1 Introduction Lesystmefinancierdsignelensembledesinstitutionsetagentsquipermettentcertainesunits conomiques, au cours dune priode, de dpenser plus quelles ne gagnent, et dautres de trouver un emploilexcdentderevenusurlesdpenses.Lesagentsbesoinderessourcesexternesles collectent par mission de titres et recours au crdit ; les agents excdent de ressources les prtent et augmentent ainsi leur patrimoine financier et montaire. Lesagentsbesoindefinancementsontsouvent appelsemprunteursultimes. Pourpouvoirinvestir davantagequeneleleurpermetlpargnebrute,ilsvontcollecterdesressourcesexternesgrce lmissiondestitresprimaires(cettenotionrecouvreaussibiendestitresngociablescommeles actionscotes,lesobligationsoulesbilletsdetrsoreriequedestitresnonngociablescommeles dotations en capital des entreprises publiques, les crdits la consommation obtenus par les mnages oulescrditsdetrsorerieauxentreprises.Enbref,lestitresprimairesdsignent lensemblede toutes les dettes et de toutes les actions mises par les agents non financier (Gurley et Shaw, 1960). Les titres primaires peuvent tre vendus directement aux agents capacit de financement, qualifis de prteurs ultimes. Ils peuvent aussi tre vendus des intermdiaires financiers, agents spcialiss dans lachatetlagestiondecestitresetcesintermdiairesfinanciersempruntentleursressourcesauprs des prteurs ultimes. Le premier processus est celui de la finance directe alors que le second est celui de la finance indirecte. Pourvoyeurs de fonds ou prteurs ultimes March financierIntermdiaires financiers Demandeurs de fonds ou emprunteurs ultimes Onparledefinancedirectelorsqueletitreprimairemisparlemprunteurultimeestachetparun prteurultime.Ainsi,uneentreprisepeutmettredesactionsnouvellespouraccrotresoncapital. LEtatpeutaussivendredesbonsdutrsorpourfinancersondficitbudgtaire.Alissuedune oprationdefinancedirecte,leprteurtransformesonpargneenactifportantrmunrationet lmetteur du titre dispose de monnaie quil utilisera lacquisition dactifs physique. Letitreprimairereprsenteunedettedelemprunteuretestdoncsoumisremboursement.Dansle casdesactionsoudesobligations,leversementdesintrtsoudividendesetleremboursementdu principal dpendent de la capacit et volont de lemprunteur ultime dy procder. En ce sens, les titres primaires sont soumis au risque de dfaut de paiement. Lesoprationsdelafinancedirectesedroulentsurlemarchfinancier.Cedernierestcompos du march primaire et du march secondaire.Lemarchprimaireestceluisurlequelschangelestitresmisaucoursdelapriode,onparle encoredemarchduneuf.Surcemarch,sefontdesmissionsdactionsdestinerenforcerles 2 fondspropresdesentreprises.Onaaussidesempruntsobligatairesclassiquesdontlobjectifestde procurer des capitaux permanents au secteur public, parapublic et parfois priv. Le march secondaire ou encore march doccasion est celui sur lequel se ngocie les titres anciens. La ngociabilit des titres reprsente pour le dtenteur un avantage considrable, car elle lui permet de pouvoir faire face un besoin de financement venir envendant le titre.Deplus,commeleprix du titre ngociable varie, le march secondaire permet le dveloppement doprations de spculation, qui consistetenterdetireravantagedelcartentrelecoursactueldutitreetsoncoursfutur.Ilest noter que le march secondaire ne permet pas de drainer une pargne nouvelle car lmetteur du titre nedisposedaucuneressourcenouvelle,seulesemodifielidentitdudtenteurdutitreprimaire. Aussi, le march secondaire permet de valoriser les titres dj existants et indiquent tout moment les conditions auxquelles peuvent tre mis les titres nouveaux. Quelques produits financiers : Les produits rencontrs sur le march financier sont : les dettes, les actions et les produits drivs.Les titres de dette sont mis par quiconque a besoin dargent : les entreprises, les Etats, les mnages. Les titres de dette encore appels titres de crance sont aussi appels titres revenu fixe car ils versent gnralement des intrts fixes. Ces titres peuvent tre classs par leur chance. Le march de la dette court terme (moins dun an) est appel le march montaire, le march pour la dette long terme est appellemarchobligataire(lestitresdedettelongtermetantdesobligations).March obligataire + march dactions = march des capitaux. Les actions reprsentent les titres de proprits dune entreprise. Ces actions sont cotes, achetes et vendues sur les marchs dactions. Elles peuvent aussi tre changes sur un march de gr gr. Une action donne est une part de la socit, et chaque action donne droit la mme part de proprit sur les actifsdelasocit.Laplupartdutemps,chaqueactiondonnedroitlammepartdursultat (dividende), et bnficie dun droit de vote. Toutefois, les entreprises peuvent mettre des actions sans droitdevote,ou droit de votedouble.Demme,certainesactionspeuvent donner droit unepart plus importante, ou plus faible, du rsultat. Les actions reprsentent une crance de dernier rang et un caractre de responsabilit limit. La responsabilit limite signifie quen cas de faillite, si la revente desactifsnestpassuffisantepourpayerlescranciers,cesderniersnepeuventpasdemanderaux actionnaires de combler la diffrence. Les produits drivs ou produits de gestion des risques sont des titres financiers dont la valeur est lie (drive de) la valeur dun ou plusieurs autres actifs (quon appelle sous-jacent), par exemple des actions,destitresrevenufixe,desdevisesoudesmatirespremires.Leurprincipalintrtestde servirdoutilsdegestiondurisquedesactifssous-jacents.Parexemple,unproduitdrivdudollar sert grer le risque de fluctuation du dollar. Les produits drivs les plus courants sont : les options et les contrats terme.Une option dachat (ou call option) est un titre qui donne le droit mais pas lobligation dacheter un actif un certain prix et une certaine date (ou avant une certaine date). Une option de vente (ou put option) est un titre qui donne le droit mais pas lobligation de vendre un actif un certain prix et une certainedate(ou avant une certainedate). Lavantage de loption tient dans ledroit quon se rserve dagir ou de ne pas agir.Exemple : si je possde un actif et que jachte une option de vente sur cet actif, jassure cet actif contre la baisse : en effet, si la valeur de laction baisse plus que le prix de vente fixdanslecontratdoption,jeneperdraipasdargentlavente,puisquelecontratdoptionme garantit un prix. 3 Lescontratstermesontdestitresquidonnent lobligationuncontractantdacheter, etlautre contractantdevendre,unactifunprixfixetunedatefixe.Cescontratspermettentaux contractants dliminer lincertitude sur le prix futur de lactif. Silafinanceconsistetudiercommentlesindividusallouentdesressourcesraresaufildutemps, forceestdeconstaterquellereposeessentiellementsurlerisque(lincertitude)etlvaluationdes actifsfinanciers.Cecoursquisintresselafinancedemarchadoncpourobjectiflanalysedu risque (la mesure du risque, le comportement des individus face au risque, le choix du porte feuille) et lvaluationdesactifsfinanciers(actions,obligations).Lesprincipalesarticulationsdecet enseignement sont les suivantes : Chapitre 1 : La dcision financire en prsence du risque (6h) 1.La dfinition du risque 2.Lesprance mathmatique comme mesure du risque 3.Lesprance mathmatique de lutilit comme mesure du risque 4.Forme des fonctions dutilit et attitudes des individus face au risque 5.La mesure du risque par lapproche esprance variance Chapitre 2 : Principe de lvaluation des actifs financiers (4h) 1.Relation entre la valeur dun actif et son prix 2.La loi du prix unique et larbitrage 3.Larbitrage et le prix des actifs financiers 4.Les mesures comptables de la valeur 5.Lintgration de linformation dans les cours boursiers et lefficience des marchs Chapitre 3 : Lvaluation des obligations (4h) 1.Lutilisation de lactualisation pour valuer les titres revenu fixe 2.Lvaluation des obligations coupon zro 3.Les obligations ordinaires, le rendement actuel et le rendement lchance 4.La variation du rendement des obligations 5.Quelques obligations particulires Chapitre 4 : Lvaluation des actions (4h) 1.Le modle dvaluation mono priodique 2.Le modle gnralis dvaluation par les dividendes 3.Le modle de Gordon Shapiro Chapitre 5 : La thorie du portefeuille (6h) 1.Le rendement dun titre pour la prochaine priode 2.La constitution dun portefeuille 3.Calcul de lesprance mathmatique et dela variance du taux de rendement dun portefeuille (cas dun portefeuille de 2 titres et gnralisation N titres) 4.La slection de portefeuille et la construction de la frontire defficience Chapitre 6 : Le modle dvaluation des actifs financiers (MEDAF) (6h) 1.Prsentation du MEDAF 2.Les fondements de la prime de risque du portefeuille de march 3.Le bta et les primes de risque des titres financiers 4.Lutilisation du MEDAF dans le choix de portefeuille 5.Le cot des capitaux propres et les taux dactualisation normatifs 6.Le cot du capital 4 Rfrence 1.Bodie Zvi et Merton Robert (2009) : Finance, 2me ditions, Nouveaux Horizons 2.DamoradanAswath(2002) :InvestmentValuation :ToolsandTechniquesforDetermining the Value of Any Asset, Second edition, Wiley Finance 3.Elton J. Edwin, Gruber J. Martin, Brown J. Stephen & Goetzman N. William (2003): Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, 6th Edition, John Wiley & Sons, Inc. 4.Goffin Robert (2001): Principe de la Finance Moderne, 3me edition, Economica 5.MishkinFrederic(2008) :Monnaie,Banqueetmarchsfinanciers,8medition,Nouveaux Horizon 5 Chapitre 1 : La dcision financire en prsence du risque (6h) Lesdcisionsfinanciresdoiventprendreencomptedessommesfutures(quiserontencaissesou dcaisses) dont le montant nest pas connu avec certitude. On dit que ces sommes sont risques. Le risque est donc un lment important de la finance moderne. Tous les modles de la finance moderne seplaceensituationdurisque.Ildevientparconsquentindispensablededisposeraudpartdune dfinition du risque qui permette une approche quantitative, c'est--dire qui aboutisse une mesure du risque. Toute fois, il est difficile de dissocier le risque de lincertitude. Lincertitude est dfinie comme la caractristique essentielle de situations o lagent conomique voit lesconsquencesdesdcisionsquilprenddpendredes facteursexognesdontlestatsnepeuvent tre prdits avec certitude. On se trouve en situation de risque lorsque lincertitude peut tre quantifie. Ainsi,onpeutdirequunesommeestrisquesiellepeutprendrediffrentsmontantspossibles, chacundeuxayantuneprobabilitderalisation.Cequisignifiequechaquemontantpossibleest connu et sa probabilit de ralisation est galement connue. En dautres termes, une somme est risque si cette somme est une variable alatoire dont on connait la distribution de probabilit. Exemple 1 : la recette prvisionnelle dun commerant X pour le mois prochain qui a deux montants possibles : 5000000 avec la probabilit 1/3et 1000000 avec la probabilit 2/3 est une somme risque.Montant recetteProbabilit 5 000 0001/3 10 000 0002/3 Exemple2 :larecetteprvisionnellerisqueduncommerantYpourlemoisprochainaune distributionnormaledesprance100.0000etdcarttype25.000.ilya95%dechancesqueson chiffre daffaires soit compris entre 50000000 et 10000000. Le mme raisonnement peut sappliqu au taux de rendement dun titre, au prix dun actif, etc. La procdure qui permet dtablir la distribution de probabilit peut tre objective ou subjective. Les procduresobjectivesobtiennentlesdistributionsdeprobabilitspartirdessrieschronologiques passes. Celles-ci fournit une estimation de la distribution de probabilit pour lavenir. Comment dcider face au risque ? 1.Lesprancemathmatiquedesvaleursmontairescommecritrededcisionfaceau risque Danslesdcisionsfinanciresquildoitprendre,unindividudoit,laplupartdutemps,choisirentre desalternativesrisques.Pourcela,ildoittrecapabledeclasserdessommesrisquesparordrede prfrence.Parexemple,commentchoisirentre3projetsdinvestissementmutuellementexclusifs (c'est--dire quun seul projet peut tre choisi) ? Linvestissement initial est nul et les cash-flows nets risqus pendant 1 an sont dans les tableaux suivants : Projet AProjet BProjet C Cash flowProbabilit Cash flowProbabilit Cash flowProbabilit800,5500,5300,5 1200,51600,52000,5 E(A) = 100E(B) = 105E(C) = 115 6 Lecritredeclassementdecesprojetsquivientspontanmentlespritestceluidelesprance mathmatique.Cecritreindiquequeleprojetchoisiseraceluiquilaplusgrandeesprance mathmatique. Lordre de prfrence des trois projets est donc : C, B et A. Maiscecritrenepeuttreacceptpartoutlemonde.Parexemple,siungaininfrieur60va entrainerunecatastrophepourlentreprise, ledcideurprfreraleprojetA,bienquesonesprance soit la plus faible. Cette faiblesse de lesprance mathmatique comme instrument de dcision, trouve sesoriginesdansleparadoxedeSaint-Ptersbourg.UnpauvremendiantdeSaint-Ptersbourgavait pourseulefortuneun ticketdeloteriequiavaitunechancesurdeuxdegagner100.000roubles.Un richecommerantluiproposedeluirachetersonbilletpour10.000roublesetlemendianta immdiatementaccept,biensonesprancedegaintaitde50.000roubles,montantsuprieur 10.000 roubles. 2.Lesprance mathmatique de lutilit comme critre de dcision face au risque Cecritrededcisionatdveloppen1944parVonNeumannetMorgensternetconstitue aujourdhui un des piliers de la finance moderne. Le modle de Von Neumann et Morgenstern encore appelmodledelesprancemathmatiquedelutilit,reposesurplusieursaxiomesconcernant les prfrences et lattitude des individus face au risque. Axiome 1 : les individus sont toujours capables dexprimer leurs prfrences. Face 2 alternatives A et B, ils peuvent toujours dire quils prfrent A B ou B A ou que A et B leur sont indiffrents. Axiome 2 : les choix des individus sont transitifs. Si A est prfr B et B C, alors A est prfr C. Axiome 3 : un individu peut toujours dterminer lquivalent certain dun gain montaire. Thorme de lesprance de lutilit : lutilit dun gain risqu est gale lesprance mathmatique des utilits des sommes montaires possibles. Considronsungainrisququideuxmontantspossiblespercevoira dontlaprobabilitde ralisation estpetb dont la probabilit de ralisation est 1 p . Lutilit de la sommeaperue avec certitude est ( ) Ua . De mme, lutilit de la sommebperue avec certitude est ( ) Ub . Sommes montairesProbabilitsapb 1 p Lutilit du gain risqu = ( ) ( ) ( ) . 1 . pUa pUb + A ne pas confondre avec ( ) . 1 . U p a b b + ( Defaongnrale,( ) ( ) ( )wEU p wUw =. Lemeilleur projet ou loterieest celledont lesprance de lutilit est la plus grande. Soit choisir entre deux alternatives (deux investissements) A et B dont les gains gnrs ainsi que les probabilits associes sont consigns dans le tableau ci-dessous : 7 Investissement AInvestissement B Sommes ou gainsProbabilits Sommes ou gainsProbabilits151/3201/3 101/3121/3 51/341/3 E(A) = 10E(B) = 12 Les valeurs des utilits associes chaque gain sont obtenues en pondrant les gains par un poids. Les valeurs de ces utilits sont contenues dans le tableau ci-dessous : GainsPoidsUtilit du gain 200,918 151,015 121,113,2 101,212 51,47 41,56 On a :( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 34. 15 . 10 . 53 3 3 3AEU U U U = + + =( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 37, 2. 20 . 12 . 43 3 3 3BEU U U U = + + = , dans ces conditions, on choisit le projet B. Gnralement,lutilitdesgainsestunefonctiondesgains.Soitw lesgainsobtenus,ona () () Uw f w = . Supposonsquaulieudepondrerlesgainspourobtenirleurutilit,que( )21410Uw w w = .En appliquant cette fonction lexemple ci-dessus, on obtient : Investissement AInvestissement B gainsUtilit des gainsProbabilits gainsUtilit des gainsProbabilits1537,51/320401/3 10301/31233,61/3 517,51/3414.41/3 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 85. 15 . 10 . 53 3 3 3AEU U U U = + + =;( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 88. 20 . 12 . 43 3 3 3BEU U U U = + + =3.Les proprits conomiques de la fonction dutilit Lapremirerestrictiondunefonctiondutilitestque moreisalwayspreferredtoless . Limplication de cette restriction dbouche sur : 8 lapremirepropritdelafonctiondutilitselonlaquellelafonctiondutilitest croissante,cequisignifieque ( ) ( ) 1 UX UX + > .Commelafonctiondutilitcrotaveclesgains obtenus, ( ) ' U X >. Lasecondepropritdelafonctiondutilitestlhypothsefaitesurlattitudede linvestisseurface aurisque.Ilyatroispossibilits : linvestisseurpeut treaverseaurisque,neutre face au risque ou preneur de risque. Prenons lexemple dun jeu dargent quitable (Fair Gamble) dans le tableau suivant. Supposons que londoitinvestir1unitmontaire.Sionninvestitpas,ongagneavecuneprobabilitcertaine1. Maissioninvestit,ongagnesoit0,soit2unitsmontairesavecdesprobabilitsgales.Lavaleur espre du jeu si on investit est de 1 unit montaire, qui est gal au cot de linvestissement (cest la raison pour laquelle ce jeu est appel jeu dargent quitable car le gain espr est gal son cot). InvestitNinvestit pas Gain ProbabilitsGain Probabilit20,511 00,5 Laversionaurisquesignifiequelinvestisseurvarejetercejeudargent.Daprsletableauci-dessus, il va prfrer ne pas investir et gagner avec certitude 1 unit montaire. En dautres termes, on a( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 0 2 1 0 2 12 2U U U U U U U + .Cequisignifiequelavariationentre les deux premires units est plus grande que la variation entre les deux dernires. Ce qui signifie que lutilit marginale est dcroissante, c'est--dire que : () '' 0 U w . La neutralit face au risque signifie que linvestisseur est indiffrent entre jouer cette loterie et ne pas jouer. En dautres termes, on a :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 0 2 1 0 2 12 2U U U U U U U = + = . Ce qui signifie que la variation entre les deux premires units est la mme que la variation entre les deux dernires. Ce qui signifie que lutilit marginale est constante, c'est--dire que :. () '' 0 U w = . Le got pour le risque signifie que linvestisseur prfre jouer la loterie. Il va prfrer investir 1unit montaire et gagner soit 0, soit 2 units. En dautres termes, on a( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 0 2 2 1 1 02 2U U U U U U U + .Cequisignifiequelavariationentre les deux premires units est plus faible que la variation entre les deux dernires. Ce qui signifie que lutilit marginale est croissante, c'est--dire que : () '' 0 U w . La troisime proprit de la fonction dutilit est lhypothse sur les changements des prfrences des investisseurs suite une variation de leur richesse ou gain. Si la richesse ou les gains de linvestisseur augmente, devra-t-il plus ou moins investir cette richesse dans les actifs risqus ? Par exemple,supposonsuninvestisseurquia10.000etquiinvestit5.000danslesactifsrisqus. Supposonsquelarichessedummeinvestisseurpasse20.000.Devra-t-ilinvestirplus,moinsou 5000 dans les actifs risqus ? 9 -Silinvestisseuraugmentelemontantdargentinvestitdanslesactifsrisquslorsquesa richesseaugmente,alorsilestditexhiberunedcroissancedaversionabsolueaurisque (decreasing absolute risk aversion) ; -Silemontantdargentinvestitdanslesactifsrisqusresteinchanglorsquesarichesse augmente,alorslinvestisseurestditexhiberuneconstantedaversionabsolueaurisque (constant absolute risk aversion) -Silemontantdargentinvestitdanslesactifsrisqusdiminuelorsquesarichesseaugmente, alorsilestditexhiberunecroissancedaversionabsolueaurisque(increasingabsoluterisk aversion). Commeledegrdaversionaurisqueestassociauxdrivesdelafonctiondutilit,laversion absolue au risque est aussi associe aux drives de la fonction dutilit, notamment la quantit : ( )( )( )'''U wAwU w= .Ainsi,ladrive () ' A w de () Aw parrapportlarichesseestunemesure approprie de laversion absolue au risque. Le tableau ci-dessous rsume les diffrentes situations : Condition Dfinition Propritde () ' A wExemplede fonction Croissancedaversion absolue au risque Lorsque la richesse augmente, largent investitdanslesactifsrisqus diminue. () ' 0 A w( )2cwUw w=Constantedaversion absolue au risque Lorsque la richesse augmente, largent investitdanslesactifsrisqusne change pas. () ' 0 A w =()cwUw e= dcroissance daversion absolue au risque Lorsque la richesse augmente, largent investitdanslesactifsrisqus augmente. () ' 0 A w() ln Uw w = Ladernirecaractristiquequiestutilisepourrestreindrelafonctiondutilitde linvestisseur est : comment le pourcentage de richesse investit dans les actifs risqus change lorsque larichessechange ?Parexemplesilinvestisseurmet50%desarichessedanslesactifsrisqus lorsquesarichesseestde10.000,maintient-iltoujoursces50%danslesactifsrisquslorsquesa richessepasse20.000 ?Sitelestlecas,linvestisseurestcaractrisparuneaversionrelativeau risque constante. Sil investit une plus grande proportion (60% par exemple) de sa richesse dans les actifs risqus, il est caractris par une aversion relative au risque dcroissante. Silinvestitunefaibleproportion(moinsde50%)desarichessedanslesactifsrisqus,ilest caractris par une aversion relative au risque croissante. La mesure de laversion relative au risque est : ( )( )( )( )'''wU wRw wAwU w= =Le tableau ci-dessous rsume les diffrentes possibilits : Condition Dfinition PropritdeExemplede fonction 10 () ' R wCroissance daversion relative au risque Lorsquelarichesseaugmente,la proportionderichesseinvestitdans les actifs risqus diminue. () ' 0 R w()2Uw w bw = Constantedaversion relative au risque Lorsquelarichesseaugmente,la proportionderichesseinvestitdans les actifs risqus ne change pas. () ' 0 R w =() ln Uw w =dcroissance daversionrelativeau risque Lorsquelarichesseaugmente,la proportionderichesseinvestitdans les actifs risqus augmente. () ' 0 R w()2 1/ 2 wUw e= 4.Mesure du risque et lapproche esprance varianceDansceparagraphe,noussupposonsquelinvestisseurestaverseaurisque.Dansuntelcadre, comment un individu peut-il classer des sommes risques ayant la mme esprance mathmatique ?Alternative 1Alternative 2Alternative 3 Gains probabilitsGains probabilitsGains Probabilits 750,5500,500,5 1250,51500,52000,5 EVM = 100EVM = 100EVM = 100 125 o =250 o =3100 o = Lorsque les esprances des valeurs montaires sont les mmes, le critre de dcision est lcart type ou lavariance.Lameilleurealternativeestcellequialeplusfaiblecarttype.Cecritrepermetde classer par ordre de prfrence les alternatives comme suite : 1, 2, 3 En posant ()2Uw w w = , qui est une fonction dutilit des individus averses au risque, on constate que cest lalternative 1 qui est la meilleure. Les alternatives sont classes comme suite : 1, 2, 3. Ainsi,souslhypothsedaversionaurisque,lavarianceoulcarttypepermetdeclasserles alternatives de gains risques ayant mme esprance des valeurs montaires (EVM). La variance (cart type) est donc un indicateur numrique de mesure du risque. Pour que la variance remplisse cette fonction, il faut que : -La distribution de probabilit des sommes montaires soit symtrique (cest par exemple le cas de distribution normale) ; -Lafonctiondutilitdudcideurestquadratiqueou, plusexactement, estlapartiecroissante dune fonction quadratique. Laversion pour le risque signifie que' 0 Uet'' 0 ULorsquecesconditionssontrunies,ona : ( ) ( )2, EU f EVM o = etonmontreque 20Eocc. Donc, ( ) EUdiminue avec 2o . De mme, on a0EEVMcc. 5.Les techniques de gestion du risque 11 Ilexistequatretechniquesfondamentalespourrduirelerisque :viterlerisque,prvenirlerisque, absorber le risque ou transfrer le risque. -Eviterlerisqueconsistedcidervolontairementdenepasprendreuncertainrisque.Par exemple,unindividupeutdciderdenepastravaillerdansunsecteurdactivit.Une entreprisepeutvitercertainsmarchsquelleconsidretroprisqus.Maisilydesrisque quon ne peut pas viter : risque de maladie, risque de variation des prix, etc. -Prvenirlerisque :celaenglobelesactionspourrduirelaprobabilitoulemontantde pertes.Onpeutagiravantquelespertesnarrivent,aumomentoellesarrivent,oumme aprsquellessesoientproduites.Onpeutparexempleviterlesmaladiesenmangeant sainement, en sabstenant de fumer, en dormant suffisamment, etc. -Absorber le risque consiste lassumer et payer les pertes sur ces propres ressources. Cela arrive trs souvent par dfaut, par exemple quand on ntait pas au courant du risque ou quand onadlibrmentdciddignorercerisque.Parexemplesupportercesdpensesmaladies, supporter la baisse des prix, etc. -Transfrerlerisqueconsistesedbarrasserdurisqueenletransmettantdautres personnes.Onpeutcitertroismthodesdetransfertderisque :secouvrir,sassurerouse diversifier. a)Lacouverture :unindividusecouvrecontreunrisquelorsqueladmarchederduireson expositionuneperteimpliquesimultanmentpourlindividuderenoncerungain.Par exemple quand les agriculteurs vendent leur rcolte de mas avant la rcolte un prix fix par avance pour viter le risque dune baisse de prix, ils se privent dun gain potentiel si jamais les prix remontentladatedelamoisson.Cestparexemplelecasdes contrats terme.Ilest toutefoisimportantdefaireladistinctionentreuneoprationdecouverture(hedging)etun contrat terme. Le contrat terme peut avoir lieu entre deux spculateurs et on na pas besoin de dtenir de sous-jacent. Or lopration de couverture implique la dtention du sous-jacent. b)Lassurance :sassurersignifiepayeruneprime(leprixducontratdassurance)pourviter lespertesfutures.Ensouscrivantuncontratdassurance,vousremplacezuneprobabilitde perte importante (si vous ne vous assurer pas) par une certitude de perte faible reprsente par la prime dassurance. Les options sont un exemple dassurance.Exemple :vousrsidezauCamerounetvousavezunesocitimport-export.Dansdeuxmois, vous savez que vous allez recevoir 100.000$ amricains. Le cours de change actuel est de 450fcfa pour 1$, mais vous ne savez pas quel sera le cours de change dans deux mois. Vous pouvez grer ce risque en vous assurant, c'est--dire en versant une prime pour obtenir une option de vente (ou putoption),quivousdonneledroit,maispaslobligation,devendrevos100.000$450fcfa chaque 1$ dans deux mois. Si le cours du dollar baisse, c'est--dire si lchance 1$ = 430fcfa, voustesprotg,carvouspourrezexercerloptiondevente.Maissiletauxestsuprieur 450fcfa,vous choisirez ne pas exercer loption deventeet de bnficier du gain devaleur sur le march.Aveclassurance, onseprotgeenconservantlapossibilitdegain.En secouvrant,on passe par exemple un contrat de vente terme, pour vendre les 10.000$ 450fcfa chaque 1$ dans deux mois. Cette couverture ne cote rien, mais on abandonne la possibilit de raliser un gain si jamais le cours du dollar passe au dessus de 450fcfa. c)La diversification : se diversifier signifie dtenir des montants quivalents de plusieurs actifs risqus,pluttquedetoutinvestirdansunseulactif.Ladiversificationlimiteainsivotre exposition au risque par rapport au risque dun actif unique. Les dtails sur la diversification feront lobjet du prochain chapitre. 12 Chapitre 2 : La thorie du portefeuille Aucoursdeladcennie50,HarryMarkowitz,spcialisteamricaindelarechercheoprationnelle, apportaunecontributiondterminantelathoriefinanciremoderne.Danssonouvragepublien 1959 (Portfolio Selection : Efficiency Diversification of Investments, New York, Wiley), il prsente un problme de slection optimale de portefeuilles de valeurs mobilires avec une structure hautement combinatoire, dont le traitement requiert, la prise en compte explicite et rigoureuse de lincertitude de lavenir. Ce chapitre montre comment chaque individu doit investir sa richesse, une dmarche appele le choix de portefeuille. Le portefeuille dun individu donn inclut tous ses actifs (actions, obligations, parts sociales, maisons, rentes, contrat dassurance, etc.) Ilnyapasunestratgieuniquedechoixdeportefeuillequiconviennetoutlemonde.Ilyaen revanche quelques principes, comme par exemple le principe de diversification, qui sapplique tous les individus ayant une aversion au risque. 1.La mesure de la rentabilit dun placement Lobjectifpoursuiviparlacheteurdactifsfinanciersestdaccrotresonpatrimoineesprdansle futur. De deux ou plusieurs stratgies dinvestissement, la meilleure est celle qui maximise la fortune finaledelinvestisseur,lhorizonconomiquedeloprationayanttpralablementdfini. Laccroissement de la fortune initiale quon appellereturn on investment ou, plus brivement, return est dfini en temps discret par la relation :( )1 t t t tr P P C= +O trest le return de lactif financier pour la priode (se terminant au temps)ttPest le prix de march au tempstde lactif financier tC estlerevenuliquideattachladtentiondelactiffinancierdurantlapriode(seterminantau temps)t . Le taux de rentabilit (rate of return) quant lui est donn par lexpression suivante : ( )11t t tttP P CRP +=2.Les caractristiques dun titre : esprance mathmatique et cart type Pourchaque titre, il est possible de lui associson esprance mathmatique ainsi que son cart type. Prenonslexempleduntitredontletauxderentabilitainsiquelesprobabilitsassocieschaque niveau de rentabilit sont contenus dans le tableau suivant : Taux de rentabilitProbabilit 6%1/12 8%2/12 10%4/12 12%3/12 14%1/12 16%1/12 13 ( )8110, 67%ii iiER PR=== = et ( ) ( )8221ii iiVar R P R ER o=== = ( Le taux de rentabilit espr permet davoir une ide sur la rcompense moyenne de linvestissement. Ilestsouventconsidrcommeletauxderentabilitanticip.Lavariancequantelledonneune information sur la volatilit du taux de rentabilit. Exemple : dterminer les caractristiques des titres suivants Etats de lconomieRentabilit pour laction A (%)Rentabilit pour laction B (%) Dpression-258 Rcession1322 Normale33-11 Prosprit519 Lorsquil ny a pas de probabilit, on suppose que les diffrents tats de la nature apparaissent avec la mme probabilit. Dans ce cas, on obtient :( )4114iiiER R=== . Avec lhypothse dquiprobabilit, on peut aussi dterminer la variance associe chaque titre. 3.Caractristiques dune combinaison de titre Trssouvent,leproblmepourlinvestisseurnestpasdechoisirentreplusieurstitres,maisde dterminer la combinaison optimale des titres de son portefeuille. Si PjR estle imej rendementduportefeuilleet iX estlafractiondesfondsdelinvestisseurdans lactif imeiet il dispose deNactifs, 1i NPj i ijiR X R=== ( ) ( ) ( )1 1 1i N i N i NP Pj i ij i ij i ii i iR ER E X R EX R X R= = == = =| |= = = = |\ . La seconde caractristique est la variance dune combinaison de titre. a.Portefeuille deux titres ( ) ( ) ( ) ( )2 2 221 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 P P P j j j jER R E X R XR X R XR E X R R X R R o ((= = + + = + ( ) ( )( ) ( )2 22 2 21 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 22P j j j jE X R R X X R R R R X R R o (= + + ( 14 ( ) ( )( ) ( )2 22 2 21 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 22P j j j jXE R R X XE R R R R XE R R o (( (= + + (( ( )( )2 2 2 2 21 1 1 2 1 1 2 2 2 22P j jX X XE R R R R X o o o (= + + ( )( )1 1 2 2 j jE R R R R ( estlacovarianceentrelesrendementsdesactifs1et2.Notonslepar : 12o , on obtient donc : 2 2 2 2 21 1 1 2 12 2 22PX XX X o o o o = + +( )( )1 1 2 2 j jE R R R R ( qui est la covariance peut tre positive ou ngative. Elle permet de mesurer le sens de la liaison entre les deux actifs. Mais pour apprcier le sens de variation entre les actifs, on prfre souvent le coefficient de corrlation. Son expression est donne par : 12121 2oo o=b.Portefeuille trois titres En procdant de la mme faon, on obtient : ( ) ( )( ) ( ) ( )2 221 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 321 1 1 2 2 2 3 3 3P P P j j jj j jER R E X R XR XR X R XR XRE X R R X R R X R Ro (= = + + + + (= + + 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 12 1 3 13 2 3 232 2 2PX X X XX XX XX o o o o o o o = + + + + +c.Gnralisation 2 2 21 1 1j N j N k NP j j j k jkj j kk jX XX o o o= = == = === + Si tous les actifs sont indpendants, on obtient : 2 2 21j NP j jjX o o=== car0jko =-Si les mmes proportions sont investies dans chaque actif, c'est--dire si 1jXN= ,j on a : ( ) ( )( )22 21 1 11 1 1j N j N k NP j jkj j kk jN N N o o o= = == = === + 15 ( )( )221 1 1111j N j N k Nj jkPj j kk jNN N N NNo oo= = == = == (= + ( ( Ces deux expressions sont des moyennes. Le second est terme est divis par ( ) 1 NN car lindicekva de ( ) 1 N N , ceci parce quekdoit tre diffrent dej . En remplaant les diffrentes sommes par les moyennes, on a : ( )2 211P j jkNN No o o= +En rarrangeant cette expression, on obtient : ( )2 21P j jk jkNo o o o = +Cetteexpression permet dapprcier leseffetsde ladiversification surlerisque dun portefeuille.La variance est minimale pour les portefeuilles de grande taille et est gale la moyenne des covariances entre tous les actifs du portefeuille. Plus on augmente les actifs, plus le premier terme va tendre vers 0. Il sagit de : ( )21j jkN o o Exemple :Lescaractristiquesdedeuxtitres :actionetobligationduneplacefinanciresontles suivantes :12, 5%aR =;6%oR =;14, 90%ao =;4, 8%oo = etlecoefficientdecorrlation entrelesrendementsdesactionsetdesobligationsest0, 45ao = .Enfaisantvarierlesproportions des deux titres de 0 1, on obtient les diffrentes combinaisons suivantes : Proportion dactions Proportions dobligations Rendement du portefeuille Ecart type du portefeuille 1012,514,90 0.90.111.8513.63 0.80.211.212.38 0.70.310.5511.15 0.60.49.99.95 0.50.59.258.80 0.40.68.67.70 0.30.77.956.69 0.20.87.35.82 0.10.96.655.16 0164.80 Ensuite, on peut faire une reprsentation dans le repre ( ); R o 16 4.La forme fonctionnelle de la fonction () R f o =La reprsentation graphique dune telle relation est plus plausible dans le cas des portefeuilles deux titres. Nous savons que le rendement espr dun portefeuille deux actifs est donn par : P A A B BR XR XR = +O AX estlaproportiondactionAdansleportefeuille, BX laproportiondactifB dansle portefeuille, PRest le rendement espr du portefeuille, ARle rendement espr de lactifA, BRle rendement espr de lactifB . 1 1A B B AX X X X + = = ( ) 1P A A A BR XR X R = + On sait aussi que : ( )1 22 2 2 22P A A B B B A ABX X XX o o o o = + +En introduisant le coefficient de variation ABAB AB AB A BA Bo o o oo o= = , on obtient : ( ) ( )( )1 222 2 21 2 1P A A A B A A AB A BX X X X o o o o o = + + On sait aussi que1 1AB s s , nous allons traiter de quelques cas extrmes Cas o1AB =( ) ( )( )1 222 2 21 2 1P A A A B A A A BX X X X o o o o o = + + quiestuncarrparfaitetonpeutcrire : ( )22 22 X Y X Y XY + = + + , do ( ) 1P A A A BX X o o o = + et ( ) 1P A A A BR XR X R = + Delexpressiondelcarttypeduportefeuille,ontrouve : P BAA BXo oo o=enremplaantdans lexpression du rendement espr du portefeuille, on trouve : A B B A A BP PA B A BR R R RRo ooo o o o| | = + | \ ., qui est bien une fonction affine de Po 17 Exemple : soit un portefeuille constitu de deux actifs : CAMTEL et AESSONEL (SONEL), avec les caractristiques suivantesRendement esprEcart type CAMTEL14%6% SONEL8%3% Letableauci-dessousdonnequelquesvaleursdurendementespretdelcarttypeduportefeuille pour quelques valeurs de CX , qui est la fraction de lactif CAMTEL dans le portefeuille et1CS = . CX00,20,40,50,60,81,0 PR8,09,210,411,011,612,814,0 Po3,03,64,24,54,85,46,0 Le graphe de () R f o = Montrequecestbienunedroite.Cettedroitepeuttreobtenuelaidedelexpressionsuivante : A B B A A BP PA B A BR R R RRo ooo o o o| | = + | \ .,enremplaantparlesvaleursdesactifsduportefeuille,on obtient :2 2P PR o = + ,aveclesvaleursdutableauet/ougraphiquement,onpeutvrifiercette relation. Cas o1AB = ( ) ( )( )1 222 2 21 2 1P A A A B A A A BX X X X o o o o o = + quiestuncarrparfaitetonpeutcrire : ( )22 22 X Y X Y XY = + , do ( ) 1P A A A BX X o o o = et ( ) 1P A A A BR XR X R = + Lcart type dans ce cas est toujours infrieur celui obtenu lorsque les deux actifs sont parfaitement corrls, c'est--dire lorsque1AB = + . ( ) ( ) 1 1A A A B P A A A BX X X X o o o o o s = + Lexpression de lcart type doit toujours tre positive, c'est--dire que :( ) 1 0P A A A BX X o o o = Leportefeuillerisqueminimumestobtenulorsque ( ) 1 0P A A A BX X o o o = = ,ontrouveque cest obtenu lorsque : BAA BXoo o=+ 18 Delexpressiondelcarttypeduportefeuille,ontrouve : P BAA BXo oo o+=+enremplaantdans lexpression du rendement espr du portefeuille, on trouve : A B B A A BP PA B A BR R R RRo ooo o o o| | + = + |+ +\ ., qui est bien une fonction affine de PoExemple : en reprenant lexemple ci-dessus, on a : Letableauci-dessousdonnequelquesvaleursdurendementespretdelcarttypeduportefeuille pour quelques valeurs de CX , qui est la fraction de lactif CAMTEL dans le portefeuille et1CS = . CX00,20,40,60,81,0 PR8,09,210,411,612,814,0 Po3,01,20,62,44,26,0 Legraphede ( )P PR f o = ,partirdesvaleursdu tableaumontrequecetterelation estcelledune droite affine.Lquation de cette droite peut tre obtenue partir de : A B B A A BP PA B A BR R R RRo ooo o o o| | + = + |+ +\ . Lapplication numrique donne : 2103P PR o = +Cas o0AB =Dans ce cas, on a : ( )( )1 222 2 21P A A A BX X o o o = + . De faon gnrale, le risque minimum est obtenu lorsque ( ) ( )( )1 222 2 21 2 1P A A A B A A AB A BX X X X o o o o o = + + estsonminimum.Pourcela,il faut que : 22 202P B A B ABAA A B A B ABXXo o o o o o o o c = =c + Dans le cas o 0AB = , on obtient 22 20P BAA A BXXo oo oc= =c + 19 Exemple : En considrant lexemple ci-dessus, on a le tableau suivant : Letableauci-dessousdonnequelquesvaleursdurendementespretdelcarttypeduportefeuille pour quelques valeurs de CX , qui est la fraction de lactif CAMTEL dans le portefeuille et0CS = . CX00,20,40,60,81,0 PR8,09,210,411,612,814,0 Po3,02,683,003,794,846,0 Enmettantcesvaleursdansungraphe,onnobtientplusunedroite.Ontrouve 22 290, 2 20%36 9SCC SXoo o= = = =+ + Exercice : faire le mme travail lorsque0, 5AB =5.La frontire defficience Cest lensemble des possibilits qui offrent linvestisseur : (1) une rentabilit leve pour le mme niveau de risque, ou (2) un faible risque pour un mme niveau de rendement. Combinaison dun actif risqu et dun actif sans risque. Un actif sans risque est un titre qui offre un taux de rentabilit parfaitement certain, compte tenu de lunitdecomptechoisieetdelalongueurdelhorizondedcisiondelinvestisseur.Quand linvestisseurnestpasidentifi,lactifsansrisquereprsenteuntitreoffrantuntauxderentabilit parfaitementcertainsurlhorizondetransaction(c'est--direlhorizondedcisionlepluscourt possible). Dans cette analyse, il existe des possibilits de prt et demprunt. ( ) 1P A FR XR XR = + Lactif sans risque a pour rendement FRet pour cart type0Fo = . ( ) ( )( )1 222 2 21 2 1P A F AF A FX X X X o o o o o = + + , or0Fo =do PP AAX Xoo oo= =et on trouve : 1P P A FP A F F PA A AR RR R R Ro ooo o o| | | | = + = + ||\ . \ . 20 Cette droite passe par les points ( ) 0,FRet ( ),A AR oet admet comme pente A FAR Ro| | |\ .. SiA Po o , on obtient une combinaison de prt (exemple dun investissement en bond du trsor avec un rendement certain) et du titre et/ou portefeuilleA. Si A Po o ,onobtientunecombinaisondemprunt(exemplevendreuntitre)etdutitreet/ou portefeuilleA. ( ) ( )PP F A F F A FAR R R R R R R Xoo= + = + Ainsi,letauxderentabilitesprpourunportefeuilleestletauxsansrisque FR .ensus,le portefeuillevarapporteruneprimederisquequivadpendrede(1)laprimederisquesurlactif risqu ( )A FR R et (2) la part du portefeuille qui est investie en actif risqu, noteX o PAXoo=Exemple 1 : Relier la rentabilit espre du portefeuille la proportion investie dans lactif risqu. Vous disposez de 1.000.000fcfa et vous hsitez entre un actif qui rapporte du 0,06 par an et un actif risqu dont lesprance dutilit est de 0,14 et dont lcart type est de 0,20. ( ) 0, 06 0,14 0, 06 0, 06 0, 08A FP F PAR RR R X X oo| | = + = + = + |\ .. Silonveutunerentabilitde10%,ilsuffitdinvestir0, 06 0, 08 0,1 0, 5PR X X = + = = .La rpartition dun tel portefeuille est de 50% en actif risqu et de 50% en actif sans risque. Si lon veut plutt avoir 9% de rentabilit, il faut investir 37,5% en actif risqu et 62,5% en actif sans risque. Sionaugmentelaproportiondactifrisqude1%,onobtientunrendementespradditionnelde 0,08. On peut aussi calculer lcart type en appliquant P AX o o =Exemple 2 : Relier la rentabilit espre du portefeuille son cart type. A FP F PAR RR R oo| | = + |\ .. La rentabilit espre dun portefeuille exprime en fonction de son cart type est une quation de droite dont la constante est FRet la pente est A FAR Ro| | |\ .. La pente de cette droitemesurelarentabilitsupplmentaireobtenueparunitderisquesupplmentairequelonest prt prendre. Avec les donnes ci-dessus, on obtient : 0, 06 0, 4P PR o = +21 Cette quation correspond au tableau suivant : Portefeuille Proportioninvestiedans lactif risqu Proportioninvestiedans lactif sans risque Rentabilit espre Ecart typeF01000,060,00 G25750,080,05 H50500,100,10 I75250,120,15 S10000,140,20 Le portefeuille efficient Unportefeuilleefficientestdfinicommeleportefeuillequioffrelameilleurerentabilitespre possible, pour un niveau de risque spcifi. Prenons le graphique reprsent par0, 06 0, 4P PR o = +et ajoutons un deuxime actif risqu notre exemple,avecesprance0,08paranetuncarttypede0,15.OnseretrouveaupointR surle graphique.MaisR estinefficient,carlinvestisseurpeutobtenirlammerentabilitavecuncart typeplusfaible.Exemple pour 0,05 dcart type,on aun rendement de0,08 (point qui correspond 25%dactifrisquet75%dactifsansrisque).Defait,uninvestisseurquiauneaversionpourle risque se trouvera toujours mieux sur un point quelconque de la droite. Tous les points de cette droite reprsentent des portefeuilles efficients, on parle aussi de frontire defficience. 6.Choix du portefeuille prfr -Lorsquon a deux actifs risqus, on peut construire une reprsentation graphique de toutes les combinaisons risque-rentabilit possibles. Soit R-S cette courbe -Construire une droite qui connecte le portefeuille sans risque (not F) au portefeuille ayant la plus grande rentabilit et peut tre le plus grand risque. Cest la droite risque-rentabilit dans la combinaison dactif sans risque et dactif risqu. -SiontraceunedroiteconnectantlepointFsitusurlaxedesordonnesunpoint quelconquedelacourbeR-S,cettedroitereprsenteralensembledescouplesrisque-rentabilit composs partir dune combinaison donne dactifs risqus 1 et 2, et dactif sans risque. -Cette droite est tangente la courbe R-S et le point de tangence not T est appel combinaison optimaledactifsrisqus.Ilcorrespondauportefeuilledactifsrisqusqui,mlanglactif sans risque, permet de construire lensemble des portefeuilles efficients.-Les proportions du portefeuille au point T sont donnes par la formule suivante : 22 ( ) ( )( ) ( ) ( )212 2A F B B F A BA F B B F A A F B F A BR R R RXR R R R R R R Ro o oo o o o = + + et 2 11 X X = o 1Xet 2Xsont les proportions dactifs risqus A et B respectivement. Leportefeuilleprfrparuninvestisseurestparconsquentconstituduportefeuilletangentetde lactif sans risque. 7.Gnralits sur les techniques de choix du portefeuille prfr Lorsque les ventes dcouverts sont autorises, le problme se pose de la faon suivante : 1 /1P FPNiiR RMaxs c Xuo=== En posant : ( )1 11N NF F i F i Fi iR R X R X R= =| |= = = |\ . et lexpression de udevient : ( ) ( )1 11 22 21 1 1N Ni i i Fi iN N Ni i i j iji i jj iX R X RX X Xuo o= == = === ( (+ ( ( Lasolutionduproblmedemaximationposci-dessusrevientrsoudrelesystmedquation suivant : 1230000NddXddXddXddXuuuu==== Cette quation nutilise pas la contrainte parce que les quations du systme ci-dessus sont homogne de degr 0. On montre que : 23 ( )21 1 2 2 3 3 1 10i i i i i N N i N Ni i FidX X X X X X R RdXu o o o o o o = + + + + + + + + =Oest une constante et 2P FPR Ro= . Posons : k kZ X = , on obtient : 21 1 2 2 3 3 1 1 i F i i i i i N N i N NiR R Z Z Z Z Z Z o o o o o o = + + + + + + +A loptimum, on trouve : 1kk NiiZXZ== Exemple : considrons trois actifs avec les caractristiques suivantes :Correlation coefficient SecurityMean return (%)Standard deviation (%)ABC A1460.50.2 B830.4 C2015 5%FR =21 1 1 2 12 3 1322 1 12 2 2 3 2323 1 13 2 23 3 3FFFR R Z Z ZR R Z Z ZR R Z Z Zo o oo o oo o o = + + = + + = + + Enremplaant,ontrouve : 11463Z =; 2163Z = et 1363Z = etenappliquantlexpressiondes 1kk NiiZXZ==, on trouve :11418X =; 2118X =et 1318X = 24 Chapitre : Le Choix des Investissements Lobjectifdecechapitreestdappliquerleconceptdecashflowactualisauxdcisions dinvestissementquelesentreprisesdoiventprendre.Parexemple,pourlelancementdunnouveau produit,oupourinvestirdansleslaboratoiresderecherche,desusines,pouracheterdenouvelles machines,desentrepts,desboutiques,ouencorepourdcidersilonlanceunecampagnede publicit,sionformelesemploys,etc.leprocessusdanalysedecesdcisionssappellelechoix dinvestissement. Lobjectif de tout investissement tant de : conqurir un nouveau march (nouveau produit), rduire les cots de production ou augmenter la capacit de production des entreprises. Danscechapitre,nousdtaillonscommentlesentreprisesprocdentleurschoixdinvestissement. Mme si les modalits pratiquent ne sont pas toujours les mmes suivant les entreprises, on peut dire que tout choix dinvestissement consiste en trois tapes : -Etablir des propositions de projets dinvestissement ; -Evaluer les diffrents projets ; -Dcider quels investissements accepter et quels projets rejeter. Quelestlecritrequelesdirigeantsdoiventadopterpourchoisirlesinvestissements ?Dansce chapitre,onmontrequepourmaximiserlasatisfactiondecesactionnaires,uneentreprisenedoit entreprendre que les projets qui augmentent ou, en tout cas, qui ne diminuent pas la valeur de march desactionsdelasocit.Nousprsenteronsessentiellementlestechniquesutilisespourlechoix dinvestissement. 1.Quelques rappels sur la valeur de largent dans le temps et lactualisation de cash flow Valeurfuture :Noussavonsque10000FCFAaujourdhuiest suprieure10000FCFAdansun an. Cecipouraumoistroisraisons :cettesommepeuttreplace,linflationpeutrduirelavaleurde cette somme et lincertitude de recevoir cette somme dans le futur. Lavaleurfuturedunesommedargentpeuttreobtenue,soitparintrtssimplesouparintrts composs. Si on place 10000FCFA au taux de 10%. On obtient par intrt simple au bout de deux ans 12.000FCFAsoit2000FCFAdintrtsalorsquenintrtcomposonobtientcommevaleur future( )210000 1,1 12.100 VF FCFA = = ,soit100FCFAdeplus.Danscetexemple,lavaleur actuelleouvaleurprsente(VPPresentvalue)ouencorevaleurinitialedemoncompteestde 10000FCFA.Auboutdenanne,ona( ) 10000 1,1nVF = .Lexpressionparlaquelleonmultiplie 10000correspondlavaleurfutured1FCFAetsappellelecoefficientdecapitalisation.Son expression est :( ) 1ni + . Il suffit de consulter vos tables financires. Tauxdintrtquivalent :lestauxdintrtdesempruntsoudesplacementssontgnralement exprimssouslaformeduntauxdintrtnominal(parexemple6%paran),avecunecertaine frquence de versement des intrts (par exemple, versement mensuel, on parle aussi de capitalisation mensuelle).Etantdonnquelafrquencedeversementpeutdiffrerdunempruntlautre,ilest importantdedisposerdunmoyendecomparaisondestauxdintrt.Cemoyendecomparaisonest appelletauxquivalent, quon dfinitcommeletaux dintrt si leversement des intrtstait fait tous les ans. 25 Supposonsquevotreargentrapporteun tauxdintrtannuelde6%,capitalis mensuellement.Cela signifie que chaque mois, un intrt est vers sur votre compte, pour un montant gal 1/12e du taux annuelde6%.Levrai tauxest doncde6/12%par mois,soit 0,005parmois.Onappellece tauxun taux proportionnel. Pour trouver le taux quivalent, on calcul la valeur future la fin de lanne d1FCFA plac au dbut delanne.Pourcetexemple,onobtient ( )121, 005 1, 0616778 VF = = etonobtient : 1, 0616778 1 0, 0616778 6,16778%taux quivalent par an = = = .Demaniregnrale,letaux quivalent est donn par la formule suivante : 1 1mtaux annueltaux quivalentm| |= + |\ . om est le nombre de priodes de versement des lintrts dans lanne. taux annuelm est le taux proportionnel. Plus on augmente la priode de capitalisation (en passant de mensuel hebdomadaire, journalier ou laminute),plus le tauxquivalent augmente,mais jusqu une certaine limite. Lorsquem tendvers linfini, 1mtaux annueltaux annuelem| |+ |\ .. Pour un taux annuel de 6%, on a le tableau suivant : Tableau : Taux dintrt quivalent pour un taux annuel de 6% Frquence de capitalisationm Taux dintrt quivalent % Annuel16,00000 Semestrielle26,09000 Trimestrielle46,13614 Mensuelle126,16778 Hebdomadaire526,17998 Quotidienne3656,18313 ContinueInfini6,18365 Valeuractuelleetactualisation :lecalculdesvaleursactuellesestlinverseducalculdesvaleurs futures.Lavaleuractuellenousditcombiennousdevionsplaceraujourdhuipouravoirunesomme dargent dans le futur. Nous voulons avoir 10000fcfa dans 1 an et les placements possibles rapportent 10%paran.Nousdevonsdoncplacaujourdhui lasommede 10000*1,1 100001,1VA VA = = ,si cest dans deux ans, on a :( )( )2210000* 1,1 10000 8264, 46281,1VA VA = = = . Le fait de calculer les valeurs actuelles sappelle lactualisation. Laformulegnralepourcalculerlavaleuractuelled1fcfatouchdansn priodesavecuntaux dactualisationparpriodei estdonnepar : ( )11nVAi=+.Ainsi,lavaleuractuellede10000fcfa 26 dans5ans10%paranestdonnepar : ( )51000010000*0, 62092 620921,1VA fcfa = = = . Lexpression ( )11ni +estappellecoefficientdactualisationetestdonnedanslatablefinancire. Exemple : si vous prter 100000fcfa votre ami, remboursable dans 6 mois. Quelle sera la valeur de 10000fcfa si le taux dactualisation annuelle est de 5% ? Onobtientuntauxproportionnelde 5/2%=2,5% et ( )100009756, 09761, 025VA = =Les recettes nettes dexploitation : les cash flow dexploitation. Elles sont constitues par la diffrence entre : -Les recettes dexploitation : le CA encaiss (HT) -Lesdpensesdexploitation(HT)imputableslinvestissementtudi(matirespremires, salaires, nergie, charge de structure, ) ainsi que limpt sur le rsultat de cette activit. On obtient donc : CF=rsultat net dexploitation + dotation aux amortissements dexploitation. 2.Les critres de choix des investissements a)Le critre de la Valeur Actuelle Nette : VAN ( )01 1ntttCFVAN Ik == ++ okest le taux dactualisation. Les rgles de dcision sont les suivantes : i)Un projet est retenu si sa VAN est positive. ii)Un projet est prfr un autre sil possde la VAN la plus leve des deux. Le taux dactualisation reprsente le cot dopportunit du capital investi. Exemple1 :ondonne 0250 I = et 1 2 3 4100 CF CF CF CF = = = = .Supposantqueletaux dactualisationestde10%,ontrouve ( )( ) ( ) ( )2 3 4100 100 100 100250 66, 981,11,1 1,1 1,1VAN = + + + + = .La VAN tant positive, la dcision est dinvestir dans ce projet. Exemple 2 : Considrons les deux projets suivants : Anne 0123 Projet A-100.000500.000400.000600.000 Projet B-100.000500.000500.000100.000 Lequel des deux projets choisir si le taux dactualisation est de 10% ? Dans le cas de deux projets de dure diffrente, on dupliquera les deux projets : 27 -Sur une dure infinie -Ou sur une dure gale au PPMC de chacune des dures individuelles. Lorsque le taux dactualisation varie selon les priodes, nous avons : ( ) ( )( ) ( )( )( )1 2 201 1 2 1 2 31 1 1 1 1 1CF CF CFVAN Ik k k k k k= + + ++ + + + + + Variabilit de la VAN par rapport au taux dactualisation : plus le taux dactualisation est lev, plus la VAN est faible. b)Le critre de lindice de profitabilit Lindicedeprofitabilitestlerapportentrelavaleuractuelledesrentresnettesdetrsorerieetla dpense dinvestissement. ( )1 00 0 011ntttCF kI VAN VANIPI I I=++= = = + Donc : 01VANIPI= + . Les rgles de dcision sont : i)Un projet est accept si son indice de profitabilit est suprieur lunit. ii)Un projet est prfr un autre si son indice de profitabilit est le plus lev des deux. CecritrecontrairementlaVANpermetdecomparerentreeuxdesinvestissementsdemontants diffrents. Notes : si1 0 IP VAN Exemple 3: Considrons les deux projets suivants : Anne 012 Projet E-100.00060.00080.000 Projet F-1.000.000700.000650.000 Supposons que le taux dactualisation est de 20%. On trouve VANE=5555,55 et VANF=34722,22. On calcul lindice de profitabilit des deux projets et on conclut. IPE=1,0555 et IPF=1,0347. Il faut donc choisir le projet E. Lindice de profitabilit est un indice de rentabilit relative car 0VANI mesure le surplus actualis reu pour1FCFAdecapitalinvesti.Cecritreestintressantpourslectionnerdesinvestissementsdans une situation de rationnement du capital. c)Le critre du taux interne de rentabilit 28 Le TIR est le taux qui annule la VAN, c'est--dire le taux tel que : ( )0101ntttCFVAN ITIR == + =+ Exemple 4 : Dans lexemple 1, on obtient : ( )( ) ( ) ( )2 3 4100 100 100 100250 0 21,85%11 1 1VAN TIRTIRTIR TIR TIR= + + + + = =++ + +.Ceci signifie que le projet peut tre assimil un placement effectu au taux de 21,85%.LeTIRsetrouveparttonnementetpouramliorerlaprcisiondesadtermination,onutilise linterpolation linaire. Les rgles de dcision sont les suivantes : i)Un projet est accept si son TIR est suprieur un seuil fix davance ; ii)Un projet est prfr un autre si son TIR est le plus important des deux. Le TIR favorise les projets forte liquidit. d)Le critre du dlai de rcupration (pay-back) du capital investi Cest le temps au bout duquel le montant cumul des rentres nettes de trsorerie actualises est gal la dpense dinvestissement. Les rgles de dcision sont les suivantes : i)Un projet est accept si son dlai de rcupration est infrieur un seuil fix davance. ii)Un projet est prfr un autre si son dlai de rcupration est le plus cours des deux. Exemple 5 : Reprenons lexemple 1 en maintenant le taux dactualisation de 10%. On trouvePriodes Recettes cumul Recettesnettes actualises Cumul1100100 ( )1100 1,1 90, 90=90,90 2100200 ( )2100 1,1 82, 64=173,54 3100300 ( )3100 1,1 75,13=248,67 4100400 ( )4100 1,1 68, 30=316,97 Sans actualisation, le dlai de rcupration est de 2 ans et demi. Avec lactualisation, ce dlai est de 3 ans et plus. Ce dlai est dtermin avec un peu plus de prcision par linterpolation linaire.La limite de cette technique est quelle ne prend pas en compte les flux loigns. 3.Dcision dinvestissement en incertitude Supposons que les flux lis aux diffrents projets dpendent des tats adopts par la nature, ceci nous permettradintroduirelincertitude.Lavaleuractuellenettedeviendraunevariablealatoire.Deux mthodes de rsolution peuvent tre proposes. 29 a)Approche risque-rentabilit Chaqueprojetestentirementcaractrisparladonneducotinitial 0I etdesfluxfuturs 1 2 3, , , ,nCFCF CF CF .Cesfluxconstituentdesvariablesalatoirescarlavaleurpriseparchacun dentre eux dpend de ltat pris par la nature. La VAN du projet est alors donne par : ( )01 1ntttCFVAN Ik == ++ Exemple6 :Considronsunprojetncessitantuninvestissementinitialde100.000dontlesflux futurs sont les suivants : Etat de la natureProbabilits Flux futur dans un an Croissance0,25121.000 Stagnation 0,5110.000 Rcession 0,25104.000 Au taux dactualisation de 10%, trois VAN pourront se raliser selon ltat de lconomie. Etat de la natureProbabilits VAN Croissance0,25 121.000100.000 10.0001,1 + =Stagnation 0,5 110.000100.000 01,1 + =Rcession 0,25 104.000100.000 5.0001,1 + = E(VAN)=0,25*10.000+0,5*0+0,25*(-5.000)=1250. Var(VAN)=0,25(10000-1250)2+0,5(0-1250)2+0,25(-5.000-1250)2=29.687.500etlcarttypedonne 5.448,62. Silesfluxsontindpendantsduneannelautre,lavariancedelaVANseradonnepar lexpression suivante : ( )( )( )21 1ntttVar CFVarVANk ==+ Exemple7 :Considronsunprojetrequrantuninvestissementinitialde100etdontlesfluxsont indpendants tout au long des deux annes de fonctionnement : 30 Etat de la natureProbabilit Flux futur anne 1Flux futur anne 2 Croissance 0,25120150 Stable 0,5100100 Rcession 0,258050 Pourchaqueanne,nousavons : ( )10, 25*120 0, 5*100 0, 25*80 100 ECF = + + = , ( )( ) ( ) ( )2 2 210, 25 120 100 0, 5 100 100 0, 25 80 100 200 Var CF = + + =et ( )114,14 CF o =( )20, 25*150 0, 5*100 0, 25*50 100 ECF = + + =( )( ) ( ) ( )2 2 220, 25 150 100 0, 5 100 100 0, 25 50 100 1250 Var CF = + + =et ( )235, 35 CF o =( )( )( ) ( )0 21100 100100 73, 551,11 1,1ntttECFEVAN Ik == + = + + =+ ( )( )( ) ( ) ( )22 2 41200 12501019, 051 1,1 1,1tttVar CFVarVANk == = + =+ Soit un cart type de 31,92. Le projet est alors entirement caractris par le couple (rentabilit, risque). La mise en route du projet dpendra de la position du couple esprance-risque au sein de lespace rentabilit-risque. Dans le cas du choix qui pourrait se poser entre plusieurs projets, on utilisera soit le critre de Pascal, soit le critre de Markowitz. La rgle de dcision est la suivante : i)Choisir le projet dont lesprance mathmatique de la VAN est positive. ii)Pourlechoixentredeuxprojets,onpeututiliserlecritredeMarkowitzoulecritrede Pascal(lecritredePascalindiquequilfautchoisirlinvestissementdontlesprance mathmatique de la VAN est la plus grande). Le critre de Markowitz consiste : -Rgle 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) k l k lk lk l k lEA EA et A AA Asi ouEA EA et A Ao oo o> s Si cette rgle de comparaison venait ne pas fonctionner, on utiliserait lune des rgles ci-dessous si ( ) ( ) ( ) ( )k l k lEA EA et A A o o31 -Rgle 2 : ( )( )( )( ) k lk lk lEA EAA AsiA A o o -Rgle 2 bis : ( ) ( )( ) ( ) k lk lk lEA EAA AsiA Ao o La rgle 2 consiste comparer les coefficients de variation Eo et choisir laction possdant le plus petitcoefficientdevariation,c'est--direlinvestissementayantlaplusfaiblevariationparunit desprance. b)Lapproche par larbre de dcision Lvolutiondesdiffrentsprojetsdansletempspeuttrereprsenteparlebiaisdunarbrede dcision.Nousprsentonscetteapprocheenconsidrantdeuxprojetsncessitantchacunun investissement de 100 et donc les flux futurs sont : Un an plus tardDeux ans plus tard Etat de la natureCroissanceStagnationCroissanceStagnation Probabilits0,70,30,50,5 Projet A15010010050 Projet B12010012040 Lon obtient larbre de dcision ci aprs : (voir format) Cettereprsentationsupposequelechoixdunprojetnesoitpasinfluencerparlaralisationdun autre. La rsolution se fera rebours, en partant de lextrmit de larbre. On aura successivement les arbres rduits ci-dessous :(voir format) En dfinitive, le projet choisi sera le projet B. Reprenons le projet initial et supposons quil sera abandonn dans la mesure le flux futur viendrait tre infrieur ou gal linvestissement (ici 100). Larbre de dcision est le suivant :