Denitia spatiului proiectivSubspatii proiective

Coordonate omogeneLegatura dintre dreptele proiective dintr-un plan proiectiv real si dreptele obisnuite din R2

Repere proiective

Introducere in geometria proiectiva

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Introducere in geometria proiectiva

1 Denitia spatiului proiectiv

2 Subspatii proiective

3 Coordonate omogene

4 Legatura dintre dreptele proiective dintr-un plan proiectiv real sidreptele obisnuite din R2

5 Repere proiective

Denitia spatiului proiectiv

In constructia unui spatiu proiectiv se porneste de la un spatiu liniar Vpeste un corp comutativ K.

Denition

Pe V\0 se deneste urmatoarea relatie de echivalenta:

x ∼ y ⇔ ∃λ ∈ K∗a.i . y = λx , x , y ∈ V\0. (1)

Clasa de echivalenta a unui vector x ∈ V\0 se noteaza prin

[x ] = λx | λ ∈ K∗

si consta in subspatiul liniar generat de x din care a fost inlaturat vectorulnul.Multimea factor

V\0∣∣∣∣∼

=

[x ] | x ∈ V\0

:= P(V)

se noteaza cu P(V) si se numeste K-spatiul proiectiv asociat lui V.

Deci P(V) reprezinta multimea subspatiilor 1-dimensionale

ale lui V din care s-a scos vectorul nul.

Fieπ : V\0 → P(V), π(x) = [x ] (2)

aplicatia surjectiva ce asociaza ecarui vector nenul al lui V clasa sade echivalenta. Aplicatia π se numeste proiectia canonica.Elementele lui P(V) se numesc puncte proiective si le notam prin[x ], [y ] sau prin A, B .Daca A = [x ] spunem ca x este un vector reprezentant al punctuluiproiectiv A.Daca dimV = n + 1, prin denitie se considera ca dimP(V) = n. Inacest caz notam spatiul proiectiv cu Pn(V).Un spatiu proiectiv de dimensiune 1 se numeste dreapta proiectiva.Un spatiu proiectiv de dimensiune 2 se numeste plan proiectiv.Un spatiu proiectiv de dimensiune zero consta intr-un punctproiectiv.Daca dimV = 0⇔ V =

0, atunci P(V) = ∅ si dimP(V) = −1.

Daca dimV =∞, atunci dimP(V) =∞.

Interpretari ale spatiului proiectiv Pn(R)

In cazul in care V = Kn+1, atunci spatiul proiectiv asociat acestuia senoteaza Pn(K) si se numeste K-spatiul proiectiv standard n-dimensional.Observam ca spatiul proiectiv real Pn(R) poate interpretat ca multimeadreptelor din Rn+1 ce trec prin origine, din care s-a scos originea.

Consideram in Rn+1 sfera cu centrul in 0 si raza 1, numita sfera unitateSn =

x ∈ Rn+1 |‖ x ‖= 1

, unde ‖ x ‖=

√(x0)2 + · · · (xn)2 pentru

x = (x0, · · · , xn).Deoarece orice dreapra vectoriala prin 0 ∈ Rn+1 intersecteaza sferaunitate in doua puncte diametral opuse, putem determina ocorespondenta biunivoca intre spatiul proiectiv real n-dimensional si

multimea factor Sn

∣∣∣∣∼, unde ∼ este relatia de echivalenta pe Sn denita

prinu ∼ v ⇔ u = ±v , u, v ∈ Sn.

Notam cu < x >= x ,−x clasa de echivalenta a lui x ∈ Sn si cu

p : Sn → Sn

∣∣∣∣∼

proiectia canonica p(x) =< x >.

Pn(R) ≡ Sn

∣∣∣∣∼

Denim

Ψ : Pn(R)→ Sn

˛∼, Ψ(A) = p

„1

‖ x ‖ x«, ∀A = π(x) ∈ P

n(R), x ∈ Rn+1\˘0¯.

Aplicatia Ψ este bine denita, deoarece daca y ∈ π−1(A), atunci

∃λ ∈ R∗ a.i. y = λx , deci 1

‖y‖ y = ± 1

‖x‖ x ⇒ p(

1

‖x‖ x)

= p(

1

‖y‖ y).

Sa demonstram ca Ψ este injectiva.Fie A = [x ] si B = [y ] in Pn(R) astfel incat Ψ(A) = Ψ(B)⇒p(

1

‖x‖ x)

= p(

1

‖y‖ y)⇒ 1

‖y‖ y = ± 1

‖x‖ x ⇒

y = ±‖y‖‖x‖ x ⇒ [x ] = [y ], deci A = B .

In nal, Ψ este surjectiva. Intr-adevar, e

Y ∈ Sn

∣∣∣∣∼⇒ ∃y ∈ Sn ⊂ Rn+1 a.i. Y = p(y). Deoarece ‖ y ‖= 1

rezulta y 6= 0.

Fie π(y) ∈ Pn(R). Atunci Ψ(π(y)) = p(

1

‖y‖ y)

= p(y) = Y .

Astfel am demonstrat ca Pn(R) poate identicat cu Sn

∣∣∣∣∼.

Observam ca Sn

∣∣∣∣∼

este de fapt multimea claselor de echivalenta

(orbitelor) denite de actiunea grupului Z2 pe sfera Sn.

Pn(R) ≡ Sn

+

∣∣∣∣∼

Consideram semihipersfera superioara, impreuna cu hipersferaecuatoriala, Sn

+ =x = (x0, · · · , xn) ∈ Sn | xn ≥ 0

. Evident

orice dreapta prin origine taie semisfera superioara intr-un singurpunct, iar hipersfera ecuatoriala in doua puncte diametral opuse.Identicam aceste puncte denind pe Sn

+ relatia de echivalenta

x ∼ y ⇔

(x = y , daca xn > 0 si yn > 0,

x = ±y , daca xn = yn = 0, pentru x = (x0, · · · , xn), y = (y0, · · · , yn).

Folosind proiectia canonica p+ : Sn+ → Sn

+

∣∣∣∣∼, denim functia

Ψ+ : Pn(R)→ Sn+

∣∣∣∣∼, Ψ+(π(x)) = p+

(1

‖ x ‖x

).

Demonstrati ca Ψ+ este bine denita si bijectiva. Deci putem

identica Pn(R) cu Sn+

∣∣∣∣∼.

P1(R) ≡ S1

In particular, dreapta proiectiva reala e in corespondenta biunivoca cumultimea factor obtinuta prin identicarea celor doua puncte diametralopuse ale semicercului (inchis) cu centrul in 0 si raza 1 din R2. DeciP1(R) ≡ S1.

Theorem

Dreapta proiectiva reala P1(R) este in corespondenta biunivoca cu cercul

unitate S1.

Stim ca Ψ+ : P1(R)→ S1+∣∣∣∣∼

este o bijectie. Este sucient sa denim o

bijectie intre S1+∣∣∣∣∼

si S1.

Fie A ∈ S1+∣∣∣∣∼. Rezulta ca exista x ∈ S1+ a.i. A = p+(x). Din x ∈ S1+

rezulta ca exista un unic t ∈ [0, 12

] astfel incat x = (cos 2t, sin 2t).

Denim atunci f : S1+∣∣∣∣∼→ S1 prin f (A) = (cos 4t, sin 4t). Evident

Im(f ) ⊆ S1. Demonstrati ca f este bine denita si ca e o bijectie intre

S1+∣∣∣∣∼

si S1.

Subspatii proiective

Denition

Un subspatiu proiectiv al K-spatiului proiectiv P(V) este imaginea prinproiectia canonica π a unui subspatiu liniar al lui V din care s-a scos 0:

π(W \

0)

= P(W ), W ⊂s.l.V.

Observam ca subspatiul proiectiv π(W \

0)

este spatiul proiectivasociat lui W .Daca dimV = n + 1 si W este un hiperplan al lui V , atunci spunem caP(W ) este un hiperplan proiectiv al lui P(V). Evident dimP(W ) = n− 1.

Exemple de subspatii proiective

Cel mai simplu exemplu de subspatiu proiectiv este subspatiul format

dintr-un singur punct proiectiv:

A = [u] ∈ P(V), atunci˘A¯

este imaginea prin proiectia canonica a

subspatiului liniar generat de u fara vectorul nul.

Pn−1(K) este un hiperplan proiectiv al lui Pn(K).

Intr-adevar, consideram aplicatia injectiva

i : Kn\0→ Kn+1\

0, i(x1, x2, · · · , xn

)= i(x1, x2, · · · , xn, 0

).

Observam ca i (Kn) e un subspatiu liniar al lui Kn+1.Fie π′ : Kn\

0→ Pn−1(K) proiectia canonica a spatiului proiectiv

Pn−1(K).Denim aplicatia

j : Pn−1(K)→ Pn(K), j(π′(x1, · · · , xn)

)= π

(i(x1, · · · , xn)

).

Aceasta aplicatie este bine denita: daca π′(x1, · · · , xn) = π′(y1, · · · , yn),

atunci π`x1, x2, · · · , xn, 0

´= π

`y1, y2, · · · , yn, 0

´. In plus j este injectiva.

Astfel putem identica Pn−1(K) cu j(Pn−1(K)

)= π′ (i (Kn)) si acesta

este un subspatiu proiectiv al lui Pn(K).

Intersectii de subspatii proiective

Proposition

O intersectie de subspatii proiective ale lui P(V) este un subspatiuproiectiv.

Daca Pi = π(Wi\

0)

= P (Wi ), Wi ⊂s.l .V, i ∈ I 6= ∅, atunci⋂

i∈IPi = π

(⋂i∈I

Wi\0)

= P

(⋂i∈I

Wi

).

Din acest rezultat reiese ca data o submultime nevida S a lui P(V),intersectia tuturor subspatiilor proiective ale lui P(V) ce contin pe Seste un subspatiu proiectiv, numit infasuratoarea proiectiva a lui S .

Uniunea a doua subspatii proiective

Denition

Fie P1 = P(W1) si P2 = P(W2) doua subspatii proiective ale luiP(V), cu W1,W2 subspatii liniare ale lui V. Atunci W1 + W2 ⊂

s.l .V

si denim uniunea lui P1 cu P2 prin

P1 ∨ P2 = P (W1 + W2) .

Observam ca uniunea a doua puncte proiective distincte ale unuispatiu proiectiv este o dreapta proiectiva:

A = [u], B = [v ]⇒ A ∨ B = π([u, v ]\

0)

= P ([u, v ]) .

Am notat prin [u, v ] subspatiul liniar al lui V generat de vectoriiu, v . El este un subspatiu 2 dimensional deoarece A si B suntdistincte, deci u si v sunt liniar independenti. Rezulta ca P ([u, v ])este o dreapta proiectiva care contine punctele proiective A, B .

Unicitatea dreptei proiective prin doua puncte distincte date

Sa vericam ca aceasta dreapta este unica.Sa presupunem prin reducere la absurd ca exista o alta dreaptaproiectiva P(U) cu U subspatiu liniar 2 dimensinal al lui V, carecontine punctele A si B . Atunci u, v ∈ U ⇒ [u, v ] ⊆ U. Dar U si[u, v ] sunt subspatii 2 dimensionale, deci ele coincid si astfelP(U) = P ([u, v ]).Astfel am demonstrat rezultatul:

Proposition

Prin oricare doua puncte distincte ale unui spatiu proiectiv trece ounica dreapta proiectiva.

Notam dreapta A ∨ B prin AB .Bineinteles ca ne intereseaza si rezultatul dual: oricare doua drepteproiective distincte se intersecteaza intr-un singur punct? Vomdemonstra ca rezultatul acesta este adevarat intr-un plan proiectiv.Pentru aceasta avem nevoie sa evaluam dimensiunea unei uniuni desubspatii proiective

Teorema dimensiunii

Proposition

Fie P1 si P2 doua subspatii proiective nit dimensionale ale luiP(V). Atunci

dim (P1 ∨ P2) = dimP1 + dimP2 − dim (P1 ∩ P2) .

Fie P1 = P(V1) si P2 = P(V2), cu V1 si V2 subspatii liniare nitdimensionale ale lui V. Atuncidim (P1 ∨ P2) = dim (V1 + V2)− 1 =dimV1 + dimV2 − dim (V1 ∩ V2)− 1 = dimP1 + 1 + dimP2 + 1−(dim (P1 ∩ P2) + 1)− 1 = dimP1 + dimP2 − dim (P1 ∩ P2).

Corollary

Daca P1 si P2 sunt doua subspatii proiective ale spatiului proiectiv

nit dimensional P(V) astfel incat dimP1 + dimP2 ≥ dimP(V),atunci P1 ∩ P2 6= ∅.

Intr-adevar, dim (P1 ∨ P2) ≤ dimP(V)⇔dimP1 + dimP2 − dim (P1 ∩ P2) ≤ dimP(V). Din ipoteza avem cadimP1 + dimP2 ≥ dimP(V)≥ dimP1 + dimP2 − dim (P1 ∩ P2).Rezulta ca dim (P1 ∩ P2) ≥ 0⇔ P1 ∩ P2 6= ∅.Aplicand acest corolar rezulta imediat:

Intr-un plan proiectiv, orice doua drepte distincte se intersecteazaintr-un punct proiectiv.

Teorema de caraterizare a subspatiilor proiective

Prezentam in continuare, fara demonstratie, o teorema ce nepermite sa vericam daca o submultime a unui spatiu proiectiv estesubspatiu proiectiv. Va invitam sa urmariti demonstratia in [I. Pop,Geometrie ana, euclidiana si proiectiva, Editura Universitatii Cuza1999, pag. 122].

Theorem

O submultime nevida Y ⊂ P(V) este un subspatiu proiectiv al lui

P(V) daca si numai daca pentru oricare doua puncte A, B ∈ Y

rezulta ca A ∨ B ⊂ Y .

Coordonate omogene

In continuare vom asocia ecarui punct proiectiv un set de coordonateomogene. Folosind acest tip de coordonate vom da o interpretare aspatiului proiectiv Pn(V). Il vom privi ca reuniunea dintre spatiul an Kn

si hiperplanul proiectiv Pn−1(K), pe care il vom numi hiperplanul de lainnit.

Presupunem ca dimV = n + 1 si B = e0, e1, · · · , en este o baza a lui V.Fie A = [x ] ∈ P(V) un punct proiectiv arbitrar. Rezulta ca existax i ∈ K, i ∈ 0, n astfel incat

x =n∑

i=0

x i ei .

Scriem atunci A = [x0, x1, · · · , xn] si numim scalarii x0, x1, · · · , xn

coordonatele omogene ale punctului proiectiv A in raport cu baza B.Observam ca A = [λx ], ∀λ ∈ K∗, rezulta[x0, x1, · · · , xn] = [λx0, λx1, · · · , λxn], ∀λ ∈ K∗. Deci coordonateleomogene ale unui punct proiectiv in raport cu o baza sunt unice pana laun factor de proportionalitate nenul.

Pn(V) = Kn ∪ Pn−1(K)

Vom imparti spatiul proiectiv Pn(V) in doua submultimi,Pn(V) = Pn

0(V) ∪ P∞(V), unde

Pn0 (V) =

[x0, x1, · · · , xn] ∈ Pn(V) | x0 6= 0

,

P∞(V) =

[x0, x1, · · · , xn] ∈ Pn(V) | x0 = 0.

Vom numi Pn0

(V) multimea punctelor proprii ale lui Pn(V) si

P∞(V) multimea punctelor de la innit. Observam ca cele doua

multimi sunt bine denite, nedepinzand de (x0, x1, · · · , xn).Vom demonstra ca Pn

0(V) poate identicat printr-o

corespondenta biunivoca cu Kn si ca P∞(V) este un hiperplan al

lui Pn(V) care va identicat cu Pn−1(K).

Pn0 (V)- multimea punctelor proprii

Dorim sa denim o bijectie intre Pn0

(V) si Kn. Fie A ∈ Pn0

(V)arbitrar. Atunci exista x ∈ V astfel incat A = [x ]. Dacax =

∑ni=0

x i ei , atunci A = [x0, x1, · · · , xn], cu x0 6= 0. Deci

A = [x0, x1, · · · , xn] = [(x0)−1

x0,(x0)−1

x1, · · · ,(x0)−1

xn] =

[1,(x0)−1

x1, · · · ,(x0)−1

xn].Denim atunci

Φ : Pn0 (V)→ Kn, Φ(A) =

((x0)−1

x1, · · · ,(x0)−1

xn). (3)

Aplicatia Φ este bine denita, in sensul ca nu depinde de vectorulreprezentant al lui A. Daca presupunem ca A = [u], rezulta cau ∼ x , deci exista λ ∈ K∗ astfel incat u = λx . Dacau =

∑ni=0

ui ei , u0 6= 0, atunci ui = λx i , ∀i ∈ 0, n,λ ∈ K∗ si((

x0)−1

x1, · · · ,(x0)−1

xn)

=((

u0)−1

u1, · · · ,(u0)−1

un).

Am folosit(u0)−1

= λ−1(x0)−1.

Vericati ca Φ este bijectie.Astfel putem identica Pn

0(V) ≡ Kn.

P∞(V)- multimea punctelor de la innit

Sa studiem acum multimea punctelor proiective de la innit.Fie W =

(0, x1, x2, · · · , xn

)| x i ∈ K, i ∈ 1, n

. Evident W este

un subspatiu liniar al lui Kn+1, de dimensiune n, deci este unhiperplan vectorial. Deoarece oricare doua subspatii liniare deaceeasi dimensiune nita (ale unui aceluiasi spatiu liniar) suntizomorfe, putem identica W ≡ Kn.Dar P∞(V) = π

(W \

0)

= P(W ) ≡ P(Kn) = Pn−1(K). Amdemonstrat ca P∞(V) este un hiperplan proiectiv al lui P(V) cepoate identicat cu Pn−1(K).Deci

Pn(V) ≡ Kn ∪ Pn−1(K). (4)

Observam ca rationamentul precedent putea facut alegand oricarecoordonata x ipentru a deni multimea punctelor proprii ale luiP(V), si oricare baza a lui V pentru denirea coordonateloromogene. De aceea gandim spatiul proiectiv ca un obiectmatematic omogen. Vom reveni la aceasta observatie cand vomstudia reperele proiective.

Planul si dreapta proiectiva reala

Vom folosi rezultatul anterior in urmatoarele situatii particulare.Planul proiectiv real va privit ca reuniunea dintre binecunoscutulplan an R2 si o dreapta proiectiva reala, numita dreapta de lainnit:

P2(R) ≡ R2∪P1(R), P1(R) =

[0, a, b] | a, b ∈ R, a2 + b2 > 0.

Iar dreapta proiectiva reala este identicata cu spatiul an 1dimensional R reunit cu un punct proiectiv, numit punctul de lainnit:

P1(R) ≡ R ∪ Ω, cu Ω = [0, a, b], a2 + b2 > 0.

Legatura dintre dreptele proiective dintr-un plan proiectiv

real si dreptele obisnuite din R2

Consideram P1(U) o dreapta proiectiva in planul proiectiv P2(R),cu U ⊂

s.l .R3 de dimensiune 2. Atunci U are in raport cu o baza

xata a lui R3 o ecuatie de tipul

U : a0x0 + a1x

1 + a2x2 = 0, (a0)2 + (a1)2 + (a2)2 > 0.

Dreapta proiectiva este

P1(U) =[x0, x1, x2

]|(x0, x1, x2

)6= 0 si a0x

0 + a1x1 + a2x

2 = 0.

Determinam P1(U) ∩ P1

0(U) ≡ P1(U) ∩ R2 =[

x0, x1, x2]| x0 6= 0 si a0 + a1

x1

x0+ a2

x2

x0= 0.

Notand functiile de coordonate in R2 cu y1 si y2, observam caputem identica P1(U) ∩ P1

0(U) cu dreapta din R2 de ecuatie

a0 + a1y1 + a2y

2 = 0.Punctul de la innit al dreptei proiective reale P1(U) este[0, a2,−a1].

Reciproc, orice dreapta obisnuita din R2, de ecuatiea0 + a1y

1 + a2y2 = 0, (a1)2 + (a2)2 > 0, poate extinsa la o

dreapta proiectiva in P2(R), si anume[x0, x1, x2] | x0 6= 0 si a0x

0 + a1x1 + a2x

2 = 0∪ [0, a2,−a1].

Mai mult, e doua drepte obisnuite din R2 paralele, de ecuatiia0 + a1y

1 + a2y2 = 0, respectiv b0 + a1y

1 + a2y2 = 0,

(a1)2 + (a2)2 > 0. Pentru a obtine o dreapta proiectiva trebuie sa leadaugam acelasi punct proiectiv de la innit, si anume [0, a2,−a1].Astfel, doua drepte ordinare paralele din planul real determina douadrepte proiective concurente intr-un punct proiectiv de la innit.

Spunem ca a0x0 + a1x

1 + a2x2 = 0 este ecuatia dreptei proiective

in coordonate omogene.

Aplicatie

Fie U1,U2,U3 subspatii liniare 2-dimensionale in R3, de ecuatii

(U1) x0 = 0, (U2) x0 + x1 + 2x2 = 0, (U3) 2x0 − x1 + x2 = 0.

Determinati punctele proiective de intersectie ale dreptelorproiective reale P1(U1), P1(U2) si P1(U3) din planul proiectiv realP2(R).

Observam ca P1(U1) este dreapta de la innit a planului proiectivP2(R), deci ea va intersecta celelalte doua drepte proiective inpuncte de la innit, mai exact P1(U1) ∩ P1(U2) = [0, 2,−1] siP1(U1) ∩ P1(U3) = [0, 1, 1].Pentru a determina intersectia dreptelor proiective P1(U2) siP1(U3), determinam dreptele din R2 ce corespund punctelor propriiale dreptelor proiective. Ele au ecuatiile 1 + y1 + 2y2 = 0 si2− y1 + y2 = 0. Intersectia lor este punctul (1,−1) ∈ R2, caruia iicorespunde punctul proiectiv [1, 1,−1]. DeciP1(U2) ∩ P1(U3) = [1, 1,−1].

Puncte proiectiv independente

Revenim la spatiul proiectiv n-dimensional Pn(V), cu V unK-spatiu liniar de dimensiune n + 1.

Denition

Punctele proiective A0, A2, · · · , An ∈ Pn(V), cu Ai = π(vi ),vi ∈ V\0, i ∈ 0, n, sunt proiectiv independente daca vectoriireprezentanti v0, · · · , vn sunt liniar independenti in Vn+1.

Vericati ca denitia anterioara este independenta de alegereavectorilor reprezentanti ai punctelor proiective.

Se poate demonstra ca n + 1 puncte proiective ale lui Pn(V) suntproiectiv independente daca si numai daca nici unul dintre ele nuapartine infasuratorii proiective a celorlalte n puncte ramase.

Punctele care nu sunt proiectiv independente se numesc proiectivdependente.

Repere proiective

Denitia anterioara ne ofera o modalitate practica simpla de aobtine puncte proiectiv independente. Se alege o baza arbitraraB0 = e0, e2, · · · , en in V si punctele proiective arbitrareAi = π (ei ), i ∈ 0, n. Atunci A0, · · · , An sunt proiectiv echivalente.

Observam ca pentru orice alt punct proiectiv An+1 = π(vn+1), cuvn+1 = α0e0 + α1e1 + · · ·+ αnen, α

0, · · · , αn ∈ K∗ rezulta caoricare sistem format din n + 1 dintre punctele

A0, · · · , An, An+1

este format din puncte proiectiv independente. Vericati! (esteesentiala alegerea tuturor scalarilor α0, · · · , αn nenuli)

Constructia anterioara justica introducerea urmatoarei denitii.

Denition

Se numeste reper proiectiv in Pn(V) o multime formata din n + 2puncte proiective cu proprietatea ca oricare n + 1 puncte aleacesteia sunt proiectiv independente.

De exemplu, oricare trei puncte proiective distincte ale unei drepteproiective P1(K) formeaza un reper proiectiv pentru P1(K).

Am vazut din cele expuse anterior ca exista repere proiective si cumputem construi un astfel de reper plecand de la o baza arbitrara aspatiului liniar V.In practica dorim sa lucram cu repere proiective cat mai simple, de aceeaintroducem lema urmatoare care poate folosita in rezolvarea anumeroase probleme.

Lemma

DacaA0, · · · , An+1

este un reper proiectiv in Pn(V), atunci

putem alege vectori reprezentanti pentru punctele proiective alereperului wi ∈ π−1(Ai ), i ∈ 0, n + 1 astfel incatwn+1 = w0 + w2 + · · ·+ wn.

Presupunem ca Ai = π(vi ), i ∈ 0, n + 1 . DeoareceA0, · · · , An+1

este

un reper proiectiv in Pn(V), rezulta ca oricare n + 1 dintre vectoriiv0, · · · , vn+1 sunt liniar independenti. Deci v0, · · · , vn este baza in V.Atunci exista scalarii λ0, · · · , λn ∈ K a.i. vn+1 =

∑n

i=0λi vi .

Daca presupunem prin reducere la absurd ca unul dintre acesti scalari ar nul, de exemplu i0, ar rezulta ca v0, · · · , vi0−1, vi0+1, · · · , vn+1 suntn + 1 vectori liniar dependenti, in contradictie cu ipoteza. Deciλ0, · · · , λn ∈ K∗. Fie wi = λi vi , ∀i ∈ 0, n si wn+1 = vn+1. Atunciwn+1 = w1 + w2 + · · ·+ wn si wi ∈ π−1(Ai ), i ∈ 0, n + 1.

Odata xat vectorul wn+1, vectorii wi , i ∈ 1, n cu proprietatea

wn+1 = w0 + w2 + · · ·+ wn, (5)

sunt unici. Demonstrati!Am vazut ca pornind de la un reper proiectiv pot determina nenumaratebaze in V, formate din cate n + 1 vectori reprezentanti ai punctelorproiective ale reperului. In continuare vrem sa vedem legatura intre douaastfel de baze, care verica si proprietatea din lema precedenta.Presupunem ca π(vi ) = π(v ′i ) = Ai , i ∈ 0, n + 1 sunt punctele unui reperproiectiv, date prin vectori reprezentanti cu proprietatea

vn+1 = v0 + v2 + · · ·+ vn si v ′n+1= v ′

0+ v ′

2+ · · ·+ v ′n. (6)

Deci B = v0, v2, · · · , vn si B ′ = v ′0, v ′

2, · · · , v ′n sunt doua baze in V.

Din π(vi ) = π(v ′i ) rezulta ca exista scalarii λi ∈ K∗, i ∈ 0, n + 1 astfelincat v ′i = λi vi , ∀i ∈ 0, n + 1.

Folosind (6) obtinemv ′n+1

= λn+1vn+1 ⇔ λ0v0 + · · ·+ λnvn = λn+1 (v0 + v2 + · · ·+ vn). Dinliniara independenta a vectorilor bazei B rezulta caλ0 = λ1 = · · · = λn = λn+1 := λ 6= 0, deci v ′i = λvi , ∀i ∈ 0, n + 1.

Am vazut la inceputul cursului ca putem asocia unui punctproiectiv niste coordonate omogene in raport cu o baza a lui V,coordonate unice doar pana la un factor de proportionalitate.Ce putem spune despre coordonatele omogene ale aceluiasi punctproiectiv in raport cu doua baze asociate unui reper proiectiv camai sus?Fie A = π(x) ∈ Pn(V) si x =

∑ni=0

x i vi =∑n

i=0y i v ′i . Din

v ′i = λvi ,∀i ∈ 0, n + 1 obtinem ca∑n

i=0x i vi = λ

∑ni=0

y i vi , decix i = λy i , ∀i ∈ 0, n.Deci coordonatele omogene ale unui punct proiectiv nu depind(pana la un factor de proportionalitate) decat de reperul proiectiv sinu de baza asociata acestuia. Numim setul de coordonateproportionale

(λx0, · · · , λxn

), λ ∈ K∗, coordonatele proiective ale

lui A fata de reperul proiectivA0, · · · , An+1

.

Schimbare de repere proiective

In continuare prezentam fara demonstratie un rezultat ce descrieformula schimbarii de coordonate omogene la o schimare de repereproiective. [I. Pop, Geometrie ana, euclidiana si proiectiva, EdituraUniversitatii Cuza 1999, pag. 132].

Theorem

In Pn(V) se considera doua repere proiective R =A0, · · · , An+1

si

R′ =A′0, · · · , A′n+1

si doua baze asociate acestora

B = v0, v2, · · · , vn si B ′ = v ′0, v ′

2, · · · , v ′n . Daca

v ′j =n∑

i=0

s ij vi , j ∈ 0, n,

atunci legatura dintre coordonatele omogene ale unui punct proiectiv in

raport cu cele doua repere proiective este

αx i =n∑

j=0

s ij x′i , i ∈ 0, n, α ∈ K∗.

Aceste formule nu depind in sens omogen de bazele B si B ′.

Aplicatie

Dam in continuare demonstratia unei teoreme celebre ce apartinegeometriei proiective, si anume teorema lui Desargues.

Theorem

In spatiul proiectiv P(V) se considera sase puncte proiective

distincte, A, B, C , A′, B ′, C ′, astfel incat dreptele AA′, BB ′ si C C ′

sunt distincte si concurente. Atunci cele trei puncte de intersectie

AB ∩ A′B ′, BC ∩ B ′C ′ si C A ∩ C ′A′ sunt coliniare.

Teorema lui Desargues

Fie P punctul de intersectie al dreptelor proiective AA′, BB ′ siC C ′. Daca P coincide cu unul din cele sase puncte problema estebanala. Presupunem deci ca P e distincte de A, B, C , A′, B ′, C ′.Deoarece P, A, A′ sunt trei puncte distincte ale aceleiasi drepteproiective, ele formeaza un reper proiectiv pe acea dreapta. Putemalege vectori reprezentanti ai punctelor, p ∈ π−1(P) , a ∈ π−1(A)si a′ ∈ π−1(A′) astfel incat p = a + a′.Analog, e b, b′ reprezentanti pentru B si respectiv B ′ astfel incatp = b + b′. In nal, consideram c , c ′ vectori reprezentanti pentruC , C ′ astfel incat p = c + c ′.

Fie c ′′ = a − b = b′ − a′, a′′ = b − c = c ′ = b′ sib′′ = c − a = a′ = c ′.Deoarece a′′ + b′′ + c ′′ = 0 rezulta ca vectorii a′′, b′′, c ′′ sunt liniardependenti, deci punctele proiective A′′ = π(a′′), B ′′ = π(b′′) siC ′′ = π(c ′′) sunt proiectiv dependente. Mai mult,a′′, b′′, c ′′ ∈ [b′′, c ′′] si dim[b′′, c ′′] = 2. Deci A′′,B ′′,C ′′ apartinunei aceleiasi drepte proiective, deci sunt coliniare.Evident c ′′ = a − b ∈ [a, b]⇒ C ′′ ∈ A ∨ B = AB . Analogc ′′ = b′ − a′ ∈ [a′, b′]⇒ C ′′ ∈ A′B ′. Deci

C ′′

= AB ∩ A′B ′.Demonstrati in mod analog

A′′

= BC ∩ B ′C ′ siB ′′

= C A ∩ C ′A′.

Bibliograe

Ne oprim aici cu scurta noastra introducere in studiul geometrieiproiective. Va invitam sa folositi materialul bibliograc de mai jospentru completarea cunostintelor.I. Pop, Geometrie ana, euclidiana si proiectiva, Editura Al. I.Cuza, Iasi, 1999.L. Ornea, A. Turtoi, O introducere in geometrie, Editura Theta,Bucuresti, 2011.N. Hitchin, Projective Geometry (note de curs ):people.maths.ox.ac.uk/hitchinJ.C.A. Paiva, Projective Geometry (note de curs ):www.math.poly.edu/courses/projective-geometry