Astrofsca AvanzadaMster FisymatBloque III: Introduccin amtodos numricos enastrofsicaCurso 2009-2010 Isabel PrezIntroduccin a mtodosnumricos en astrofsicaParte IFormalismos Euleriano y LagrangianoAproximaciones numricas a las ecuaciones diferencialesParte IIMetodos N-cuerpos, SPH, hidrodinmica EulerianaCondiciones iniciales,realizaciones N-cuerposCdigo Gadgethttp://www.mpa-garching.mpg.de/gadget/Detalles de la prcticaParte IIISimulacin de la evolucion de una galaxia con halo, bulbo ydisco usando un cdigo de N-cuerpos (Gadget)Entender los flujos hidrodinmicos, la mecnicaorbital y el transporte de radiacin es crucialpara entender como funciona el universo. Sonprocesos muy complejosLos mtodos analticos (tambin teora de la perturbacin) involucran unaaproximacin en las leyes fsicas que regulan los diferentes procesos. Aveces estas aproximaciones estn justicadas y nos ayudan a comprendermejor que procesos f sicos que dominan.Ejemplo: para resolver analticamente las ecuaciones de la estructuraestelar se asume que la densidad y/o la temperatura varian linearmentecon la distancia al centro, se asumen ciertas condiciones de contorno,que el coeciente de produccin de energia es constante hasta z=R/4 ycero de ah a la supercie, etc. asi podemos simplicar las ecuacionesdiferenciales que describen el problema( equilibrio hidrosttico +ecuacin de continuidad de masa + ecuacin de conservacin de laenerga + ecuacin del transporte de radiacin) en un conjunto deecuaciones simples que nos dan cualitativamente resultados vlidossobre la estructura estelarCuando empezamos a explorar regmenes en los que no podemos resolverLas ecuaciones analticas utilizamos metodos numricos. Es muy util obteneruna estimacin analtica de los ordenes de magnitud involucradospara compararlos a nuestros resultados numricos. Incluso los tratamientosnumricos mas complejos involucran aproximaciones y tambin hay numerososefectos numricos no fsicos que necesitan ser tratados, pero nos permiteninternarnos en la exploracin de regiones en las que los procesos fsicos sondesconocidos.Weiqun Shang, S.E. Woosley,University of California, SantaCruz, and A. Heger, Los AlamosNational Laboratory La funcin de distribucin describe en nmero departculas en un tiempo t que estn entre x y x+dx y tienenmomento entre p y p+dpAsumimos que las partculas estn sujetas a un campo defuerzaexterno F que no cambia en una distancia comparablea la distancia entre partcula Las ecuaciones hidrodinmicas y las de transporte deradiacin se derivan de los diferentes momentos de laecuacin de Boltzman que describe la evolucin de lafuncin de distribucin en el espacio de faseLeyes de la hidrodinmicaEcuacin de laconservacion de la masaEcuacin de laconservacin delmomentoMomento por unidad devolumen, densidad demomentoMomento por unidad dearea y tiempo, ujo demomentoFuerza que aparece por el gradiente de presin, queresulta del intercambio de energa de la velocidad deluido y las velocidades peculiares de las partculasdel uidoEcuacin de la energia Este trmino describe laexpansin o contraccin delmedioPara resolver estas ecuaciones,necesitamos una relacin entre la presin yla energa interna por unidad de volumen(ecuacin de estado)Leyes de la hidrodinmicaEn las ecuaciones anteriores se describe la evolucin delestado del medio a una posicin ja (formulacin Euleriana) laderivada del tiempo se reere a los cambios que ocurren comoresultado del ujo del medio por una posicin determinadaEn una formulacin Lagrangiana la derivada d/dt esta en unsistema que co-mueve con el medio, y se reere a los cambiosen un elemento/parcela del uido al cambiar de estado yposicion.A la posicin ocupada por un elemento del uido en un tiempot, la velocidad Lagrangiana tiene que ser igual a la velocidadEuleriana con la que el elemento de uido pasa la posicinLeyes de la hidrodinmicaEcuaciones Lagrangianas delmovimiento de fluidos:La velocidad Lagrangiana representa la velocidad en una parcela de uido,mientras que la velocidad Euleriana representa la velocidad de un uido aun tiempo y espacio determinado.Las leyes de la hidrodinmica soninherentemente lagrangianas puesto que se aplican a un uido enmovimiento en vez de a un uido que esta en en un lugar del espacio en ntiempo determinado. Podemos generalizar las ecuaciones anteriores suponiendoque el intercambio de partculas entre las diversas parcelasde uido no es despreciable(friccin interna o viscosidad)Ecuacin de Navier-Stokes Transferencia de radiacin (la energa interna no estransportada por el ujo del medio, es transportada porfotones) momentos de la ecuacin de Boltzman parafotones Medio conductor y magnetizado (ecuaciones de lamagnetohidrodinmica)Aproximaciones numricas a lasecuaciones diferenciales parciales(EDPs)modelar EDPs implica resolver los valores iniciales(la evolucin de un sistema descrito por una EDP esseguido en el tiempo) o resolver los valores decontorno (una o mas funciones describiendo elsistema se encuentran a cada momento dado) Ecuaciones elpticas, parablicas e hiperblicasPara resolver una EDP en un ordenador tenemos quediscretizar, es decir transformar la ecuacin en unsistema algebraico de ecuaciones.Aproximaciones numricas a lasecuaciones diferenciales parciales(EDPs)Discretizacin (cont.)Para ayudarnos en esta transformacin usamos puntos decuadricula o mesh points elegidosen el interior y borde deldominio de inters (dominio computacional) todos los puntosconstituyen la red-cuadricula grid (mesh) si tenemosderivadas en tiempo tambin podemos contruir un grid. Lasderivadas son remplazadas por incrementos nitosAproximaciones numricas a lasecuaciones diferenciales parciales(EDPs)Discretizacion (cont.)Que le pedimos a un esquemapara resolver nuestras EDPs Estabilidad Precisin Consistencia Eficiencia en CPUEstabilidad Incondicionalmente estable si el error decrece con eltiempo condicionalmente estable si decrece (y el intervalo detiempo esta por debajo de un valor crtico.El error crece y termina enmascarando las solucion sicarealVarios esquemas para probar la estabilidad (analisis vonNeumann , esquem de DuFort-Frankel)Soluciones numericas dedu/dt=-u(t)Con la condicion inicial u(0)=1Difusin, dispersin y resolucin del gridEn muchos esquemas de discretizacin se introducen trminosen las ecuaciones diferenciales que no estaban en las originales Si los errores estn dominados por el termino compuesto delas derivadas espaciales de segundo orden, habr perdida deprecisin atravs de la difusin numrica (resolver conintervalos espaciales y temporales menores..esquemas deordenes ms altos mejoran el problema) Si los errores estn dominados por la tercera derivadaespacial se introduce dispersin numrica (la velocidad depropagacin de la onda en el grid depende la longitud deonda(problemtica al alcanzar la resolucin de la red)http://www.lifelong-learners.com/pde/SYL/s1node13.php Un esquema tambin tiene que ser consistente..la ecuacinoriginal se tiene que poder recuperar en el limite !t, !x ! 0Hundimiento de la plataformapetrolifera Sleipner A en 1991La plataforma de arriba pesa 57000toneladas con un equipo de 40000toneladas, cuando se hundi seprodujo un seismo de 3.0 en la escalade Richter involucro una perdida de700 millones de dlares.El fallo se produjo por una imprecisin en la aproximacin delmodelo elstico de uno de los componentes, el cizallamientode subestim por un 47%. Un anlisis de elementos finitosms detallado despus del desastre predijo que se produciraun fallo a 62 metros, se produjo a 65 metros