INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRACONCEPTOS BÁSICOS

Expresión algebraica.

Cualquier combinación de números y letras ligados por operaciones aritméticas (suma, diferencia, producto,

cociente, potenciación, radicalización y logaritmos)

Ejemplos:

a) El doble de un número: Si al número, que es la incógnita, se le llama “n”, el doble de este será 2n

b) La mitad de un número más uno: Si al número, que es la incógnita, se le llama “a”, la mitad de este

será a2

si a este se le suma una unidad quedará a2

+1

Monomio.

Expresión algebraica en la que las únicas operaciones que, en su forma más simplificada, afectan a las

incógnitas (letras) son el producto, el cociente, la potenciación, la radicalización y el logaritmo.

Ejemplos:

a) R(b) = 4 (b3 )

2

b) P(c) = 5c

c3 c) H(k) = 7 4√27k

Polinomio.

Expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios.

Ejemplos:

a) P(s) = 4s2 – 1 b) Q(x) = x3 − 3x2 + 6x – 2

Valor numérico de una expresión algebraica.

Valor numérico que se obtiene al operar la expresión algebraica después de sustituir la/las incógnita/as por un

valor dado.

Ejemplos:

a) P(s) = 4s2 – 1 para s= 2 P(2) = 4 · 22 – 1 = 4 · 4 – 1 = 16 – 1 = 15 P(2) = 15

b) Q(x) = x3 − 3x2 + 6x – 2 para x= 7 Q(7) = 73 – 3 · 72 + 6 · 7 – 2 = 343 – 3 · 49 + 6 · 7 – 2 =

= 343 – 147 + 42 – 2 = 196 + 42 – 2 = 238 – 2 = 236

Q(7) = 236

1

Tanto a los monomios como los polinomios se les puede poner nombre propio. Para ello se elige una letra en mayúsculas seguida de la incógnita entre paréntesis como se ha visto en los ejemplos anteriores.

Ejercicios de aplicación de los conceptos básicos del álgebra:

1. Asocia cada enunciado con la expresión algebraica que le corresponde

a) Un número menos su tercera parte. _____

b) Los dos séptimos de un número. _____

c) Un número que supera a otro en 13 unidades. _____

d) El precio de un bolso aumentado en un 15%. _____

e) La edad de mi abuelo en 13 años. _____

f) El precio de un libro rebajado un 10%. _____

g) El producto de dos números enteros consecutivos. _____

h) La suma de las edades de un padre y un hijo dentro de 8 años. _____

i) Un número de dos cifras. _____

2. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes a los siguientes

enunciados.

a) Cuatro veces un número menos uno. _________________________

b) El triple de un número menos su tercera parte. _________________________

c) Elevar un número al cuadrado y añadirle una unidad. _________________________

d) El doble del cociente de dos números. _________________________

e) Los tres quintos de un número menos uno. _________________________

f) Un número más su mitad. _________________________

g) Un número más su anterior. _________________________

h) Un número impar. _________________________

i) La suma de tres números consecutivos. _________________________

j) El producto de un número por su anterior. _________________________

3. De las siguientes expresiones algebraicas marca con una X según sean monomios o polinomios.

Expresión algebraica Monomio Polinomio Expresión algebraica Monomio Polinomio

5x 3a2b3

x 2 + 2√2l2

a 2bc 3 3√p +p2

5

c2

1+ff

7 n√45 (s+2)2

-4+r

62

43

π r3

2

Son números consecutivos aquellos en los que para pasar de uno a otro hay que sumarles 1. Ejemplos:

a) 1, 2 y 3 son consecutivosb) -4, -3 y -2 son consecutivos.

1. 1,15f

2. k - 13

3. n(n+1)

4. b -b3

5. 0,9p

6. d + 13

7. (s + 8 ) + (r + 8)

8. 10y + w

9. 2d7

3d + j5 - i6 4 (x2 )

2

5(s + 3) 20 + 2y

4. Hallar el valor numérico simplificado de las expresiones algebraicas anteriores.

5. Un grupo de amigos decide comprar bocadillos y refrescos para merendar. Un bocadillo vale un euro y un

refresco 60 céntimos de euro.

a) Define las incógnitas del problema.

b) Escribe la expresión algebraica correspondiente.

3

Expresión algebraica Cálculo del valor numérico

5x para x=2

x 2 + 2 para x=4

a 2bc 3 para a=2, b=5 y c=3

5

c2 para c= 5

7 n√27 para n=3

-4+r

32 para r=-36

3d + j5 - i6 para d=3, j=2 y i=5

5(s + 3) para s=-26

3a2b3 para a=4 y b=3

√49l2 para l=7

3√p +p2 para p=22

1+ff

para f= 3

(s+2)2 para s=-2

43

π r3 para r=5,2

4 (x2 )

2

para x=4,4

20 + 2y para y=-12

c) Indica si se trata de un monomio o de un polinomio.

d) Calcula cuánto dinero se gastarán si compran 2 bocadillos y tres refrescos.

6. Un viajero quiere dejar su equipaje en la consigna de una estación de trenes y las tarifas se muestran en

un cartel como el siguiente:

Si n es el número de días, escribe la expresión algebraica que

da el precio para n días y calcula cuánto le costará a un viajero dejar su equipaje en consigna durante 3 días.

7. El valor numérico de A(t) = 2500 – 5t2 da la altura a la que se halla un objeto que cae, donde t representa

el tiempo transcurrido en segundos. Calcula la altura cuando no se ha iniciado el experimento y cuando han

pasado 10 segundos.

4

Tarifas de consigna

1er día ..................... 3€

Resto de días .......... 2€

OPERACIONES CON MONOMIOS

Recordar la definición de monomio...

Partes de un monomio:

1. Parte literal: Incógnitas con sus exponentes o raíces

2. Coeficiente: Factor numérico que multiplica o divide a la parte literal.

Ejemplo: Expresión algebraica del área del círculo: 4π r2, como π es un número (π=3,1415…) se debe

considerar así. La parte literal es r2 y el coeficiente 4 π

Grado de un monomio respecto a una incógnita: Es el exponente de la incógnita en cuestión.

Ejemplo: 8c2g5 Es de grado 2 respecto a c y de grado 5 respecto a g

Grado de un monomio: Es la suma de los exponentes de todas sus letras.

Ejemplo: 8c2g5 Los exponentes son 2 y 5 luego el grado total del monomio será 7 (2 + 5)

Monomios semejantes: Monomios que tienen la misma parte literal.

Ejemplos:

a) 8c2g5 y ½ c2g5 son monomios semejantes porque su parte literal (c2g5) es igual

b) 8c2g5 y 8c2g4 no son semejantes porque el grado respecto a g en el primero es 5 y en el otro es 4.

Suma y diferencia de monomios:

1. Monomios semejantes: Se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

Reducir a términos semejantes significa sumar o restar los monomios de manera que quede lo más

simplificado posible.

Ejemplos:

a) 6z + 3z = (6 + 3)z = 9z b) 12u2p - 3 u2p - 10 u2p = (12 – 3 – 10) u2p = - 1u2p = - u2p

2. Monomios no semejantes: No se pueden unir, de manera que el resultado será el polinomio formado por la

suma o diferencia de los distintos monomios.

Ejemplos:

a) 5b2 + 7iz no se puede sumar porque la parte literal no es la misma.

5

b) 9sh-5g no se puede restar porque la parte literal no es la misma.

Multiplicación o división de monomios por un número: El resultado será el producto del número por el

coeficiente y la parte literal se queda igual.

Ejemplos:

a) 5(7is) = (5·7)is = 35is b) (22kr):11 = (22:11)kr = 2kr

Multiplicación o división entre monomios: El resultado del producto o cociente de dos o más monomios será:

- Coeficiente: El producto o cociente de los coeficientes de todos los monomios que intervienen en la

multiplicación o división.

- Parte literal: El producto o cociente de todas las incógnitas de todos los monomios que intervienen en la

multiplicación o la división.

Ejemplos:

(3a) · (-9b) = 3·(-9) · a·b = -27ab

(- 19

g2 s)· (27gr s3 ) =(-19

·27)· ( g2 s·gr s3 )=-279

· (g2+1 s1+3 r ) = -3g3 s4 r

( t c7 a2 )·(18 a

t 2c5 )=(182 )·( t c7 a · a

t2 c5 )=9· (t 1-2c7-5a1+1 ) = 9 t-1 c2a2=9c2 a2

t=

9 c2 a2

t

(5fj ) : (25o f2)=

5 fj

25 o f2 =(525 )(fj

o f2 )=15

(f 1-2jo

-1 )=15

( f-1

jo-1

)=15

·jfo

=j5 fo

Retomando el concepto de grado...

Para poder decir cuál es el grado de un monomio en total o respecto a una incógnita se deberá reducir antes a

términos semejantes para evitar errores

Ejemplos:

(3a) · (-2a) = 3·(-2) · a·a = -27a2 Aunque se parte de dos monomios de grados uno, después de reducir a

términos semejantes se comprueba que el grado del monomio es 2.

t c7 ac5a

=t c2 El grado de este monomio sería 3 (1 + 2), mucho menor al grado que cabría esperar antes de

reducir a términos semejantes el monomio original.

6

Ejercicios de aplicación de las operaciones con monomios:

8. En cada uno de los siguientes monomios di cuál es su parte literal, su coeficiente y su grado total.

Monomio 5d 0,3k4-19

g2 srw8

-3 t2 q3

7-x2y3

Parte literal

Coeficiente

Grado

9. Reduce a términos semejantes.

a) –y2 – 7y2 =

b) 3,4v2 – 4,7v2 =

c)-34

x y2+78

x y2 =

d) 2x2y3z + 3x2y3z =

e) 2x3 − 5x3 =

f) 3x4 − 2x4 + 7x4 =

g) 2 a2bc3 − 5a2bc3 + 3a2bc3 − 2 a2bc3 =

h) -11ad2 + 6ad2 + 5ad2 =

7

i ) 3 m4

+m2

-m3

-m12

=

j) 2,7r3 - 4,9r3 + 3,1r3 – 1,9r3 =

10. Efectúa las siguientes sumas de monomios.

a) 3ba – a2 + 5a2 – ab =

b) 5g4

+72

+ g2- 52

- 3g4

- g2

=

c) mp8

+ mp2

- m2

2-

3mp8

+ m2

4 =

11. Multiplica los siguientes monomios.

a) (3r)·(-2i) =

b) 9(-19

g2s)=

c) (34 m)· (4mo )=

d ) (- 56

l2)· ( 4 l v3 )=

8

e ) (-58

a2 b)· (-12 b3 )

12. Realiza las siguientes divisiones:

a) 14 c3 d4 p5

7 c2 d2 p =

b) 15 x3 y5 y2 z3 x

=

13. Traduce al lenguaje algebraico, de la manera más simplificada posible, las siguientes expresiones.

a) La edad de Pepe es d. Dentro de nueve años su edad será... _________________________

b) Un número es n. Los tres quintos de ese número son... _________________________

c) En un gallinero hay g gallinas. ¿Cuántos picos y patas hay en el gallinero? _________________________

d) En un triángulo isósceles, el ángulo diferente mide 45º y cada uno de los ángulos iguales mide x grados. La

suma de los tres ángulos será... _________________________

e) Un chico tiene c años; otro, seis menos , y otro, tres más. Entre los tres tienen...

_________________________

f) Un bidón tiene b litros. Se extrae 1/5 del total y después 10 litros. Quedan... _________________________

g) Dos discos cuestan p euros cada unos. En uno me rebajan el 15% y en el otro, el 10%. Tengo que pagar por

los dos... _________________________

h) Carmen tiene s años, y su padre, el triple. Dentro de cinco años, las suma de sus edades será...

_________________________

i) En un huerto de h m2 se han plantado los 2/3 de superficie de tomates. Del resto, la mitad se dedica a

cebollas. Queda sin plantar... _________________________

14. Se tiene un cuadrado de 2l de lado. Aumentamos la altura en dos unidades y reducimos la anchura a la

mitad. Expresa el área de la figura resultante.

(Ayuda: El área de un cuadrado o rectángulo es lado por lado. Te será más fácil resolver el problema si te los

dibujas.)

9

15. Un cuadrado tiene de lado a cm. Se aumenta en x cm y se pide.

a) La expresión algebraica del área del cuadrado antes y después del aumento.

b) El área del nuevo cuadrado para a=5cm y x=2cm.

16. Un automovilista quiere dejar su coche en un aparcamiento. En el cuadro de tarifas de la entrada pone:

<<Precio de la primera hora o fracción: 2 euros. Por cada hora o fracción siguiente: 1 euro>>.

a) Escribe la expresión algebraica que da el coste por horas.

b) Calcula el precio si la conductora deja el coche tres horas en el aparcamiento.

c) ¿Cuánto tendría que pagar si hubiera dejado el coche 3:30h en el aparcamiento?

17. Escribe tres monomios que...

a) ...tengan el mismo grado pero que no sean semejantes.

b) ...sean semejantes.

10

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Recordar la definición de polinomio...

Grado de un polinomio: Es el mismo que el mayor grado de entre los de sus monomios.

Ejemplo:

Q(c,g,r,k) = 8c2g5 +9rk2 El grado del primer término es 7 y el del segundo es 3 por lo que el grado total

del polinomio será el mayor de los dos, 7.

Suma o diferencia de polinomios: El resultado es otro polinomio en el que se suman o restan los monomios

semejantes de ambos y los no semejantes.

Ejemplos: Siendo P(x,z) = x2 + 2x + 7z + 5 y Q(w,y,z) = 3w3 – y + z2 - 9z - 6

Suma P(x,z) + Q(w,y,z) = (x2 + 2x + 7z + 5) + (3w3 – y + z2 - 9z - 6) = x2 + 2x + 7z + 5 + 3w3 – y + z2 -9z - 6 =

= x2 + 2x + (7-9)z + (5-6) + 3w3 – y + z2 = x2 + 2x + (-2)z + (-1) + 3w3 – y + z2 =

= x2 + 2x -2z -1 + 3w3 – y + z2 = 3w3 + x2 + 2x –y + z2 -2z -1

Diferencia P(x,z) - Q(w,y,z) = (x2 + 2x + 7z + 5) - (3w3 – y + z2 -9z -6) = x2 + 2x + 7z + 5 - 3w3 + y - z2 + 9z + 6 =

= x2 + 2x + (7+9)z + (5+6) - 3w3 + y - z2 = x2 + 2x + (16)z + (11) - 3w3 + y - z2 =

= x2 + 2x + 16z + 11 - 3w3 + y - z2 = - 3w3 + x2 + 2x + y - z2 + 16z

Producto o cociente de un número por un polinomio: El resultado es un polinomio cuyos términos se

obtienen multiplicando el número por cada término del polinomio.

Ejemplos:

Producto: 4(x2 + 2x + 7z + 5) = 4·x2 + 4·2x + 4·7z + 4·5 = 4x2 + 8x + 32z + 20

Cociente: (x2 + 2x + 7z + 5):4 = ¼(x2 + 2x + 7z + 5) = x2 + 2x + 7z + 5

4=

x2 4

+1x2

+7z4

+54

Cociente: 4:( x2 + 2x + 7z + 5) = 4

x2 + 2x + 7z + 5

11

Producto o cociente de un monomio por un polinomio: El resultado es un polinomio cuyos términos se

obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplo: Siendo P(x) = 6x2 + 8x + 7 y Q(x) = 2x

Producto: P(x) · Q(x) = (6x2 + 8x + 7) · (2x) = 6x2·2x + 8x·2x + 7·2x = 12x3 + 16x2 + 14x

Cociente: P(x):Q(x) = (6x2 + 8x + 7):(2x) = 6x2:2x + 8x:2x + 7:2x

¿6 x2

2x +

8x2x

+ 72x

= 62

x2-1 + 82

x1-1 +72x

=3x + 4 x0 + 72x

= 3x + 4 + 72x

Producto entre polinomios: El resultado es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada

término del primer polinomio por todos los términos del segundo y sumando luego los términos semejantes.

Ejemplo: (3r4 + 4r2 – 3) · (9r – 1) = 3r4(9r - 1) + 4r2(9r - 1) -3(9r - 1) = 27r5 – 3r4 + 36r3 – 4r2 – 27r + 3

Cociente entre polinomios: Se puede dividir de dos maneras diferentes.

Procedimiento nº1

El procedimiento se explica a continuación en diferentes pasos junto al ejemplo (3x5 + 2x3 - x2 – 4):(x3 + 2x2 + 1)

Paso 1 Se escriben los dos polinomios ordenados según las potencias decrecientes de x. Si el polinomio

dividendo es incompleto, dejamos espacios en blanco correspondientes a los términos que faltan.

Grado del monomio 5 4 3 2 1 0

3x5 +2x3 -x2 -4 x3 + 2x2 + 1

Paso 2 Se divide el primer monomio del dividendo (En este caso 3x5) entre el primer monomio del divisor

(x3). Se multiplica el cociente obteniendo por el divisor y escribimos el opuesto del resultado.

Grado del monomio 5 4 3 2 1 0

3x5 +2x3 -x2 -4 x3 + 2x2 + 1-3x5 -6x4 -3x2 3x2

Paso 3 Se suman el dividendo y el producto obtenido cambiado de signo.

Grado del monomio 5 4 3 2 1 0

3x5 +2x3 +x2 -4 x3 + 2x2 + 1+ -3x5 -6x4 -3x2 3x2

- -6x4 +2x3 -4x2

Paso 4 Operando solo se ha llegado hasta el monomio de grado dos. Para seguir hay que bajar el monomio

de un grado menos, en este caso el de grado uno. En este caso no hay pero no pasa nada.

Se repiten los pasos dos y tres pero en lugar de tener en cuenta el dividendo se trabaja con el resultado

obtenido de la suma.

Este paso, el 4, se repite hasta que al sumar quede un polinomio de grado menor que el del divisor, que será el

resto de la división.

12

Grado del monomio 5 4 3 2 1 0

3x5 +2x3 -x2 -4 x3 + 2x2 + 1+ -3x5 -6x4 -3x2 3x2 – 6x + 14

- -6x4 +2x3 -4x2

6x4 +12x3 +6x- +14x3 -4x2 +6x -4

-14x3 -28x2 -14-32x2 +6x -18

Teorema del resto: Como en cualquier división, se puede comprobar que los cálculos son correctos operando:

Dividendo Divisor Cociente x Divisor + Resto = DividendoResto Cociente

Que expresado con polinomios queda:

D(x) d(x) C(x) x d(x) + R(x) = D(x)

R(x) C(x)Procedimiento nº2: Regla de Ruffini

Sirve para dividir cuando el divisor es de la forma x + (un número cualquiera)

El procedimiento se explica a continuación en diferentes pasos junto al ejemplo (x4 − 4x3 + 5x2 + x − 10):(x – 3)

Paso 1 Se separan los términos del polinomio que ocupa el lugar del dividendo igual que en el caso anterior

pero solo tomando los coeficientes de cada monomio.

Se forma la siguiente tabla.

Grado del monomio 4 3 2 1 0

1 -4 5 1 -10

Paso 2 Se coloca el número del divisor, cambiado de signo, en el lugar que se muestra a continuación y se

baja el coeficiente del monomio de grado mayor.

Grado del monomio 4 3 2 1 0

1 -4 5 1 -103

1

Paso 3 Se multiplica la raíz cambiada de signo por el coeficiente que se acaba de bajar y el resultado se

coloca justo debajo del coeficiente del monomio de un grado menor. Se suman y se coloca el resultado debajo.

Grado del monomio 4 3 2 1 0

1 -4 5 1 -103 3

1 -1

Paso 4 Se repite el proceso anterior hasta el coeficiente del monomio de menor grado.

Grado del monomio 4 3 2 1 0

1 -4 5 1 -103 3 -3 6 21

1 -1 2 7 11

13

Una división es

exacta cuando el

resto es nulo (cero).

Paso 5 El resultado de la división será de un grado menor que el divisor y tendrá los coeficientes obtenidos

en la última línea. El último número obtenido será el resto.

Grado del monomio 4 3 2 1 0

1 -4 5 1 -103 3 -3 6 21

1 -1 2 7 11

x3 -x2 2x 7 Resto = 11

De manera que (x4 − 4x3 + 5x2 + x − 10):(x – 3) = x3 – x2 + 2x + 7 y resto 11

Teorema del resto: Si dividimos P(x) entre x - a, el resto de la división coincide con P(a).

Ejemplo: P(x) = x4 − 4x3 + 5x2 + x – 10 y a = 3

P(3) = (3)4 – 4(3)3 + 5(3)2 + (3) – 10 = 81 – 4(27) + 5(9) – 3 – 10 = 81 – 108 + 45 + 3 – 10 = 11 = Resto

Ejercicios de aplicación de operaciones con polinomios:

18. Indica el grado de los siguientes polinomios.

a) Q(x) = x3 + 2x2 + x + 1 d) P(p,r,s,v) = 4vp2 + 7pvr4 + p + rs

b) S(x) = x6 – x5 e) R(a,s,x) = ½as2 – 32s + xas

c) T(a,x,y) = x4y + 4ay + 8 f) G(h,j) = hj – hj2 – h2j2

19. Dados los polinomios P(b) = 5b3 – 2b2 – 5b + 1, Q(b) = 2b3 – 3b +5 y R(b) = b2 -1, calcula y reduce a

términos semejantes cuando sea necesario.

a) P(b) + Q(b)

b) R(b) – Q(b)

c) R(b) + Q(b) – P(b)

d) 2Q(b) –R(b) -3P(b)

14

e) ¼R(b) +10Q(b) – ½P(b)

20. Efectúa las siguientes divisiones y comprueba que están bien operadas.

a) (2n4 – 5n3 + 3n2 – 6n + 7):(n2 – 5n + 1)

b) (r3 – 2r2 + 3r – 1):(r2 + 3r – 1)

c) (12p4 – 2p2 + 5):(p2 – 2p – 1)

15

21. Realiza las siguientes divisiones empleando la regla de Ruffini y comprueba que el resultado sea correcto.

a) (x4 – 3x3 + 4x – 2) : (x – 1)

b) (2x4 – 17) : (x + 2)

c) (x5 – 32) : (x – 2)

d) (x3 + 5x2 - 2x + 1) : (x - 3)

16

e) (x3 - 4x + 3x2) : (x – 3)

22. Una agencia de viajes, al contratar una excursión, exige un depósito de 100 euros que no se devuelve

aunque no se haga la excursión.

Además, hay que entregar, también en depósito, una cantidad por cada alumno que es la vigésima parte del

precio de la excursión por alumno.

a) Define las incógnita

b) Escribe la expresión algebraica que da el depósito.

c) Calcula el depósito si van 120 alumnos y paga cada uno 60€.

23. La arista de un cubo mide a cm. Expresa las siguientes magnitudes mediante monomios indicando en

cada caso el coeficiente y el grado.

a) Su volumen.

b) Su área.

c) La suma de las longitudes de todas sus aristas.

17

IDENTIDADES NOTABLES

Identidad: Es una igualdad algebraica que es cierta para valores cualquiera de las incógnitas que intervienen.

Las identidades sirven para transformar una expresión algebraica en otra más cómoda de manejar.

Cuadrado de la suma: El cuadrado de la suma de un binomio resulta el cuadrado del primer término + el

cuadrado del segundo término + el doble producto del primer por el segundo término

Ejemplos:

(3x + 2)2 = (3x)2 + (2)2 + 2·(3x)·(2) = 9x2 + 4 + 12x

(12 a + b2)2

=(12 a )2

+ ( b2 )2+2·(12 a)· ( b2 ) = 12

22 a2+ b4 +2·12

a· b2 = 14

a2 + b4 + 22

a b2 = 14

a2 + b4 + a b2

Cuadrado de la diferencia: El cuadrado de la diferencia de un binomio resulta el cuadrado del primer término +

el cuadrado del segundo término – el doble producto del primer por el segundo término

Ejemplos:

(3x – 2)2 = (3x)2 + (2)2 – 2·(3x)·(2) = 9x2 + 4 – 12x

(12 a – b2)2

=(12 a)2

+ ( b2)2– 2·(12 a )· ( b2 ) =

12

22 a2+ b4 – 2·12

a· b2 = 14

a2+ b4 – 22

a b2 = 14

a2 + b4– a b2

18

(a – b )2 = a2 + b2 – 2ab

(a + b)2 = a2 + b2 + 2abSe llama binomio a

cualquier polinomio

formado por dos

términos.

Suma por diferencia: La suma por la diferencia de un binomio resulta el cuadrado del primer término menos el

cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

(3x + 2) (3x – 2) = (3x)2 – 22 = 9x2 – 4

(12 a + b2)(12 a - b2)= (12 a )2

- ( b2 )2 = 12

22 a2 - b4 = 14

a2 - b4

Ejercicios de aplicación de identidades notables:

24. Desarrolla las siguientes expresiones del binomio de Newton.

a) (2f + r)2 =

b)(12 + x3)2

=

c) (3p + 7)2 =

d )(9 c+ 2 h4

)2

=

e) (2f – r )2 =

f)(12 – x3)2

=

g) (3p – 7)2 =

h)(9c – 2h4

)2

=

19

(a + b) (a – b) = (a2 – b2)

Tanto el cuadrado de la suma como el cuadrado de la diferencia se conocen como binomios de Newton en honor a

Isaac Newton, la persona que explicó la relación que acabamos de estudiar.

25. Escribe como cuadrado de un binomio las siguientes expresiones.

a) v2 + 1 + 2v = h) h4 + p2 – 2h2p =

b) 9k2 + n2 + 6kn = i) n2 + 9 – 6n =

c) 4t2 + 1 + 4t = j) f2 + 1 – 2f =

d) g4 + y2 + 2g2y = k) 4x2 + 1 – 4x =

e) d4 + d2 + 2d3 = l) 9r2 + w4 – 6rw2 =

f) a2 + 9 + 6a = m) 9q2 + c2 – 6qc =

g) 9j2 + y4 + 6jy2 = n) z4 + z2 – 2z3 =

26. Calcula los siguientes productos:

a) (6x + 2y) (6x – 2y) = d) (i2 + 4) (i2 – 4) =

b) (2b – a) (2b + a) = e) (7d2 – l3) ( 7d2 + l3) =

c) (r + rt2) ( r – rt2) = f) (35 w + 4 b2)(35 w - 4 b2)=¿

27. Expresa las siguientes diferencias como producto de dos binomios.

a) m2 – n2 =

b) x2 – y4 =

c) a2 – 9a2 =

d) r6 – r4 =

28. Desarrolla las siguientes expresiones e indica la identidad notable utilizada.

a) (4r3 + 8sr)2 =

20

b) (5t + √3 ) (5t - √3 ) =

c) (2c – ⅚)2 =

d) (q24 + 3

q2 )(q2

4 - 3q2 ) =

29. Completa las siguientes expresiones, sabiendo que se trata de identidades notables e indica de qué

identidad notable se trata en cada apartado.

a) (d + ........)2 = d2 + ........ + 4d

b) (........ + ........)2 = r2 + ........ + 4r3

c) (........ + ........) (........ – 3) = w4 - ........

d) (2c + ........) (........ - ........) = ........ – 9

Ejercicios de profundización

30. Un mago de feria planteaba el siguiente juego: “Piensa un número, añádele 15, multiplica por tres el

resultado. A lo que salga réstale 8. Divide entre tres y luego resta ocho”

¿Qué expresión algebraica es la que está planteando?

31. Efectúa y simplifica teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.

a) (2s - 12 )

2

- 3 (s2

2-

29 )(5s

3 ) =

21

b) (x2

2- 3)23 x (3x

2 +

13 )- x2(x

2-

173 )=

c) (32 x3 - 74

x2+x- 18 )- [(x3 -

58

x2 + 32 )- (1

4x3+

34

x- 54 )]=

32. Realiza las siguientes divisiones.

a) 12 n3s4 r5

3 n2 r2 s3 =

b) 36 a3b7 z5

12a2 b2 =

Ejemplo:

12 x3 - 9 x2 + 36x3 x

= 12 x3

3 x-

9 x2

3 x +

36 x3 x

= 123

x3

x-

93

x2

x +

363

xx

= 4 x3-1 - 3 x2-1 + 12 x1-1 = 4x2 - 3 x1 + 12 x0 = 4 x2- 3 x

c ) 12 x4 y z2 - 4a x2 y3 + 6 x2 y2 x2 y

=

d ) 8cba2 – 4 b4 c2a3 + 2abc2ab

=

22

Propiedad distributiva:

Cada término del polinomio

se divide por el monomio.

e) (x4 – 5x3 + 11x2 – 12x + 6) : (x2 – x + 2) =

f) 24 x2 z3 + 18 x2 z5- 48 x2 z4 + 12 x2 z7

6x2 z3 : ( z2- 2z + 1) =

33. En una división conocemos el cociente, C(x) = 3x2 + 14 x + 36; el resto R(x) = 78x – 69, y el divisor, d(x) = x 2

+ 14x + 36. ¿Cuál es el polinomio que corresponde al dividendo, D(x)?

34. Halla el valor de a para que la división (x2 – 4x + a) : (x – 3) sea exacta.

35. Comprueba si -1 es un valor que da valor numérico cero en el polinomio siguiente.

A(m) = m4 + 10m3 + 35m2 + 50m +24

23

Una división es

exacta cuando el

resto es nulo (cero).

36. En un puesto de frutas el kg de manzanas vale 1€; el de peras, 1,20€, y el de naranjas 80 céntimos de

euro.

a) Escribe la expresión algebraica que da el coste de la compra.

b) Calcula el coste de la compra si compras 3kg de manzanas, 4 kg de naranjas y 5 kg de peras.

37. El área de la base de un cilindro es πr2 y el área lateral es 2πrl. Expresa el área total del cilindro como un

polinomio.

38. El primer día de fiestas, Mercedes gastó ¼ del dinero que tenía para esas fiestas; el segundo sólo gastó

1,20€; el tercero ⅚ de lo que le quedaba y el último gastó 1224

de lo que le quedaba. ¿Qué expresión

algebraica expresa cuánto dinero le queda a Mercedes al acabar las fiestas?

24

2·c multiplican a todos los monomios una vez como mínimo.

2·2·y multiplican a todos los monomios una vez como mínimo.

39. El perímetro de un rectángulo mide 40 cm. Escribe la expresión de la altura en función del lado de la base

que mide b.

40. El área de un triángulo que tiene por medidas de los lados a, b y c viene dada por la expresión algebraica

o fórmula de Herón:

S (a,b,c ) = √(a + b + c)(a + b - c)(a – b + c)(-a + b + c)

Calcula el área para a=13, b=14 y c=15.

SIMPLIFICANDO POLINOMIOSCONCEPTOS BÁSICOS

Factor común.

Sacar factor común de un polinomio es extraer de él todos los términos comunes que multiplican a todos los

monomios que intervienen y expresarlo como el producto de los términos extraídos por los términos que

quedan en el polinomio después de la extracción.

Para ello hay que descomponer en factores primos los coeficientes de cada monomio.

Ejemplos:

6k3 + 3k2 – 7k = 2·3·k·k·k + 3·k·k – 7·k = k (6·k·k + 3·k – 7) = k (6k2 + 3k – 7)

20c3 + 14c2 – 12c = 2·2·2·c·c·c + 2·7·c·c – 2·2·3·c = 2·c (4·c·c + 7·c – 2·3) = 2c (4c2 + 7c – 6)

25

k multiplica a todos los monomios una vez como mínimo.

24xy2 – 12y + 32x2y3 – y=2·2·2·3·x·y·y –2·2·3·y + 2·2·2·2·2·x·x·y·y·y – 1·y = 2·2·y (2·3·x·y –3 + 2·2·2·x·x·y·y –1)

= 4y (6xy – 3 + 8x2y2 – 1) = 4y (8x2y2 + 6xy – 4)

Raíz de un polinomio.

Las raíces de un polinomio son aquellos números que dan como valor numérico cero al polinomio. Es decir,

todos los números que, al sustituirlos en un polinomio, el resultado es cero.

26