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TEMA 1

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO Y EVOLUCIÓN

HISTÓRICA

Profesora : Ana Domingo

Despacho: 422(4ª planta)

Teléfono: 913366481

Email : ana.domingo.preciado@upm.es

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1.1- ¿Una posible definición?

-Antigüedad de la disciplina: En 1700 a.C. los babilonios intentaban calcular valores “precisos” de la raíz de 2 usando técnicas propias del cálculo numérico.

-Análisis Numérico, Cálculo Numérico o Algorítmica/Algoritmia Numérica:

-”Rama de las Matemáticas que intenta obtener soluciones aproximadas por medio de operaciones elementales”

“Rama de las Matemáticas que diseña Algoritmos para, a través de reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real”

-La verdadera potencia del cálculo numérico se muestra en los problemas en los que la solución algebraica no es posible(la mayoría de los casos)

-Cálculo Numérico + Ciencia de los Computadores = Computación Científica

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-Pilares de la Investigación Científica:

TEORÍA

Investigación

Científica

EXPERIMENTACIÓN SIMULACIÓN NUMÉRICA

Fases del proceso de simulación numérica de un sistema físico:

SISTEMA

FÍSICO

MODELO MATEMÁTICO

Esquema numérico

Problema numéricoDatos

Experimen-

tales

Solución

Analítica Solución sobre el ordenador

VALIDACIÓN

Modificación del esquema numérico

Modificación del método de resolución

NO

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- Veamos un ejemplo sencillo para ilustrar las fases del proceso:Obtención numérica de la velocidad en función del tiempo,v(t), de un objeto en caída libre sometido a una fuerza de rozamiento del medio que varía de forma proporcional al cuadrado de la velocidad.

-Problema de la definición: Sus límites no son del todo precisos

-Algoritmo : Procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un nºfinito de pasos que se pueden ejecutar de una manera lógica:

Métodos Constructivos

-Análisis Numérico : “Andamiaje” que permite llevar a cabo todos los procedimientos matemáticos susceptibles de ser expresados algorítmicamente

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-Algunos conceptos importantes :

- Algoritmo

-Análisis de errores

-Estabilidad Numérica: Inmunidad a acumulación de Err. de Redondeo

-Estabilidad de los algoritmos

-Representación finita e infinita de números

-ERROR: Aparece como consecuencia de la naturaleza finita de los ordenadores

-Estabilidad del algoritmo : Procesos Iterativos y Convergencia

-Forma especial de representación de los nºs en el Ordenador(comaflotante,etc)

-Aplicaciones del Cálculo Numérico : Siempre que se necesite un Valor Numérico como solución de un problema matemático( y los procedimientos exactos no puedan dar una respuesta).

Física e Ingeniería

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1.2- Tipos de Problemas que puede resolver

-Clasificación según su dimensión:

-Problemas de dimensión finita: Su respuesta es un conjunto finito de nºs.

Ejemplos : Ecuaciones, determinantes, valores propios,etc

-Problemas de dimensión infinita: En su solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de nºs

Ejemplos : Integración y Derivación Numérica, Interpolación,etc

-Clasificación según su naturaleza:

1)Problemas que no poseen solución analítica

2) Sí poseen solución analítica pero ésta no puede aplicarse de forma sencilla en la práctica

3)Los métodos sencillos de resolución requieren una cantidad de cálculos excesiva(>>>> método numérico)

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1.3- Áreas de Estudio

-Veamos las distintas disciplinas del Análisis Numérico:

1)Cálculo de los Valores de una Función

2)Interpolación, Extrapolación y Regresión

Interpolación: Dado el valor de una función ? en un nºde puntos,¿cuál es el valor de la función en un punto entre los valores dados?

Extrapolación: Similar a la interpolación pero ahora buscamos el valor de la función en valores no comprendidos entre los valores dados.

Regresión: Considerando los datos con algún grado de imprecisión(MMCC)

3)Resolución de Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones

-S. de Ecuaciones Lineales :

Métodos directos(LU,Choleski,QR,etc)

Métodos iterativos(Jacobi,Gauss-Seidel,etc)

-Ecuaciones no Lineales(bisección,secante,Newton,linealización)

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4)Descomposición Espectral(valores y vectores propios) y en Valores Singulares

5)Optimización: Búsqueda de max y mín considerando ciertas restricciones.

Programación Lineal, método de los multiplicadores de Lagrange

6)Integración Numérica: Métodos basado en “divide y vencerás”: Se divide el intervalo de integración en subintervalos y calculan integrales en cada uno de ellos.

7)Ecuaciones Diferenciales: Soluciones Aproximadas

-EDO

-EDP´s

Se basan en la discretización de la E. Diferenciales.

Métodos de los Elementos Finitos

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1.4.- Una mirada a la historia de las matemáticas

-Nuestra definición se basa en el “Método Constructivo”, pero podemos preguntarnos:

-¿No es toda la Matemática constructiva en ese sentido?

-Hubo un tiempo en que sí fue así: Periodos de los triunfos clásicos de la matemática :

-Predicción de eclipses de Sol y Luna

-Predicción precisa de la aparición de un cometa

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-No consistía simplemente en mostrar que existían soluciones del problema matemático subyacente , se encontraban empleando Métodos Constructivos

-Punto Culminante de la Historia del Algoritmo: Leonard Euler(1707-1783)

Hagamos una pequeña reflexión sobre su fe ciega en el poder de las Matemáticas

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-A partir de Euler comienza un periodo de en el que la fe en la utilidad numérica del algoritmo decrece.

-Preferencia por el estudio de Existencia de Soluciones frente a la propia Construcción + Problemas causados por las exigencias computacionales de estos métodos = Sentimiento de “Impotencia Algorítmica”

-Los matemáticos se inclinan por los Métodos Lógicos en lugar de Constructivos :

Dedekind(1831-1916), Cantor(1845-1918)

-Victoria casi absoluta de los Métodos Lógicos en la 1ª mitad del siglo XX

-Curiosamente, la llegada de las primeras herramientas computacionales(1940), ha producido un renacer de las técnicas de Cálculo Numérico

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1.5- Modelos Matemáticos y solución de problemas en Ingeniería

Esquema del Proceso de Solución de problemas en Ingeniería:

Definición del

problema

TEORÍA MODELO DATOS

Herramientas para resolver problemas:

ordenadores,estadística,métodos numéricos,gráficos

Resultados Relaciones grupales:

numéricos o gráficos programación,optimización, Instauración

comunicación, etc

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-Primer paso en la resolución de un problema : Planteamiento del Modelo Matemático

-Una posible definición: Formulación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos.

-Representación general de un Modelo Matemático:

Variable dependiente = f (variables independientes,parámetros,funcionesde fuerza)

Variable dependiente : Característica que refleja el comportamiento o estado de un sistema

Variables independientes: Dimensiones como tiempo y espacio paradeterminar el comportamiento del sistema

-Parámetros : Reflejan las propiedades del sistema-Funciones de fuerza : Influencias externas sobre el sistema

Veamos algunos ejemplos

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-Ejemplo 1: 2ª Ley del Movimiento de Newton

F = m a � a=F/m

a: variable dependiente

F: función de fuerza

m: parámetro , no hay variables independientes

1)Describe un proceso natural en términos matemáticos

2)Idealización y simplificación de la realidad

3)Se puede emplear con la finalidad de predecir

-Ejemplo 2: Utilizar la ley anterior para determinar la velocidad final de la caída libre de un cuerpo(problema del paracaídas)

mF

dtdv =

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-Vamos a expresar F en términos de variables y parámetros mensurables:

F = FD (+)+ FU(-)

FD atracción gravitatoria = mg

FU fuerza contraria debida a la resistencia del aire = -cv

c: coeficiente de resistencia(depende de las propiedades del objeto que cae)

� MODELO

La solución exacta no se puede obtener mediante manipulaciones algebraicas.

-Si inicialmente el paracaidista está en reposo: v=0, t=0

Mediante Cálculo Integral:

v(t) =

vmc

gm

cvmgdtdv −=−=

)1(t

mc

ec

mg −−

1616

v(t) = donde

v(t) variable dependiente

t variable independiente

c,m parámetros

g función de fuerza

Como aplicación, veremos la solución analítica y la numérica para este problema y los datos:

masa paracaidista= 68.1 kg

c= 12.5 kg/s

)1(t

mc

ec

mg −−

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1.6 - Estructura de la Asignatura

Tema 1: Introducción al Cálculo Numérico y Evolución histórica(presentación de la asignatura y motivaciones)

Tema 2 : Introducción a MATLAB(nuestra herramienta de trabajo)

-Primeros pasos

-Ficheros .m

-Gráficos en 2D

-Programación con Matlab

1818

Tema 3: Álgebra Lineal con Matlab(revisión de complementos)

-Ecuaciones Lineales

-Problemas sin solución y Matlab

-Problemas mal condicionados

-Descomposición LU

-Resolución Iterativa

Tema 4 : Polinomios e Interpolación

-Comandos propios de Matlab para polinomios

-Interpolación Lineal

-Interpolación Polinómica con forma de series de potencias

-Polinomios de Interpolación de Lagrange

1919

-Diferenciación e Integración de la fórmula de Interpolación de Lagrange

-Interpolación bidimensional

Tema 5 : Integración Numérica

-Regla de los Trapecios

-Regla de Simpson

-Integración Adaptativa

-Cuadratura Gaussiana

Tema 6 : Derivación Numérica

-Diferenciación Numérica

-Diferenciación directa

-Derivadas de orden superior

-Extrapolación de Richardson

2020

Tema 7 : Ecuaciones algebraicas de una variable

-Método de Bisección

-Método de Regula Falsi

-Método de Aproximaciones Sucesivas

-Método de Newton-Raphson

-Cálculo de ceros de polinomios(método de Horner)

Tema 8 : Ajuste de Curvas a Datos de mediciones

-Ajuste de Líneas rectas

-Ajuste de Curvas no Lineales con una función de potencia

-Ajuste de Curvas con un polinomio de orden superior

-Ajuste de Curvas con una combinación lineal de funciones

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Tema 9 : Funciones de splines

-Definición de Spline. Tipos

-Construcción de splines cúbicos

-Herramientas de Matlab para splines

TIPOS DE PRÁCTICAS

1)Aplicación directa de comandos de Matlab

2) Aplicación de funciones de Matlab

3)Programación de algoritmos en Matlab(ficheros .m)

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1.7 - Tipo de Evaluación

Se ofrecen 2 opciones de evaluación a elección del alumno:

1)Evaluación Continua: La puntuación final se obtendrá de la siguiente forma:

PORTAFOLIO: La entrega a final de curso del conjunto de todas las prácticas realizadas en clase y propuestas supondrá 3 puntos de la nota final.

2 CONTROLES TEÓRICO-PRÁCTICOS: Uno a mitad de semestre y otro a finales de mayo. Se puntúan ambos sobre 7 puntos y se realiza la nota media.

2)Evaluación Final: Examen final el día 5 de junio(teórico y práctico)

El alumno debe manifestar por escrito en las primeras semanas de clase la opción elegida.