introduction to solid state...
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固体物理学
(6)
第一章 晶体结构
1-6 倒格子
前面的几节涉及到的是真实空间的晶格,本节我们将引入倒格子的定义;
倒格子,顾名思义,即为倒空间的格子,什么是倒空间?倒空间是不是真实的空间?
倒空间不是真实的空间,是人为定义出来的空间;为了简化处理晶格结构问题。
1913年,P.P.Ewald为解释x射线的单晶衍射结果,提出了Ewald球的概念,同时引进了倒点阵和
倒空间。
一、点阵的傅里叶变换,倒点阵
正点阵可以表示为一系列峰值位于Rl的δ函数之和
格矢 Rl = l1a1 + l2a2 + l3a3 端点的集合包含且仅包含
正点阵中所有的结点无遗。
在数学上可以用一个空间的密度函数将点阵表示为: ∑ −=
lRlRrr )()( δρ
上式对一切平移矢量Rl 求和,因此ρ(r)应该是Rl 的周期性函数。 )()( rRr l ρρ =+
实际上,晶体中所有结点都严格地处于点阵所确定的格点上,所以晶体内的一切物理量都精确地是Rl 的周期性函数。
)()( rVRrV l =+如:电子的势能:
倒点阵实际上是正点阵的傅里叶变换→波矢空间
将正点阵的傅里叶变换F[ρ(r) ]记为ρ(k) 。
)()()()(
)()(
3322,,
11
,,
)(2
,,
)()(
321
321
332211
321
332211332211
∑∑
∑∑
∑∑ ∫
−=−−−=
==
=−=
++−++⋅++−
⋅−∞
∞−
⋅−
h
l
l
l
Kh
hhh
lll
lklklki
lll
alalalbkbkbki
R
Rki
R
rkil
Gkhkhkhk
ee
erdeRrk
rr
rrr
rrrrrr
rrrr
δδδδ
δρ
π
332211 bhbhbhGh
rrrr++=
其中 h1 、 h2 、 h3 为整数并满
足:
推导中应用了Poisson求和公
式:
∑∑ −=hn
inz hze )(2 δπ
1、倒格原胞基矢定义为b1、b2、b3,和正格子原胞 基矢a1、a2、a3的关系为:
二、倒格子的原胞基矢
)(][2;
)(][2;
)(][2
321
213
321
132
321
321 aaa
aabaaaaab
aaaaab rrr
rrrrrr
rrrrrr
rrr
×⋅×
=×⋅×
=×⋅×
=πππ
倒格矢: 332211 bhbhbhGh
rrrr++=
倒格原胞体积: )(* 321 bbbrrr
×⋅=Ω
b1、b2、b3的量纲为L-1,正好是波矢k的量纲,因此可以把倒格矢Gh理解为波矢,用其描述运动状态。
由倒格子组成的空间(倒空间)可理解成状态空间,而正格子组成的空间为位置空间或坐标空间。
倒格子原胞基矢:
Ω×
=Ω×
=Ω×
=][2;][2;][2 21
313
232
1aabaabaabrrrrrrrrr πππ
2、倒格原胞基矢b1、b2、b3的方向
b1的方向为a2×a3的方向,即b1的方向⊥ a2a3面的方向,是a2a3面的法向。
b2、b3的方向是a3a1面的法向和a1a2面的法向。
凡是正交晶系,其倒格矢方向和正格式相同。
但是长度相反,互为正倒;
倒原胞和正原胞同样不同,原来长边变成短边。
3、正格子本身是倒格子的倒格子(正点阵本身是 倒点阵的倒易点阵)
;*
2)(
2
;*
2)(
2
;*
2)(
2
21
321
213
13
321
132
32
321
321
Ω×
=×⋅
×=
Ω×
=×⋅
×=
Ω×
=×⋅
×=
bbbbb
bba
bbbbb
bba
bbbbb
bba
rr
rrr
rrr
rr
rrr
rrr
rr
rrr
rrr
ππ
ππ
ππ
4、计算举例:
求简单立方格子的倒格子基矢。
原胞基矢: ;,, 321 kaajaaiaarrrrrr
===
kaa
jiaaab
jaa
ikaaab
iaa
kjaaab
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
πππ
πππ
πππ
22][2
;22][2
;22][2
3221
3
3213
2
3232
1
=×
=Ω×
=
=×
=Ω×
=
=×
=Ω×
=
简单立方的倒格子仍然是简单立方
求底心正交格子的倒格子基矢。
晶胞基矢: ;,, kccjbbiaarrrrrr
===
;),(21, 321 kcajbiaaiaa
rrrrrrr=+==原 胞 基
矢:
jacibc
cba
kjiaa
rr
rrr
rr
21
21
0002/2/32
−=
=×
abcjacibcia
aaa
21)
21
21(
)( 321
=−⋅
=×⋅=Ωrrr
rrr
kcabc
kabbj
babc
jacb
jb
iaabc
jacibcaab
rr
rrr
r
rrrr
rrr
ππππ
ππππ
2
2121
2;4
212
;22
21
21
21
2][2
32
321
====
−=−
=Ω×
=
底心正交的倒格子仍然是底心正交!
三、布里渊区(Brillouin zone)
在固体物理学中,通常采用倒点阵的W-S初基原
胞来进行计算,因为它充分反映了倒点阵的宏观对称性。
倒点阵的W-S原胞被称作为第一布里渊区。
四、倒格子的基本性质
1、正、倒格子的基矢相互正交。
ji
jiba
ji
ijji
≠
===⋅
=
0
)3,2,1,({2
2
πδ
πrr
2、正、倒格矢满足:
)......2,1(2)(2 332211 整数==++=⋅ nnlhlhlhRG lh ππrr
Ω=
×⋅=
×⋅×⋅−×⋅⋅×
=
×⋅×××⋅×
=
×⋅=Ω
3
321
3
3321
32111213323
3321
2113323
321
)2()]([
)2(
)]([])]([)]({[)()2(
)]([)]()[()()2(
)(*
ππ
π
π
aaa
aaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
bbb
rrr
rrr
rrrrrrrrrr
rrr
rrrrrr
rrr
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
)(* 321 bbbrrr
×⋅=Ω),( 321 aaa rrr×⋅=Ω
,)2(*3
Ω=Ω
π正格子越大,倒格子越小;反之亦
然。
直接验证:
4、可用倒格矢代表晶面族(h1 h2 h3)的法向。
即,证明正格子中一族晶面(h1 h2 h3)和倒格 矢Gh正交,证明:
晶面(h1 h2 h3)为离开原点在基矢a1、a2、a3上
切割的第一晶面,在三轴上截距分别为:
,3
3
2
2
1
1
ha
ha
ha rrr
、、在晶面ABC上的两条边矢量CA和CB分别为:
3
3
2
2
3
3
1
1 ,ha
haBC
ha
haAC
rrrr
−=−=
,022
)()(
3311
3
3
1
1332211
=−=⋅−⋅=
−⋅++=⋅
ππabab
ha
habhbhbhACGh
rrrr
rrrrrr
,022
)()(
3322
3
3
2
2332211
=−=⋅−⋅=
−⋅++=⋅
ππabab
ha
habhbhbhBCGh
rrrr
rrrrrr
面)(, 321 hhhGBCGACG hhh ⊥⇒⊥⊥∴rrr
5、倒格矢Gh的长度是晶面族(h1 h2 h3)面间距倒 数的2π倍。
证明:已知
Gh是晶面(h1 h2 h3)的法向,于是晶 面方程为:
332211, aaaxndxGG
hh
h rrrrr
r
ξξξ ++==⋅
321321 lllx 、、、、落在某格点上: =ξξξr
11,2====
⋅=⋅ nnd
GGRGx
GG
hhh
lh
h
h ,取μπμrr
rr
r
r
hh
Gd r
π2=
6、正点阵中的周期函数可以按倒格矢Gh展开为傅里 叶级数。
一个函数可展开为傅里叶级数的条件是周期性函数
∑∞
−∞=
+=⇒=n
inxn nxfxfeVxf )2()()( π
Vn为傅里叶系数 ∫−
−=l
l
inn def
lV ξξ ξ)(
21
为整数321)(2 ,,,)( 332211 hhheVxV
h
hhhih∑ ++= ξξξπr
把晶体中任一点x用基矢来表示:
∫ ∫∫− −
++−
−
=1
1
1
1
)(232
1
11 )(332211 ζζζζ ξξξπ VedddV hhhi
h
332211 aaax rrrr ξξξ ++=
晶格中的周期性函数表示为:
)()()( 332211 lRxValalalxVxVrrrrrrr
+=+++=
作傅里叶展开:
傅里叶系数:
∑∑ ⋅⋅++ ==+=h
xGih
h
xbhbhbhihl
heVeVRxVxVrrrrrr )( 332211)()(
由ai·bj=2π δij,b1·x = 2πξ1,b2·x = 2πξ2, b3·x = 2πξ3,得:
∫Ω
⋅−
Ω= )(1 xVedxV xGi
hh
rrr
πξ
πξ
πξ
2,
2,
23
32
21
1xbxbxb rrrrrr⋅
==⋅
=⋅
=
傅里叶系数:
7、倒格子保留了正格子的全部宏观对称性
五、总结和举例
引入倒格子后,我们可以方便的求出:
计算晶面法向和晶面间距;
计算晶面间夹角----通过相应的Gh之间的夹角;
计算晶面间交线的晶向----Gh⊥晶面,Gh交线,因此Gh•Rl = 0,由方程组:
22
11
22
11
22
11
222111
::::
0,0
khkh
hlhl
lklk
wvu
wlvkuhwlvkuh
=
=++=++
求简单立方米勒指数(h k l)的晶面间距:
kaajaaiaakacjabiaarrrrrrrrrrrr
====== 321 ,,;,,
),,(),,(;2,2,2321321 lkhhhhk
abj
abi
ab =⇒===
rrrrrr πππ
)(2)(2321332211 kljkih
akhjhih
abhbhbhGh
rrrrrrrrrr++=++=++=
ππ
2/12222/1222
)(2;)(2
lkha
Gdlkh
aG
hhh ++
==++= rr ππ
3,
2, 111110100
adadad ===
求体心立方米勒指数(100)的晶面间距:
)(2
),(2
),(2
;,,
321 kjiaakjiaakjiaa
kacjabiaarrrrrrrrrrrr
rrrrrr
+−=++−=−+=
===
);(2),(2),(2321 ji
abkj
abki
ab
rrrrrrrrr+=+=+=
πππ
khhjhhihha
jiha
kjha
ikha
bhbhbhGh
rrrr
rrrrrrr
)()()[(2)(2
)(2)(2
2132313
21332211
+++++=++
+++=++=
ππ
ππ
2/? 100100 adad ==
2/102/10
2/111
32121
23232
13131
=−==+−=⇒−=⇒=+
=−==+
hhhhhhhhhh
hhhhh有:
)111()( 321 =∴ hhh
2)002(222
2/1222
a
aG
dh
h =++
== πππ
r
计算简单立方(111)与(111)面间夹角
(111)法线单位矢量:
)(3
1
32
)(2
ˆ kji
a
kjia
GGn
h
hrrr
rrr
r
r
++=++
== π
π
(111)法线单位矢量:
)(3
1
32
)(2
ˆ kji
a
kjia
GGn
h
hrrr
rrr
r
r
−+=−+
== π
π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛====⋅ −
31cos,
31
13/1cos,cosˆˆˆˆ 1
111111111111 θθθnnnn
作业
P.578,1.3补充1:求出简单正交晶体密勒指数为(h k l)
的面间距表达式。
补充2:证明出六角晶系中密勒指数为(h k l)的面族间距表达式为:
2/12
2
2
22
])(34[ −+
++=
cl
akhkhd
Thank you For your attention