introducción naturales

8/18/2019 Introducción Naturales

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Secuencias

• Una secuencia numérica es una listasucesiva de números que siguencierto patrón. La secuencia puede serfnita o infnita. Un ejemplo desecuencia simple es 2, 4, 6, , !"...

• #n esta secuencia el pró$imo número

es !2 %a que la regla es a&adir 2 alúltimo número.


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'continuación

• Una secuencia m(s compleja es la de)i*onacci+

• ", !, !, 2, , -...


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'continuación

• #n esta secuencia el pró$imo númeroes porque la regla de este patrónes a&adir los últimos dos términos,en este caso, -. Si el patrón deuna secuencia de números es di/0cilde desci/rar, e$isten algunos

métodos comunes que puedena%udar.


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'continuación

• #n la vida cotidiana se nos presentan muc1as situacionesdonde aparecen regularidades numéricas o secuenciasnuméricas tam*ién puede ser secuencia de o*jetos de/orma ordenada3.

•

ara nuestro interés en ejercitar las destre5as matem(ticas,la primera % m(s importante secuencia numérica es la delos números naturales, o sea los números que se utili5anpara contar % ordenar o*jetos+ !, 2, , 4, -, 6, ...

• #sta secuencia de los números naturales es la m(simportante %a que sirve de *ase para iniciar, siempre desdeel ! o primer lugar3, cualquier otra secuencia dada, pues,como veremos luego, la u*icación en una secuencia estrascendental para los c(lculos numéricos %a se entender(cuando 1a*lemos de n3.


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'continuación

• eamos otros ejemplos de secuencias numéricas+• Secuencia de números pares+ 2, 4, 6, , !", !2, !4, ...• Secuencia de números impares+ !, , -, 7, 8, !!, !, ...• Secuencia de múltiplos de 4+ 4, , !2, !6, 2", 24, 26, ...• Secuencia de cuadrados de los números naturales+ !, 4,

8, !6, 2-, 6, ...• Secuencia de cu*os de los números naturales+ !, , 27,

64, !2-, ...

• Secuencia de potencias de 2+ 2, 4, , !6, 2, ...• #stas secuencias numéricas se denominan sucesiones.


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'continuación

#ntonces+•Una sucesión de números reales es una secuenciaordenada de números reales que sigue unadeterminada le% de /ormación.•Los números que /orman la sucesión se denominantérminos. 9odas las sucesiones tienen un primertérmino % cada término tiene un siguiente. Lassucesiones se nom*ran con una letra % un su*0ndice

n3 cu%o valor depende del lugar que el término ocupaen la sucesión ese valor empie5a siempre en !, %sigue 2, ,4 ,-, 6, 7, etcétera3+

•:e este modo+ a1, a2, a3, a4, ...


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'continuación

Término general

•#l término general de una sucesión es una

e$presión /órmula o patrón o regla3 que permiteconocer el valor de cualquiera de los términos en/unción del lugar que ocupa. Se e$presa mediantean.

•

#jemplo+ Si el término general de una sucesión es

an = n2 + 1


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'continuación

• ara o*tener un término cualquiera,se sustitu%e n por el valor del lugarque ocupa el término en la sucesión.;s0, a modo de ejemplo, el tercertérmino ser(+

a3 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10


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=*jetivos

• >omprender la organi5ación del sistema denumeración decimal % compararlo con elsistema de numeración romano.

• >aracteri5ar los números naturales % surelación con la operaciones *(sicas.

• #sta*lecer relaciones entre /actores %divisores de números naturales % su vinculocon los números primos


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Sistemas de numeración.

La *ase de todo sistema de numeración son loss0m*olos que utili5a para e$presar cantidades.


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Sistema de numeraciónromano

Utili5a los siguientes s0m*olos+

#s un sistema de numeración aditivo, pues losnúmeros no dependen de la posición de los

d0gitos para /ormar los números.

Símbolo Valor

? !

-

@ !"L -"

> !""

: -""

A ! """


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! se escri*e ?2 B !! se escri*e ?? B ! ! ! se escri*e ???4 B - C ! se escri*e ?7 B - ! se escri*e ??

B - !!! se escri*e ???8B !" C ! se escri*e ?@!!B !" ! se escri*e @?!-B !" - se escri*e @

2B !" !" !!! se escri*e@@???74B -" !" !" ! !! ! DDDDD2-2B DDDDD

rincipiomultiplicativo+


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S?S9#A; :# ?F< :#>?A;L

#sta /ormado por die5 s0m*olos+ ", !, 2, , 4, -,6, 7, , 8#ste sistema, a di/erencia del sistema romano, es

posicional, es decir el d0gito tiene un valor según

la posición en el numero.

@? es !" - G!3 B !4

!4 H 4 G!

I Jué ventaja o*serva en al escritura del sistemadecimal respecto al sistema romanoD


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4 B K!"K!" K!" 4K!

4 B K!"2 K!" 4K!

284 B 2K!"K!"K!" 8K!"K!" 4K!" K!

284 B 2K!""" 8K!"" 4K!" K!

284 B 2K!" 8K!"2 4K!"! K "


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9ª

Posición

8 ª

Posición

7ª

Posición

6ª

Posición

5ª

Posición

4ª

Posición

3ª

Posición

2ª

Posición

1ª

Posición

centenas

de millón

decenas

de millón

unidades

de millón

centenas

de mil

decenas

de mil

unidades

de milcentenas decenas unidades

CMi DMi UMi CM DM UM C D U

El valor de los d0 gitos según su posición en un numeral, hasta la centena demillón, aparece en el cuadro siguiente:

2 3 5 6 8 2 0 7 6


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7

7 7 7 7

7 x 1000 unidades

= 7000 unidades

7 x 100 unidades

= 700 unidades

7 x 10 unidades

= 70 unidades7 unidades

En el numeral 7777 el mismo d0 gito tiene distintos valores de acuerdo concada posición que ocupa en el numeral 7777.

Como 1 decena = 10 unidades1 centena = 100 unidadesEntonces, los valores del d0 gito 7, según su posición en el numeral sonlos siguientes:


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IJué ventajas tiene el sistema de numeracióndecimal respecto al sistema de numeración romanoD

#scri*a los siguiente números en notación decimal+

2742 8476- 42

I>ómo podemos escri*ir el decimal 2-, 2 usandopotencias de !"D


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¿!é "on lo" n#mero" na$!rale"%

Son aquellos números que inicialmenteutili5an los ni&os , tanto para ordenar oseriar % para contar o*jetos.;$iom(ticamente

< B ! , 2, 4, - , 6, 7, ', MN

Si se inclu%e el cero en este conjunto seo*tiene el conjunto de los númeroscardinales


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ropiedades de las números


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onm!$a$i-i(a( en la a(i)i*n Sean a % *dos números naturales, entonces a + b = b +a.

#jemplo+ !2 7 B 7 !2

reguntas+

ILa sustracción es conmutativaD I>ómo podr0amos e$plicar a una ni&a el

concepto de conmutatividad sin utili5arnúmerosD


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."o)ia$i-i(a( en la a(i)i*n Sean a, * % c númerosnaturales, entonces a + b/ + ) = a + b + )/.

#jemplo+ 23 B 2 3 !" B - ! B !

Iara qué puede servir sa*er estoD

I>ómo puede utili5ar la asociatividad para resolvermentalmente el siguiente c(lculoD

! !8 7 - !


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• ropiedades de la multiplicación+

• ropiedad de >lausura+ Sean a % * dosnúmeros naturales, entonces aO* 3tam*ién es un número natural .

• #jemplo+ 7O!2 B 4

• reguntas+• I>u(ndo podemos utili5ar esta

propiedadD• I#n la :ivisión se cumple l


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i"$rib!$i-i(a( (e la m!l$i'li)a)i*nre"'e)$o a la "!ma Sean a, * % cnúmeros naturales, entonces+

a + b/ ) = a ) + b ).#jemplo+ :iego tiene ! *olsas con -

*olitas cada una I>u(ntas *olitas tiene:iegoD10 + 3/ 35 = 10 35 + 3 35.10 + 3/ 35 B -" O " -310 + 3/ 35 B -" O " O-10 + 3/ 35 B -" 8" !-10 + 3/ 35 B 4--


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lemen$o ne!$ro

• #lemento neutro en la multiplicación+ Si a %* son números naturales % se cumple quea O * B a, entonces * es neutro en lamultiplicación.

• I>u(l número es el elemento neutro en lamultiplicación con números naturalesD

• I#$iste un elemento neutro en la adicióncon números naturalesD I si e$iste, cu(l esD


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on"e)!$i-i(a( n!méri)a

S!)e"or todo número natural PnQ tiene unsucesor que viene dado por Pn!Q Sucesor de - es - ! B6Sucesor de !" es !" ! B !"4

Si n, m, ' son números naturales, escri*a lossucesores de+

2n p !"p G 7 4m C n


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S!)e"or 'ar todo número natural PnQ quepuede ser dividido e$actamente por dos seconoce como número par 2, 4, 6, , !", !2,!4,

!6, !, 'N % se escri*e como 2n donde n es unnúmero natural.

l "!)e"or 'ar (e 2n -iene (a(o 'or 2n+2

#l sucesor par de 6 es ''#l sucesor par de 2n C 2 es '''.

#l sucesor par de do*le de 4n C 4 es''..G

2n G 2 2n 2

2nSucesor par de2n

Sucesor par de 2n

G2


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n G ! n !

n

Naturales Consecutivos

R ;ntecesor+

9odo número natural e$ceptuando el !3,tiene un antecesor, % se o*tiene al restar! al número, es decir+ Si n pertenece a?u(l es el antecesor del sucesor par de 6n G


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.n$e)e"or 'ar "e ob$iene re"$an(o (o"!ni(a(e" al n#mero

l an$e)e"or 'ar (e 2n -iene (a(o 'or 2n 2

2n G 2 2n 2

2n

Sucesor par de2n

Sucesor par de 2nG2

#l antecesor de ! es ''#l antecesor de par de 2n C 6 es '''.#l sucesor par del antecesor par de do*le de 6n C

2 es''..

#l sucesor del sucesor par de 2n G6 es ''.


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Se o*tiene sumando 2 alnúmero. Si el número es 2n1,entonces su sucesor es 2n+1.

Números mpares: !1, ", #, 7, $%% ,&n'1(

)on de la *orma &n'1, con n en los naturales.

Sucesor imar!

"ntecesor imar!

2n G 2n !

2n G!

;ntecesorimpar

Sucesor impar

Se o*tiene restando 2 alnúmero. Si el númeroes 2n1, entonces suantecesor es 2n3


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a)$ore" (e !n n#mero

Son /actores del número natural ; todos aquellos números naturamultiplicados con otros naturales dan como resultado el natural ;.

a)$ore" (e 12"on

•

! porque ! K !2 B!2• 2 porque 2 K 6 B!2 % 2K2KB !2• porque K 4 B!2 % 2K2

B !2• 4 porque 4 K B!2• 6 porque 6 K 2 B!2• !2 porque !2 K ! B!2

; ti id d


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;ctividad

•

I>u(ntos arreglos *idimensionales puede1acer con 24 fc1as circularesD

2

!2


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:ivisores de un número

Se llama P(i-i"orQ de un número, aquelvalor que lo divide e$actamente.i-i"ore" (e12 "on

• ! porque !2 + ! B!2• 2 porque !2+ 2 B 6

•

porque !2+ B 4• 4 porque !2+ 4 B

• 6 porque !2+ 6 B 2• !2 porque !2+ !2 B!

>onjeture so*rerelación que e$isteentre los /actores de

un número % susdivisores.


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:esa/0o+

I>u(les3 de los siguientesnúmeros

es o son divisores de -8 G -7 3D

2-!-7

64

-8 G -7 3 B -7 -2 G! 3 B -7 2-

G!3 B -7 K 24

B -7 K 6K4B -7 K

K2K2K2


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u(les son los !" primeros números primosD


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:escomponga en números primos los siguientes númeroscompuestos.!+

26+

-!+

!2!+

Iara qué sirve descomponer los


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Iara qué sirve descomponer losnúmeros en /actores primosD

ara determinar los divisores de un número.ara agili5ar los c(lculos en divisiones, por ejemplo+

6"+!2B 6"+ 2K2K3B

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