introduccion al diseño experimetal

8/17/2019 Introduccion Al Diseño Experimetal

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Unidad III. Introducción al Diseño Experimental

• Diferenciar grupos de una población de datos usando diseños

experimentales y pruebas de varianzas ANDEVA.

• Hacer inferencias y valorar los modelos de ANDEVA en la solución de

problemas experimentales de la vida real y profesional.

• Desarrollar capacidades del trabao en e!uipo al momento de realizar

investigaciones experimentales.

Contenido

"nidad #.$ntroducción al diseño Experimental..........................................................%

#.% Experimentación& conceptos b'sicos...............................................................%

#.( )odelos ANDEVA............................................................................................#

#.# Andeva uni factorial& anova one *ay& diseño D+A.........................................,

#.- ANDEVA para un Diseño +A.......................................................................%/

#.0 Diseño de +uadro 1atino...............................................................................(2

#.2 Diseño en +uadro 3reco 1atino....................................................................#(#./ An'lisis de la varianza de dos factores con interacción................................#(

3.1 Experimentación, conceptos básicos

"n experimento& es una investigación en condiciones controladas. Es la forma

m's com4n de investigar en las ingenier5as. Al controlar las condiciones de

investigación el n4mero de repeticiones es menor !ue en una investigación de tipo

descriptivo. 6ara entrar al mundo de la experimentación es necesario manear

algunos conceptos b'sicos como7

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina %

Objetivos

Investigar en condiciones controladas y con un diseño predefinido es unexperimento.


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"nidad Experimental es la m5nima unidad donde se aplican los tratamientos&

puede ser una persona o una comunidad& una planta o una parcela. Es la unidad

donde se toma el dato. El tamaño y número de elementos varía según losobjetivos de la investigación.

Factor de un experimento es una variable independiente nominal o categórica; es

una variable cuyos niveles son configurados por el experimentador& ;es el tema del

experimento


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gradiente de las causas de perturbación. En este sentido >ay un e!uilibrio

din'mico& un diseño m's compleo y !ue no tiene un meor el control del error

puede ser m's ineficiente !ue un diseño simple. No >ay un diseño meor !ue otro&el investigador debe descubrir cu'l es el meor diseño para su experimento y este

depender' de la irregularidad del 'rea experimental& del n4mero de tratamientos y

de la orientación espacial de las causas !ue perturban el experimento. El diseño

m's simple de todos es el Diseño +ompletamente al Azar& D+A& sin embargo el

diseño m's utilizado en la agricultura en el de lo!ues completos al azar& +A.

Ejercicio 3.1 e >izo un experimento de evaluación de la durabilidad en >oras& de

- tipos de m'!uinas7 ;A


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El ANDEVA usado para analizar experimentos& es un mtodo muy flexible !ue

permite construir modelos estad5sticos para el an'lisis de los datos

experimentales. 'sicamente es un procedimiento !ue permite dividir la varianzade la variable dependiente& generalmente variable continua& en dos o m's

componentes& cada uno de los cuales puede ser atribuido a una fuente variable o

factorF identificable y la otra al error experimental. 1as variables independientes

son generalmente nominales& son los Gactores en estudio y >acen grupos o

tratamientos.

1os modelos !ue permite construir el ANDEVA pueden ser reducidos al cociente

entre dos varianzas& el numerador es la varianza del modelo como los

tratamientos& blo!ues& etc. y el denominador es la varianza de los errores. 6or

eemplo en un caso de Andeva unifactorial ó anova one *ay el valor ;G< calculado

es

S trat 2

Serror2 .

El ANDEVA est' basado en ciertos supuestos& unos m's posibles !ue otros Es

evidente !ue cuantos m's factores introduzcamos se espera !ue !uede menos

cantidad de variación residual errorF por explicar. 6ero siempre !uedar' alguna

variación residual.

$uposiciones del !nálisis de #arian%a

En cada ocasión !ue se realice un an'lisis de varianza ANDEVAF& rutinariamente

deben examinarse los datos para determinar si estos indican alguna desviación de

los supuestos !ue rigen dic>o an'lisis. 6or lo tanto& es recomendable realizar un

an'lisis de las suposiciones en las !ue se basa el ANDEVA unto con el an'lisis

mismo. ólo despus de >acer este an'lisis de suposiciones y !ue stas se

cumplan razonablemente& se puede expresar con cierta confianza la validez de los

resultados estad5sticos.

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina -


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1as suposiciones en las !ue se basa el ANDEVA son las siguientes7

•

1os errores de los datos son normales.

• Varianzas son >omogneas.

• $ndependencia de medias y varianzas

• Aditividad del modelo

"ormalidad de los errores& Es relativamente f'cil >acer pruebas de normalidad

de los errores con programas estad5sticos computacionales& ya sea con un gr'fico

plot o la prueba de normalidad de >apiro Iil8s. En la primera prueba el valor

;r< de correlación debe ser mayor a :.J0 y en la segunda prueba el valor ;p< de la

prueba de >ipótesis debe ser mayor a :.:0& estar en H :. El programa $NGK=A=

puede calcular los errores de cada dato y >ace ambas pruebas. in embargo este

re!uisito no es tan importante como la $ndependencia de las Kbservaciones& pues

en general el ANDEVA es una prueba robusta. Esto !uiere decir !ue& aun!ue los

errores de las observaciones no sean normales& las medias de los tratamientos

son aproximadamente normales debido al =eorema +entral del 15mite. in

embargo& si los errores de los datos son extremadamente noLnormales& es posible

transformar los datos para cubrir este re!uisito& o bien emplear mtodos no

paramtricos.

'omo(eneidad de )arian%as de los di*erentes tratamientos& Es muy

importante para el modelo verificar su >ay >omogeneidad de las varianzas de los

diferentes tratamientos& pues si esto no se cumple se pueden invalidar los

resultados de una H A. "na población >eterognea en varianzas no permite

detectar si las diferencias observadas se deben diferencias de promedios o de las

varianzas.

6ara corroborar o refutar las afirmaciones >ec>as respecto de la >ipótesis de la

>omogeneidad de las varianzas de los grupos o tratamientos respecto a la variable

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina 0


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dependiente& se dispone de la prueba de 1evene de >omogeneidad de varianzas.

Esta prueba funciona como un estad5stico G de la distribución ;G < de Gis>er&

donde la H: consiste en suponer !ue las varianzas de los errores absolutos de losdistintos grupos son iguales. e rec>azar' esta H0 en el caso de !ue la

significación del estad5stico sea menor !ue :&:0. El estad5stico de 1evene se >ace

realizando una ANDEVA una v5a con los errores en valor absoluto& $NGK=A=

calcula este tipo de error.

Independencia de promedios + )arian%as& ue un promedio mayor no tenga

independencia entre medias y varianzas es un caso especial de falta de

>omogeneidad de varianzas. En algunos datos existe una relación definida entre

las medias y sus varianzas& por eemplo el n4mero de >oas de plantas de tomate

de un mes y de tres meses& en ambos casos no solo >ay diferencias de promedios

sino tambin de varianzas& a m's edad mayor promedio y varianza. Este problema

se puede manear con un buen diseño del experimento. in embargo esta relación

suele ser la causa m's com4n de >eterogeneidad de varianza. "na correlación

positiva entre medias y varianzas es una forma de detectar el problema& ó cuando

se observa un amplio rango entre las medias. El estad5stico de 1evene tambindetecta este problema.

!diti)idad del modelo

"na prueba ANDEVA supone !ue los datos siguen un modelo lineal aditivo. 6ara

cada diseño experimental se construye un modelo matem'tico lineal aditivo& para

el caso de un diseño completamente aleatorio& D+A& es xij=´ x ± α i ± εi j . 1a

ecuación expresa !ue el valor de cual!uier unidad experimental est' compuesta

por la media general& m's o menos el efecto de tratamiento α i y m's o menos

un termino de error caracter5stico de cada datoεij . En este modelo los trminos

se suman& si esto no ocurre as5& el ANDEVA nos puede llevar a conclusiones

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina 2


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incorrectas. 1a falta de aditividad puede ocurrir por un mal diseño del experimento&

por eemplo si se prueban diferentes dosis de fertilizante& pero cada dosis se

prueba en una especie de planta diferente& puede resultar una interacción entredosis de fertilizante y especie de planta !ue rompa el modelo aditivo.

-u /acer cuando el modelo no *unciona0

1a violación o falta de apego a cual!uiera de estas suposiciones indica !ue los

resultados podr5an no tener validez. Dependiendo del tipo de problema& puede

>aber solución o no al obetivo buscado en el experimento. El dilema m's fuerte

con el !ue >a de luc>ar el experimentador es el de la falta de >omogeneidad de

varianzas& ya !ue si esto ocurre& no podemos saber si las diferencias entre los

tratamientos se deben a promedios diferentes o varianzas diferentes.

1a falta de normalidad no es tan importante& pues la prueba ANDEVA es robusta a

este problema y& en casos extremos& se puede optar por el uso de

transformaciones. En general para los casos en !ue los supuestos de normalidad&

>omogeneidad& independencia de mediasLvarianzas o aditividad no se cumplen&

puedo usar transformaciones de datos& las m's usadas son7

• 1ogaritmo 1og xF& 4til cuando los datos crecen en sentido exponencial o

cuando las desviaciones est'ndares de las muestra sean aproximadamente

proporcionales a los promedios o >ay evidencia de efectos principales

multiplicativos de los tratamientos en vez de aditividad.

• 1a transformación √ x+0.5 4til cuando los n4meros observados son

pe!ueños :L%:& por eemplo son acontecimientos pocos comunes& tienen

una posibilidad muy baa de ocurrir en cual!uier individuo. Estos datostienden a seguir una distribución de 6oisson.

• 1a transformación Arcoseno√ x /100 cuando los datos son expresados

en por ciento o son proporciones de la muestra total. 6or lo general estos

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina /


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datos tienen una distribución binomial y no de una distribución normal como

se espera.

+omo 4ltimo recurso& ante datos dudosos de an'lisis se puede usar el uso de

mtodos de estad5stica no paramtrica. Es importante mencionar !ue el empleo

de estad5stica no paramtrica o el uso de transformaciones no eliminan el

problema de la falta de aleatoriedad de las unidades experimentales& errores por

un mal diseño del experimento o por una mala toma de datos& es decir& la

eecución incorrecta de un experimento no tiene m's remedio !ue repetir el

experimento corrigiendo los errores por falta de diseño o mal maneo.

3.3 !nde)a uni *actorial, ano)a one a+, diseño DC!.

Anova one *ay es como se le llama en lengua inglesa al Andeva "nifactorial y

como com4nmente aparece citado en la bibliograf5a. Este es el modelo m's simple

y m's usado de ANDEVA& tiene un Gactor& variable !ue genera grupos o

tratamientos y una variable dependiente continua. Este es un modelo !ue funciona

bien E!uilibrado ó no E!uilibrado. El modelo supone !ue las repeticiones de los

distintos tratamientos est'n distribuidas al azar dentro del experimento y !ue no

necesariamente cada grupo o tratamiento tiene igual n4mero de repeticiones. El

diseño de este modelo estad5stico se llama Diseño +ompletamente aleatorio y

generalmente funciona bien controlando el error experimental cuando no >ay

perturbaciones externas con alg4n sentido definido& como viento& tipos de suelo

diferentes& variaciones trmicas& etc.

El Diseño +ompletamente Aleatorio& D+A& supone !ue las diferentes unidadesexperimentales del experimento se encuentran al azar dentro del 'rea

experimental y al mismo tiempo. El D+A se utiliza muc>o en investigaciones

sociales& cuando se posee información de variables dependientes continuas como

;pesoo en experimentación

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina ,


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en laboratorios& donde se tiene un buen control de a!uellos factores !ue puedan

perturbar la investigación. El modelo supone !ue se debe disponer de los

resultados de 8 muestras aleatorias independientes& cada una de tamaño n 8& de 8diferentes poblacionesM y lo !ue interesa probar es la >ipótesis !ue las medias de

esas 8 poblaciones son todas iguales

ANKVA KNE IA 7 )odelo Estad5stico supuesto& es 1ineal7

xij=´ x ± α i ± εij

xij @ Valor de la nLesima observación ubicada en el tratamiento ;iay variación entre los tratamientos& por los tanto se

puede calcular su variancia& Sα tratamientos2

εij @ Error o Variación de las observaciones ubicada en la repetición ;< y

tratamiento ;i


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H A7 no todos los O son iguales& al menos el menor y mayor promedios son

diferentes. Esto supone !ue la relación Sα 2/Sε

2

es un valor relativamente

grande& ya !ue la variancia de los tratamientos es varias veces mayor a la

variancia del error.

Nivel de significación7

:.:0 ó :.:%

Estad5stico de 6rueba7

F calculado=Sα 2 /Sε

2

9egla de Decisión7

i valor Gcalculado es mayor !ue el valor frontera tomado de una tabla de distribución

Gtabla se rec>aza Ho& ya !ue el Gcalculado est' en zona de rec>azo de la >ipótesis nula&

Ho de la distribución ;G


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=otal

“n – 1 “ ∑1

n

( xij )2−

(∑1

n

xij)2

n

Estad7sticos 8ue )eri*ican calidad de los datos, 92 + C#.

Al interpretar un ANDEVA es importante medir !ue tan bueno fue el modelo

estad5stico aplicado y si el error experimental fue controlados por el diseño

experimental. 6ara este tipo de an'lisis disponemos de dos coeficientes f'ciles de

calcular el ;coeficiente de determinación


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exigir +V menores al %: S. in embargo en investigación social descriptiva o en

variables biológicas no controladas como es una plaga& es com4n !ue los +V sean

grandes. El investigador debe explicar la causa de esta variación. 1a forma de

c'lculo es7 CV =√ CM Error

´ X (100 )

Un Ejemplo de !"DE#! uni *actorial

"na tesis de estudiantes evaluó - tipos de abono& uno con base de pulpa de caf&

otro con base de abono de lombriz& lombri>umus& y se utilizaron ( testigos& uno

con la dosis de fertilización !u5mica tradicional& testigo relativo y otra con tierra sin

abono extra& testigo absoluto. 1a variable de producción fue grs. promedio del

peso seco de las pl'ntulas de caf a los 2 meses de siembra por unidad

experimental& el ensayo tuvo cuatro repeticiones. A continuación se muestran los

datos obtenidos.

:abla de Datos. ;eso en on%as. ;arte area plántula de ca*.

:ratamiento<=lo8ues I II III IV ∑ tratam X

6ulpa caf %.:: :.J: %.%2 :.J, -.:- %.:%

Abono de lombriz %.20 %.0J (.:: %.20 2.,J %./(

u5mico %.2J %.0( %.-: %.-2 2.:/ %.0(

=ierra :.0, :.2: :.2: :.-2 (.(- :.02esrepeticionΣ -.J( -.2% 0.%2 -.00 %J.(-

:abla de !"DE#!

Causa de

#ariación

rados de

ibertad

$uma de

Cuadrados

Cuadrado

edio, C

4$25

46Calculada5

Tratamientos 4 –1 = 3 3.28 3.28/ 3 =1.09 1.09/0.02=

!.18

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina %(


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"rror 1!- 3 =

12

0.20 0.2/12 =0.01# P valor

0.00Total 1 – 1 =

1!

3.48

uma de +uadrados =otal = ∑1

n

( x ij )2−

(∑1

n

x ij)2

n

@ %.::( R :.J:( R %.%2( R:.J,(...R :.-2( F T %.:: R :.J: R %.%2 R:.J,...R :.-2F( U

%2F @ (2.2% T %J.(-( U %2 @ (2.2% T (#.%# @ 3.>?

uma de cuadrados de los =ratamientos =∑1

t

(∑1

r

x j)2

r −

(∑1

n

x ij)2

n

@ -.:-F( R 2.,JF( R 2.:/F( R (.#-F( FU - T %J.(-( U %2F @ %:2.%% U -F T (#.%#@

3.2?

Interpretación

1a prueba resulta en H$% no to&os los ' son iales

a !ue la ;G< calculada 20.%, @ ;G< =abla #.-J con # y %( grados de libertadF

#eri*icación del modelo.

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina %#

#l $iseño %ompletamente &l a"ar' $%& se resuelve estadísticamente conun &($#)& unifactorial' &(O)& O(# *&+


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6ara realizar un estudio de normalidad y >omogeneidad de las variancias es

necesario calcular los errores y >acer pruebas de normalidad y >omocedasticidad.

+on los programas Excel o $NGK=A= se pueden calcular los errores de cada

valor observado de la manera7εij= x ij−´ x−(´ xti−´ x )

:ratamiento ;eso

edia

:otal

edia

:ratamiento

E*ecto

:ratamiento Error

Error

!bsolut

o

6ulpa caf %.:: %.( %.:% L:.%J L:.:% :.:%

6ulpa caf :.J: %.( %.:% L:.%J L:.%% :.%%

6ulpa caf %.%2 %.( %.:% L:.%J :.%0 :.%0

6ulpa caf :.J, %.( %.:% L:.%J L:.:# :.:#

1ombri>umu

s %.20 %.( %./( :.0( L:.:/ :.:/

1ombri>umu

s %.0J %.( %./( :.0( L:.%# :.%#

1ombri>umu

s (.:: %.( %./( :.0( :.(, :.(,

1ombri>umu

s %.20 %.( %./( :.0( L:.:/ :.:/

u5mico %.2J %.( %.0( :.#( :.%/ :.%/

u5mico %.0( %.( %.0( :.#( :.:: :.::

u5mico %.-: %.( %.0( :.#( L:.%( :.%(

u5mico %.-2 %.( %.0( :.#( L:.:2 :.:2

=ierra :.0, %.( :.02 L:.2- :.:( :.:(

=ierra :.2 %.( :.02 L:.2- :.:- :.:-

=ierra :.2 %.( :.02 L:.2- :.:- :.:-

=ierra :.-2 %.( :.02 L:.2- L:.% :.%

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina %-


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L:.(: L:.:, :.:- :.%2 :.(,

+uantiles de una Normal

L:.(:

L:.:,

:.:-

:.%2

:.(,

+ u a n t i l e s o b s e r v a d o s E 9 D " KV g

r p l a n t a F

Gráfico QQ plot de errores

En el 3r'fico plot de los residuos se observa !ue stos se distribuyen cercanos a

la recta de regresión de la normal& lo !ue >ace suponer !ue los residuos se

distribuyen de manera normal. =ambin el programa >ace regresión de los residuos y

la recta normal y esta fue d7 r @:.J0& valor suficiente para aceptar la normalidad.

Valores de la prueba >apiroLIil8s para verificar normalidad por prueba de>ipótesis.

Variable n )edia D.E. IW p una colaF9duo gr planta %2 :.:: :.%( :.,J :.%:

1a prueba de normalidad de >apiro Iil8s para los errores del modelo& realizado

con el programa $NGK=A=& confirma !ue stos se distribuyen de manera normal.

e acepta la H: de normalidad de los errores ya !ue el valor calculado ;p< de :.%:

es mayor al valor de :.:0.

6ara verificar la >omogeneidad de las variancias& se >izo la prueba de 1evene&

!ue consiste en >acer un ANDEVA de los valores promedios de los errores de los

tratamientos en valor absoluto.

Cuadro de !nálisis de la #arian%a de los errores en )alor absoluto

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina %0


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G.V. + gl +) G pLvalor

Abono :.:( # :.:% %.%: :.#J

Error :.:2 %( :.:%=otal :.:, %0

+omo el ;p< valor de :.#J es mayor al valor de :.:0 concluyo !ue se ocurre H:&

las variancias de los errores absolutos de los diferentes tratamientos son iguales&

por lo tanto en este experimento se cumple la >omogeneidad de variancias.

6ara observar gr'ficamente la >omogeneidad de varianzas se puede construir un

gr'fico de densidad de puntos con los valores por tratamiento de los residuos

absolutos& estos puntos deben tener una dispersión semeante en los diferentes

tratamientos. A continuación se observa el eemplo.

6ulpa 1ombri>umus u5mico =ierraL:.:%

:.:2

:.%-

:.((

:.(J

9 A . V

p e s o

Gráfico de Residuos Absolutos por tratamiento

Calidad de los datos

El coeficiente de determinación fue bastante alto& lo !ue explica !ue el modelo

funcionó bastante bien explicar la variación total de los datos& el R

2=3.28

3.48=0.94

es un valor muy alto.

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina %2


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El coeficiente de variación tuvo un valor bastante aceptable para un experimento

de fertilización a campo& este fue7 CV =

√ 0.017

1.2 (100

)=11

Ejercicio 3.2 En un estudio socioeconómico se tuvo /0 datos& correspondientes a

muestras de diferentes ciudades de cada pa5s. Donde la variable dependiente

estudiada fue ;calor5as ingeridas por d5a< y la variable dependiente es ;6a5sipótesis correspondientesC

B$nterprete y comente los resultadosC

Ejercicio 3.3 e !uer5a saber si los estudiantes utilizan la teor5a explicada en el

aula al resolver problemas pr'cticos. e >izo un experimento con %( estudiantes&

se formaron # grupos& ALL+& de cuatro estudiantes cada uno. A cada grupo se les

dio un eercicio matem'tico semeante para resolver de manera individual. A los

cinco minutos al grupo se le dio un papel con una información teórica adicional y

al grupo + se les dio un papel con dos informaciones. +ada estudiante resolv5a el

problema de manera individual. 1a variable dependiente fue el tiempo medido en

segundos.

1os datos obtenidos fueron los siguientes7

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina %/


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rupo< $e(undos para resol)er E.1 E.2 E.3 E.>

A. =estigo (-( (:2 #:: (,(

. "n información adicional %/2 %(J %(, %J:

+. Dos informaciones adicionales %00 %:2 %(( %%0B+onstruya las ( >ipótesis correspondientesC

B9esolver la tabla de ANDEVAC

B$nterprete y comente los resultadosC

Verifi!ue el modelo. Bon los errores normales& y las variancias de los grupos

>omogneasC

3.> !"DE#! para un Diseño =C!

El diseño de blo!ues completamente al azar& +A& es un diseño ampliamente

utilizado a campo en centros experimentales agronómicos. Es ideal para evaluar

variedades& distancias de siembra& control de plagas& etc. Este diseño permite

controlar al menos el principal gradiente de error !ue posee el 'rea experimental.

El diseño. "n blo!ue es en Estad5sticaF un grupo de observaciones !ue pueden y

deben ser analizadas e interpretadas sólo de modo conunto. e dice !ue un

blo!ue es un blo!ue completo cuando todos sus elementos componentes tienen

valores v'lidos y est'n representados todos los tratamientos.

"n blo!ue puede estar fiado o establecido por el investigador de modo arbitrario.

En este caso& se dice !ue ese blo!ue es un blo!ue no aleatorio. 6ero puede !ue

este blo!ue est fiado& configurado o seleccionado seg4n la ley estad5stica del

azar& en cuyo caso se dice !ue el blo!ue es un blo!ue aleatorio.

El +A exige !ue en cada blo!ue se encuentren todos los tratamientos& de a>5 el

nombre de ;blo!ues completos< y !ue los blo!ues se ubi!uen de manera

transversal al gradiente !ue perturba de mayor grado el 'rea experimental& por

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina %,


19/38

eemplo7 pendiente de suelos& vientos& riego& luz& etc. De esta manera se trata de

reducir la suma de cuadrados del error& es decir reducir la varianza del error y as5

poder explicar con el modelo la variación ocurrida en el 'rea experimental. Elpunto dbil del modelo es !ue se pierden grados de libertad del error por lo tanto

sino se reduce la suma de cuadrados del error el +A pierde precisión frente a un

D+A.

En nuestras condiciones se recomienda usar cuando >ay menos de %0

tratamientos& ya !ue con un n4mero mayor de tratamientos es muy dif5cil de

manear a campo& a4n experimentos de %: tratamientos son dif5ciles de

implementar sin aumentar el error experimental a niveles !ue >acen dudar de los

resultados.

El odelo Estad7stico, lineal.

x ij= ́ x ± α i ± β j ± εij

xij @ Valor de la ;< observación ubicada en el ;i< tratamiento.

´ x @ 6romedio 3eneral

α i @ Efecto del tratamiento ;i<

β j @ Efecto del lo!ue ;<

εij@ Variación o error de las observaciones ubicada en el blo!ue ;


20/38

variación& !ue en este caso son los blo!ues. El modelo supone !ue no existe

interacción entre los blo!ues y !ue los efectos son fios sin importar los

tratamientos& esto !uiere decir !ue un tratamiento dado no puede ser de losmeores promedio en un blo!ue y ser de los peores en otro.

Al realizar el experimento lo !ue se espera es !ue >aya diferencias significativas

entre los blo!ues& !ue estos absorban error experimental. in embargo esta

prueba solo es referencial ya !ue desde un punto de vista estricto de diseño& los

blo!ues no tienen repeticiones.

Análisis de Varianza

Hipótesis7

obre los tratamientos

'o7 X%@ X(@..... @ X8& '!7 no todas los X8 son iguales

$obre los blo8ues'o7 X%@ X(@..... @ X & '!7 no todas X son iguales

Nivel de significación7

:.:0 ó :.:%

Estad5stico de 6rueba7

6tratamientos @ (tratamYU

(error M 6blo8ues@

(blo!ueU

(error

9egla de Decisión7

i Gcalculado es mayor !ue la Gtabla se rec>aza Ho

Tabla de ANDEVA de un BCA

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina (:

&($#)& bifactorial sin interacción es el modelo estadístico para an!lisis deun diseño ,.%.&


21/38

Causa de

#ariación

rados

de

ibertad

$uma de Cuadrados Cuadrado

edio, C

4$25

46Calculado5

=ratamientos

“t – 1” ∑1

t

(∑1

x j)2

−

(∑1

n

x ij)2

n

SC Tratamientos

GLTratamientos

Stratamientos2

serror2

Slo!ues2

serror2

lo!ues “* – 1” ∑1

(∑1

t

x j)2

t −

(∑1

n

xij)2

n

SC lo!ues

GLlo!ues

Error “(n -1) –

(t –1) –

(* -1)“

SC total - SC tratam - SC

*lo+

SC Error

GLerror

=otal

“n – 1 “ ∑1

n

( x ij )2−

(∑1

n

xij)2

n

Donde7


22/38

Causa de

#ariación

rados de

ibertad

$uma de

Cuadrados

Cuadrado

edio, C

4$25

46Calculada5

=ratamientos - T% @ 3 3.2? 1.AB

:ratamiento

A.Alo!ues - T% @ 3 A.A A.A2

Error %0L # L #@ B A.1> A.1

=lo8ues

1.2B=otal %2 T % @ 1 3.>?

$uma de cuadrado :otal @ ∑1

n

( xij )2−

(∑1

n

xij)2

n

@ %.::( R :.J:( R %.%2( R:.J,(...R :.-2( F T %.:: R :.J: R %.%2 R:.J,...R :.-2F( U

%2F

@ (2.2% T %J.(-( U %2 @ (2.2% T (#.%# @ 3.>?

$uma de cuadrados de los :ratamientos F∑1

t

(∑1

x j)2

−

(∑1

n

xij)2

n

@ -.:-F( R 2.,JF( R 2.:/F( R (.#-F( FU - T %J.(-( U %2F

@ %:2.%% U -F T (#.%#@ 3.2?

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina ((


23/38

$uma de cuadrados de =lo8ues F∑1

(∑1

t

x j)2

t −

(∑1

n

x ij)2

n

@ -.J(( R -.2%( R 0.%2( R -.00( U -F T %J.(-( U %2F

@ J2.%( U -F T (#.%# @ A.A

$uma de cuadrados del Error F $.C total G $.C tratamientos G $.C blo8ues

#.-, L#.(,L :.:2@ A.1>

Cuadrado edio de los tratamientos F $.C tratamientos < . tratamientos

#.(, U # @ 1.AB

Cuadrado edio de los blo8uesF $.C blo8ues < . blo8ues

:.:2 U # @ A.A2

Cuadrado edio del error F $.C error < . error

:.%- U J @ A.A1

46tratamientos5 F C. tratamientos < C. error

%.:J U :.:%2 @ ?.12 la variancia de los tratamientos es 2,.%( veces mayor !ue la

variancia del errorF

46blo8ues5 F C. blo8ues < C. error

A.A2< A.A1 F 1.2

Interpretación de la prueba de /ipótesis.

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina (#


24/38

iendo ;G


25/38

diferentes diferencias de promedios respecto al testigo. i la diferencia de

promedios es mayor !ue el valor D)& se concluye !ue estos promedios son

diferentes.

Tratamientos X en (r

Di*erencia con

el testi(o :ierra

de A. (r

Di*erencias

ma+ores de

A.2A (r

1ombri>umus %./( %.%2 i

u5mico %.0( :.J2 i

6ulpa caf %.:% :.-0 i

+onclusiones7 el lombri>umus& el fertilizante !u5mico y la pulpa de caf son

meores estad5sticamente !ue el testigo tierra sin fertilizante.

;rueba de 9an(os mHltiples de Duncan.

Es una prueba muy usada cuando tienen 2 o menos tratamientos& con un n4mero

mayor generan muc>os subgrupos de comparación& lo !ue >ace dif5cil la

interpretación de resultados

Donde 9 es un valor extra5do de de una tabla de factores studentizados

significativos !ue se elie de acuerdo con el nivel de significación deseado& con los

grados de libertad para el error y con la disposición relativa de las medias en el

arreglo& ver la tabla en 1ittle& = y Hills G. %J,J.

;rueba de 9an(os mHltiples de :ue+

Es una prueba muy estricta& robusta& se sugiere usar cuando >ay mas de 2

tratamientos o se !uieren resultados de separaciones muy confiables.

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina (0

DSM0.05 Duncan = DSM0.05


26/38

Donde ;!< es un valor tabulado& ver tabla en Daniel (::2F& donde se considera7 el

valor alfa de :.:0& los grados de libertad del error& J& y el n4mero de

tratamientos&-. En este eemplo el valor ;!< es -.-%0

Tabla de Di!erencias

:ratamientos 1ombri

>umus

u5mico 6ulpa caf =ierra

1ombri>umus L :.(: N :./%WW %.%2WW

u5mico L :.0(WW :.J2WW

6ulpa caf L :.-0WW

=ierra L

eg4n este cuadro& los fertilizantes ;lombri>umus y ;!u5mico< son iguales y

diferentes y meores a los otros dos tratamientos& pero ;pulpa de caf< es meor

!ue ;tierraacer experimentos. "n eemplo de

+1 en un experimento de agronom5a puede considerar como factores de

perturbación el ;viento< de norte a sur y un gradiente de fertilidad de este a oeste.

Este modelo es igual considerar la existencia de blo!ues dobles& blo!ues por filas

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina (2

DSM Tu"e = % l error “t” (

r

CM error

DSM Tu"e# =4.415=√0.0164 =0.28"r


27/38

y blo!ues por columnas. "na +aracter5stica importante de este tipo de diseño es

su balance& !ue se logra asignando el mismo n4mero de observaciones a cada

tratamiento de cada blo!ue& por esto son diseños en cuadro.

"n eemplo de cuadro latino& en nutrición animal& es comparar tres diferentes

alimentos ALL+& donde un blo!ue son diferentes grupos de animales !ue comen

los alimentos y el otro blo!ue es el tiempo en !ue a cada grupo de animales se le

aplica los diferentes alimentos. En resumen >ay7 tres tipos de alimentos y tres

tiempos de alimentación para tres grupos de animales& el experimento podr5a

disponerse seg4n el patrón siguiente7

Donde ALL+ son los diferentes tipos de alimentos.

En este caso& cada alimento se aplica una sola vez por cada grupo de animales

unto con cada tiempo& y si existiesen efectos sistem'ticos debido a diferencias

entre los animales o entre los tiempos& dic>os efectos estar5an presentes de igual

manera en cada tratamiento& esto es& en cada tipo de alimento.

En este modelo se pueden observar !ue las diagonales repiten el mismo grupo&

ver el caso de la diagonal ALALA& L y +L+. Estas diagonales no son problema en

esta caso ya !ue las columnas son el Gactor ;tiempo


28/38

pueden ser una fuente de error. En este caso se recomienda sortear filas y

columnas de forma independiente.

"n arreglo experimental como el !ue se describió se denomina cuadrado latino

#\#. "n cuadrado latino n x n es un arreglo cuadrado& los tratamientos aparecen

solo una vez en cada fila y en cada columna.

E. de )odelo -x-& es el m's usado

E. )odelo 0x0

odelo Estad7stico

ineal

x ij= ́ x ± α i ± c j ± # $ ± εij

xij @ valor de la observación ;i< ubicada en la columna ;8< con la fila ;< usando

el tratamiento ;i


29/38

An'lisis de Varianza

'ipótesis&

$obre los tratamientos

'o7 X%@ X(@..... @ X i '!7 no todas las Xi & tratamientos& son iguales

$obre el 6actor en columna

'o7 X%@ X(@..... @ X '!7 no todas las X & columnas& son iguales

$obre el 6actor en 6ila

'o7 X%@ X(@..... @ X8 & filas& son iguales. '!7 no todas las X8 son iguales

"i)el de si(ni*icación&

:.:0 ó :.:%

Estad7stico de ;rueba&

61@ tYU(

error M 62@ f YU(error M 63@ cYU

(error

9e(la de Decisión&

i Gcalculado es mayor !ue la Gtabla se rec>aza Ho

Tabla de ANDEVA de un Cuadro )atino

Causa de

#ariación

$uma de

Cuadrados

rados de

ibertad

Cuadrado

edio, C

4$25

46Calculado5

=ratamiento += tL% (

t tYUerror Y

Gilas +G cL% (f f YU

(error

+olumnas ++ fL% (c cYU

(error

Error +=ot T +=R+GR++F Difer. (error

=otal +=ot nL%

1as sumas de cuadrados de las filas& columnas y tratamientos se resuelven con

procedimientos similares& como si fueran tres anova one *ay.

El ejemplo& e !uiere estudiar el rendimiento acadmicos de alumnos de la

misma carrera $ngenier5a en istemas en - grupos7 A& & +& D& en cuatro

asignaturas7 Estad5stica& ase de Datos& Econom5a y G5sica. 6ara neutralizar el

efecto en cadena !ue una asignatura tiene sobre la otra& el estudio se >ace en

cuatro momentos& respetando el >ec>o !ue en un mismo momento se eval4en las

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina (J


30/38

cuatro asignaturas. En este modelo pueden considerarse los )omentos como

columnas y las asignaturas como filas.

Datos !si(natura rupo omento "ota

Econom5a + % ,(

Econom5a D ( ,%

Econom5a A # ,#

Econom5a - //

G5sica D % /:

G5sica A ( 20

G5sica # 2/

G5sica + - 2%

!si(natura rupo omento "ota

Estad5stica A % /0

Estad5stica ( /:

Estad5stica + # /#

Estad5stica D - 2/

de D % /,

de D + ( /2

de D D # /,

de D A - /%

$uma de Cuadrados

SC total=822+812+%+712−

11742

16=623.75

SC Asi"naturas=323

2+2852+2632+3032

4−1174

2

16=490.75

SC Gru&o=294

2+2922+2922+2962

4

−1174

2

16

=2.75

SC Momento=305

2+2922+3012+2762

4−1174

2

16=124.25

SC Error=SC Total−SC Asi"naturas−SC Gru&o−SC Momento=6.00

El an'lisis de de variancia realizado con $NGK=A= como un ANDEVA trifactorial

sin interacciones dio los siguientes ;p< valores.

Cuadro de !nálisis de la #arian%a de un Cuadro atino

+.V. + gl +) G pLvalor

Asignatura -J:./0 # %2#.0, %2#.0, Q:.:::%

3rupo (./0 # :.J( :.J( :.-,/(

)omento %(-.(0 # -%.-( -%.-( :.:::(

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina #:


31/38

Error 2.:: 2 %.::

=otal 2(#./0 %0

e concluye !ue >ay diferencias significativas para las diferentes asignaturas y

diferentes momentos de aplicación de ex'menes ya !ue el ;p< valor de :.:::% y

:.:::( son menores al valor ;Z< de :.:0. in embargo los cuatros 3rupos de

alumnos tienen un comportamiento semeante.

Ejercicio 3.> e evaluó # niveles de inclusión %: S& (: S y #: SF de un nuevo

alimento para rumiantes desarrollado a base de pulpa de caf. El testigo fue : S

de inclusión. 1a variable medida fue ;consumo de materia seca& +)< en unperiodo determinado. +ómo no se ten5an suficientes oveas para realizar el

experimento& se usaron - animales en un diseño de cuadro latino en el tiempo&

cada una de estos pasó por los cuatro tratamientos de alimentación.

• 9ealizar el ANDEVA como +A y como +uadro 1atino e $nterpretar ambas

pruebas de >ipótesis. +omentar la diferencias

• 9ealizar prueba de separación de medias por =u8ey& D"N+AN y D) e

interpretar. Kbservar diferencias.

• Hacer estudios de residuos con pruebas de normalidad por !! plot

• Hacer estudio de igualdad de varianzas con los residuos absolutos& prueba

de 1evene.

• Hacer gr'ficos de barras

• +oncluir los resultados de manera narrativa

Datos

=ratamiento Kveas =iempo +)

: A % -(-.2%: % -(/.(

(: + % 02/

#: D % //-./

: ( 0(#.#

%: A ( 0%J.-#

(: D ( ---.(/

#: + ( //(.02

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina #%


32/38

: D # 00J

%: + # 2JJ.%

(: # /:(.2%

#: A # /#-.2: + - 0,2.(

%: D - -#(

(: A - 202./,

#: - 0/-

"sando el programa estad5stico $NGK=A= se debe realizar7

• El ANDEVA como +uadro 1atino e $nterpretar las pruebas de >ipótesis.

• 6ruebas de separación de medias por =u8ey& D"N+AN y D) e interpretar.

Kbservar diferencias.

• Estudios de residuos con pruebas de normalidad por !! plot

• Estudio de igualdad de varianzas con los residuos absolutos& prueba de

1evene.

• 3r'ficos de barras con intervalos de confianza.

• +oncluir los resultados de manera narrativa

3. Diseño en Cuadro reco atino

El diseño en cuadros 3reco 1atino& en una extensión del diseño de cuadro latino.

Al modelo de tres factores del cuadro latino& tratamiento& filas y columnas& se

agrega un nuevo factor !ue se simboliza con letras griegas. Adem's de tener

control del error por filas y columnas& tenemos un nuevo factor !ue son las letras

griegas. Este tercer permite controlar la >eterogeneidad !ue no pueden

neutralizar las diagonales del cuadro latino. Este diseño es poco usado y se

ustifica cuando el 'rea experimental o los elementos de perturbación son

extremadamente >eterogneos.

Eemplo de un diseño 3reco 1atino con letras latinas diferenciando los factores

columnas y filas y letras griegas como tercer factor !ue neutraliza las diagonales.

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina #(

Aα

B

β C

χ

Dδ

B χ

Cδ

Dα

Eδ

Cδ D

α

A

β B

χ

Dβ

A χ

Bδ

Cα


33/38

3. !nálisis de la )arian%a de dos *actores con interacción

El diseño bifactorial& es un diseño del tipo factorial& pero con dos factores o temas

de estudio& Gactor % y Gactor (& los cuales pueden tener interacción entre ellos.

Este modelo supone tres pruebas de >ipótesis una para el Gactor %& otra para el

Gactor ( y la tercera para la interacción G%xG(& en esta prueba la >ipótesis nula es

la falta de interacción. 1a interacción responde a la pregunta de si el Gactor % tiene

diferentes comportamientos ante los diferentes valores del Gactor (& por eemplo

ante una prueba de evaluación de variedades de un cultivo en diferentes

ambientes& la interacción ser5a !ue la meor variedad en un ambiente de alta

fertilidad& ya no se comporta como la meor variedad al cambiar a un ambiente de

baa fertilidad.

El ANDEVA permite estudiar simult'neamente los efectos de dos fuentes de

variación. En un ANDEVA de dos factores se clasifica a los tratamientos o grupos

de acuerdo a dos factores para estudiar simult'neamente sus efectos. Este

modelo difiere del +A& en !ue interesa la interacción de los dos factores.

El odelo Estad7stico, lineal.

x ij= ́ x ± α i ± β j ± α β ij ± εij

xij @ Valor del ;< Gactor ubicada en el ;i< Gactor A.

´ x @ 6romedio 3eneral

α i @ Efecto del Gactor A ;i<

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina ##


34/38

β j @ Efecto del Gactor ;<

α β ij @ Efecto de la interacción del Gactor A por el Gactor

εij @ Variación de las observaciones ubicada en el Gacto ;< y el Gactor A ;iaza Ho

!"DE#! de un Diseño =i*actorial con interacción

Causa de

#ariación

$uma de Cuadrados rados de

ibertad

Cuadrado

edio, C

4$25

46Calculado5

=otal +total nL%

=ratamientos

=otales

+tratamientos tL%

Gactor A + A aL% ( A

( A Uerror Y

Gactor + bL% (

(

(error

Gactor Ax + Ax aL%FbL%F ( Ax

( Ax

(error

Error +Error nLt

Donde7

• t @ n4mero tratamientos totales&

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina #-


35/38

• a @ n4mero tratamientos del Gactor A&

• b@n4mero de tratamientos del Gactor

• + Ax @ +tratamientos L + AL +

• +Error @ +total L +tratamientos

En este modelo la suma cuadrados de los tratamientos totales& + tratamientos& se

descompone en tres sumas de cuadrados& + A& + y + Ax. Esta forma de

resolución de la suma de cuadrados de la interacción es v'lido para calcular los

grados de libertad de la interacción.

Ejemplo de un !nálisis =i*actorial

Hay un grupo de (2 Estudiantes& %( varones y %( mueres. A ellos se les preguntó

su nota promedio y las >oras de estudio semanales& esta 4ltima variable se

codificó7 : a # >oras& - a 2 >oras y m's de 2 >oras.

9esponder a las pre(untas7

BHay diferencias de notas seg4n sean varón o muerC

BHay diferencias de notas seg4n sean >oras de estudio realizadasC

BHay interacción entre sexo y >oras de estudio realizadasC

+on una calculadora manual con función estad5stica realice7

%. An'lisis de variancia bifactorial con interacción.

(. "n gr'fico de interacciones

#. +omentar los resultados

:abla de datos

6ara analizar los datos manualmente se debe >acer las sumatorias por

tratamiento.

$exo 'ora

s

9epeticiones ∑ X ´ X

Varón :L# /: /- /# 2J (,2 /%.0:

Varón -L2 /, /0 ,: /2 #:J //.(0

Varón R2 ,2 ,( ,, ,0 #-% ,0.(0

)uer :L# 2- /: 2J /2 (/J 2J./0

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina #0


36/38

)uer -L2 ,: ,% /# /J #%# /,.(0

)uer R2 ,: J: ,- ,( ##2 ,-.::

1,?> .

$uma de Cuadrados

SC total=702+742+%+822−

18642

24

SC tratamientos=286

2+3092+3412+%+3362

4−1864

2

24

SC Sexo=936

2

+9282

12−1864

2

24

SC 'orasestudio=565

2+6222+6772

8−1864

2

24

SC Sexo∗ 'oras estudio=SC Tratamientos−SC Sexo−SC 'orasestudio

SC Sexo∗ 'oras estudio=

SC Tratamientos−

SC Sexo−

SC 'orasestudio

9esultados. +on el programa estad5stico $NGK=A= se obtuvieron los siguientes

valores del ANDEVA.

!"DE#! de Interacciones. #ariable Dependiente& "ota ;romedio

Cuadro de !nálisis de la #arian%a+.V. + gl +) G pLvalor

)odelo /J0.## 0 %0J.:/ %#.%# Q:.:::%exo (.2/ % (.2/ :.(( :.2--0Horas Estudio /,-.:, ( #J(.:- #(.#/ Q:.:::%exoWHoras Estudio ,.0, ( -.(J :.#0 :./:2-Error (%,.:: %, %(.%%=otal %:%#.## (#

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina #2


37/38

Estos resultados dicen !ue no >ay diferencias de notas seg4n sean los

estudiantes varones o mueres significación de :.2- mayor al :.:0F& pero por otro

lado si se observa diferencias estad5sticas entre las >oras de estudio significaciónde :.:::% menor al :.:0F& con esta 4ltima variable y este resultado se debe >acer

una separación de promedios entre las tres categor5as de >oras de estudio.

rá*ico de Interacciones

Este gr'fico nos permite observar si >ay interacción con los dos factores& ;sexo< y

oras de estudiooras de estudio. +omo esto no se observa en el gr'fico !ue se muestra a

continuación& se puede concluir !ue coinciden los resultados del ANDEVA y del

gr'fico.

1uis )ar5a Dicovs8iy 9iobóo& (:%% 6'gina #/


38/38

rá*ico de Interacciones entre las #ariables 4$exo5 + 4'oras de estudio5

Estudio$emanalR2>oras-L2>oras:L#>oras

,:/0/:

introduccion al diseño experimetal

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