud escalar y no se le debe atribuir direccin.En trminos de la presin, la fuerza neta sobre un elemento de volumen, dada pordF = dV (1.43)se expresa comodF dVpxdVpxiijj i= = ( )(1.44)es decirdF = dV p (1.45)La (1.45) muestra que la fuerza surge de las variaciones espaciales de p, que determinan tantosu mdulo como su direccin.Del punto de vista fsico, es ms adecuado considerar a la presin como una magnitud propia delfluido, que caracteriza su estado en cada punto y que est ligada a su densidad, temperatura y 13Adiferenciadelosgases,enloscualesestasfuerzassonsiemprecompresivas,loslquidospuedenestarsometidos a fuerzas expansivas (que corresponden a presin negativa).14 Debe recordarse que nos estamos refiriendo a fluidos en reposo.1. Nociones bsicas19otros parmetros. Ntese que las dimensiones de p son tambin las de energa/volumen, es decirse la puede considerar como una densidad de energa. Esta manera de considerar a la presin esmuy adecuada en el caso importante de los gases perfectos donde como es notorio, la teora ci-ntica establece una simple proporcionalidad entre p y la energa interna por unidad de volumen,dada en este caso por la energa cintica media de las molculas15.Hemos visto que el tensor de los esfuerzos en un fluido en reposo es istropo. Esta es una pro-piedad que se puede atribuir al carcter istropo, o amorfo, de los fluidos. En un medio amorfo,dondenoexistenestructurasestablesniningunaotracaractersticaqueestablezcadireccionesprivilegiadas, el tensor de los esfuerzos no puede ser sino istropo, a diferencia de lo que ocurreen slidos con estructura cristalina.Cabe preguntarse de dnde proviene la parte anistropa de en los fluidos. La respuesta es: delcampo de velocidades . El tensor de los esfuerzos en un punto de un fluido depende no slo delestado termofsico local, sino tambin del campo de velocidades en el entorno de ese punto (msprecisamente, de las derivadas espaciales de este campo). Obviamente, el campo de velocidadesintroduce direcciones privilegiadas, y por eso la parte anistropa de puede tomar valores nonulos.Enlosfluidosenreposonohaycampodevelocidades,luegoeltrminoanistropoesnulo. 15Paraserexactoslaenergainternadeungascoincideconlaenergacinticadetraslacindelasmolculasnicamenteparaungasperfectodemolculaspuntiformas,estoes,quenoposeengradosdelibertadinternos.Enotros casos la relacin es ms compleja, pues slo una parte del contenido de energa por unidad de volumen de unfluido se puede identificar con la presin.2. Hidrosttica202. HIDROSTTICACuando una parcela de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas de volumeny de superficie que actan sobre ella debe ser nula. Si expresamos esta condicin por unidad devolumen, esto significa que en el equilibrio se debe cumplirf + = 0 (2.1)En un fluido en reposo el tensor de los esfuerzos tiene la forma ij ijp = , por lo tanto la con-dicin (2.1) se escribef = p (2.2)Si la fuerza por unidad de volumenf se debe a la gravedad tendremosf g = . La ec. (2.2) sedenomina ecuacin fundamental de la hidrosttica.Principio de ArqumedesSea un cuerpo de volumen V limitado por la superficie S, sumergido en un fluido en reposo cuyadensidad es . La fuerza que el fluido ejerce sobre el cuerpo, denominada empuje, valeE n = p dSS(2.3)Aqu n es la normal exterior del elemento de superficie dS del cuerpo. Por otra parte, la presinen el fluido est determinada por la condicin de equilibrio = p g 0 (2.4)Si aplicamos el Teorema de Green a la expresin de E y usamos la (2.4) resulta entoncesE g g = = = pdV dV MV Vf (2.5)donde Mf es la masa del fluido desplazado por el cuerpo. Por lo tanto, el empuje es igual en m-dulo pero de signo opuesto al peso del fluido desplazado, resultado que constituye el bien cono-cido Principio de Arqumedes.Equilibrio en lquidos con estratificaciones de densidadLa densidad de un lquido es funcin de la temperatura, la composicin qumica y la concentra-cin de eventuales solutos. Si alguno, o varios, de estos parmetros son funcin de la posicin, ladensidad ser diferente de un punto a otro del fluido1. La condicin de equilibrio= p g (2.6)vale tambin en este caso, pero el hecho que 1Esto es cierto an si consideramos incompresible al lquido.2. Hidrosttica21g e = gz(2.7)implica que el gradiente de la presin debe tener en todo punto la direccin z, o sea que en elequilibrio p x p y / / = = 0 (si as no fuera existiran componentes del gradiente de la presinque no podran ser equilibrados por la gravedad). Por lo tanto resulta quep pz = ( ) (2.8)y entonces la condicin (2.6) se reduce a la forma escalardpdzg = (2.9)Claramente, esta condicin se puede satisfacer slo si la densidad es tambin funcin solamentede z: = ( ) z (2.10)Un lquido cuya densidad depende solamente de z se dice estratificado. Por ejemplo, en el mar,la temperatura y la salinidad del agua dependen de z, y por lo tanto la densidad depende de z.La condicin de equilibrio (2.9) se puede cumplir cualquiera sea la estratificacin de densidad(2.10). Sin embargo, no todos estos equilibrios son estables, como mostraremos ahora.Consideremos el caso de un lquido 2 de densidad2 que descansa sobre otro lquido 1 de den-sidad1.Lasuperficiequeseparaamboslquidoseshorizontalyporlotantosesatisfacelacondicin de equilibrio. Vamos a mostrar que este equilibrio es inestable si 2 1>(como ocu-rre si tenemos agua sobre aceite).yxzhagLquido 2Lquido 1l2l1ABFig. 2.1. Estabilidad del equilibrio de dos lquidos superpuestos. Por efecto de la perturba-cin de la interfaz, el lquido 2 que ocupaba el volumen A ha descendido, pasando a ocuparel volumen B. Recprocamente, el lquido 1 que ocupaba el volumen B ha ascendido, pa-sando a ocupar el volumen A. El equilibrio es inestable si 2 1>pues la porcin del l-quido 1 que ha subido, al hallarse rodeada de un fluido ms denso, experimenta una fuerzaneta hacia arriba, a la vez que la porcin del lquido 2 que ha bajado y est dentro de unmedio menos denso est sometida a una fuerza neta hacia abajo: por lo tanto estas fuerzastienden a acrecentar la amplitud de la perturbacin.2. Hidrosttica22Para ver esto, consideremos una perturbacin del equilibrio, que consiste en que la superficie deseparacin deja de ser horizontal y toma la forma que se indica en la Fig. 2.1. Est claro que si 2 1> , en virtud del Principio de Arqumedes, sobre la porcin A del lquido 1 que se ha des-plazado hacia arriba (respecto del equilibrio) acta una fuerza neta dirigida hacia arriba. An-logamente, sobre la porcin B del lquido 2, que se ha desplazado hacia abajo, acta una fuerzaneta dirigida hacia abajo.A los fines del clculo vamos a suponer que el desplazamiento vertical de la superficie de sepa-racin tiene la forma2 ( a, =cte.): z a x = sen( / ) 2 (2.11)El volumen (por unidad de longitud en la direccin y) de las porciones A y B es V a = / (2.12)Por lo tanto, debido a la deformacin de la superficie de separacin, una porcin del lquido 1,que antes de la deformacin ocupaba el elemento B,hapasadoaocuparelelementoA. Vice-versa, la porcin del lquido 2, que antes de la deformacin ocupaba el elemento A, ha pasado aocupar el elemento B. Es decir, la perturbacin consiste en el intercambio de los lquidos conte-nidos en los elementos de volumen A y B.Como resultado de estos desplazamientos la porcin del lquido 2 que ha descendido ha sufridouna disminucin de su energa potencial3, dada por U mga V ga22222= = (2.13)mientras que la porcin del lquido 1 que ha ascendido ha tenido un aumento de energa poten-cial igual a U m ga V ga12121= = (2.14)La variacin neta de energa potencial del sistema es entonces U U U Vga = + = 1 222 1( ) (2.15)Claramente, se tendr U < > 02 1si (2.16)lo que significa que si el lquido ms denso est encima del menos denso, el equilibrio no co-rresponde a un mnimo de energa potencial. Por lo tanto el equilibrio es inestableyserompeespontneamente: el lquido ms pesado baja y el lquido ms liviano sube, hasta que terminan 2 Se ha supuesto esta particular forma de la perturbacin al solo objeto de fijar ideas. En realidad, se puede imaginarotrotipodeperfil(triangular,rectangular,etc.)paralasporcionesA y Byelresultadoeselmismoenloqueconcierne a la estabilidad o inestabilidad del equilibrio.3Elfactor2/provienedelclculodeldesplazamientodelbaricentrodelaporcindelfluido2quesehadesplazado.2. Hidrosttica23por darse vuelta. La descripcin detallada del desarrollo de la inestabilidad es muy complicada,puesto que las ecuaciones que la describen son no lineales y su evolucin depende de la formadelaperturbacininicial4.Paraunacondicininicialdelaforma(2.11)cuyaamplitudaesinfinitesimal, al comienzo de la inestabilidad la perturbacin conserva la forma sinusoidal y suamplitudcreceexponencialmenteconeltiempo(etapalineal).Perocuandolamagnituddelaperturbacin se hace apreciable, su forma deja de ser sinusoidal y su velocidad de crecimientoalcanza un valor de saturacin (etapa no lineal).En el caso opuesto (lquido denso en el fondo y lquido menos denso arriba), tendremos U > < 02 1si (2.17)y por lo tanto el equilibrio es estable pues corresponde al mnimo de la energa potencial. Si seperturba este estado, las fuerzas de empuje tienden a restituir el equilibrio. De resultas de estohay oscilaciones de la superficie de separacin, que se propagan en forma de ondas que se de-nominan ondas internas de gravedad.Noesdifcildemostrarquelacondicindeestabilidaddelequilibrioparaunlquidoconunaestratificacin continua de densidad esddz< 0 (2.18)Las ondas internas que se producen cuando se perturba una estratificacin estable de este tiposon de gran intersen oceanografa.Equilibrio de la atmsferaEl equilibrio de gases (y en particular, de la atmsfera) se puede estudiar tambin mediante laecuacin fundamental de la hidrosttica (2.2) pero se debe tomar en cuenta la compresibilidad,que relaciona la densidad con la presin.Si suponemos que el aire se comporta como un gas ideal, la ecuacin de estado esp RT = / (2.19)dondeeselpesomolecularyR = 8 3143 . K J/molKeslaconstanteuniversaldelosgases.Usando la (2.19) podemos eliminar de la ec. (2.6) y resultadpdzgRpT= (2.20)Integrando esta ecuacin obtenemospz pgRdzTzz( ) ( )exp( )= 00(2.21) 4Estetipodeinestabilidad,quehemospresentadoensuformamssencilla,esdegranimportanciayaseaenlanaturalezacomoenellaboratorio,ysedenominainestabilidaddeRayleigh-Taylorotambininestabilidaddeintercambio.2. Hidrosttica24Para calcular explcitamente esta integral y as obtenerpz ( ) es necesario saber cmo vara T conla altura. Esto lo consiguen los meteorlogos enviando globos sonda con instrumentos que mi-den T y envan a tierra esa informacin. Nosotros aqu vamos a estudiar el problema postulandoalgunas distribuciones de temperatura simples (aunque no realsticas).Atmsfera isotermaSi suponemosT T = =0cte. la (2.21) se integra de inmediato y obtenemospz p e zRTgz z( ) ( ) */ *= =00con(2.22)Por lo tanto, en una atmsfera isoterma la presin (y por lo tanto la densidad) disminuye expo-nencialmente con la altura, y se reduce por un factor 1/e en la altura caracterstica z*. Para la at-msfera terrestre (cuya composicin aproximada es 80% de N2y20%O2),sisuponemosunatemperatura de 300 K, resultaz* . 8 7 km.Atmsfera adiabticaEl modelo de la atmsfera adiabtica es til para describir la estabilidad del equilibrio atmosf-rico. Corresponde a tener en cada z la temperatura, densidad y presin que adquiere una masa deaire que evoluciona adiabticamente. Recordando la expresin de la energa interna de un gas,tenemos que para n moles de gasEfnRT nRT = = 211 (2.23)donde f indica el nmero de grados de libertad de las molculas y es el coeficiente adiabtico =+ ff2(2.24)En un proceso adiabtico no hay variacin de entropa y por lo tantodE pdV = . Entonces siuna porcin de aire se eleva adiabticamente en dz tendremosdEdznRdTdzp dVdz== 11 (2.25)Pero en una transformacin adiabticapV = cte. (2.26)de modo quepdV Vdp = / (2.27)Adems, en el equilibriodp gdz = (2.28)2. Hidrosttica25luego, teniendo en cuenta queV n = (2.29)resultadTdzgR= =adcte 1. (2.30)Integrando la (2.30) conseguimos la variacin de T con z en la formaTz TgRTz Tzzz z T Tz ( ) , * , ( ) = = == =000 011110 adad(2.31)Una vez conocido T(z) quedan tambin determinadas la presin y la densidad comopz p T T z T T ( ) ( / ) , ( ) ( / )/( ) /( )= = 0 010 01 (2.32)puesp RT0 0 0= / . Las frmulas (2.31) y (2.32) muestran que una atmsfera adiabtica tieneuna altura finita dada porzad: a esa altura T, p y se anulan.El gradiente adiabtico de temperatura se puede tambin escribir en trminos del calor especficoa presin constante, cp . En efecto, dec c Rp V= + / (2.33)y recordando quec du dTV = /yu U = / , obtenemosdTdzgcp= ad(2.34)Para aire seco( / ) . dT dzad K/m = 0 01 .Estabilidad del equilibrio atmosfricoEl gradiente adiabtico representa el valor crtico dedT dz /que separa distribuciones de tempe-raturacorrespondientesaequilibrioestable,dedistribucionescorrespondientesaequilibrioinestable. Sea, en efecto, un perfil de temperatura tal quedTdzdTdz> ad(2.35)o sea que a una altura zdeterminada,elgradientedelatemperaturarealesmayorqueelgra-diente adiabtico (perfil superadiabtico, ver la Fig. 2.2a). Esta situacin es de equilibrio esta-ble, pues un elemento de volumen de aire en z que se eleva adiabticamente en dz, es ms fro, yentoncesmsdensoqueelairequelorodeaensunuevaposicin.Luegorecibeunempujemenorquesupesoytiendeadescender,restituyendoaselequilibrio.Anlogamente,siunaperturbacin lo hace descender se encuentra rodeado de aire ms fro y ms denso, y recibe unempuje mayor que su peso y tiende a ascender y volver a su posicin de equilibrio.2. Hidrosttica26Trealz(a)z+dzTTadTrealz(b)z+dzTTadFig. 2.2. Estabilidad del equilibrio en la atmsfera. En (a) la temperatura real disminuyecon la altura ms lentamente que en una atmsfera adiabtica; luego una parcela de aireque se eleva adiabticamente en dz es ms fra, y entonces ms densa, que el aire que larodea; por lo tanto tiende a descender: la estratificacin es estable. En (b) la temperaturareal disminuye con la altura ms rpidamente que en una atmsfera adiabtica; por consi-guiente una parcela de aire que se eleva adiabticamente en dz es ms caliente, y entoncesmenos densa, que el aire que la rodea; por lo tanto tiende a ascender: la estratificacin esinestable.En cambio, si la distribucin de temperatura tiene un gradiente subadiabtico, es decir sidTdzdTdz< ad(2.36)el equilibrio es inestable (Fig. 2.2b). En efecto, un elemento de volumen que por causa de algunaperturbacin asciende en dz,seencuentrarodeadodeairemsfro,yporendemsdenso,demodoquetiendeaascender.Porlotantoelequilibrioesinestable,yseformancorrientesconvectivas.La distribucin de temperatura en la atmsfera vara de un lugar a otro de la Tierra, y en cadalugar determinado depende de la hora del da, de la estacin, y de las condiciones meteorolgi-cas del momento. En la Fig. 2.3a se indican (cualitativamente) perfiles medios tpicos de tempe-ratura para el verano y el invierno en latitudes intermedias. Vemos que la regin (1) ( h 15km)que constituye la tropsfera tienedT dz / < 0. En la tropsfera se pueden dar (o no) condicionesde inestabilidad, dependiendo del valor dedT dz / . La regin (2) (de 15 a 50 km de altura), quese denomina estratsfera, es siempre estable.El desarrollo de inestabilidades convectivas en la tropsfera es la causa de la formacin de c-mulonimbus,yelorigendelas tormentas de verano.Estosucedeporquelaintensaradiacinsolar en las horas ms calurosas del da aumenta fuertemente la temperatura del suelo y de lascapas de aire adyacentes (Fig. 2.3b). Por eso las condiciones de inestabilidad se suelen dar por latarde, y las tormentas de verano ocurren casi siempre entonces, o en las primeras horas de la no-che.Durante el invierno, en cambio, se produce a menudo lo que se llama inversin de temperatura.Esto sucede en las noches despejadas, cuando debido a la radiacin trmica que se pierde haciael espacio, el suelo y las capas de aire inmediatamente por encima de l se enfran mucho. En2. Hidrosttica27esos casos, el perfil T(z) tiene la forma indicada en (ii) en la Fig. 2.3b. Cuando esto ocurre, laestratificacin del aire cercano al suelo es sumamente estable. Si el aire es muy hmedo se pro-duce neblina en la madrugada, y el smog no se eleva y difunde, sino que permanece a baja alturay cerca del suelo.z(km)(a)T(K)10080604020200 250 300inviernoverano(2)(1)z(km)(b)20200 250 30015105(ii)(i)T(K)Fig. 2.3. (a) Perfiles medios tpicos de temperatura para el verano y el invierno para unalatitud intermedia. En la tropsfera (regin (1),h 15km) se tienedT dz / < 0 y se puedendar (o no) condiciones de inestabilidad. En cambio la estratsfera (regin (2), de 15 a 50km de altura) es siempre estable. (b) Detalle de la tropsfera. En verano la intensa radia-cin solar en las horas ms calurosas calienta el suelo y las capas ms bajas de la atms-fera produciendo condiciones de inestabilidad (curva (i)) que dan lugar a corrientes con-vectivas,formacindecumulonimbusytormentashaciaelfinaldelda.Enlasnochesdespejadas de invierno, el fuerte enfriamiento del suelo y las capas de aire ms prximas al debido a la radiacin trmica que se pierde en el espacio produce en la madrugada es-tratificaciones sumamente estables(curva (ii)) denominadas capas de inversin, que sue-len estar asociadas con neblinas matinales.Condiciones de contorno en interfasesSe denomina interfase el contorno que separa dos fases diferentes (por ej. una fase slida de unafase lquida o gaseosa), e interfaz el contorno que separa dos medios de diferente constitucin(por ej., dos lquidos no miscibles), en una misma fase.2. Hidrosttica28Las condiciones que se plantean en la superficie que separa un fluido de otro fluido o un fluidode un slido requieren especial consideracin, ya sea porque afectan el movimiento de los flui-dos,comotambinporquedanlugaravariosfenmenosimportantesensituacionesestticas.Ntese, en primer lugar, que si un elemento de volumen es atravesado por un tal contorno, por logeneral no es cierto que la diferencia entre las magnitudes de la fuerza de superficie sobre la caraque se encuentra de un lado del contorno y la fuerza sobre la cara opuesta escala como la distan-cia entre las caras.El transporte de energa y de cantidad de movimiento a travs del contorno entre dos medios serealiza tanto por migracin de molculas como por efecto de las fuerzas intermoleculares, de lamismamaneraqueatravsdeunasuperficieenelsenodeunfluidohomogneo.Porconsi-guiente, magnitudes como la temperatura y la velocidad tienden a tomar rpidamente, o a man-tener, el mismo valor de ambos lados del contorno. Pero no ocurre necesariamente lo mismo conel transporte de masa, si uno o ambos medios estn constituidos por materia condensada (slidoso lquidos). Muchas veces, las diferencias de composicin qumica (tipo de molculas) y de den-sidad entre los medios separados por el contorno se reducen con extrema lentitud. En tales casos,esas diferencias son duraderas y casi permanente. Consideremos, por ejemplo, una interfase l-quido-slido: las molculas del slido estn ligadas a la red cristalina, y aunque algunas mol-culas del lquido penetran ocasionalmente en el campo de fuerzas de las molculas del slido, selimitan a transferir energa (calor) y cantidad de movimiento, y regresan al lquido sin producircambios en la composicin y/o la densidad de los medios.En base a la Hiptesis del continuo, la Mecnica de Fluidos trata estos contornos como superfi-cies matemticas ideales, donde las propiedades del fluido presentan discontinuidades y las ca-racterizaporciertaspropiedadesmacroscpicas.Talespropiedadessesuponenconocidas,seacomo datos experimentales, sea como resultados de teoras microscpicas.Nosotros no limitaremos al ms vistoso e importante de los efectos mecnicos que aparecen enla escala macroscpica de resultas de los fenmenos interfaciales: la tensin superficial.Tensin superficialTodo el mundo ha observado alguna vez gotas lquidas en un medio gaseoso y ha visto la formacurva que asume la superficie libre de un lquido en reposo cerca de las paredes del recipienteque lo contiene. Tales observaciones no se pueden explicar mediante la condicin de equilibriohidrosttico (2.6), pues es evidente que segn la (2.6), las superficies de igual presin y densidad(que deben ser paralelas a la interfaz en su entorno) son siempre perpendiculares a la direccinde la gravedad.Es fcil mostrar que si la presin fuese la nica fuerza de superficie presente, no slo toda inter-fase debera ser plana, sino que tampoco podran ocurrir saltos de presin a travs de una inter-fase, contrariamente a lo que muestra el conocido fenmeno de la capilaridad.Para ello, consideremos un elemento de volumen chato atravesado por la interfaz entre dos flui-dos en reposo (Fig. 2.4). El espesor del elemento esh y sus caras 1 y 2 tienen un real2. Su-pongamos que exista una salto de presinp p2 1a travs de la interfaz. Debido a esa diferenciade presin habr una fuerza neta debida a los esfuerzos sobre las caras 1 y 2, cuya magnitud es( ) p p l2 12 (2.37)2. Hidrosttica29y por lo tanto es proporcional al2 y no a h. Por otra parte, la fuerza neta sobre la superficielateral debida a la presin debe ser proporcional a la superficie lateral, que escala como l h.Por consiguiente, prescindiendo de toda consideracin acerca de la direccin de estas fuerzas,est claro que son de orden distinto y no se pueden compensar entre s. Es evidente que tampoconinguna fuerza de volumen (que es proporcional a V h l =2) puede compensar la fuerza dadapor (2.37). Luego, si no existieran otras fuerzas de superficie que las debidas a la presin, debe-ramos tenerp p2 1= , de modo que la presin sera continua a travs de la interfaz.bl2bhp2p1Ccara 2cara 1Fig. 2.4. Elemento de fluido chato atravesado por una interfaz. La fuerza neta debido a ladiferencia de presin entre la cara 2 y la cara 1 escala comol2 y la fuerza neta sobre lacara lateral debida a la presin escala como l h. Por lo tanto no se pueden equilibrar. Seconcluye que para que sea posible el equilibrio, la interfase debe ser sede de fuerzas que seejercen sobre la curva C, que es la interseccin de la interfaz con la cara lateral.Por otra parte, en el seno de los dos fluidos (recordemos que estn en reposo) no pueden apare-cer otras fuerzas que no sean las debidas a la presin. Luego una diferencia de presin, si es queexiste, tiene que se compensada por otras fuerzas, que hasta ahora no habamos considerado. Elasiento de esas nuevas fuerzas no puede ser otro que la interfaz misma, o sea la abrupta transi-cin entre dos fluidos de distintas propiedades. Por lo tanto se deben ejercer sobre la superficielateral, que es la nica atravesada por la interfaz, ms precisamente sobre la curva C que resultade la interseccin de la superficie lateral con la interfaz. La fuerza que se ejerce sobre un ele-mentodelneadl de C debe ser normalalasuperficielateral,esdecirdebeestarenelplanotangente a la interfaz, y ser ortogonal a dl (esto ltimo es necesario por la condicin de reposo).Deben cumplir, adems, las siguientes condiciones:(a)Su resultante sobre un elemento extremadamente chato atravesado por la interfaz debe serproporcional al rea frontall2 del elemento, es decir, no debe tender a cero con h.(b) Suresultantesobreelmismoelementodebetenerdireccinopuestaalaresultante(2.37).Esta segunda exigencia, junto con la condicin que las fuerzas deben ser paralelas a la inter-faz, implica que slo puede darsep p2 1si hay curvatura de la superficie.Todo esto equivale a suponer que la interfaz entre dos medios se comporta como una membranade espesor infinitesimal, sede de fuerzas finitas, tangentes a su superficie. Por lo tanto la interfazposee untensin superficial cuya magnitud est determinada por un coeficiente , de modo talque:2. Hidrosttica30A travs de todo elemento lineal dl apoyado sobre una interfaz, la parte situada de un ladodel elemento ejerce sobre la parte que est del otro lado una fuerzadt , cuya magnitud esproporcional a dl y es independiente de la orientacin del elemento. La fuerzadtes tan-gente a la interfaz y normal a dl, y se expresa comodt n = dl(2.38)donde n es normal a dl y paralela a la interfaz, y su sentido va desde la porcin sobre lacual es ejercida la fuerza hacia la porcin que la ejerce. El factor que aparece en la (2.38)se denomina coeficiente de tensin superficial5, y le daremos signo positivo si la fuerzatdles atractiva. El coeficiente de tensin superficial es una propiedad de la interfase, es decir,de la naturaleza de los dos medios presentes de ambos lados de la misma, y de su estadotermodinmico.dt=a dl nCinterfazdl(a)(b)Fig. 2.5. Mostramos la misma situacin que en la Fig. 2.4, pero para mayor claridad hemosdibujado solamente la interseccin entre el elemento de volumen y la interfaz. A travs decada elemento dl de la curva C, la porcin (b) de la interfaz ejerce sobre la porcin (a) unafuerzadtque es tangente a la interfaz y normal a dl.En la Fig. 2.5 se ha representado la fuerzadtejercida por la porcin (b) de la interfaz sobre laporcin (a). En este caso, es positivo, puesto quedttiene el mismo sentido que n.Debido a la tensin superficial, para aumentar en A el rea de un elemento de superficie de lainterfaz es preciso realizar un trabajo W A = (2.39)y por lo tanto, habr una variacin A de la energa del sistema (que incluye la interfaz). Paratener en cuenta esto debemos agregar un trmino de energasuperficial, de la formaA,alostrminos que representan las energas de volumen de los medios (1) y (2).Del punto de vista de la termodinmica, el trabajo realizado al deformar la interfaz se almacenaen el sistema como energa libre de Helmholtz. La energa libre de Helmholtz es una funcin deestado termodinmica dada, por unidad de masa, porf , ( ) Tv e Ts = (2.40) 5Las dimensiones del coeficiente de tensin superficial son las de fuerza/longitud.2. Hidrosttica31dondeT es la temperatura, velvolumenespecfico,y e,slaenergainternaylaentropaporunidad de masa. La energa libre total F del sistema integrado por dos medios uniformes de den-sidades1,2, y volmenesV1,V2, con una interfase de rea A, tiene entonces la formaF V V A = f f 11 1 2 2 2+ + (2.41)dondef1,f2 son las energas libres por unidad de masa de los dos medios. Luego, en un pro-ceso en el cual las densidades1,2 y la temperatura comn T se mantienen constantes, el tra-bajo hecho sobre el sistema es W F A = = (2.42)Vemos entonces que se puede interpretar tambin como una energa por unidad de rea.Contorno de equilibrio entre dos fluidos en reposoVamos a suponer que es uniforme sobre la interfaz. En primer trmino, mostraremos que unasuperficie curva en estado de tensin ejerce un esfuerzo normal. Para ello consideramos el en-torno de un punto O de la interfaz (ver Fig. 2.6). Elegimos O como origen de un sistema de co-ordenadas cuyo eje z es normal a la interfaz. Seaz xy = ( , ) la ecuacin de la interfaz; entonces( , ) 0 0 0 =y x yOO= = 0 (2.43)puesto que la interfaz es tangente al planoz = 0. Supondremos que en el entorno de O, la inter-fazsepuedeaproximarporunasuperficiedesegundoorden;geomtricamente,estosignificaque en O, la superficie est caracterizada por dos radios de curvatura,Rx,Ry, correspondientescadaunoalascurvasqueresultandeintersecarlasuperficiecondosplanosortogonalesquecontienen al eje z, y que podemos considerar como los planos (x, z) e (y, z).Es un resultado bien conocido del anlisis matemtico que el radio de curvatura de una curvaplanay yx = ( ), est dado por112 32Ryy=+ ( )/(2.44)donde las primas indican derivacin respecto de x. Como en nuestro caso las derivadas primerasson nulas, los radios de curvatura en los planos (x, z) e (y, z) son, respectivamente1 12222R x R yx y= = , (2.45)Evaluemos ahora la resultantedF de las fuerzas ejercidas por la tensin superficial sobre doselementos de lnea dy paralelos al eje y, colocados a una distanciadx / 2 de O (ver Fig. 2.5). Lascomponentes x se compensan entre s, pero quedan las componentes segn z que se suman dandodF dy dx dy R dx dy xz x = = = 22 2 sen / ( / ) (2.46)2. Hidrosttica32puesto quesen dx Rx / 2 . Anlogo valor se encuentra si calculamos la resultantedFdelas fuerzas ejercidas por la tensin sobre dos elementos de lnea dx, paralelos al eje x, y coloca-dos ady / 2 de O, pero con 2 2/ yen lugar de 2 2/ x .Por lo tanto, la resultante de las fuerzas de tensin superficial que se ejercen sobre el elementodesuperficiedx dy delainterfaz,equivaleaunesfuerzonormalalainterfaz(oloqueeslomismo, a una presin) dado por:pdF dFdx dy x y R Rsz zx y= + = + = + 22221 1(2.47)Delateoradelassuperficiesdesegundoorden,sesabequelasumaentreparntesisesin-dependiente de la eleccin de los dos planos ortogonales: stos se pueden elegir arbitrariamente,pero habitualmente se eligen de modo que Rx,Ry sean los radios de curvatura principales. Porsupuesto,Rx,Ry se deben tomar con sus signos (dados por los signos de las derivadas segun-das). En todos los casos, las fuerzas que contribuyen a la presin equivalente sobre la interfazestn dirigidas hacia el respectivo centro de curvatura.zxRxeadydx/2yxdyRxRyOz=z(x,y)zdxFig. 2.6. Las fuerzas que actan sobre el elemento de superficie dxdy de la interfaz tienencomo resultante una fuerza neta normal a la interfaz, que se puede interpretar como debidaa una presin de superficie ps. La magnitud y el signo de ps dependen de la curvatura de lainterfaz.El esfuerzo normal ps se denomina presin de superficie. En el equilibrio, ps debe balancear ladiferencia entre las presiones ejercidas por los fluidos a ambos lados, dada por:2. Hidrosttica33p p p pR Rsx y= = = + 2 11 1 (2.48)de modo que la presin de superficie se suma a la presin del fluido dentro del cual se encuentrael centro de curvatura ms prximo. La (2.48) se denomina frmula de Laplace.Forma de una gota lquidaUncasointeresanteeseldeunpequeovolumendefluidocompletamenterodeadoporotro(gota o burbuja). Si el volumen es muy pequeo, los efectos de la gravedad (como veremos enseguida) se pueden despreciar y tanto p1 como p2 son uniformes. Luego el salto de presin es elmismo sobre toda la interfaz, el radio de curvatura es constante y la nica forma admisible es laesfera. A este resultado tambin se llega por la condicin de mnima energa: dado que es laenerga de superficie por unidad de rea, la mnima energa se tiene para una gota esfrica, puestiene el rea mnima para el volumen dado.Veamos bajo que condicin se puede despreciar la gravedad. La diferencia de presin debida ala gravedad entre los polos de la esfera es2gR, donde R es el radio de la esfera. Esta diferenciadebe ser despreciable frente a2 / R lo cual conduce ( R R Rx y= = ) a la condicinRg