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  • CAPITULO 0

    Introduccion y Revision deElectricidad y Magnetismo

    I. Revision de elementos matematicos

    En este apartado se introducen los elementos basicos del calculo vectorialque seran utiles en el desarrollo de los contenidos de los apuntes. Tambiense hace un repaso breve del problema de las magnitudes y unidades en lasleyes fsicas.

    0.1 DEFINICIONES BASICAS

    0.1.1

    Definiciones de campo

    Definimos un campo escalar como:

    : D R3 R

    funcion escalar y de punto que asocia a cada punto ~x en su dominio D unescalar .

    Definimos un campo vectorial ~A como:

    ~A : D R3 R3

    funcion vectorial y de punto que asocia a cada punto ~x en su dominio D unvector ~A.

    Las versiones complejas de los campos escalares y vectoriales se definen demanera analoga.

    0.1.2

    Vectores unitarios y cosenos directores

    a= Vector unitario en la direccion de ~a:

    a = ~a/|~a|

  • 8 INTRODUCCION Y REVISION DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    Si los vectores estan definidos en el cuerpo complejo se debe emplear:

    a = ~a/~a ~a

    Cuando empleemos el sistema de coordenadas cartesiano, podemos expresarcualquier vector unitario r en funcion de los cosenos de los angulos (, , )que forma con los ejes x, y, z:

    r = cosx+ cosy + cos z

    conocidos como cosenos directores.

    0.1.3

    Lneas de campo

    Las lneas de campo son lneas tangentes al campo vectorial en cada punto.Indican direccion y sentido e intensidad, para lo cual se dibujan de formaque hay mayor densidad de lneas en las zonas donde la intensidad de campoes mayor.

    En dinamica de fluidos, una lnea de campo es precisamente una trayectoriarecorrida por una partcula de fluido.

    0.1.4

    Flujo de ~A a traves de una superficie S

    Dado un campo vectorial ~A decimos que su flujo a traves de una superficieS viene dado por:

    S

    ~A d~s

    En dinamica de fluidos, donde ~A representa un campo de velocidades, eldiferencial de flujo mide la cantidad de fluido que pasa por el paralelogramotangente por unidad de tiempo.

    0.1.5

    Radian y estereorradian

    El radian es la medida de un angulo plano y se define como el angulo planocuyo vertice, en el centro de una circunferencia de radio r, subtiende unarco cuya longitud es r.

    La medida del angulo solido es el estereorradian, que corresponde al angulosolido cuyo vertice, en el centro de una esfera de radio r, subtiende unasuperficie esferica cuyo area tiene como valor r2.

    Dado que la superficie de una esfera es S = 4r2, hay 4 estereorradianesen una esfera cerrada.

    El elemento infinitesimal de area ds sobre la superficie de la esfera de radior viene dado por:

    ds = r2 sin dd (m2)

    por lo que el elemento diferencial de angulo solido sera:

    d =ds

    r2= sin dd (sr)

  • 0.2. Sistemas de coordenadas 9

    y vemos que se cumple, efectivamente que:

    d = 4

    0.2 SISTEMAS DECOORDENADAS

    0.2.1

    Definicion

    Dependiendo del problema y de las simetras que presente, es convenienteelegir el sistema de coordenadas.

    Coordenadas rectangulares (x, y, z).

    Coordenadas cilndricas (, , z).

    Coordenadas esfericas (r, , ). Notar que el angulo es de revolucioncon respecto al eje z y vara entre 0 y mientras que el se midesiempre en el plano xy y vara en un margen de 0 a 2.

    0.2.2

    Cambios de coordenadas rectangulares-cilindricas

    Las coordenadas se relacionan segun:

    x = cosy = sinz = z

    y los vectores unitarios (que dependen de ): AAAz

    = cos sin 0 sin cos 0

    0 0 1

    AxAyAz

    AxAyAz

    = cos sin 0sin cos 0

    0 0 1

    AAAz

    0.2.3

    Cambios de coordenadas cilindricas-esfericas

    = r sin z = r cos

    y los vectores unitarios (que dependen de ): ArAA

    = sin 0 cos cos 0 sin

    0 1 0

    AAAz

    AAAz

    = sin cos 00 0 1

    cos sin 0

    ArAA

  • 10 INTRODUCCION Y REVISION DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    0.2.4

    Cambios de coordenadas rectangulares-esfericas

    Las coordenadas se relacionan segun:

    x = r sin cosy = r sin sinz = r cos

    y los vectores unitarios (que dependen de y ): ArAA

    = sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin

    sin cos 0

    AxAyAz

    AxAyAz

    = sin cos cos cos sinsin sin cos sin cos

    cos sin 0

    ArAA

    0.3 CALCULO DIFERENCIALVECTORIAL

    0.3.1

    Gradiente de una funcion escalar de punto

    Sea (x, y, z) una funcion escalar y de punto. Se define el gradiente de encoordenadas rectangulares como:

    (x, y, z) = (x, y, z)x

    x+(x, y, z)

    yy +

    (x, y, z)z

    z

    Interpretacion geometrica del gradiente

    Se demuestra que si 6= 0, entonces apunta en la direccion en la cual esta creciendo mas rapidamente.

    Propiedad

    Sea S la superficie que consta de aquellos (x, y, z) tales que f(x, y, z) =k=cte. El plano tangente a S en un punto (xo, yo, zo) de S esta definido porla ecuacion:

    < (xo, yo, zo), (x xo, y yo, z zo) >= 0

    si (xo, yo, zo) 6= 0, siendo < > el producto escalar.

    0.3.2

    Laplaciana de una funcion escalar de punto

    Sea (x, y, z) una funcion escalar y de punto. Se define la laplaciana de en coordenadas rectangulares como:

    4(x, y, z) = 2(x, y, z) = 2(x, y, z)x2

    +2(x, y, z)

    y2+2(x, y, z)

    z2

  • 0.3. Calculo diferencial vectorial 11

    0.3.3

    Divergencia de una funcion vectorial de punto ~A

    Sea ~A(x, y, z) = Ax(x, y, z)x+Ay(x, y, z)y+Az(x, y, z)z una funcion vecto-rial y de punto. Se define la divergencia de ~A en coordenadas rectangularescomo:

    ~A = Axx

    +Ayy

    +Azz

    0.3.4

    Rotacional de una funcion vectorial de punto ~A

    Sea ~A = Axx + Ay y + Az z una funcion escalar y de punto. Se define elrotacional de ~A en coordenadas rectangulares como:

    ~A =(Azy

    Ayz

    )x+

    (Axz

    Azx

    )y +

    (Ayx

    Axy

    )z

    que simbolicamente puede expresarse como:

    ~A =

    x y z

    /x /y /zAx Ay Az

    0.3.5

    Laplaciana de una funcion vectorial de punto ~A

    Sea ~A(x, y, z) = Ax(x, y, z)x+Ay(x, y, z)y+Az(x, y, z)z una funcion vecto-rial y de punto. Se define la laplaciana de ~A en coordenadas rectangularescomo:

    4 ~A = 4Axx+4Ay y +4Az z

    0.3.6

    Teorema de la divergencia de Gauss

    Sea V una region y S la superficie cerrada orientada que acota V . Sea ~A uncampo vectorial definido en V . Entonces:

    V

    ~Adv =S

    ~A d~s

    El significado fsico de la divergencia es que en un punto P , ~A es la razondel flujo neto que sale por P por unidad de volumen.

    0.3.7

    Teorema de Stokes

    Sea S una superficie orientada definida por una funcion C2, z = f(x, y),(x, y) D y sea ~A un campo vectorial C1 en S. Entonces, si L denota unacurva frontera orientada de S, tenemos:

    S

    ~A d~s =L

    ~A d~l

  • 12 INTRODUCCION Y REVISION DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    El significado fsico del rotacional en un punto P , ~A es la circulacionde ~A por unidad de area en una superficie perpendicular a d~s.

    0.3.8

    Operadores en coordenadas cilndricas

    =

    +1

    +

    zz

    ~A = 1

    (A)

    +1

    A

    +Azz

    ~A =[1

    Az

    Az

    ]+

    [Az

    Az

    ]+

    [1

    (A)

    1

    A

    ]z

    4 = 2 = 1

    [

    ]+

    122

    2+2

    z2

    4 ~A =[4A

    22A

    A2

    ]+

    [4A +

    22A

    A2

    ]+4Az z

    0.3.9

    Operadores en coordenadas esfericas

    = rr +

    1r

    +

    1r sin

    ~A = 1r2(r2Ar)r

    +1

    r sin

    (sin A) +

    1r sin

    A

    ~A = 1r sin

    [

    (A sin )

    A

    ]r+

    1r

    [1

    sin Ar

    (rA)r

    ]+

    1r

    [(rA)r

    Ar

    ]

    4 = 2 = 1r2

    r

    [r2

    r

    ]+

    1r2 sin

    [sin

    ]+

    1r2 sin2

    2

    2

    4 ~A =[4Ar

    2r2

    (Ar + cotA + csc

    A

    +A

    )]r+[

    4A 1r2

    (csc2A 2

    Ar

    + 2cotcscA

    )]+[

    4A 1r2

    (csc2A 2csc

    Ar

    2cotcsc A

    )]

  • 0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones 13

    0.3.10

    Identidades vectoriales

    Suma y multiplicacion

    ~A ~A = |A|2~A ~A = |A|2~A+ ~B = ~B + ~A~A ~B = ~B ~A~A ~B = ~B ~A( ~A+ ~B) ~C = ~A ~C + ~B ~C( ~A+ ~B) ~C = ~A ~C + ~B ~C~A ~B ~C = ~B ~C ~A = ~C ~A ~B~A ~B ~C = ( ~A ~C) ~B ( ~A ~B) ~B( ~A ~B) (~C ~D) = ~A ~B (~C ~D) = ~A( ~B ~D ~C ~B ~C ~D)( ~A ~B) (~C ~D) = ( ~A ~B ~D)~C ( ~A ~B ~C) ~D

    Diferenciacion

    ( ~A) = 0 = 0( + ) = +() = + ( ~A+ ~B) = ~A+ ~B ( ~A+ ~B) = ~A+ ~B ( ~A) = ~A + ~A ( ~A) = ~A+ ~A( ~A ~B) = ( ~A ) ~B + ( ~B ) ~A+ ~A ( ~B) + ~B ( ~A) ( ~A ~B) = ~B ~A ~A ~B ( ~A ~B) = ~A ~B ~B ~A+ ( ~B ) ~A ( ~A ) ~B ~A = ( ~A)4 ~A

    0.4 UNIDADES, SISTEMASDE UNIDADES YECUACIONES DEDIMENSIONES

    Para expresar una magnitud en un cierto espacio de referencia, se tomacomo patron la unidad U de forma que una magnitud X puede expresarsede la forma:

    X = Ux = U x

    siendo x la medida de esta magnitud, que variara segun la unidad elegida.

    Para comparar cantidades de la misma magnitud es necesario efectuar susmedidas con la misma unidad.

    Las leyes fsicas relacionan entre s medidas de magnitudes de distinta na-turaleza. Las leyes fsicas, en general, se expresan mediante relaciones de laforma:

    x = Kxa11 xa22 ... x

    an1 (1)

    donde K es una constante y a1, a2, ..., an son numeros racionales positivoso negativos, de manera que:

    Las magnitudes relacionadas mediante una ley se dice que son cohe-rentes en