introduccion y conceptos b´asicos - apuntes, ejercicios … · 2 introducci´on y conceptos...

Tema 1

Introduccion y conceptos basicos

1.1 Introduccion a la asignatura

Estamos familiarizados con ecuaciones donde las incognitas son numeros x; por ejemplo ecuaciones

de segundo grado como x2 ! 3x+ 4 = 0 , ecuaciones que, posiblemente, no se sepan resolver

(aunque sı se conozcan metodos numericos para aproximar las soluciones) como x+ sen(x) = 1 o

con sistemas de ecuaciones lineales, donde las incognitas: x, y, z, . . . son numeros; por ejemplo:

!""#

""$

x + y + z = 11

2x ! y + 3z = 5

!3x + 2y + 2z = 22

En la Matematica y sus aplicaciones: Fısica, Ingenierıa, Economıa, Biologıa, . . . aparecenmodelos matematicos que vienen dados por ecuaciones donde las incognitas no son numeros sinofunciones reales de una o varias variables reales. A este tipo de ecuaciones se les llaman “EcuacionesFuncionales.” Ası si notamos por x : I " R, t #" x(t) una funcion de una sola variable t $ I, dondeI es un intervalo en R, las dos siguientes ecuaciones:

x(t) + sen(x(t)) = 13, x3(t)! arctan(x(t))! t2 + 1 = 0

son ecuaciones funcionales, donde la incognita es x : I " R. Se trata de estudiar y encontrar, si esposible, funciones x que verifiquen la ecuacion dada en cada punto t del intervalo I.

La notacion x(t) obedece a la costumbre de notar por x a la incognita y porque en muchosproblemas que surgen en la Fısica, Biologıa y otras disciplinas la variable independiente es eltiempo, que se suele representar por t. Otras notaciones que se suelen usar para indicar la funcionincognita son y(t) o y(x), aunque la variedad de notaciones es enorme. Si trabajamos con doso tres funciones incognitas de una unica variable pueden ser adecuadas las notaciones x(t), y(t) ox(t), y(t), z(t), respectivamente, para las funciones incognitas, de forma analoga a como se consideraen un sistema lineal, como el citado anteriormente. Estamos considerando el caso mas simple: elde funciones de una sola variable; obviamente, al tratar funciones de varias variables la variedadde notaciones es aun mayor.

Siguiendo con el caso mas simple, si la funcion t #" x(t) representa un fenomeno (proceso fısicoo de la naturaleza) que se comporta con gran “suavidad” tal funcion va a ser al menos una vez

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2 Introduccion y conceptos basicos

derivable y en la ecuacion funcional podrıa aparecer una o mas funciones derivadas: x!, x!!, .... de lafuncion incognita. Si, por contra, el fenomeno no es tan suave puede aparecer la funcion incognitabajo el signo integral.

Una ecuacion integral es una ecuacion funcional donde, aparte de la funcion incognita x y lavariable independiente t, aparece x bajo el signo integral. Veanse los siguientes cuatro ejemplos:

x(t) +

% t

0x(s) ds = 1, t $ R

% t

1log(1 + s2)x(s) ds = (t! 1) et, t % 1

tx2(t) +

% t

0cos(s+ x(s)) ds = 0, t $ R x(t)!

% !

0sen(t+ s)x(s) ds = cos t, t $ [0,!].

Una ecuacion diferencial es una ecuacion funcional donde, aparte de la funcion incognita x yla variable independiente t, aparece al menos una derivada de la funcion incognita. A continuacionescribimos ocho ejemplos donde la funcion incognita es de una sola variable y aparece hasta latercera derivada. Se aprovecha para ir escribiendo cada ecuacion en una forma reducida (abreviada)que es muy usual en los textos sobre ecuaciones diferenciales.

Ecuacion diferencial Expresion abreviada

x!(t) = t sen t x! = t sen t(1.1)

x!(t) + t2x(t) = 1 x! + t2x = 1(1.2)

x!(t) = ! x2(t)

2tx(t) + 1x! = ! x2

2tx+ 1(1.3)

x!(t) = sen(t+ x(t)) x! = sen(t+ x)(1.4)

cos(x!(t)! x(t)) + tx!(t) + ex(t) ! t3 = 0 cos(x! ! x) + tx! + ex ! t3 = 0(1.5)

x!!(t) + tx(t) = 0 x!! + tx = 0(1.6)

xx!! = (x!)2 xx!! = (x!)2(1.7)

x!!!(t)! t senx!(t) + 2x(t) = t2 x!!! ! t senx! + 2x = t2(1.8)

El orden de una ecuacion diferencial es el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuacion.Repasando los ejemplos anteriores, vemos que en los cinco primeros aparecen ecuaciones diferen-ciales de primer orden; en los ejemplos (1.6) y (1.7) las ecuaciones son de segundo orden y (1.8) esuna ecuacion diferencial de tercer orden. Observese que en (1.6) aparece la segunda derivada perono la primera.

En los ejemplos anteriores las funciones incognitas son funciones reales de una sola variablereal. Cuando esto sucede se dice que la ecuacion diferencial es ordinaria (EDO); sin embargo, sila funcion incognita tiene mas de una variable, la ecuacion diferencial se dice que es una ecuacionen derivadas parciales (EDP). En estas aparecen usualmente derivadas parciales (y no cualquierderivada direccional).

Damos a continuacion tres ejemplos muy interesantes de EDPs; en cada caso la ecuacion es desegundo orden (las EDPs mas importantes son las de segundo orden).

1. Ecuacion de Laplace:"2x

"t2(t, s) +

"2x

"s2(t, s) = 0.

Aquı representamor por (t, s) " x(t, s) a la funcion incognita. El llamado laplaciano de la

funcion x es &x = "2x"t2 + "2x

"s2 . Las soluciones de la ecuacion de Laplace son las llamadasfunciones armonicas.

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales IProf. Diego Gallardo Gomez

Universidad de Malaga

1.1. Introduccion a la asignatura 3

2. La ecuacion del calor :"T

"t(x, t)! C2"

2T

"x2(x, t) = 0.

Aquı representamor por (x, t) " T (x, t) a la funcion incognita. Si tenemos una barra sometidaa una fuente de calor, T (x, t) indica la temperatura en un punto x de la barra en el instantet y C es una constante que depende del material con el que esta fabricada la barra (podemosconsiderar los puntos x de la barra como puntos x $ R).

3. La ecuacion de ondas tridimensional de la fısica matematica:"2u

"t2! "2u

"x2! "2u

"y2! "2u

"z2= 0.

Se ha representado a la funcion incognita mediante (x, y, z, t) " u(x, y, z, t). Aquı (x, y, z)representa un punto del espacio R3

y t el tiempo.

Es posible que en una ecuacion funcional aparezca tanto una derivada de la funcion incognitacomo esta bajo el signo integral (por suerte, esto se da muy poco); tendrıamos ası una ecuacionintegro-diferencial, por ejemplo:

x!(t) +

% t

0x2(s) ds! 3tx(t) = sen t.

En todos los ejemplos vistos anteriormente hemos considerado una ecuacion con una funcionincognita, pero en muchos problemas de gran interes aparecen mas de una funcion incognita, todasellas relacionadas entre sı, dando lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales. Escribimos acontinuacion dos ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, de los mas simples quenos podemos encontrar. Ambos son de primer orden porque solo aparecen las primeras derivadasde las funciones incognitas, que representamos por x(t), y(t) en el primer caso y por x(t), y(t), z(t)en el segundo.

&x!(t) = tx(t) ! y(t)

y!(t) = 2x(t) + 3y(t) + t2

!""#

""$

x!(t) = x(t) + y(t) + z(t)

y!(t) = !2x(t) + 3z(t) ! t

z!(t) = ty(t) ! x(t) + 1

En este curso (Ecuaciones Diferenciales I ) unicamente vamos a tratar ecuaciones diferencialesordinarias y algo de sistemas diferenciales ordinarios de primer orden; lo mismo que se trataraen el curso Ecuaciones Diferenciales II, pero este primer curso se concibe con un caracter maspractico (no exento de rigor) que el segundo. Dividimos la asignatura en dos partes. La primeraesta dedicada a las EDOs de primer orden. Los temas 2, 3, 4 y 5 son mas practicos y se dedicana ciertos tipos de ecuaciones, muy importantes, y el tema 6 es mas general y teorico y esta en lalınea de lo que se estudiara en el segundo curso de EDOs. La segunda parte esta dedicada a lasecuaciones de orden superior y sistemas de primer orden, destacando de forma especial el tema 8,relativo a ecuaciones lineales de segundo orden.

En lo que sigue en este tema, vamos a tratar unicamente ecuaciones diferenciales de primerorden, por lo que puede considerarse como una introduccion a la primera parte de la asignatura.En ella vamos a tratar conceptos basicos y llevaremos a cabo ciertas consideraciones de interessobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.


1.2 Definiciones

La forma general de una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden es

(1.9) F (t, x(t), x!(t)) = 0,

donde F representa una funcion de tres variables definidas en cierta region A de R3 y donde t #" x(t)representa la funcion incognita. Por ejemplo:

(1.10) t2x!(t) + sen(t+ x(t))! 1 = 0.

Aquı la funcion F : R3 " R esta definida por F (t, x, y) = t2y+sen(t+x)!1. Una forma abreviada

de escribir la ecuacion diferencial es F (t, x, x!) = 0. Ası, en nuestro ejemplo, podemos escribir

abreviadamente la ecuacion como t2x! + sen(t+ x)! 1 = 0.

Una solucion de la ecuacion (1.9) es una funcion x : I " R, donde I es un intervalo (no degene-rado) en R, que verifica:

i) x es derivable en I,

ii) (t, x(t), x!(t)) $ A para cada t $ I,

iii) F (t, x(t), x!(t)) = 0 para cada t $ I.

En este caso, tambien se dice que x es una solucion de la ecuacion (1.9) en el intervalo I o que xes solucion de

F (t, x(t), x!(t)) = 0, t $ I.

Si I no es un intervalo abierto las derivadas en los extremos de I se entienden en el sentido lateral(derivada por la izquierda o por la derecha). El suponer que el dominio de una solucion es unintervalo y no cualquier subconjunto de R es para que sucedan cosas razonables; ya incidiremos enesta cuestion. Por ejemplo, ¿cuales serıan las soluciones de la ecuacion diferencial mas simple quese pueda dar: x!(t) = 0 ? Podrıamos pensar que todas las funciones constantes, pero esto no escierto si suponemos que las soluciones puedan estar definidas en conjuntos que no sean intervalos.

Una EDO como (1.9) se dice que esta escrita en forma implıcita. Si la primera derivada x!(t)aparece despejada o se puede despejar sin restricciones, tendremos una ecuacion del tipo

(1.11) x!(t) = f(t, x(t)),

donde la funcion f estara definida en una region D del plano R2 (generalmente conexa). Dire-mos que esta ecuacion esta escrita en forma explıcita o normal. De forma abreviada escribimos

x! = f(t, x).

Parece logico que definamos como solucion de la ecuacion (1.11) una funcion x : I " R, dondeI es un intervalo (no degenerado) en R, que verifica:

i) x es derivable en I,

ii) (t, x(t)) $ D para cada t $ I,

iii) x!(t) = f(t, x(t)) para cada t $ I.



1.3. Sobre los intervalos de definiciones de las soluciones 5

Tambien se dice que x es una solucion de la ecuacion (1.11) en el intervalo I o que x es solucion de

x!(t) = f(t, x(t)), t $ I.

La ecuacion x!(t) = cos(t!x(t)), escrita en forma abreviada como x! = cos(t!x), es una ecuacionque ya viene dada de forma explıcita. Aquı f : R2 " R esta definida por f(t, x) = cos(t ! x). Lasecuaciones (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4), vistas en la seccion anterior, son tambien explıcitas.

En el ejemplo (1.10), la ecuacion es propiamente ımplicita pues, en general, no podemos despejarla derivada x! a no ser que se pretenda estudiar soluciones definidas en intervalos I que no contengana t = 0; en este caso la ecuacion se puede escribir, de forma equivalente, como

x!(t) =1

t2'1! sen(t+ x(t))

(.

En este caso, tenemos f : D " R definida por f(t, x) = 1t2

'1! sen(t+ x)

(, donde D = (0,')( R

o bien D = (!', 0)( R,

La ecuacion

(x!(t))2 + 5t2x!(t)! 2x2(t) = 0

es implıcita, pero de ella se pueden extraer dos ecuaciones explıcitas:

x!(t) =1

2

)! 5t2 +

*25t4 + 8x2(t)

+, x!(t) = !1

2

)5t2 +

*25t4 + 8x2(t)

+.

Si embargo, la ecuacion (1.5) es propiamente implıcita pues en ella no vemos la forma de despejarla derivada x!.

La teorıa de las ecuaciones propiamente implıcitas esta poco estudiada y es muy distinta, ymenos gratificante, que la de las explıcitas. La teorıa que se desarrolla en este curso y posteriorestrata sobre las ecuaciones explıcitas, si bien en ciertos casos (veanse temas 3, 5 y 8) tambienmanejaremos ciertas ecuaciones implıcitas, por razones que, en su momento, indicaremos.

1.3 Sobre los intervalos de definiciones de las soluciones

Es evidente que si x es solucion de la ecuacion diferencial (1.11) en un intervalo I, tambien essolucion en cualquier intervalo J ) I, pero no tiene porque suceder que sea solucion en un intervaloJ ! I (entre otras cosas puede suceder que x no este definida en J). Lo mas interesante es obtenersoluciones x : I " R en las que, en cada caso, el intervalo I sea el mas grande posible (intervalosmaximales). Estas son las llamadas soluciones maximales. En esta asignatura no vamos a entraren la teorıa de las soluciones maximales (se ve en la asignatura EDO II), si bien en ciertos casosespeciales incidiremos en este concepto.

Para una misma ecuacion diferencial los intervalos maximales pueden variar mucho de unasolucion a otra. Vease el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.1. Ecuacion diferencial x!(t) = 2tx2(t).

Podrıamos creer que una simple ecuacion como la anterior debe tener todas sus soluciones maxi-males definidas en R, pero no es ası. Basta con comprobar que las siguientes funciones x : I " R,


definidas de la siguiente forma, son soluciones validas en los intervalos I indicados:

x(t) = 0 I = Rx(t) = ! 1

t2 I = (!', 0), I = (0,')

x(t) = 11"t2 I = (!',!1), I = (!1, 1), I = (1,').

Los intervalos indicados son maximales; al menos, esta claro que las expresiones de las solucionesno tienen sentido en intervalos mayores. La cuestion queda mas clara si esbozamos sus graficas(vease figura 1.1).

x!t" ! 0

x!t" ! " 1t2

x!t" ! " 1t2

x!t"! 1

1" t2

x!t"! 1

1" t2x!t"! 1

1" t2

"2 "1 1 2

1

Figura 1.1: Graficas de algunas soluciones de x! = 2tx2.

Observese que, directamente, de la misma ecuacion diferencial se puede obtener informacionsobre el comportamiento de cualquier solucion, comportamiento que se puede contrastar con loobtenido anteriormente. En efecto, si x : I " R es solucion de x!(t) = 2tx2(t) e I ) (!', 0],entonces x!(t) * 0 para cada t $ I y ası x es decreciente en I. De la misma forma, si I )[0,') es x!(t) % 0 para cada t $ I y, por tanto, x es creciente en I. Esto es algo que se puedeintentar comprobar con cualquier ecuacion diferencial (1.11). Ası, podemos afirmar que todas las

soluciones de la ecuacion x! = x2 son funciones crecientes en sus intervalos de definicion, aunqueno conozcamos, de momento, sus soluciones. Las ecuaciones x! = 2tx2 y x! = x2 seran estudiadasen el tema 3 (ecuaciones de variables separables).

Hay veces (sucede en pocas ocasiones) en que la expresion x(t) de una solucion de una ecuaciondiferencial tiene sentido en todos los puntos t de cierto intervalo I y, sin embargo, la funcion x noes solucion de la ecuacion en todo el intervalo I. Consideramos el siguiente caso:

Ejemplo 1.2. Ecuacion diferencial x! = 2|x |1/2 .

Podemos comprobar que la funcion x : R " R definida por x(t) = t2 es unicamente solucion dela ecuacion diferencial en el intervalo I = [0,') ya que 2

*|x(t) | = 2t si, y solo si, t % 0. La propia

ecuacion diferencial nos indica que todas sus soluciones han de ser crecientes y vease que x(t) = t2

solo es creciente en el intervalo I = [0,').

Observese que la funcion nula es solucion de x! = 2|x |1/2 en todo R y podrıamos formar la



1.4. Sobre la existencia de soluciones 7

solucion x : R " R definida por x(t) =

&0 si t * 0

t2 si t > 0, ya que la funcion ası definida es derivable

en todo punto. Esta solucion serıa una prolongacion de la solucion x : [0,') " R, t #" x(t) = t2.Por tanto, esta ultima no serıa una solucion maximal.

x!t" ! 0x!t"! t2

"3 "2 "1 1 2 3

2

4

6

8

1.4 Sobre la existencia de soluciones

En condiciones muy generales una EDO de primer orden explıcita (1.11) suele tener infinitas solu-ciones. En la asignatura Ecuaciones Diferenciales II se probara (la prueba es complicada) que estosucede con tal que la funcion f sea continua en la region D. Esto es algo que iremos comprobandoen las distintas ecuaciones que veremos a lo largo de este curso pero ahora vamos a empezar aconvencernos de esta afirmacion tratando dos tipos de ecuaciones muy simples. Posteriormente,compararemos los resultados obtenidos con dos ejemplos de ecuaciones propiamente implıcitas,para que apreciemos que los comportamientos de las ecuaciones explıcitas e implıcitas son muydistintos.

Ejemplo 1.3. Ecuaciones x!(t) = g(t), donde g : I " R es una funcion conocida.

Por ejemplo, x!(t) = t sen t.

En este caso, decir que x : I " R es solucion de x!(t) = g(t) equivale a decir que x es unaprimitiva de la funcion g en I ¿Existen tales primitivas? Supongamos que I es un intervalo (nodegenerado) en R. Si g es continua en I, el primer teorema fundamental del calculo, asegura que gposee primitivas en I; de hecho, posee infinitas y dos de ellas solo se diferencian en una constante(en esto ultimo es fundamental que I sea un intervalo). Concretamente, fijado cualquier t0 $ I, lafuncion

G : I !" R definida por G(t) =

% t

t0

g(s) ds

es una primitiva de g en I y las funciones t #" G(t) + C, C $ R, son las unicas primitivas de g enI. Ası, siendo g continua en I, la ecuacion diferencial posee infinitas soluciones en el intervalo I,que solo se diferencian en constantes. Si notamos por

,g(t) dt una primitiva de g en I, el conjunto

de soluciones de la ecuacion, validas en el intervalo I, son las funciones xC definidas por

xC (t) =,g(t) dt+ C, siendo C cualquier numero real.

Ası, por ejemplo, las soluciones de la ecuacion x!(t) = t, validas en R, son las funciones definidaspor xC (t) =

12 t

2 + C, donde C $ R.

Observese la importancia de que I sea un intervalo en todo lo visto anteriormente.

¿Que sucede si g no es continua en I? La respuesta no es evidente. Sin asumir que la funciong sea continua en I, no podemos afirmar que la ecuacion tenga solucion definida en I. La funcion


g : R !" R definida por g(t) =

&0 si t * 0

1 si t > 0

no es continua en t = 0. De suponer que la ecuacion x!(t) = g(t) posee una solucion x en el intervaloR o en algun intervalo que contenga al 0 en el interior, llegamos al absurdo de que la derivada por laizquierda de x en el punto 0 es distinta de la derivada por la derecha, contradiciendo la derivabilidadde x en ese punto. En efecto, si t < 0 serıa x!(t) = 0 y, puesto que existe, limt#0! x!(t) = 0, entoncesse verifica x!"(0) = limt#0! x!(t) = 0. Razonando de forma analoga para t > 0 se obtiene x!+(0) = 1.(Evidentemente, en un intervalo I ) (!', 0] o I ) (0,') la ecuacion diferencial sı tendrıa solucionpues ahı g es continua).

Durante mucho tiempo se penso que las funciones continuas eran las unicas funciones queverifican la propiedad de los valores intermedios. Pero esto no es cierto, pues hay funciones que noson continuas y que poseen tal propiedad. Concretamente, sabemos que hay funciones derivablesen un intervalo, cuya funcion derivada no es continua en ese intervalo. Pues bien, las funcionesderivadas siempre verifican la propiedad de los valores intermedios (en un intervalo). Este es lo queafirma el siguiente resultado:

Teorema 1.1 (Teorema de Darboux). Si I es un intervalo (no degenerado) de R y f : I " R esuna funcion derivable en I, la funcion derivada f ! : I " R posee la propiedad de los valores inter-medios en el intervalo I; es decir, si a y b son dos puntos de I, tales que a < b y f !

+(a) < f !"(b),

entonces, dado cualquier numero real # tal que f !+(a) < #<f !

"(b), existe c $ (a, b) tal quef !(c) = #.

Observaciones: Escribimos la derivada por la derecha f !+(a) y la derivada por la izquierda f !

"(b) puespodrıa darse el caso de que a o b (o ambos) fuesen extremos del intervalo, por ejemplo, I = [a, b].En el enunciado del teorema, suponemos, sin perdida de generalidad, que f !

+(a) < f !"(b), pero, de

forma analoga, obtendrıamos el mismo resultado cuando f !+(a) > f !

"(b) y f !+(b) < # < f !

"(a).

Prueba. Definimos g : I " R por g(x) = f(x) ! #x. Esta funcion es derivable en I, y g!(x) =f !(x)! # para todo x $ I. Observese que la hipotesis f !

+(a) < # < f !"(b) nos dice que g!+(a) < 0 y

que g!"(b) > 0.

La funcion g es continua en [a, b]. Cualquier funcion continua sobre un intervalo compacto(cerrado y acotado) alcanza en algun punto del intervalo un valor mınimo absoluto. Sea, por tanto,c un punto en [a, b] tal que g(x) % g(c) para cada x $ [a, b]. Veamos que c += a y c += b. De maneraintuitiva esto se ve pues g!+(a) < 0 implica que g decrece estrictamente en un pequeno intervalo ala derecha de a y la condicion g!"(b) > 0 implica que g crece estrictamente en un pequeno intervaloa la izquierda de b. En efecto, si fuese c = a, para todo h > 0 “suficientemente pequeno”,

g(a+ h) % g(a) =, g(a+ h)! g(a) % 0 =, g(a+ h)! g(a)

h% 0,

y, tomando lımite cuando h " 0+, se obtiene que g!(a) % 0, lo que es una contradiccion. De formaanaloga se comprueba que c += b.

Por tanto, se verifica que c es un punto interior de (a, b). Como g alcanza en c un extremo y ges derivable en c, se tiene que c es un punto crıtico para g; es decir, g!(c) = 0 (teorema del extremointerior). Por tanto, f !(c) = #.

Ası pues, como consecuencia del teorema de Darboux, si g es una funcion que no verifica la



1.4. Sobre la existencia de soluciones 9

propiedad de los valores intermedios en el intervalo I, la ecuacion diferencial x!(t) = g(t) no tienesolucion en el intervalo I.

Esto nos confirma lo visto en el ejemplo anterior al teorema y, de paso, nos sirve para dar unejemplo de una EDO explıcita de primer orden sin soluciones, concretamente:

x!(t) = g(t), donde g(t) =

&1 si t $ Q

!1 si t /$ Q.

Observese que en cualquier intervalo I (no degenerado), por pequeno que sea, siempre hay racionalese irracionales y, ası, hay un punto donde g toma el valor !1 y otro donde toma el valor 1, pero noexiste un punto intermedio donde tome el valor 0. Por tanto, g no posee la propiedad de los valoresintermedios en I.

Hemos visto que la condicion de continuidad sobre g ha sido determinante para asegurar exis-tencia de soluciones (de hecho, infinitas). Observese que este caso es un caso particular de EDOde primer orden explıcita x!(t) = f(t, x(t)), donde f : I ( R " R viene definida por f(t, x) = g(t)y la continuidad de g sobre I equivale a la continuidad de f sobre D = I ( R.

Ejemplo 1.4. El modelo malthusiano

La dinamica de poblaciones constituye un ejemplo muy interesante de aplicacion de las ecua-ciones diferenciales. Consideremos una poblacion aislada, que puede estar formada por personas,animales o puede ser una colonia de bacterias. Evidentemente, el numero de individuos de estapoblacion varıa en funcion del tiempo. Supongamos que x(t) indica el numero de individuos dela poblacion en un instante de tiempo t. Logicamente x(t) es una variable entera (x(t) $ N) perosi queremos usar los potentes metodos del calculo diferencial debemos suponer que x(t) es unavariable real 1 (x(t) $ R), de forma que, si I es un intervalo de tiempo, tenemos una funcionx : I " R, t #" x(t) que nos da la evolucion de la poblacion en ese intervalo de tiempo.

Si t $ I y h > 0 es tal que t + h $ I, la diferencia x(t + h) ! x(t) nos da la variacion de lapoblacion en el intervalo de tiempo [t, t+ h]. Lo mas correcto es medir la variacion de la poblacionpor unidad de tiempo y considerar el cociente:

x(t+ h)! x(t)

h

(no es lo mismo que una poblacion aumente en 1.000 individuos en un mes que en 10 anos). Estorepresenta una velocidad de la variacion de la poblacion respecto del tiempo. En este contextose usan mas los terminos tasa o ritmo que el termino velocidad (una tasa es la relacion entre dosmagnitudes; usualmente la segunda magnitud es el tiempo).

Cuando la funcion x es derivable en el punto t, la derivada x!(t), que coincide con

limh#0+

x(t+ h)! x(t)

h,

representa la velocidad (tasa/ ritmo) instantanea de la variacion de la poblacion en el instante t.Si queremos usar el calculo diferencial para estudiar la poblacion debemos suponer que la funcionx es derivable en I, es decir, que la poblacion varıa respecto del tiempo de forma suave.

1Se pueden encontrar diversas justificaciones a ese paso de una variable discreta a una continua. Ası, para ciertaspoblaciones, una justificacion biologica consiste en entender que x(t) representa la biomasa de la poblacion, que esuna magnitud continua, aun en el caso en que la observacion realizada se trate de un recuento o una estimacion delnumero de individuos.


El modelo de poblacion mas antiguo y usado durante cierto tiempo fue el modelo malthusiano(Malthus, 1798). El modelo malthusiano establece que el ritmo (velocidad) de variacion de unapoblacion en un instante t es directamente proporcional al numero de individuos que hay en eseinstante. Matematicamente, el modelo malthusiano nos dice que existe una constante r tal que

x!(t) = r x(t) para cada t $ I.

Generalmente la constante r no es nula (salvo que la poblacion se mantenga constante) y el que rsea positiva o negativa (casos que se corresponden con que la poblacion crezca o decrezca respec-tivamente) dependera de si la natalidad es superior o inferior a la mortandad.

La ecuacion diferencial resultante x!(t) = r x(t) es muy simple pero no es del tipo estudiado en

el apartado anterior (x!(t) = g(t)). Es un caso particular de un tipo de ecuaciones que estudiaremosen el proximo tema. No obstante, podemos aquı, sin mas herramientas, estudiar las soluciones deesta ecuacion.

Observese que, en este caso, la ecuacion es de la forma x!(t) = f(t, x(t)), donde f : R2 " R estadefinida por f(t, x) = rx. Obviamente, f es continua en R2

.

Es evidente que nuestra ecuacion posee infinitas soluciones, ya que para cada constante C $ Rla funcion definida por xC (t) = Cert es solucion de la ecuacion diferencial, valida en el intervalo

I = R. Vamos a comprobar que estas son las unicas soluciones.

En efecto, supongamos que x : I " R es una solucion y consideramos la funcion definida pory(t) = x(t)e"rt. La funcion y es derivable en I y verifica y!(t) = x!(t)e"rt! rx(t)e"rt = 0 para cadat $ I. Al ser la derivada nula e I un intervalo, la funcion y ha de ser constante en I. Por tanto,debe existir C $ R tal que y(t) = C para cada t $ I, lo cual confirma que x(t) = Cert para cadat $ I.

Observese que, de la misma forma que en el caso anterior, el conjunto de soluciones viene dadopor una familia de funciones que dependen de un parametro C $ R (familia uniparametrica desoluciones). Es usual decir que x(t) = Cert es la solucion general de la ecuacion diferencial.

Se ha comprobado que el modelo malthusiano solo resulta adecuado para predicciones a cortoplazo pues este modelo supone un crecimiento ilimitado (de tipo exponencial) de la poblacion(cuando r > 0), lo cual no es realista, pero funciona bien con cierto tipo de colonias de bacterias.En el apendice del tema 3 se estudiara un modelo de poblacion mas realista y adecuado para muchoscasos. La simple ecuacion x!(t) = rx(t) tambien sirve para modelizar otros problemas de interes.

Vistos los dos ejemplos anteriores, donde, en cada caso, la funcion f es continua y la ecuaciontienen infinitas soluciones, volvemos a insistir en la gran diferencia entre la teorıa de EDOs explıcitase implıcitas. Si, en condiciones muy generales, las EDOs explıcitas poseen infinitas soluciones, nosucede lo mismo con las ecuaciones propiamente implıcitas. Esto se puede comprobar inmediata-mente con los dos simples ejemplos siguientes:

(x!)2 + x2 = !1 y (x!)2 + x2 = 0.

La primera ecuacion no tiene soluciones y la segunda solo tiene una solucion: la funcion nula. Sinembargo, ambas ecuaciones son de la forma F (t, x(t), x!(t)) = 0, donde F : R3 " R es continua enR3

. En el primer caso es F (t, x, y) = y2 + x2 + 1 y en el segundo es F (t, x, y) = y2 + x2.



1.5. Problemas de Cauchy o de valores iniciales 11

1.5 Problemas de Cauchy o de valores iniciales

Podrıamos creer que el objetivo principal que debemos plantear a la hora de estudiar una ecuaciondiferencial es la busqueda de todas sus soluciones. Sin embargo, lo que hace importantes a lasecuaciones diferenciales es su aplicabilidad a las ciencias experimentales y generalmente ningunfenomeno queda totalmente descrito mediante una ecuacion diferencial. La descripcion debe com-pletarse a partir de adecuadas condiciones adicionales.

En el estudio de un fenomeno o proceso fısico se espera, desde un punto de vista determinista,que, con el conocimiento del estado inicial del sistema (condicion inicial), la ecuacion diferencial(que se supone que refleja apropiadamente la ley que gobierna el proceso) permita predecir, demanera inequıvoca su evolucion. Por ejemplo, en el caso del modelo de poblacion malthusiano,visto en la seccion anterior, uno espera que la evolucion de la poblacion quede determinado siconocemos la poblacion en un instante inicial. Mas generalmente, si el fenomeno considerado esde tipo temporal (es decir, la variable t representa al tiempo) lo que suele hacerse es fijar deantemano el valor de la solucion en un instante inicial t0 . Esto nos lleva a considerar un tipo deproblema donde aparece una ecuacion diferencial x! = f(t, x) acompanada de una condicion deltipo x(t0) = x0 .

Un problema como

(P ) :

&x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

se conoce como problema de valor inicial o problema de Cauchy. Una solucion del problema (P) esuna solucion x : I " R de la ecuacion diferencial que verifica la condicion inicial x(t0) = x0 (estolleva implıcito que t0 $ I). Otra forma de expresar esto es diciendo que x es solucion del problema(P ) en el intervalo I o que x es solucion de

&x!(t) = f(t, x(t)), t $ I

x(t0) = x0

Cabe esperar, por lo comentado anteriormente, que un problema de Cauchy posea solucion unica enun determinado intervalo I (existencia y unicidad). Esto sucede en determinadas condiciones muygenerales (poco restrictivas), pero no siempre se verifica. Veamos a continuacion algunos ejemplosque ilustren lo que afirmamos. En los dos primeros consideramos ecuaciones diferenciales tratadasen la seccion anterior.

Ejemplo 1.5. Problema de poblacion (P ) :

&x!(t) = rx(t)

x(t0) = x0

Siguiendo el modelo malthusiano sobre poblacion, la ecuacion diferencial que se usa para estudiarla evolucion de la poblacion es x!(t) = rx(t), pero observemos que tal evolucion no queda totalmentedescrita mediante la ecuacion diferencial pues hemos obtenido una familia infinita (uniparametrica)de soluciones; concretamente, para cada C $ R hemos obtenido la solucion xC definida por xC (t) =Cert (no hay mas soluciones). Ahora bien, unicamente hay una solucion que verifique la condicioninicial x(t0) = x0 ya que la imposicion de tal condicion nos lleva a que C = x0e

r(t"t0 ). Por tanto,el problema (P ) posee una unica solucion definida en R, que es la funcion definida por

x(t) = x0er(t"t0 ).

De hecho, es la unica solucion de (P ) en cualquier intervalo I tal que t0 $ I.


Ejemplo 1.6. Problema (P ) :

&x!(t) = g(t)

x(t0) = x0

, donde g : I " R es continua en el intervalo I.

Hemos visto que si,g(t) dt una primitiva de g en I, el conjunto de soluciones de la ecuacion

diferencial x!(t) = g(t), validas en el intervalo I, son las funciones definidas por xC (t) =,g(t) dt+C,

siendo C cualquier numero real. En este caso es conveniente tomar como primitiva de g la funciondefinida por G(t) =

, tt0g(s) ds, ya que G(t0) = 0 y, ası, las soluciones vienen dadas por

xC (t) =, tt0g(s) ds+ C, C $ R.

Evidentemente solo hay una funcion de las anteriores que verifica la condicion inicial xC (t0) = x0 ,la correspondiente a C = x0 . Por tanto, el problema (P ) posee una unica solucion definida en I,que es la funcion definida por

x(t) = x0 +, tt0g(s) ds.

Ejemplo 1.7. (P ) :

&x! = 3x2/3

x(0) = 0

Es evidente que la funcion nula es solucion de (P ) en el intervalo R. Se comprueba de formainmediata que la funcion definida por x(t) = t

3tambien es solucion de (P ) en R. A partir de las

dos anteriores podemos definir otras soluciones de (P ) como

x(t) =

&0 si t * 0

t3 si t > 0y x(t) =

&t3 si t * 0

0 si t > 0.

x!t"! t3

x!t"! t3

x!t" ! 0 x!t" ! 0!0, 0"

De hecho, en cada intervalo que contenga al 0 en su interior, hay definidas infinitas solucionespara el problema (P), entre las que se encuentran las cuatro anteriores (vease el tema 3). Tenemosası un caso de problema de Cauchy sin unicidad de solucion.

En el tema 6 veremos que, en condiciones muy generales, un problema de valor inicial (P ) poseeuna unica solucion en algun intervalo I. Para esto es suficiente con cierta regularidad de la funcionf ; de hecho, basta con que sea f de clase uno en cierta region. Observese que en el ejemplo 1.7,donde no hay unicidad, la funcion f : R2 " R definida por f(t, x) = 3x2/3 no posee derivada parcialrespecto de la variable x en los puntos de la forma (t, 0).



Ejercicios propuestos 13

Comentarios finales: Finalizamos esta introduccion con algunas advertencias y un adelantode lo que vamos a ver en los proximos temas.

• No existe un metodo general para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer ordenexplıcitas: x!(t) = f(t, x(t)).

• Unicamente se saben resolver (salvo calculo de primitivas) unos tipos especiales de ecuaciones:lineales, de variables separables, homogeneas, de tipo Bernouille, exactas, ......

• Dedicaremos los temas 2, 3, 4 y 5 a estudiar los principales tipos de ecuaciones que se sabenresolver. En ellos no nos conformaremos unicamente con dar metodos de resolucion, sino queaprovecharemos tales metodos para dar resultados de existencia y unicidad de soluciones paraproblemas de valores iniciales (problemas de Cauchy). Ademas, las ecuaciones que se estudianen estos temas, especialmente las ecuaciones lineales y las de variables separables, servirancomo referencias y ejemplos clarificadores de los conceptos y resultados que se expondran masadelante, en un contexto mas general.

• El tema 6 (ultimo tema de la primera parte) es mas teorico; en el se considera cualquierecuacion diferencial de primer orden x!(t) = f(t, x(t)), siendo f continua y verificando ciertacondicion adicional en una region D, y se obtendran unos teoremas de existencia y unicidadde soluciones para problemas de valores iniciales que podran aplicarse en muchos casos.

Ejercicios propuestos :

1. Sea g : R " R, definida por g(t) =

&!t si t * 0

1 + t2 si t > 0. ¿Existe alguna solucion x de la ecuacion

diferencial x!(t) = g(t) en el intervalo [!1, 1]?

2. Esta nevando con regularidad. A las doce del mediodıa sale una maquina quitanieves que recorre enla primera hora el doble de espacio que en la segunda hora. ¿A que hora empezo a nevar?(Indicaciones: Se supone que la cantidad de nieve quitada por la maquina en la unidad de tiempo esconstante, de manera que su velocidad de avance es inversamente proporcional a la altura de nieveencontrada en el camino. Por otra parte, el que este nevando con regularidad implica una hipotesislogica sobre la altura de la nieve que hay en un instante de tiempo.)

3. Poblaciones. Modelo malthusiano.

(a) Supongamos que el ritmo de crecimiento de cierta colonia de bacterias es (directamente) propor-cional al numero de ellas presentes. Si su numero se duplica en cinco horas ¿que tiempo tardaraen triplicarse?

(b) Supongamos que el ritmo de crecimiento de una poblacion (en el transcurso de unos 20 anos)es proporcional al numero de individuos. Si la poblacion se ha doblado en 3 anos y en 5 anosalcanzo la cifra de 40.000 habitantes, ¿cuantas personas vivıan en la ciudad al comienzo de eseperiodo de cinco anos?

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